第一篇：八年級命題與證明(知識點典型例題,動態幾何問題)

第四章命題與證明

知識回顧：

1一般地，能明確指出概念含義或特征的句子，稱為定義。

（定義必須是嚴密的，諸如“一些”，“大概”，“差不多”等不能在定義中出現）

2.判斷一件事情的句子，叫做命題。

命題必須是一個完整的句子，且必須對某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判斷。正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題。（注意：錯誤的命題也是命題）

3.命題的構成：命題由題設（或條件）和結論兩部分構成。

命題表述的標準形式是：“如果??那么??”；或“若??，則??”

一般地，“如果（若）??”是題設部分，“那么（則）??”是結論部分。4公理與定理

公理與定理都是真命題．

經過人們長期實踐中總結出來的，并作為判定其他命題真假的依據，這樣的真命題叫公理．（公理是不需要證明的基本事實）

從公理或其他真命題出發，通過邏輯推理來判斷一個命題是正確的，并可進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫定理．證明：

根據題設的條件以及定義、公理、定理等，經過邏輯推理來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫證明．反證法與舉反例證明假命題

反證法的步驟為：先假設結論的反面是正確的，然后通過邏輯推理、推出與公理、已證的定理、定義或已知條件相矛盾，說明假設的不成立，從而得出原結論是正確的．若要證明一個命題為假命題，只要舉出一個反例來說明命題不成立即可．

但所舉的反例要簡單、明確、有說服力．

【典型例題】：

例3.判斷下列語句，是不是命題，如果是，請判斷它是真命題還是假命題。

（1）畫線段AB的中垂線。

（2）兩條直線相交，有幾個交點？

（3）如果a//b，b//c，那么a//c。

（4）兩個角不相等，則它們不是對頂角。

（5）已知一個數能被4整除，這個數一定能被8整除。

（6）同位角相等。

例1.判斷下列命題的真偽．如果是假命題，請舉出一個反例．

①若a>b，則

1a?1

b

②兩個銳角的和是個銳角

③同位角相等，兩直線平行

④一個角的補角大于這個角

解：①假命題．比如當a＝2，b＝－3時，就有1

2??1

3．②假命題．比如30°和80°均為銳角，但30°+80°>90°

③真命題．

④假命題．比如：130°的補角是70°，但70°<130°

（注：舉反例說明命題為假只需舉一個反例即可）

例2.下列各命題中是假命題的是（）A.推理過程叫做證明B.定理都是命題

C.命題都是公理D.公理都是命題 解：C

例6.已知：（如圖）MN//PQ，AC⊥PQ，BD、AC相交于點E，且DE＝2AB．

求證：∠DBC＝

3∠ABC．

MDAN

Q

C B

證明：取DE的中點G，連結AG

∵AC⊥PQ MN//PQ（已知）

∴∠CAD＝90°（兩直線平行，同旁內角互補）又G為DE中點 ∴AG＝DG＝

2（直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半）DE．

∵DE＝2AB

∴AG=AB∴∠ABD＝∠AGB＝2∠ADG=2∠DBC（等腰三角形底角相等，與三角形外角定理）

∴∠DBC＝

∠ABC

例

7、反正法

1證明幾何量之間的關系

：已知：四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，EF?

2(AB?CD)。

求證：AB//CD。

證明：假設AB不平行于CD。如圖，連結AC，取AC的中點G，連結EG、FG。∵E、F、G分別是AD、BC、AC的中點，∴GE//CD，GE?∵AB不平行于CD，∴GE和GF不共線，GE、GF、EF組成一個三角形。∴GE?GF?EF① 但GE?GF?①與②矛盾。

2(AB?CD)?EF②

CD；GF//AB，GF?

12AB。

A

B

∴AB//CD2、證明“唯一性”問題

在幾何中需要證明符合某種條件的點、線、面只有一個時，稱為“唯一性”問題。

例3：過平面?上的點A的直線a??，求證：a是唯一的。證明：假設a不是唯一的，則過A至少還有一條直線b，b?? ∵a、b是相交直線，∴a、b可以確定一個平面?。設?和?相交于過點A的直線c。∵a??，b??，∴a?c，b?c。

這樣在平面?內，過點A就有兩條直線垂直于c，這與定理產生矛盾。所以，a是唯一的。

【練習題】

1.判斷下列命題是真還是假命題，簡要說明理由．

（1）同一個角的鄰補角是對頂角

（2）三條直線a，b，c，若a⊥b，c⊥b，則a//c

（3）若延長線段AB，延長射線CD后它們仍不相交，則這條線段與這條射線互相平行（4）點到直線的距離即是點到直線的垂線段（5）若同旁內角不互補，則這兩條直線不平行（6）推論是真命題

（7）是9的倍數的數，它一定也是3的倍數（8）若一個數能被5整除，則它一定也能被10整除（9）只有開方開不盡的式子才是二次根式（10）當m≥0時，解不等式mx≥n，得到解集x?

nm

6.如圖，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD＝AC求證：∠B＝2∠C．

BDC

*8.如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，BE＝CE，過點E作GH⊥AD，交AC、以及AD、AB的延長線于H、F、G．

求證：AC＝2BG+AB

A

BDHF

GC

1.（1）√（2）√（3）×（4）×（5）√

（6）√（7）√（8）×（9）×（10）×，理由略

6.提示：延長AB到點E，使BE＝BD，連結ED，證明△AED?△ACD8.提示：過B作BN//AC，證明△AGH為等腰三角形，則BG＝BN又證明△BNE?△CHE，∴BN＝HC＝BG

∴AC＝AH+HC＝AB+BG+HC＝AB+2BG

八年級下學期幾何動態問題

1.已知：等邊三角形ABC的邊長為4厘米，長為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點運動（運動開始時，點M與點A重合，點N到達點B時運動終止），過點M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點，線段MN運動的時間為t秒．

（1）線段MN在運動的過程中，t為何值時，四邊形MNQP恰為矩形？并求出該矩形的面積；

（2）線段MN在運動的過程中，四邊形MNQP的面積為S，運動的時間為t．求四邊形MNQP的面積S隨運動時間t變化的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

2.如圖，在Rt△ABC中，?A?90?，AB?6，AC?8，D，E分別是邊AB，AC的中點，點P從點D出發沿DE方向運動，過點P作PQ?BC于Q，過點Q作QR∥BA交

AC于

R，當點Q與點C重合時，點P停止運動．設BQ?x，QR?y．

B

A M N

（1）求點D到BC的距離DH的長；

（2）求y關于x的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

x的（3）是否存在點P，使△PQR為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的A

C

H Q

值；若不存在，請說明理由．

3.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。動點P從點D出發，沿射線DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動。設運動的時間為t（秒）。

（1）設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；

（2）當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？

（3）是否存在時刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。

4.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，BC?10，梯形的高為4．動點M從B點出發沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．設運動的時間為t（秒）．

B

M

C

（1）當MN∥AB時，求t的值；

（2）試探究：t為何值時，△MNC為等腰三角形．

第二篇：八年級數學下冊 幾何證明初步知識點

第十一章 幾何證明初步知識點整理

1.定義：用來說明一個名詞含義的語句叫做定義.2.命題：對事情進行判斷的語句叫做命題.每個命題都由條件和結論兩部分組成.條件是已知事項,結論是由已知事項推斷出的事項.一般地,命題可以寫成“如果??,那么??”的形式,其中“如果”引出的部分是條件,“那么”引出的部分是結論.如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷,那么它就不是命題.例如,下列句子都不是命題:(1)你喜歡數學嗎?(2)作線段AB=CD.⑶清新的空氣；⑷不許講話。3.正確的命題稱為真命題,不正確的的命題稱為假命題.4.反例：要指出一個命題是假命題，只要能舉出一個例子，使它具備命題的條件，而不符合命題的結論就可以了。這種例子稱為反例。

5.公理：人類經過長期實踐后公認為正確的命題,作為判斷其他命題的依據。這些公認為正確的命題叫做公理。

證明:除了公理外,其它真命題的正確性都通過推理的方法證實.推理的過程稱為證明.定理:經過證明的真命題稱為定理.本套教材以下列基本事實作為公理： 1.兩點確定一條直線。

2.過直線外一點可以作且只能作一條直線與已知直線平行。3.兩直線平行,同位角相等。

4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。5.判斷三角形全等的方法：SAS ASA SSS。6.全等三角形的對應角相等，對應邊相等。

7.在等式或不等式中,一個量可以用它的等量來代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,這一性質也看作公理,稱為“等量代換”.判斷：

所有的命題都是公理。所有的真命題都是定理。所有的定理是真命題。所有的公理是真命題。

6.在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題。把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。Eg:(1)兩條直線平行，內錯角相等．

(2)如果兩個實數相等，那么它們的平方相等．(3)如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等．(4)全等三角形的對應角相等．

注意: 一個命題是真命題,它的逆命題卻不一定是真命題.如果一個定理的逆命題也是真命題，那么這個逆命題就是原來定理的逆定理！（勾股定理和它的逆定理）

7.三角形內角和定理：三角形三個角的內角和等于180° 推論一：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。推論二：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內角。8.直角三角形的兩個銳角互余。有兩角互余的三角形是直角三角形。三角形的外角和等于360°。

9.反證法：先提出與命題的結論相反的假設,推出矛盾,從而證明命題成立.這種證明的方法叫做反證法.反證法的步驟：否定結論—推出矛盾—肯定結論 Eg:

1、“a＜b”的反面應是（）（A）a≠＞b（B）a ＞b（C）a=b（D）a=b或a ＞b

2、用反證法證明命題“三角形中最多有一個是直角”時，應如何假設？ ___________________________________

3、寫出下列各結論的反面：

（1）a//b（2）a≥0（3）b是正數（4）a⊥b(5)至多有一個（6）至少有一個 常用的互為否定的表述方式：

都是——不都是；大于——不大于；至少有一個——一個也沒有；至少有三個——至多有兩個；至少有n個——至多有(n-1)個；至多有一個——至少有兩個

第三篇：命題與證明的知識點總結

命題與證明的知識點總結（湘教版）

一、知識結構梳理

1．定義：

（1）概念①；（2）分類

2．命題② 假命題（可通過來說明）

（3的形式。

命題與證明

（4）互逆命題（1）公理：

（2）定理：3.公理與定理

（1）概念：4.證明①理解題意，畫出

（2）證明命題的一般步驟②寫出已知，③寫出

（3）反證法

二、知識點歸類

知識點定義的概念對于一個概念特征性質的描述叫做這個概念的定義。如：“兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離”是“兩點之間的距離”的定義。

注意：定義必須嚴密的，一般避免使用含糊不清的語言，例如“一些”、“大概”、“差不多”

等不能在定義中出現。

例1 在下列橫線上，填寫適當的概念：

（1）連結三角形兩邊中點的線段叫作三角形的；

（2）能夠完全重合的兩個圖形叫做；

（3）兩組對邊分別平行的四邊形叫做；

例2 敘述概念的定義

（1）數軸；（2）等腰三角形

知識點命題

知識點一命題的概念

敘述一件事情的句子（陳述句），要么是真的，要么是假的，那么稱這個陳述句是一個命 如“你是一個學生”、“我們所使用是教科書是湘教版的”等。

注意：（1）命題必須是一個完整的句子。

（2）這個句子必須對某事情作出肯定或者否定的判斷，二者缺一不可。

例 下列句子中不是命題的是()

A 明天可能下雨B 臺灣是中國不可分割的部分

C 直角都相等D 中國是2008年奧運會的舉辦國

知識點二真命題與假命題

如果一個命題敘述的事情是真的，那么稱它是真命題；如果一個命題敘述的事情是假的，那么稱它是假命題

注意：真、假命題的區別就在于其是否是正確的，在判斷命題的真假時，要注意把握這點。例 下列命題中的真命題是（）

A 銳角大于它的余角B 銳角大于它的補角

C 鈍角大于它的補角D 銳角與鈍角等于平角

知識點三命題的結構

每個命題都有條件和結論兩部分組成。條件是已知的事項，結論是由已知事項推斷出的事項。一般地，命題都可以寫出“如果------，那么-------”的形式。有的命題表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以寫成這種形式。如：“對頂角相等”，改寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”。

例 把下列命題改寫成“如果------，那么-------”的形式，并指出條件與結論。

1、同角的余角相等

2、兩點確定一條直線

知識點四證明及互逆命題的定義

1、從一個命題的條件出發，通過講道理（推理），得出它的結論成立，這個過程叫作證明。注意：證明一個命題是假命題的方法是舉反例，即找出一個例子，它符合命題條件，但它不滿足命題的結論，從而判斷這個命題是假命題。

2、一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，這兩個命題稱為互逆的命題，其中的一個命題叫作另一個命題的逆命題。

注意：一個命題為真不能保證它的逆命題為真，逆命題是否為真，需要具體問題具體分析。例 說出下列命題的逆命題，并指出它們的真假。

（1）直角三角形的兩銳角互余；（2）全等三角形的對應角相等。

公理與定理

知識點一公理與定理

數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它們作為判斷其它命題真假的原始依據，這樣的真命題叫做公理。

以基本定義和公理作為推理的出發點，去判斷其他命題的真假，已經判斷為真的命題稱為定理。

注意：（1）公理是不需要證明的，它是判斷其他命題真假的依據，定理是需要證明；(2)定理都是真命題，但真命題不一定都是定理。

例 填空：（1）同位角相等，則兩直線；（2）平面內兩條不重合的直線的位置關系是；（3）四邊形是平行四邊形。

知識點二互逆定理

如果一個定理的逆命題也是定理，那么稱它是原來定理的逆定理，這兩個定理稱為互逆定理。

注意：每個命題都有逆命題，但并非所有的定理都有逆定理。如：“對頂角相等”就沒逆定理。

證明

知識點一證明的含義

從一個命題的條件出發，通過講道理（推理），得出它的結論成立，從而判定該命題為真，這個過程叫做證明。

注意：（1）證明一個命題時，首先要分清命題條件和結論，其次要從已知條件出發，運用定義、公理、定理進行推理，得出結論。

（2）證明的過程必須做到步步有據。

例.已知：如圖正方形ABCD中，E為CD邊上一點，F為BC延長線上一點，且CE＝CF

（1）求證：ΔBCE≌ΔDCF

（2）若∠FDC＝30°，求∠BEF的度數。

AD

BCF

知識點二反證法

從命題結論的反面出發，引出矛盾，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

反證法的關鍵在于反設所證命題的結論。適用范圍：證明一些命題，且正面證明有困難，情況多或復雜，而否定則比較簡單。

反證法證題步驟：（1）假設命題的結論不成立，即假設命題結論的反面成立；（2）從假設出發，經過推理，得出矛盾；（3）由矛盾判斷假設不正確，從而肯定命題的結論成立。例在 △ABC中，∠A、∠B、∠C是它的三個內角。

求證：在∠A、∠B、∠C中不可能有兩個直角。

三、鞏固訓練

一、填空

1.把命題“三邊對應相等的兩個三角形全等”寫成“如果??,那么??”的形式是________________________________________________________________________.222.命題“如果a?b ,那么a?b”的逆命題是________________________________.3.命題“三個角對應相等的兩個三角形全等”是一個______命題(填“真”或“假”).4.如圖,已知梯形ABCD中, AD∥BC, AD＝3,AB＝CD＝4, BC＝7,則∠B＝_______.5.用反證法證明“b1∥b2”時,應先假設_________.二、選擇題

1.下列語句中,不是命題的是（）

A.直角都等于90°B.面積相等的兩個三角形全等

C.互補的兩個角不相等D.作線段AB

2.下列命題是真命題的是（）

A.兩個等腰三角形全等B.等腰三角形底邊中點到兩腰距離相等

C.同位角相等D.兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等

3.下列條件中能得到平行線的是（）

①鄰補角的角平分線；②平行線內錯角的角平分線；③平行線同位角的平分線； ④平行線同旁內角的角平分線.A.①②B.②④C.②③D.④

4.下列命題的逆命題是真命題的是（）

A.兩直線平行同位角相等B.對頂角相等

C.若a?b,則a2?b2D.若(a?1)x?a?1,則x?

15.三角形中,到三邊距離相等的點是（）

A.三條高的交點B.三邊的中垂線的交點

C.三條角平分線的交點D.三條中線的交點

6.下列條件中，不能判定兩個直角三角形全等的是（）

A.兩條直角邊對應相等B.斜邊和一銳角對應相等

C.斜邊和一條直角邊對應相等D.面積相等

7.△ABC的三邊長a,b,c滿足關系式(a?b)(b?c)(c?a)?0，則這個三角形一定是（A.等腰三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.無法確定

8.如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，若EB的長為1，EC的長為2，那么正方形ABCD的面積是（）

三、判斷下列命題是真命題還是假命題,若是假命題,請舉一個反例說明.（1）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.（2）有兩個角是銳角的三角形是銳角三角形.）

第四篇：命題與證明的知識點總結

命題與證明的知識點總結（湘教版）

一、知識結構梳理

1．定義：

（1）概念

①

（2）分類

2．命題② 假命題（可通過

（3）形式：命題都可寫成的形式。

命題與證明（4）互逆命題

1）公理：

3.公理與定理

（2）定理：

（1）概念：

4.證明①理解題意，畫出

（2）證明命題的一般步驟②寫出已知，③寫出

（3）反正法

二、知識點歸類

知識點定義的概念對于一個概念特征性質的描述叫做這個概念的定義。如：“兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離”是“兩點之間的距離”的定義。

注意：定義必須嚴密的，一般避免使用含糊不清的語言，例如“一些”、“大概”、“差不多”

等不能在定義中出現。

例1 在下列橫線上，填寫適當的概念：

（1）連結三角形兩邊中點的線段叫作三角形的；

（2）能夠完全重合的兩個圖形叫做；

（3）兩組對邊分別平行的四邊形叫做；

例2 敘述概念的定義

（1）數軸；（2）等腰三角形

知識點命題

知識點一命題的概念

敘述一件事情的句子（陳述句），要么是真的，要么是假的，那么稱這個陳述句是一個命 如“你是一個學生”、“我們所使用是教科書是湘教版的”等。

注意：（1）命題必須是一個完整的句子。

（2）這個句子必須對某事情作出肯定或者否定的判斷，二者缺一不可。

例 下列句子中不是命題的是()

A 明天可能下雨B 臺灣是中國不可分割的部分

C 直角都相等D 中國是2008年奧運會的舉辦國

知識點二真命題與假命題

如果一個命題敘述的事情是真的，那么稱它是真命題；如果一個命題敘述的事情是假的，那么稱它是假命題

注意：真、假命題的區別就在于其是否是正確的，在判斷命題的真假時，要注意把握這點。例 下列命題中的真命題是（）

A 銳角大于它的余角B 銳角大于它的補角

C 鈍角大于它的補角D 銳角與鈍角等于平角

知識點三命題的結構

每個命題都有條件和結論兩部分組成。條件是已知的事項，結論是由已知事項推斷出的事項。一般地，命題都可以寫出“如果------，那么-------”的形式。有的命題表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以寫成這種形式。如：“對頂角相等”，改寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”。

例 把下列命題改寫成“如果------，那么-------”的形式，并指出條件與結論。

1、同角的余角相等

2、兩點確定一條直線

知識點四證明及互逆命題的定義

1、從一個命題的條件出發，通過講道理（推理），得出它的結論成立，這個過程叫作證明。注意：證明一個命題是假命題的方法是舉反例，即找出一個例子，它符合命題條件，但它不滿足命題的結論，從而判斷這個命題是假命題。

2、一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，這兩個命題稱為互逆的命題，其中的一個命題叫作另一個命題的逆命題。

注意：一個命題為真不能保證它的逆命題為真，逆命題是否為真，需要具體問題具體分析。例 說出下列命題的逆命題，并指出它們的真假。

（1）直角三角形的兩銳角互余；（2）全等三角形的對應角相等。

公理與定理

知識點一公理與定理

數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它們作為判斷其它命題真假的原始依據，這樣的真命題叫做公理。

以基本定義和公理作為推理的出發點，去判斷其他命題的真假，已經判斷為真的命題稱為定理。

注意：（1）公理是不需要證明的，它是判斷其他命題真假的依據，定理是需要證明；(2)定理都是真命題，但真命題不一定都是定理。

例 填空：（1）同位角相等，則兩直線；（2）平面內兩條不重合的直線的位置關系是；（3）四邊形是平行四邊形。

知識點二互逆定理

如果一個定理的逆命題也是定理，那么稱它是原來定理的逆定理，這兩個定理稱為互逆定理。

注意：每個命題都有逆命題，但并非所有的定理都有逆定理。如：“對頂角相等”就沒逆定理。

證明

知識點一證明的含義

從一個命題的條件出發，通過講道理（推理），得出它的結論成立，從而判定該命題為真，這個過程叫做證明。

注意：（1）證明一個命題時，首先要分清命題條件和結論，其次要從已知條件出發，運用定義、公理、定理進行推理，得出結論。

（2）證明的過程必須做到步步有據。

知識點二命題的證明

證明幾何命題的表述格式：（1）按題意畫出圖形；（2）分清命題的條件和結論，結合圖形，在“已知”中寫條件，在“求證”中寫出結論；（3）在“證明”中寫出推理過程。知識點三折疊問題

1、同旁，與其重疊或不重疊；顯然，“折”是過程，“疊”是結果。折疊，就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折180°，使它與另一部分在這條直線

2、折疊的性質：折疊不改變圖形的大小和形狀，即折疊部分在折疊前后是全等的圖形，滿足公理“軸反射”

知識點四反證法

從命題結論的反面出發，引出矛盾，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

反證法的關鍵在于反設所證命題的結論。適用范圍：證明一些命題，且正面證明有困難，情況多或復雜，而否定則比較簡單。

反證法證題步驟：（1）假設命題的結論不成立，即假設命題結論的反面成立；（2）從假設出發，經過推理，得出矛盾；（3）由矛盾判斷假設不正確，從而肯定命題的結論成立。例在 △ABC中，∠A、∠B、∠C是它的三個內角。

求證：在∠A、∠B、∠C中不可能有兩個直角。

第五篇：7.2定義與命題例題與講解(2013-2014學年北師大八年級上)

定義與命題

1．定義

對某些名稱或術語的含義加以描述，作出明確的規定，就是對名稱和術語下定義． 談重點下定義的注意事項

①在定義中，必須揭示出事物與其他事物的本質屬性的區別．②定義的雙重性：定義本身既可以當性質用，又可以當判定用．③語句必須通順、嚴格、準確，一般不能用“大約”“大概”“差不多”“左右”等含糊不清的詞語．要有利于人們對被定義的事物或名詞與其他事物或名詞區別．

【例1】 下列語句，屬于定義的是()．

A．兩點之間線段最短

B．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線

C．三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半

D．三人行則必有我師焉

解析：判斷是不是定義，關鍵看是否對名稱或術語的含義加以描述，而且作出了規定．很明顯，A，C，D沒有對名稱或術語作出描述，故應選B.答案：B

點技巧分清定義與命題

注意定義與命題的區分，作出判斷的是命題，對名稱或術語作出描述的是定義．

2．命題

(1)定義：判斷一件事情的句子，叫做命題．

(2)命題的組成結構：

①每個命題都是由條件和結論兩部分組成．條件是已知事項，結論是由已知事項推斷出的事項．命題一般寫成“如果??那么??”的形式．“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結論．

②有些命題沒有寫成“如果??那么??”的形式，條件和結論不明顯．對于這樣的命題，要經過分析才能找到條件和結論，也可以將它們改寫成“如果??那么??”的形式．命題的條件部分，有時也可用“已知??”或“若??”等形式表述．命題的結論部分，有時也可用“求證??”或“則??”等形式表述．

談重點改寫命題

命題的改寫不能是簡單地加上“如果”“那么”，而應當使改寫的命題和原來的命題內容不變，且語句通順完整，命題的條件、結論要清楚可見．有些命題條件和結論不一定只有一個，要注意區分．

【例2】 指出下列命題的條件和結論：①平行于同一直線的兩條直線互相平行；②若ab＝1，則a與b互為倒數；③同角的余角相等；④矩形的四個角都是直角．

分析：命題的條件是已知事項，結論是由已知事項推斷出的事項．命題一般寫成“如果??，那么??”的形式．“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結論． 解：①條件：兩條直線都和第三條直線平行，結論：這兩條直線互相平行． ②條件：ab＝1，結論：a與b互為倒數．

③條件：兩個角是同一個角的余角，結論：這兩個角相等．

④條件：一個四邊形是矩形，結論：這個四邊形的四個角都是直角．

點技巧分清條件和結論

“若??則??”形式的命題中“若”后面是條件，“則”后面是結論．

3．公理、定理、證明

(1)公理

公認的真命題稱為公理．

①公理是不需推理論證的真命題． ②公理可以作為推理論證定理及其他命題真假的依據． 常用的幾個公理：

①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．

②兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等． ③兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等．

④兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等．

⑤三邊對應相等的兩個三角形全等．

⑥全等三角形的對應邊相等、對應角相等．

其他公理：等式和不等式的有關性質，等量代換都可以看作公理．

(2)定理

有些命題的正確性是通過推理的方法證實的，這樣的真命題叫做定理．

①定理是經過推理論證的真命題，但真命題不一定都是定理．

②定理可以作為推理論證其他命題的依據．

(3)證明

推理的過程叫證明．推理必須做到步步有據，條條有理．

【例3】 下列說法正確的是()．

A．真命題都可以作為定理

B．公理不需要證明

C．定理不一定都要證明

D．證明只能根據定義、公理進行

解析：真命題并不都是定理，故選項A不正確；定理必須經過證明，故選項C不正確；證明可以根據定義、公理、定理進行，故選項D不正確；公理是公認的真命題，不需要證明，故選B.答案：B

點評：掌握公理、定理、命題之間的區別，明確其含義，是解決本題的關鍵．

4．命題及真假命題的判斷

(1)命題的判斷

判斷一個句子是否為命題，要根據命題的定義．

①命題的特征：一是必須為一個完整的句子；二是必須對某件事情做出肯定或否定的判斷，即具有明確的判斷性．如果一個句子對某一件事情沒有作出任何判斷，那么它就不是命題．

②命題并不是數學所獨有，凡是判斷某一件事情的正確或錯誤的語句都是命題．

③命題是陳述語句，其他形式的句子，如：疑問句、感嘆句、祈使句等都不是命題．如：“你愛好什么運動？”沒有作出判斷，這不是命題． 注意：錯誤的判斷也是命題，不能以正確與否來判斷是否為命題．

(2)真假命題的判斷

命題是一個判斷，這個判斷可能正確，也可能錯誤．因此可以將命題分為真命題和假命題．

①正確的命題稱為真命題．

②不正確的命題稱為假命題．

③真命題、假命題的判斷與比較：

要說明一個命題是假命題，通常可以舉出一個例子，使之具有命題的條件，而不具有命題的結論，這種例子稱為反例；要說明一個命題是真命題需根據公理和定理證明．

談重點判斷真假命題的方法

①如果題設成立，結論也一定成立，那么這樣的命題為真命題；②如果題設成立，但結論不成立，這樣的命題為假命題．

【例4－1】 下列句子中是命題的有__________(填序號)．①直角三角形中的兩個銳角互余．②正數都小于0.③如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1與∠2互補．④太陽不是行星．⑤

對頂角相等嗎？⑥作一個角等于已知角．

解析：判斷是否為命題，要根據命題的特征：一是必須為一個完整的句子；二是必須對某件事情做出肯定或否定的判斷．所以①②③是命題，它們都對事情作出了肯定回答；④是命題，它對事情作出了否定回答；⑤不是陳述語句；⑥只是描述了一個作圖的過程，并未作出判斷，不是命題．

答案：①②③④

【例4－2】 下列命題中，真命題是()．

A．若a·b＞0，則a＞0，b＞0B．若a·b＜0，則a＜0，b＜0

C．若a·b＝0，則a＝0，且b＝0D．若a·b＝0，則a＝0，或b＝0

解析：分析是否為真命題，需要分析各題設能否推出結論，從而利用排除法得出答案．由a·b＞0可得a，b同號，可能同為正，也可能同為負，所以A是假命題；a·b＜0可得a，b異號，所以B是假命題；a·b＝0可得a，b中必有一個字母的值為0，但不一定同時為零，所以C是假命題；若a·b＝0，則a＝0，或b＝0，或二者同時為0，所以D是真命題．故選

D.答案：D

【例4－3】 已知下列命題：①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；②等腰梯形的對角線相等；③對角線互相垂直的四邊形是菱形；④內錯角相等．

其中假命題有__________(填序號)．

解析：

答案：析規律巧判真假命題

命題是判斷事情的語句．若命題判斷的事情是正確的，則命題是真命題；反之，命題為假命題．

5．命題的組合命題是由條件和結論組成的，當條件成立，結論也成立時，該命題即為真命題．命題的組成就是通過選擇一定的條件，使結論成立，即組成真命題．

組合新的命題是考察命題的概念及有關知識的重要題型．該題型常見于對幾何的考查，一般是給出幾個單獨的論斷，根據有關知識內容結合圖形重新組合寫出正確的命題．

命題的條件和結論往往不是固定的，要使所組合的命題是正確的，要求必須理解掌握有關的知識內容．

點評：①命題組合時，條件可能不止一個，注意兩個條件的情況．②組合命題一般是幾何中的某一圖形的性質或者判定．

【例5－1】 如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個論斷：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE.請以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題__________．(用序號?????的形式寫出)

解析：答案不唯一，如：由AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，得到△ABD≌△ACE，則AD＝AE.所以①③④?②.答案：①③④?②

【例5－2】 對同一平面內的三條直線a，b，c，給出下列五個論斷：①a∥b；②b∥c；

③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中兩個論斷為條件，另一個論斷為結論，組成一個你認為正確的命題：__________(用序號表示)．

解析：答案不唯一．根據“如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行”，可得出：若①②，則④.答案：若①②，則④