第一篇:初中2次函數(shù)知識點總結(jié)
導語:對初中2次函數(shù)知識點,同學們有必要進行總結(jié)。以下是初中2次函數(shù)知識點總結(jié),供大家閱讀。
I、定義與定義表達式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:y=ax^2+bx+c
(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
II、二次函數(shù)的三種表達式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
頂點式:y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h,k)]
交點式:y=a(x-x)(x-x)[僅限于與x軸有交點A(x,0)和B(x,0)的拋物線]
注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a
III、二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV、拋物線的性質(zhì)
1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2、拋物線有一個頂點P,坐標為:P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時,P在x軸上。
3、二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。
4、一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5、常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0,c)
6、拋物線與x軸交點個數(shù)
Δ=b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個式子除以2a)
V、二次函數(shù)與一元二次方程
特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c,當y=0時,二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),即ax^2+bx+c=0
此時,函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1、二次函數(shù)y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點坐標及對稱軸如下表:
當h>0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到。
當h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
因此,研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點坐標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖象提供了方便。
2、拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點坐標是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)。
3、拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當x≤-b/2a時,y隨x的增大而減小;當x≥-b/2a時,y隨x的增大而增大。若a<0,當x≤-b/2a時,y隨x的增大而增大;當x≥-b/2a時,y隨x的增大而減小。
4、拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點:
(1)圖象與y軸一定相交,交點坐標為(0,c);
(2)當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點A(x,0)和B(x,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根。這兩點間的距離AB=|x-x|
當△=0。圖象與x軸只有一個交點;
當△<0。圖象與x軸沒有交點。當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數(shù)時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數(shù)時,都有y<0。
5、拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x=-b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。
頂點的橫坐標,是取得最值時的自變量值,頂點的縱坐標,是最值的取值。
6、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時,可設(shè)解析式為一般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0)。
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時,可設(shè)解析式為頂點式:y=a(x-h)^2+k(a≠0)。
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時,可設(shè)解析式為兩根式:y=a(x-x)(x-x)(a≠0)。
7、二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用,而形成較為復雜的綜合題目。因此,以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現(xiàn)。
第二篇:初中函數(shù)知識點總結(jié)
千承培訓學校
函數(shù)知識點總結(jié)(掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像)
(一)平面直角坐標系
1、定義:平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標系,簡稱為直角坐標系
2、各個象限內(nèi)點的特征: 第一象限:(+,+)點P(x,y),則x>0,y>0; 第二象限:(-,+)點P(x,y),則x<0,y>0; 第三象限:(-,-)點P(x,y),則x<0,y<0; 第四象限:(+,-)點P(x,y),則x>0,y<0;
3、坐標軸上點的坐標特征:
x軸上的點,縱坐標為零;y軸上的點,橫坐標為零;原點的坐標為(0 , 0)。兩坐標軸的點不屬于任何象限。
4、點的對稱特征:已知點P(m,n), 關(guān)于x軸的對稱點坐標是(m,-n), 橫坐標相同,縱坐標反號 關(guān)于y軸的對稱點坐標是(-m,n)縱坐標相同,橫坐標反號 關(guān)于原點的對稱點坐標是(-m,-n)橫,縱坐標都反號
5、平行于坐標軸的直線上的點的坐標特征:平行于x軸的直線上的任意兩點:縱坐標相等;平行于y軸的直線上的任意兩點:橫坐標相等。
6、各象限角平分線上的點的坐標特征:
第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等。
第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數(shù)。
7、點P(x,y)的幾何意義: 點P(x,y)到x軸的距離為 |y|,點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離為 |x|。點P(x,y)到坐標原點的距離為
8、兩點之間的距離:
X軸上兩點為A(x1,0)、B(x2,0)|AB|?|x2?x1|
x2?y2 Y軸上兩點為C(0,y1)、D(0,y2)|CD|已知A(x1,y1)、B(x2,y2)AB|=
?|y2?y1|
(x2?x1)2?(y2?y1)
29、中點坐標公式:已知A(x1,y1)、B(x2,y2)M為AB的中點
則:M=(x2?x1y?y1 , 2)2210、點的平移特征: 在平面直角坐標系中,將點(x,y)向右平移a個單位長度,可以得到對應(yīng)點(x-a,y); 將點(x,y)向左平移a個單位長度,可以得到對應(yīng)點(x+a,y); 將點(x,y)向上平移b個單位長度,可以得到對應(yīng)點(x,y+b); 將點(x,y)向下平移b個單位長度,可以得到對應(yīng)點(x,y-b)。
注意:對一個圖形進行平移,這個圖形上所有點的坐標都要發(fā)生相應(yīng)的變化;反過來,從圖形上點的坐標的加減變化,我們也可以看出對這個圖形進行了怎樣的平移。
(二)函數(shù)的基本知識: 基本概念
1、變量:在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量。
常量:在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量。
2、函數(shù):一般的,在一個變化過程中,如果有兩個變量x和y,并且對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與其對應(yīng),那么我們就把x稱為自變量,把y稱為因變量,y是x的函數(shù)。*判斷A是否為B的函數(shù),只要看B取值確定的時候,A是否有唯一確定的值與之對應(yīng)
3、定義域:一般的,一個函數(shù)的自變量允許取值的范圍,叫做這個函數(shù)的定義域。
4、確定函數(shù)定義域的方法:
(1)關(guān)系式為整式時,函數(shù)定義域為全體實數(shù);
(2)關(guān)系式含有分式時,分式的分母不等于零;
(3)關(guān)系式含有二次根式時,被開放方數(shù)大于等于零;
(4)關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時,底數(shù)不等于零;
(5)實際問題中,函數(shù)定義域還要和實際情況相符合,使之有意義。
5、函數(shù)的圖像 一般來說,對于一個函數(shù),如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標,那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形,就是這個函數(shù)的圖象.
6、函數(shù)解析式:用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。
7、描點法畫函數(shù)圖形的一般步驟
第一步:列表(表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值);
第二步:描點(在直角坐標系中,以自變量的值為橫坐標,相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標,描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點);
第三步:連線(按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來)。
8、函數(shù)的表示方法
列表法:一目了然,使用起來方便,但列出的對應(yīng)值是有限的,不易看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。
解析式法:簡單明了,能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系,但有些實際問題中的函數(shù)關(guān)系,不能用解析式表示。
圖象法:形象直觀,但只能近似地表達兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。
(三)正比例函數(shù)和一次函數(shù)
1、正比例函數(shù)及性質(zhì)
一般地,形如y=kx(k是常數(shù),k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù),其中k叫做比例系數(shù).注:正比例函數(shù)一般形式 y=kx(k不為零)① k不為零 ② x指數(shù)為1 ③ b取零 當k>0時,直線y=kx經(jīng)過三、一象限,從左向右上升,即隨x的增大y也增大;當k<0時,?直線y=kx經(jīng)過二、四象限,從左向右下降,即隨x增大y反而減小.(1)解析式:y=kx(k是常數(shù),k≠0)(2)必過點:(0,0)、(1,k)
(3)走向:k>0時,圖像經(jīng)過一、三象限;k<0時,?圖像經(jīng)過二、四象限(4)增減性:k>0,y隨x的增大而增大;k<0,y隨x增大而減小(5)傾斜度:|k|越大,越接近y軸;|k|越小,越接近x軸
2、一次函數(shù)及性質(zhì)
一般地,形如y=kx+b(k,b是常數(shù),k≠0),那么y叫做x的一次函數(shù).當b=0時,y=kx+b即y=kx,所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注:一次函數(shù)一般形式 y=kx+b(k不為零)① k不為零 ②x指數(shù)為1 ③ b取任意實數(shù)
一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(0,b)和(-
b,0)兩點的一條直線,我們稱它為直k線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.(當b>0時,向上平移;當b<0時,向下平移)
(1)解析式:y=kx+b(k、b是常數(shù),k?0)(2)必過點:(0,b)和(-
b,0)k(3)走向: k>0,圖象經(jīng)過第一、三象限;k<0,圖象經(jīng)過第二、四象限 b>0,圖象經(jīng)過第一、二象限;b<0,圖象經(jīng)過第三、四象限
?k?0?k?0直線經(jīng)過第一、二、三象限 ??直線經(jīng)過第一、三、四象限 ???b?0?b?0?k?0?k?0?直線經(jīng)過第一、二、四象限 ??直線經(jīng)過第二、三、四象限 ?b?0b?0??注:y=kx+b中的k,b的作用:
1、k決定著直線的變化趨勢
① k>0 直線從左向右是向上的 ② k<0 直線從左向右是向下的
2、b決定著直線與y軸的交點位置
① b>0 直線與y軸的正半軸相交 ② b<0 直線與y軸的負半軸相交
(4)增減性: k>0,y隨x的增大而增大;k<0,y隨x增大而減小.(5)傾斜度:|k|越大,圖象越接近于y軸;|k|越小,圖象越接近于x軸.(6)圖像的平移: 當b>0時,將直線y=kx的圖象向上平移b個單位;
當b<0時,將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.3、一次函數(shù)y=kx+b的圖象的畫法.根據(jù)幾何知識:經(jīng)過兩點能畫出一條直線,并且只能畫出一條直線,即兩點確定一條直線,所以畫一次函數(shù)的圖象時,只要先描出兩點,再連成直線即可.一般情況下:是先選取它與兩坐標軸的交點:(0,b),.即橫坐標或縱坐標為0的點.注:對于y=kx+b 而言,圖象共有以下四種情況:
1、k>0,b>0
2、k>0,b<0
3、k<0,b<0
4、k<0,b>0
4、直線y=kx+b(k≠0)與坐標軸的交點.
(1)直線y=kx與x軸、y軸的交點都是(0,0);
(2)直線y=kx+b與x軸交點坐標為
5、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟:
與 y軸交點坐標為(0,b).
(1)根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程;
(3)解方程得出未知系數(shù)的值;
(4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.6、兩條直線交點坐標的求法:
方法:聯(lián)立方程組求x、y 例題:已知兩直線y=x+6 與y=2x-4交于點P,求P點的坐標?
7、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系(1)兩條直線平行:k1=k2且b1?b2(2)兩直線相交:k1?k2(3)兩直線重合:k1=k2且b1=b2平行于軸(或重合)的直線記作
.特別地,軸記作直線
8、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系
一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線,它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到(當b>0時,向上平移;當b<0時,向下平移).9、一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系
任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a,b為常數(shù),a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為:當某個一次函數(shù)的值為0時,求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看,相當于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值.10、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系
任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0(a,b為常數(shù),a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:當一次函數(shù)值大(小)于0時,求自變量的取值范圍.11、一次函數(shù)與二元一次方程組
(1)以二元一次方程ax+by=c的解為坐標的點組成的圖象與一次函數(shù)y=?acx?的bb圖象相同.(2)二元一次方程組??a1x?b1y?c1ac的解可以看作是兩個一次函數(shù)y=?1x?1和
b1b1?a2x?b2y?c2y=?a2cx?2的圖象交點.b2b212、函數(shù)應(yīng)用問題(理論應(yīng)用 實際應(yīng)用)
(1)利用圖象解題 通過函數(shù)圖象獲取信息,并利用所獲取的信息解決簡單的實際問題.(2)經(jīng)營決策問題 函數(shù)建模的關(guān)鍵是將實際問題數(shù)學化,從而解決最佳方案,最佳策略等問題.建立一次函數(shù)模型解決實際問題,就是要從實際問題中抽象出兩個變量,再尋求出兩個變量之間的關(guān)系,構(gòu)建函數(shù)模型,從而利用數(shù)學知題.(四)反比例函數(shù)
一般地,如果兩個變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y=k/x(k為常數(shù),k≠0)的形式,那么稱y是x的反比例函數(shù)。
取值范圍: ① k ≠ 0;②在一般的情況下 , 自變量 x 的取值范圍可以是 不等于0的任意實數(shù);③函數(shù) y 的取值范圍也是任意非零實數(shù)。反比例函數(shù)的圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線
反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標軸相交(K≠0)。
反比例函數(shù)的性質(zhì):
1.當k>0時,圖象分別位于第一、三象限,同一個象限內(nèi),y隨x的增大而減小;當k<0時,圖象分別位于二、四象限,同一個象限內(nèi),y隨x的增大而增大。
2.k>0時,函數(shù)在x<0和 x>0上同為減函數(shù);k<0時,函數(shù)在x<0和x>0上同為增函數(shù)。
定義域為x≠0;值域為y≠0。
3.因為在y=k/x(k≠0)中,x不能為0,y也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交,也不可能與y軸相交。
4.在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點P,Q,過點P,Q分別作x軸,y軸的平行線,與坐標軸圍成的矩形面積為S1,S2,則S1=S2=|K| 5.反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,它有兩條對稱軸
y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分線),對稱中心是坐標原點。
6.若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點(m、n同號),那么A B兩點關(guān)于原點對稱。
7.設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n,要使它們有公共交點,則n2 +4k·m≥(不小于)0。(k/x=mx+n,即mx^2+nx-k=0)
8.反比例函數(shù)y=k/x的漸近線:x軸與y軸。
9.反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=x,y=-x軸對稱,并且關(guān)于原點中心對稱.(第5點的同義不同表述)
10.反比例上一點m向x、y軸分別做垂線,交于q、w,則矩形mwqo(o為原點)的面積為|k|
11.k值相等的反比例函數(shù)重合,k值不相等的反比例函數(shù)永不相交。
12.|k|越大,反比例函數(shù)的圖象離坐標軸的距離越遠。
(五)二次函數(shù)
二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。
一般式(已知圖像上三點或三對、的值,通常選擇一般式.)
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù)),頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2/4a);
頂點式(已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點式.)
y=a(x+m)^2+k(a≠0,a、m、k為常數(shù))或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù)),頂點坐標為(-m,k)或(h,k)對稱軸為x=-m或x=h,有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式;
交點式(已知圖像與軸的交點坐標、,通常選用交點式)
y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線] ;
拋物線的三要素:開口方向、對稱軸、頂點 頂點
拋物線有一個頂點P,坐標為P(-b/2a,4ac-b^2/4a),當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上。開口
二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。決定對稱軸位置的因素
一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。(左同右異)
c的大小決定拋物線當①時,∴拋物線,與與
軸交點的位置.與
軸有且只有一個交點(0,): ,與
軸交于負半軸.,拋物線經(jīng)過原點;②軸交于正半軸;③直線與拋物線的交點(1)(2)與(,軸與拋物線軸平行的直線).得交點為(0,).與拋物線
有且只有一個交點(3)拋物線與軸的交點 二次函數(shù)程根的判別式判定:
①有兩個交點
拋物線與軸相交;
拋物線與軸相切; 的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、,是對應(yīng)一元二次方的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的 ②有一個交點(頂點在軸上)③沒有交點
拋物線與軸相離.(4)平行于軸的直線與拋物線的交點同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時,兩交點的縱坐標相等,設(shè)縱坐標為,則橫坐標是個實數(shù)根.(5)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交的兩點,由方程組
①方程組有兩組不同的解時一個交點;③方程組無解時的解的數(shù)目來確定: 與與
有兩個交點;②方程組只有一組解時沒有交點.與
只有(6)拋物線與軸兩交點之間的距離:若拋物線,由于、是方程
與軸兩交點為的兩個根,故
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第三篇:初中函數(shù)知識點總結(jié)
一次函數(shù)
1、表達式:y=kx+b(k≠0)圖象呈一條直線
b2、與坐標軸交點:x軸:(?,0)k
y軸:(0,b)
3、系數(shù)k和b的意義:
① 當k>0時,y隨x的增大而增大,函數(shù)圖象成上坡趨勢且過一三象限
當k<0時,y隨x的增大而減小,函數(shù)圖象成下坡趨勢且過二四象限 ② 當b>0時,圖象與y軸交于正半軸,且圖象過一二象限
當b<0時,圖象與y軸交于負半軸,且圖象過三四象限
4、正比列函數(shù):當一次函數(shù)b=0時,該函數(shù)為正比列函數(shù),即表達式為: y=kx(k≠0),該函數(shù)圖象恒過原點
反比列函數(shù)
k(k?0)x2、圖象:雙曲線且與坐標軸沒有交點
3、系數(shù)k的意義:
① k>0時,圖象兩支在一三象限內(nèi),且在各個象限內(nèi)y隨x的增大而減小,圖象呈下坡趨勢
② k<0時,圖象兩支在二四象限內(nèi),且在各個象限內(nèi)y隨x的增大而增大,圖象呈上坡趨勢
4、圖象特點:在圖像上任意一點向坐標軸引垂線與坐標軸所圍成的矩形面積都
1、表達式:y?為k
二次函數(shù)
第四篇:初中九年級二次函數(shù)知識點總結(jié)
二次函數(shù)
I.定義與定義表達式 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系: y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,|a|還可以決定開口大小,|a|越大開口就越小,|a|越小開口就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數(shù)的三種表達式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
頂點式:y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P(h,k)]
交點式:y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線]III.二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x =-b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P,坐標為 P [-b/2a,(4ac-b^2)/4a ]。當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左; 當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。(即左同右異)
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于(0,c)
6.拋物線與x軸交點個數(shù) Δ= b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。Δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。Δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。
V.二次函數(shù)與一元二次方程 特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c,當y=0時,二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),即ax^2+bx+c=0 此時,函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。補充 畫拋物線時,應(yīng)先列表,再描點,最后連線。列表選取自變量x值時常以0為中心,選取便于計算、描點的整數(shù)值,描點連線時一定要用光滑曲線連接,并注意變化趨勢。說明:(1)任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)^2+k,拋物線的頂點坐標是(h,k),h=0時,拋物線y=ax^2+k的頂點在y軸上;當k=0時,拋物線a(x-h^)2的頂點在x軸上;當h=0且k=0時,拋物線y=ax2的頂點在原點
第五篇:高中數(shù)學函數(shù)知識點總結(jié)
高中數(shù)學函數(shù)知識點總結(jié)
(1)高中函數(shù)公式的變量:因變量,自變量。
在用圖象表示變量之間的關(guān)系時,通常用水平方向的數(shù)軸上的點自變量,用豎直方向的數(shù)軸上的點表示因變量。
(2)一次函數(shù):①若兩個變量,間的關(guān)系式可以表示成(為常數(shù),不等于0)的形式,則稱 是的一次函數(shù)。②當=0時,稱是的正比例函數(shù)。
(3)高中函數(shù)的一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
①把一個函數(shù)的自變量與對應(yīng)的因變量的值分別作為點的橫坐標與縱坐標,在直角坐標系內(nèi)描出它的對應(yīng)點,所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。
②正比例函數(shù)=的圖象是經(jīng)過原點的一條直線。
③在一次函數(shù)中,當0,O,則經(jīng)2、3、4象限;當0,0時,則經(jīng)1、2、4象限;當0,0時,則經(jīng)1、3、4象限;當0,0時,則經(jīng)1、2、3象限。
④當0時,的值隨值的增大而增大,當0時,的值隨值的增大而減少。
(4)高中函數(shù)的二次函數(shù):
①一般式:(),對稱軸是
頂點是;
②頂點式:(),對稱軸是頂點是;
③交點式:(),其中(),()是拋物線與x軸的交點
(5)高中函數(shù)的二次函數(shù)的性質(zhì)
①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。
②
隨
③
隨時,在對稱軸()左側(cè),值隨值的增大而減少;在對稱軸()右側(cè);的值值的增大而增大。當時,取得最小值時,在對稱軸()左側(cè),值隨值的增大而增大;在對稱軸()右側(cè);的值值的增大而減少。當時,取得最大值高中函數(shù)的圖形的對稱
(1)軸對稱圖形:①如果一個圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關(guān)于對稱軸對稱的兩點確定的線段被對稱軸垂直平分。
(2)中心對稱圖形:①在平面內(nèi),一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180度,如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應(yīng)點所連成的線段都被對稱中心平分。
2012高中數(shù)學知識點總結(jié):函數(shù)公式大全
9高中函數(shù)的圖形的對稱
(1)軸對稱圖形:①如果一個圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關(guān)于對稱軸對稱的兩點確定的線段被對稱軸垂直平分。
(2)中心對稱圖形:①在平面內(nèi),一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180度,如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應(yīng)點所連成的線段都被對稱中心平分