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初中2次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

時(shí)間:2019-05-15 13:03:25下載本文作者:會(huì)員上傳
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第一篇:初中2次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

導(dǎo)語:對(duì)初中2次函數(shù)知識(shí)點(diǎn),同學(xué)們有必要進(jìn)行總結(jié)。以下是初中2次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié),供大家閱讀。

I、定義與定義表達(dá)式

一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:y=ax^2+bx+c

(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時(shí),開口方向向上,a<0時(shí),開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

II、二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)]

交點(diǎn)式:y=a(x-x)(x-x)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x,0)和B(x,0)的拋物線]

注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a

III、二次函數(shù)的圖像

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

IV、拋物線的性質(zhì)

1、拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。

對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)

2、拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為:P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時(shí),P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時(shí),P在x軸上。

3、二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí),拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。

4、一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右。

5、常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0,c)

6、拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=b^2-4ac>0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac<0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a)

V、二次函數(shù)與一元二次方程

特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c,當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),即ax^2+bx+c=0

此時(shí),函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

1、二次函數(shù)y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表:

當(dāng)h>0時(shí),y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到,當(dāng)h<0時(shí),則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到。

當(dāng)h>0,k>0時(shí),將拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位,就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h>0,k<0時(shí),將拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h<0,k>0時(shí),將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h<0,k<0時(shí),將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位,再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

因此,研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖象提供了方便。

2、拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當(dāng)a>0時(shí),開口向上,當(dāng)a<0時(shí)開口向下,對(duì)稱軸是直線x=-b/2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)。

3、拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當(dāng)x≤-b/2a時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)x≥-b/2a時(shí),y隨x的增大而增大。若a<0,當(dāng)x≤-b/2a時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x≥-b/2a時(shí),y隨x的增大而減小。

4、拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn):

(1)圖象與y軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c);

(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x,0)和B(x,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的兩根。這兩點(diǎn)間的距離AB=|x-x|

當(dāng)△=0。圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)△<0。圖象與x軸沒有交點(diǎn)。當(dāng)a>0時(shí),圖象落在x軸的上方,x為任何實(shí)數(shù)時(shí),都有y>0;當(dāng)a<0時(shí),圖象落在x軸的下方,x為任何實(shí)數(shù)時(shí),都有y<0。

5、拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當(dāng)x=-b/2a時(shí),y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。

頂點(diǎn)的橫坐標(biāo),是取得最值時(shí)的自變量值,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),是最值的取值。

6、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí),可設(shè)解析式為一般形式:

y=ax^2+bx+c(a≠0)。

(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí),可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2+k(a≠0)。

(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)解析式為兩根式:y=a(x-x)(x-x)(a≠0)。

7、二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用,而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此,以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題,往往以大題形式出現(xiàn)。

第二篇:初中函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

千承培訓(xùn)學(xué)校

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像)

(一)平面直角坐標(biāo)系

1、定義:平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系,簡(jiǎn)稱為直角坐標(biāo)系

2、各個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的特征: 第一象限:(+,+)點(diǎn)P(x,y),則x>0,y>0; 第二象限:(-,+)點(diǎn)P(x,y),則x<0,y>0; 第三象限:(-,-)點(diǎn)P(x,y),則x<0,y<0; 第四象限:(+,-)點(diǎn)P(x,y),則x>0,y<0;

3、坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征:

x軸上的點(diǎn),縱坐標(biāo)為零;y軸上的點(diǎn),橫坐標(biāo)為零;原點(diǎn)的坐標(biāo)為(0 , 0)。兩坐標(biāo)軸的點(diǎn)不屬于任何象限。

4、點(diǎn)的對(duì)稱特征:已知點(diǎn)P(m,n), 關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(m,-n), 橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)反號(hào) 關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-m,n)縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)反號(hào) 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-m,-n)橫,縱坐標(biāo)都反號(hào)

5、平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征:平行于x軸的直線上的任意兩點(diǎn):縱坐標(biāo)相等;平行于y軸的直線上的任意兩點(diǎn):橫坐標(biāo)相等。

6、各象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征:

第一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等。

第二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

7、點(diǎn)P(x,y)的幾何意義: 點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離為 |y|,點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離為 |x|。點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為

8、兩點(diǎn)之間的距離:

X軸上兩點(diǎn)為A(x1,0)、B(x2,0)|AB|?|x2?x1|

x2?y2 Y軸上兩點(diǎn)為C(0,y1)、D(0,y2)|CD|已知A(x1,y1)、B(x2,y2)AB|=

?|y2?y1|

(x2?x1)2?(y2?y1)

29、中點(diǎn)坐標(biāo)公式:已知A(x1,y1)、B(x2,y2)M為AB的中點(diǎn)

則:M=(x2?x1y?y1 , 2)2210、點(diǎn)的平移特征: 在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)(x,y)向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x-a,y); 將點(diǎn)(x,y)向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x+a,y); 將點(diǎn)(x,y)向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x,y+b); 將點(diǎn)(x,y)向下平移b個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x,y-b)。

注意:對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行平移,這個(gè)圖形上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都要發(fā)生相應(yīng)的變化;反過來,從圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)的加減變化,我們也可以看出對(duì)這個(gè)圖形進(jìn)行了怎樣的平移。

(二)函數(shù)的基本知識(shí): 基本概念

1、變量:在一個(gè)變化過程中可以取不同數(shù)值的量。

常量:在一個(gè)變化過程中只能取同一數(shù)值的量。

2、函數(shù):一般的,在一個(gè)變化過程中,如果有兩個(gè)變量x和y,并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng),那么我們就把x稱為自變量,把y稱為因變量,y是x的函數(shù)。*判斷A是否為B的函數(shù),只要看B取值確定的時(shí)候,A是否有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)

3、定義域:一般的,一個(gè)函數(shù)的自變量允許取值的范圍,叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。

4、確定函數(shù)定義域的方法:

(1)關(guān)系式為整式時(shí),函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù);

(2)關(guān)系式含有分式時(shí),分式的分母不等于零;

(3)關(guān)系式含有二次根式時(shí),被開放方數(shù)大于等于零;

(4)關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí),底數(shù)不等于零;

(5)實(shí)際問題中,函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合,使之有意義。

5、函數(shù)的圖像 一般來說,對(duì)于一個(gè)函數(shù),如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo),那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形,就是這個(gè)函數(shù)的圖象.

6、函數(shù)解析式:用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。

7、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟

第一步:列表(表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值);

第二步:描點(diǎn)(在直角坐標(biāo)系中,以自變量的值為橫坐標(biāo),相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo),描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn));

第三步:連線(按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來)。

8、函數(shù)的表示方法

列表法:一目了然,使用起來方便,但列出的對(duì)應(yīng)值是有限的,不易看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。

解析式法:簡(jiǎn)單明了,能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系,但有些實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系,不能用解析式表示。

圖象法:形象直觀,但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。

(三)正比例函數(shù)和一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)及性質(zhì)

一般地,形如y=kx(k是常數(shù),k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù),其中k叫做比例系數(shù).注:正比例函數(shù)一般形式 y=kx(k不為零)① k不為零 ② x指數(shù)為1 ③ b取零 當(dāng)k>0時(shí),直線y=kx經(jīng)過三、一象限,從左向右上升,即隨x的增大y也增大;當(dāng)k<0時(shí),?直線y=kx經(jīng)過二、四象限,從左向右下降,即隨x增大y反而減小.(1)解析式:y=kx(k是常數(shù),k≠0)(2)必過點(diǎn):(0,0)、(1,k)

(3)走向:k>0時(shí),圖像經(jīng)過一、三象限;k<0時(shí),?圖像經(jīng)過二、四象限(4)增減性:k>0,y隨x的增大而增大;k<0,y隨x增大而減小(5)傾斜度:|k|越大,越接近y軸;|k|越小,越接近x軸

2、一次函數(shù)及性質(zhì)

一般地,形如y=kx+b(k,b是常數(shù),k≠0),那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí),y=kx+b即y=kx,所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注:一次函數(shù)一般形式 y=kx+b(k不為零)① k不為零 ②x指數(shù)為1 ③ b取任意實(shí)數(shù)

一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(0,b)和(-

b,0)兩點(diǎn)的一條直線,我們稱它為直k線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到.(當(dāng)b>0時(shí),向上平移;當(dāng)b<0時(shí),向下平移)

(1)解析式:y=kx+b(k、b是常數(shù),k?0)(2)必過點(diǎn):(0,b)和(-

b,0)k(3)走向: k>0,圖象經(jīng)過第一、三象限;k<0,圖象經(jīng)過第二、四象限 b>0,圖象經(jīng)過第一、二象限;b<0,圖象經(jīng)過第三、四象限

?k?0?k?0直線經(jīng)過第一、二、三象限 ??直線經(jīng)過第一、三、四象限 ???b?0?b?0?k?0?k?0?直線經(jīng)過第一、二、四象限 ??直線經(jīng)過第二、三、四象限 ?b?0b?0??注:y=kx+b中的k,b的作用:

1、k決定著直線的變化趨勢(shì)

① k>0 直線從左向右是向上的 ② k<0 直線從左向右是向下的

2、b決定著直線與y軸的交點(diǎn)位置

① b>0 直線與y軸的正半軸相交 ② b<0 直線與y軸的負(fù)半軸相交

(4)增減性: k>0,y隨x的增大而增大;k<0,y隨x增大而減小.(5)傾斜度:|k|越大,圖象越接近于y軸;|k|越小,圖象越接近于x軸.(6)圖像的平移: 當(dāng)b>0時(shí),將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位;

當(dāng)b<0時(shí),將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位.3、一次函數(shù)y=kx+b的圖象的畫法.根據(jù)幾何知識(shí):經(jīng)過兩點(diǎn)能畫出一條直線,并且只能畫出一條直線,即兩點(diǎn)確定一條直線,所以畫一次函數(shù)的圖象時(shí),只要先描出兩點(diǎn),再連成直線即可.一般情況下:是先選取它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn):(0,b),.即橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為0的點(diǎn).注:對(duì)于y=kx+b 而言,圖象共有以下四種情況:

1、k>0,b>0

2、k>0,b<0

3、k<0,b<0

4、k<0,b>0

4、直線y=kx+b(k≠0)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).

(1)直線y=kx與x軸、y軸的交點(diǎn)都是(0,0);

(2)直線y=kx+b與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為

5、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟:

與 y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,b).

(1)根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程;

(3)解方程得出未知系數(shù)的值;

(4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.6、兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法:

方法:聯(lián)立方程組求x、y 例題:已知兩直線y=x+6 與y=2x-4交于點(diǎn)P,求P點(diǎn)的坐標(biāo)?

7、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系(1)兩條直線平行:k1=k2且b1?b2(2)兩直線相交:k1?k2(3)兩直線重合:k1=k2且b1=b2平行于軸(或重合)的直線記作

.特別地,軸記作直線

8、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系

一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線,它可以看作是由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度而得到(當(dāng)b>0時(shí),向上平移;當(dāng)b<0時(shí),向下平移).9、一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系

任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a,b為常數(shù),a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為:當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí),求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看,相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.10、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系

任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0(a,b為常數(shù),a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:當(dāng)一次函數(shù)值大(小)于0時(shí),求自變量的取值范圍.11、一次函數(shù)與二元一次方程組

(1)以二元一次方程ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y=?acx?的bb圖象相同.(2)二元一次方程組??a1x?b1y?c1ac的解可以看作是兩個(gè)一次函數(shù)y=?1x?1和

b1b1?a2x?b2y?c2y=?a2cx?2的圖象交點(diǎn).b2b212、函數(shù)應(yīng)用問題(理論應(yīng)用 實(shí)際應(yīng)用)

(1)利用圖象解題 通過函數(shù)圖象獲取信息,并利用所獲取的信息解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.(2)經(jīng)營(yíng)決策問題 函數(shù)建模的關(guān)鍵是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,從而解決最佳方案,最佳策略等問題.建立一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題,就是要從實(shí)際問題中抽象出兩個(gè)變量,再尋求出兩個(gè)變量之間的關(guān)系,構(gòu)建函數(shù)模型,從而利用數(shù)學(xué)知題.(四)反比例函數(shù)

一般地,如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y=k/x(k為常數(shù),k≠0)的形式,那么稱y是x的反比例函數(shù)。

取值范圍: ① k ≠ 0;②在一般的情況下 , 自變量 x 的取值范圍可以是 不等于0的任意實(shí)數(shù);③函數(shù) y 的取值范圍也是任意非零實(shí)數(shù)。反比例函數(shù)的圖像屬于以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱的雙曲線

反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會(huì)無限接近X軸Y軸但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交(K≠0)。

反比例函數(shù)的性質(zhì):

1.當(dāng)k>0時(shí),圖象分別位于第一、三象限,同一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0時(shí),圖象分別位于二、四象限,同一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大。

2.k>0時(shí),函數(shù)在x<0和 x>0上同為減函數(shù);k<0時(shí),函數(shù)在x<0和x>0上同為增函數(shù)。

定義域?yàn)閤≠0;值域?yàn)閥≠0。

3.因?yàn)樵趛=k/x(k≠0)中,x不能為0,y也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交,也不可能與y軸相交。

4.在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P,Q,過點(diǎn)P,Q分別作x軸,y軸的平行線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1,S2,則S1=S2=|K| 5.反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形,它有兩條對(duì)稱軸

y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分線),對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。

6.若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點(diǎn)(m、n同號(hào)),那么A B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

7.設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n,要使它們有公共交點(diǎn),則n2 +4k·m≥(不小于)0。(k/x=mx+n,即mx^2+nx-k=0)

8.反比例函數(shù)y=k/x的漸近線:x軸與y軸。

9.反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=x,y=-x軸對(duì)稱,并且關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.(第5點(diǎn)的同義不同表述)

10.反比例上一點(diǎn)m向x、y軸分別做垂線,交于q、w,則矩形mwqo(o為原點(diǎn))的面積為|k|

11.k值相等的反比例函數(shù)重合,k值不相等的反比例函數(shù)永不相交。

12.|k|越大,反比例函數(shù)的圖象離坐標(biāo)軸的距離越遠(yuǎn)。

(五)二次函數(shù)

二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。

一般式(已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值,通常選擇一般式.)

y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù)),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b^2/4a);

頂點(diǎn)式(已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點(diǎn)式.)

y=a(x+m)^2+k(a≠0,a、m、k為常數(shù))或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù)),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-m,k)或(h,k)對(duì)稱軸為x=-m或x=h,有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式;

交點(diǎn)式(已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、,通常選用交點(diǎn)式)

y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線] ;

拋物線的三要素:開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn) 頂點(diǎn)

拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為P(-b/2a,4ac-b^2/4a),當(dāng)-b/2a=0時(shí),P在y軸上;當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí),P在x軸上。開口

二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a>0時(shí),拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。決定對(duì)稱軸位置的因素

一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右。(左同右異)

c的大小決定拋物線當(dāng)①時(shí),∴拋物線,與與

軸交點(diǎn)的位置.與

軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,): ,與

軸交于負(fù)半軸.,拋物線經(jīng)過原點(diǎn);②軸交于正半軸;③直線與拋物線的交點(diǎn)(1)(2)與(,軸與拋物線軸平行的直線).得交點(diǎn)為(0,).與拋物線

有且只有一個(gè)交點(diǎn)(3)拋物線與軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)程根的判別式判定:

①有兩個(gè)交點(diǎn)

拋物線與軸相交;

拋物線與軸相切; 的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、,是對(duì)應(yīng)一元二次方的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的 ②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在軸上)③沒有交點(diǎn)

拋物線與軸相離.(4)平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為,則橫坐標(biāo)是個(gè)實(shí)數(shù)根.(5)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交的兩點(diǎn),由方程組

①方程組有兩組不同的解時(shí)一個(gè)交點(diǎn);③方程組無解時(shí)的解的數(shù)目來確定: 與與

有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)沒有交點(diǎn).與

只有(6)拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離:若拋物線,由于、是方程

與軸兩交點(diǎn)為的兩個(gè)根,故

千承培訓(xùn)學(xué)校

第三篇:初中函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一次函數(shù)

1、表達(dá)式:y=kx+b(k≠0)圖象呈一條直線

b2、與坐標(biāo)軸交點(diǎn):x軸:(?,0)k

y軸:(0,b)

3、系數(shù)k和b的意義:

① 當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大,函數(shù)圖象成上坡趨勢(shì)且過一三象限

當(dāng)k<0時(shí),y隨x的增大而減小,函數(shù)圖象成下坡趨勢(shì)且過二四象限 ② 當(dāng)b>0時(shí),圖象與y軸交于正半軸,且圖象過一二象限

當(dāng)b<0時(shí),圖象與y軸交于負(fù)半軸,且圖象過三四象限

4、正比列函數(shù):當(dāng)一次函數(shù)b=0時(shí),該函數(shù)為正比列函數(shù),即表達(dá)式為: y=kx(k≠0),該函數(shù)圖象恒過原點(diǎn)

反比列函數(shù)

k(k?0)x2、圖象:雙曲線且與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)

3、系數(shù)k的意義:

① k>0時(shí),圖象兩支在一三象限內(nèi),且在各個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小,圖象呈下坡趨勢(shì)

② k<0時(shí),圖象兩支在二四象限內(nèi),且在各個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大,圖象呈上坡趨勢(shì)

4、圖象特點(diǎn):在圖像上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸引垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積都

1、表達(dá)式:y?為k

二次函數(shù)

第四篇:初中九年級(jí)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

二次函數(shù)

I.定義與定義表達(dá)式 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系: y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時(shí),開口方向向上,a<0時(shí),開口方向向下,|a|還可以決定開口大小,|a|越大開口就越小,|a|越小開口就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)]

交點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線]III.二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線 x =-b/2a。對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為 P [-b/2a,(4ac-b^2)/4a ]。當(dāng)-b/2a=0時(shí),P在y軸上;當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí),P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a>0時(shí),拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱軸在y軸左; 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右。(即左同右異)

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于(0,c)

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) Δ= b^2-4ac>0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。Δ= b^2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。Δ= b^2-4ac<0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。

V.二次函數(shù)與一元二次方程 特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c,當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),即ax^2+bx+c=0 此時(shí),函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。補(bǔ)充 畫拋物線時(shí),應(yīng)先列表,再描點(diǎn),最后連線。列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心,選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值,描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接,并注意變化趨勢(shì)。說明:(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)^2+k,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k),h=0時(shí),拋物線y=ax^2+k的頂點(diǎn)在y軸上;當(dāng)k=0時(shí),拋物線a(x-h^)2的頂點(diǎn)在x軸上;當(dāng)h=0且k=0時(shí),拋物線y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)

第五篇:高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

(1)高中函數(shù)公式的變量:因變量,自變量。

在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí),通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量,用豎直方向的數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。

(2)一次函數(shù):①若兩個(gè)變量,間的關(guān)系式可以表示成(為常數(shù),不等于0)的形式,則稱 是的一次函數(shù)。②當(dāng)=0時(shí),稱是的正比例函數(shù)。

(3)高中函數(shù)的一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

①把一個(gè)函數(shù)的自變量與對(duì)應(yīng)的因變量的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn),所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。

②正比例函數(shù)=的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線。

③在一次函數(shù)中,當(dāng)0,O,則經(jīng)2、3、4象限;當(dāng)0,0時(shí),則經(jīng)1、2、4象限;當(dāng)0,0時(shí),則經(jīng)1、3、4象限;當(dāng)0,0時(shí),則經(jīng)1、2、3象限。

④當(dāng)0時(shí),的值隨值的增大而增大,當(dāng)0時(shí),的值隨值的增大而減少。

(4)高中函數(shù)的二次函數(shù):

①一般式:(),對(duì)稱軸是

頂點(diǎn)是;

②頂點(diǎn)式:(),對(duì)稱軸是頂點(diǎn)是;

③交點(diǎn)式:(),其中(),()是拋物線與x軸的交點(diǎn)

(5)高中函數(shù)的二次函數(shù)的性質(zhì)

①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。

隨時(shí),在對(duì)稱軸()左側(cè),值隨值的增大而減少;在對(duì)稱軸()右側(cè);的值值的增大而增大。當(dāng)時(shí),取得最小值時(shí),在對(duì)稱軸()左側(cè),值隨值的增大而增大;在對(duì)稱軸()右側(cè);的值值的增大而減少。當(dāng)時(shí),取得最大值高中函數(shù)的圖形的對(duì)稱

(1)軸對(duì)稱圖形:①如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形,這條直線叫做對(duì)稱軸。②軸對(duì)稱圖形上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)確定的線段被對(duì)稱軸垂直平分。

(2)中心對(duì)稱圖形:①在平面內(nèi),一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度,如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合,那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做他的對(duì)稱中心。②中心對(duì)稱圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱中心平分。

2012高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié):函數(shù)公式大全

9高中函數(shù)的圖形的對(duì)稱

(1)軸對(duì)稱圖形:①如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形,這條直線叫做對(duì)稱軸。②軸對(duì)稱圖形上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)確定的線段被對(duì)稱軸垂直平分。

(2)中心對(duì)稱圖形:①在平面內(nèi),一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度,如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合,那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做他的對(duì)稱中心。②中心對(duì)稱圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱中心平分

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