第一篇：高中數(shù)學(xué)必修4平面向量知識(shí)點(diǎn)與典型例題總結(jié)(理).

平面向量

【基本概念與公式】 【任何時(shí)候?qū)懴蛄繒r(shí)都要帶箭頭】 1.向量:既有大小又有方向的量。記作:AB 或a。2.向量的模:向量的大小(或長度,記作:||AB 或||a。3.單位向量:長度為1的向量。若e 是單位向量,則||1e =。

4.零向量:長度為0的向量。記作:0。【0方向是任意的,且與任意向量平行】 5.平行向量(共線向量:方向相同或相反的向量。6.相等向量:長度和方向都相同的向量。

7.相反向量:長度相等,方向相反的向量。AB BA =-。8.三角形法則: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB-=(指向被減數(shù) 9.平行四邊形法則: 以,a b 為臨邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線分別為a b +,a b-。

10.共線定理://a b a b λ=?。當(dāng)0λ>時(shí),a b 與同向;當(dāng)0λ<時(shí),a b 與反向。11.基底:任意不共線的兩個(gè)向量稱為一組基底。

12.向量的模:若(,a x y =,則2||a x y =+22||a a =,2||(a b a b +=+ 13.數(shù)量積與夾角公式:||||cos a b a b θ?=?;cos ||||a b a b θ?=?

14.平行與垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+=

題型1.基本概念判斷正誤:(1共線向量就是在同一條直線上的向量。

(2若兩個(gè)向量不相等,則它們的終點(diǎn)不可能是同一點(diǎn)。(3與已知向量共線的單位向量是唯一的。

(4四邊形ABCD 是平行四邊形的條件是AB CD =。(5若AB CD =,則A、B、C、D 四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形。(6因?yàn)橄蛄烤褪怯邢蚓€段,所以數(shù)軸是向量。(7若a 與b 共線, b 與c 共線,則a 與c 共線。(8若ma mb =,則a b =。(9若ma na =,則m n =。

(10若a 與b 不共線,則a 與b 都不是零向量。(11若||||a b a b ?=?,則//a b。(12若||||a b a b +=-,則a b ⊥。題型2.向量的加減運(yùn)算

1.設(shè)a 表示“向東走8km ”, b 表示“向北走6km ”,則||a b +=。2.化簡(jiǎn)((AB MB BO BC OM ++++=。

3.已知||5OA =,||3OB =,則||AB 的最大值和最小值分別為、。4.已知AC AB AD 為與的和向量,且,AC a BD b ==,則AB = ,AD =。5.已知點(diǎn)C 在線段AB 上,且3

5AC AB =,則AC = BC ,AB = BC。題型3.向量的數(shù)乘運(yùn)算

1.計(jì)算:(13(2(a b a b +-+=(22(2533(232a b c a b c +---+-= 2.已知(1,4,(3,8a b =-=-,則1 32a b-=。

題型4.作圖法球向量的和

已知向量,a b ,如下圖,請(qǐng)做出向量132a b +和3 22a b-。a b 題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量

1.已知在ABC ?中,D 是BC 的中點(diǎn),請(qǐng)用向量AB AC ,表示AD。2.在平行四邊形ABCD 中,已知,AC a BD b ==,求AB AD 和。題型6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.已知(4,5AB =,(2,3A ,則點(diǎn)B 的坐標(biāo)是。2.已知(3,5PQ =--,(3,7P ,則點(diǎn)Q 的坐標(biāo)是。

3.若物體受三個(gè)力1(1,2F =,2(2,3F =-,3(1,4F =--,則合力的坐標(biāo)為。4.已知(3,4a =-,(5,2b =,求a b +,a b-,32a b-。

5.已知(1,2,(3,2A B ,向量(2,32a x x y =+--與AB 相等,求,x y 的值。6.已知(2,3AB =,(,BC m n =,(1,4CD =-,則DA =。

7.已知O 是坐標(biāo)原點(diǎn),(2,1,(4,8A B--,且30AB BC +=,求OC 的坐標(biāo)。題型7.判斷兩個(gè)向量能否作為一組基底

1.已知12,e e 是平面內(nèi)的一組基底,判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底: A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e--和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e-和

2.已知(3,4a =,能與a 構(gòu)成基底的是(A.34(,55 B.43(,55 C.34(,55--D.4(1,3--題型8.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)

1.已知O 是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A 在第二象限,||2OA =,150xOA ∠=,求OA 的坐標(biāo)。2.已知O 是原點(diǎn),點(diǎn)A 在第一象限,||43OA =60xOA ∠=,求OA 的坐標(biāo)。題型9.求數(shù)量積

1.已知||3,||4a b ==,且a 與b 的夾角為60,求(1a b ?,(2(a a b ?+,(31(2 a b b-?,(4(2(3a b a b-?+。2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(2a b ?,(3(2a a b ?+,(4(2(3a b a b-?+。題型10.求向量的夾角

1.已知||8,||3a b ==,12a b ?=,求a 與b 的夾角。

2.已知(3,1,(23,2a b ==-,求a 與b 的夾角。3.已知(1,0A ,(0,1B ,(2,5C ,求cos BAC ∠。題型11.求向量的模

1.已知||3,||4a b ==,且a 與b 的夾角為60,求(1||a b +,(2|23|a b-。2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(5||a b +,(61 ||2a b-。

3.已知||1||2a b ==，|32|3a b-=,求|3|a b +。題型12.求單位向量 【與a平行的單位向量:||a e a =±】

1.與(12,5a =平行的單位向量是。2.與1(1,2m =-平行的單位向量是。題型13.向量的平行與垂直 1.已知(6,2a =,(3,b m =-,當(dāng)m 為何值時(shí),(1//a b ?(2a b ⊥? 2.已知(1,2a =,(3,2b =-,(1k 為何值時(shí),向量ka b +與3a b-垂直?(2k 為何值時(shí),向量ka b +與3a b-平行? 3.已知a 是非零向量,a b a c ?=?,且b c ≠,求證:(a b c ⊥-。題型14.三點(diǎn)共線問題

1.已知(0,2A-,(2,2B ,(3,4C ,求證:，A B C 三點(diǎn)共線。

2.設(shè)2(5,28,3(2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,求證:A B D、、三點(diǎn)共線。

3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,則一定共線的三點(diǎn)是。4.已知(1,3A-,(8,1B-,若點(diǎn)(21,2C a a-+在直線AB 上,求a 的值。

5.已知四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(0,0O ,(3,4A ,(1,2B-,(1,1C ,是否存在常數(shù)t ,使O A t O B O C +=成立? 題型15.判斷多邊形的形狀

1.若3AB e =,5CD e =-,且||||AD BC =,則四邊形的形狀是。2.已知(1,0A ,(4,3B ,(2,4C ,(0,2D ,證明四邊形ABCD 是梯形。3.已知(2,1A-,(6,3B-,(0,5C ,求證:ABC ?是直角三角形。

4.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),(1,8,(4,1,(1,3OA OB OC =-=-=,求證:ABC ?是等腰直角三角形。

題型16.平面向量的綜合應(yīng)用

1.已知(1,0a =,(2,1b =,當(dāng)k 為何值時(shí),向量ka b-與3a b +平行? 2.已知(3,5a =,且a b ⊥,||2b =,求b 的坐標(biāo)。3.已知a b 與同向,(1,2b =,則10a b ?=,求a 的坐標(biāo)。3.已知(1,2a =,(3,1b =,(5,4c =,則c = a + b。

4.已知(5,10a =,(3,4b =--,(5,0c =,請(qǐng)將用向量,a b 表示向量c。5.已知(,3a m =,(2,1b =-,(1若a 與b 的夾角為鈍角,求m 的范圍;(2若a 與b 的夾角為銳角,求m 的范圍。6.已知(6,2a =,(3,b m =-,當(dāng)m 為何值時(shí),(1a 與b 的夾角為鈍角?(2a 與b 的夾角為銳角?

7.已知梯形ABCD 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,2A-,(3,4B ,(2,1D ,且//AB DC ,2AB CD =,求點(diǎn)C 的坐標(biāo)。

8.已知平行四邊形 ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(2,1，B(?1,3，C(3, 4，求第四個(gè)頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)。9.一航船以 5km/h 的速度向垂直于對(duì)岸方向行駛，航船實(shí)際航行方向與水流方向成 30 角，求 水流速度與船的實(shí)際速度。10.已知 ?ABC 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(3, 4，B(0, 0，C(c, 0，（1）若 AB ? AC ? 0，求 c 的值；（2）若 c ? 5，求 sin A 的值。【備用】 1.已知 | a |? 3,| b |? 4,| a ? b |? 5，求 | a ? b | 和向量 a, b 的夾角。2.已知 x ? a ? b，y ? 2a ? b，且 | a |?| b |? 1，a ? b，求 x, y 的夾角的余弦。1.已知 a ?(1,3, b ?(?2, ?1，則(3a ? 2b ?(2a ? 5b ?。4.已知兩向量 a ?(3, 4, b ?(2, ?1，求當(dāng) a ? xb與a ? b 垂直時(shí)的 x 的值。5.已知兩向量 a ?(1,3, b ?(2, ?，a與b 的夾角 ? 為銳角，求 ? 的范圍。變式：若 a ?(?, 2, b ?(?3,5，a與b 的夾角 ? 為鈍角，求 ? 的取值范圍。選擇、填空題的特殊方法： 1.代入驗(yàn)證法 例：已知向量 a ?(1,1, b ?(1, ?1, c ?(?1, ?，則2 c ?（1 3 A.? a ? b 2 2 1 3 B.? a ? b 2 2 3 1 C.a ? b 2 2 3 1 D.? a ? b 2 2）變式：已知 a ?(1, 2, b ?(?1,3, c ?(?1, 2，請(qǐng)用 a, b 表示 c。2.排除法 例：已知 M 是 ?ABC 的重心，則下列向量與 AB 共線的是（A.AM ? MB ? BC B.3 AM ? AC C.AB ? BC ? AC）D.AM ? BM ? CM 6

廣東省近八年高考試題-平面向量（理科）1.(2007年高考廣東卷第10小題 若向量 a、b 滿足| a |=| b |=1，a 與 b 的夾角為 120?，則 a a ? a b ? 2.(2008 年高考廣東卷第 3 小題 3.已知平面向量 a =（1，2），b =（－2，m），且 a ∥b，則 2 a + 3 b =（A.（－5，－10）B.（－4，－8）4.(2009 年高考廣東卷第 3 小題（x,1），b= 已知平面向量 a=，則向量 a ? b =（（－x, x 2）．）C.（－3，－6）D.（－2，－4））A平行于 x 軸 C.平行于 y 軸 B.平行于第一、三象限的角平分線 D.平行于第二、四象限的角平分線 ? ? ? ? ? ? c =(3,x滿足條件(8 a － b · c =30，b= 5.(2010 年高考廣東卷第 5 小題若向量 a =（1,1），（2,5），則x=(A．6 B．5 C．4 D．3 6.(2011 年高考廣東卷第 3 小題已知向量 a ?(1, 2, b

?(1,0, c ?(3, 4 ．若 ? 為實(shí)數(shù),(a ? ?b / / c, 則? ?(B.1 2 A． 1 4 C.1 D.2 7.(2012 年高考廣東卷第 3 小題 8．若向量 BA ?(2,3，CA ?(4,7，則 BC ?（A．(?2, ?4 B．(3, 4 C．(6,10）D．(?6, ?10 9.(2012 年高考廣東卷第 8 小題對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量 ? , ?，定義

? ? ? ? ??．若平面

? ?? ? ?? ?n ?向量 a, b 滿足 a ? b ? 0，a 與 b 的夾角 ? ? ? 0, ?，且

? ?和

? ?都在集合? | n ? Z ?中，則

? 4? ?2 ? b a? A． 1 2 B． 1 C． 3 2 D． 5 2 7 10.（2014 廣東省高考數(shù)學(xué)理科 12）已知向量 a ? ?1,0, ?1?則下列向量中 , 與 a 成 60 ? 夾角的是 A．（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）8

第二篇：高中數(shù)學(xué)平面向量的公式知識(shí)點(diǎn)

【摘要】“高中數(shù)學(xué)平面向量的公式知識(shí)點(diǎn)”數(shù)學(xué)公式講解是這門學(xué)科的要點(diǎn)，套用公式是最終的題解方法，希望本文可以為大家?guī)韼椭?/p>

定比分點(diǎn)

定比分點(diǎn)公式(向量P1P=λ?向量PP2)設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù) λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點(diǎn)向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式)我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式

三點(diǎn)共線定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線

三角形重心判斷式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心

[編輯本段]向量共線的重要條件

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb。

a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

[編輯本段]向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是 a?b=0。

a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.設(shè)a=(x，y)，b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。

向量加法的運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a;結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0 AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn)，指向被減”

a=(x,y)b=(x',y')則 a-b=(x-x',y-y').4、數(shù)乘向量

實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a同方向;當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a反方向;當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。

當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當(dāng)∣λ∣>1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;當(dāng)∣λ∣<1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。

數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律

結(jié)合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

向量對(duì)于數(shù)的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.數(shù)對(duì)于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π 定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量，記作a?b。若a、b不共線，則a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉;若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a?b=x?x'+y?y'。

向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

a?b=b?a(交換律);(λa)?b=λ(a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);向量的數(shù)量積的性質(zhì)

a?a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a?b=0。

|a?b|≤|a|?|b|。

向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c);例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。

2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a?b=a?c(a≠0)，推不出 b=c。

3、|a?b|≠|(zhì)a|?|b|

4、由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量積

定義：兩個(gè)向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個(gè)向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量積運(yùn)算律

a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號(hào);② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號(hào)。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號(hào);② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號(hào)。

第三篇：高中數(shù)學(xué)必修4平面向量復(fù)習(xí)5正弦定理余弦定理

5．5正弦定理、余弦定理

要點(diǎn)透視：

1．正弦定理有以下幾種變形，解題時(shí)要靈活運(yùn)用其變形公式．

（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

abc（2）sinA＝，sinB＝，sinC＝： 2R2R2R

（3）sinA：sinB：sinC＝a：b：c．

可以用來判斷三角形的形狀，其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化，如常把a(bǔ)，b，c換成2Rsin A，2Rsin B，2Rsin C來解題．

2．判斷三角形的形狀特征，必須從研究三角形的邊與邊關(guān)系，或角與角的關(guān)系入手，充分利用正弦定理與余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，由三角形的邊或角的代數(shù)運(yùn)算或三角運(yùn)算，找出邊與邊或角與角的關(guān)系，從而作出正確判斷．

3．要注意利用△ABC中 A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本關(guān)系式

B?CAsin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)=－sinA，sin＝cos等，進(jìn)行三角變換的運(yùn)2

2用．

4．應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，要分析和研究問題中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，應(yīng)選用正弦定理還是余弦定理進(jìn)行求解．

5．應(yīng)用解三角形知識(shí)解實(shí)際問題的解題步驟：

（1）根據(jù)題意畫出示意圖．

（2）確定實(shí)際問題所涉及的三角形，并搞清該三角形的已知元和末知元．

（3）選用正、余弦定理進(jìn)行求解，并注意運(yùn)算的正確性．

（4）給出答案．

活題精析：

例1．(2001年全國卷)已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長是AB＝2，BC＝6，CD=DA＝4，求四邊形ABCD的面積．

要點(diǎn)精析：本題主要考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，以及應(yīng)用三角形面積公式和余弦定理解三角形的方法，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決實(shí)際問題的能力．

解：如圖所示，連BD，四邊形ABCD的面積

11S=S?ABD?S?CDB=AB·AD·sinA+BC·CDsinC，2

21∵ A＋C=180°，∴ sin A= sin C，于是 S=(2×4＋4×6)·sin A=16sin A． 2

222在△ABD中，BD=AB＋AD－2AB·ADcosA＝20－16cosA．

在△CBD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcosC＝52－48cosC．

213又cosA=－cosC, ?cosA=－, ∵ A∈(0, π), ∴ A=π, sinA=.232

3∴ S=16×=8.2

例2．（2004春北京卷）在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)

邊長，已知a，b，c成等比數(shù)列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及bsinB的c值。

要點(diǎn)精析：（1）∵ a，b，c成等差數(shù)列，∴ b2=ac．

又a2－c2=ac－bc，∴ b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得

b2?c2?a21cosA==．∴ A=60°； 22bc

bsinA（2）解法1：在△ABC中，由正弦定理得sinB=，a

bsinBb2sin60?32∵ b=ac，∠A=60°，∴ ==sn60=． cca2

11解法2.在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB，∵ b2=ac，22

bsinB3∠A＝60°，∴ bcsinA＝b2 sinB，∴ ＝sinA＝.c2

例3．（2001年上海卷）已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，S是△ABC的面積，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的長度．

13要點(diǎn)精析：∵ S=absinC，∴sinc=，于是∠C=60°或∠C=120°． 22

又∵ c2＝a2+b2－2abcosC，當(dāng)∠C=60°時(shí)，c2＝a2＋b2－ab，c

當(dāng)∠C=120°時(shí)，c2=a2＋b2＋ab，c，∴ c

.練習(xí)題

一、選擇題

tanAa

2?1．在△ABC中，若，則△ABC是（）tanBb2

A．等腰（非直角）三角形B．直角（非等腰）三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

A?Ba?b?2．在△ABC中，tan，則三角形中（）2a?b

A．a(chǎn)＝b且c>2aB．c2=a2＋b2且a≠b

2cD．a(chǎn)=b或c2=a2+b2

3．為測(cè)某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的樓的樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，測(cè)得塔基B的俯角為45°，那么塔AB的高度是（）

33A．20(1+)mB．20(1+)m 32

C．20(1+)mD．30m

4．設(shè)α，β是鈍角三角形的兩個(gè)銳角，下列四個(gè)不等式中不正確的是（）

???1A．tanαtanβ<1B．sinβ<2C．cosβ>1D．tan(α+β)

5．已知銳角三角形的三邊長分別為2，3，x，則x的取值范圍是（）C．a(chǎn)=b=

A．1

C．0

56．△ABC的三邊分別為 2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3（m＞0），則最大內(nèi)角的度數(shù)為（）

A．150°B．120°C．90°D．135°

二、填空題：

a?b?c7．在△ABC中，已知A=60°，b=1，S△ABC=3，則 sinA?sinB?sinC

113??8．△ABC的三邊滿足：，則∠B＝ a?bb?ca?b?c

4129．在△ABC中，已知sinA=，sinB=，則sinC的值是.51

310．在△ABC中，BC邊上的中線長是ma，用三邊a，b，c表示ma，其公式是.三、解答題

11．設(shè)a，b，c是△ABC中A，B，C的對(duì)邊，當(dāng)m>0時(shí)，關(guān)于x的方程b(x2＋m)＋c(x2－m)－

ax=0有兩個(gè)相等實(shí)根，且sinCcosA－cosCsinA=0，試判斷△ABC的形狀。

12．已知⊙O的半徑為R，若它的內(nèi)接三角形ABC中，等式2R(sin2A－sin2C)=(2a－b)sinB成立，（1）求∠C的大小；

（2）求△ABC的面積S的最大值．

13．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．

（1）試寫出△ABC的面積S與邊長a的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)a等于多少時(shí)，S有最大值并求出最大值；

（3）當(dāng)a等于多少時(shí)，周長l有最小值并未出最小值．

14．在△ABC中，已知面積S＝a2－(b－c)2，且b＋c=8，求S的最大值．

??????CCCC?15．在△ABC中，m?(cos,sin)，n?(cos,?sin)，且m與n的夾角是． 22222

（1）求C；

73（2）已知c=，三角形面積 S＝3，求a+b。22

第四篇：高中數(shù)學(xué)有關(guān)平面向量的公式的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

定比分點(diǎn)

定比分點(diǎn)公式（向量P1P=λ?向量PP2）

設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù) λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分點(diǎn)向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式

三點(diǎn)共線定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線

三角形重心判斷式

在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心

向量共線的重要條件

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb。

a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是 a?b=0。

a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.設(shè)a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a；

結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0

AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn)，指向被減”

a=(x,y)b=(x',y')則 a-b=(x-x',y-y').4、數(shù)乘向量

實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a同方向；

當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a反方向；

當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。

當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。

注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當(dāng)∣λ∣＞1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；

當(dāng)∣λ∣＜1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。

數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律

結(jié)合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

向量對(duì)于數(shù)的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.數(shù)對(duì)于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量，記作a?b。若a、b不共線，則a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a?b=x?x'+y?y'。

向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

a?b=b?a（交換律）；

(λa)?b=λ(a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)；

（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

a?a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a?b=0。

|a?b|≤|a|?|b|。

向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。

2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a?b=a?c(a≠0)，推不出 b=c。

3、|a?b|≠|(zhì)a|?|b|

4、由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量積

定義：兩個(gè)向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個(gè)向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量積運(yùn)算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號(hào)；

② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號(hào)。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號(hào)；

② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號(hào)。

第五篇：高中數(shù)學(xué)必修4 第二章課例：平面向量的應(yīng)用舉例

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回味平面向量的章節(jié)導(dǎo)言——課例：平面向量的應(yīng)用舉例 1 說明

［1］《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：“高中數(shù)學(xué)課程是以模塊和

專題的形式呈現(xiàn)的.因此，教學(xué)中應(yīng)注意溝通各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，通過類比、聯(lián)想、知識(shí)的遷移和應(yīng)用等方式，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高解決問題的能力.例如，教學(xué)中要注重函數(shù)、方程、不等式的聯(lián)系；向量與三角恒等變形、向量與幾何、向量與代數(shù)的聯(lián)系；數(shù)與形的聯(lián)系??”“向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景??能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力.”

為了深入研究新課標(biāo)、新課程、新理念，筆者在上述理念的啟導(dǎo)下，在自己所在學(xué)校開設(shè)了一節(jié)公開課——平面向量應(yīng)用舉例（選自人教社必修4第二章），受到了其他教師的一致好評(píng).現(xiàn)對(duì)這節(jié)課的課堂教學(xué)過程簡(jiǎn)錄如下，并根據(jù)課后大家的點(diǎn)評(píng)以及個(gè)人的體會(huì)和看法做些分析，供大家參考，如有不妥之處敬請(qǐng)同行批評(píng)指正.2 教學(xué)過程簡(jiǎn)錄

2.1導(dǎo)言引入，設(shè)置懸念

教師：前面我們一起學(xué)習(xí)了向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無限.（學(xué)生笑了笑，并示意的點(diǎn)了點(diǎn)頭）

教師：今天我要帶領(lǐng)大家再一次來回味一下本章內(nèi)容的章節(jié)導(dǎo)言.(“哦！??”學(xué)生發(fā)出一陣詫異和期待的聲音)

教師：課本73頁平面向量的章節(jié)導(dǎo)言中有著這么兩段話：

（多媒體課件演示，以下不再注明）

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運(yùn)算（運(yùn)算律），從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系.向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用.教師：哪句話大家看后有特別深的體會(huì)啊？

學(xué)生：向量有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.學(xué)生：向量是溝通代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用.教師：是的.我們?cè)趯W(xué)習(xí)向量的線性運(yùn)算和坐標(biāo)表示的時(shí)候，就體會(huì)到了向量通過坐標(biāo)運(yùn)算可以把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題.今天我們要通過研究幾個(gè)具體的問題來進(jìn)一步認(rèn)識(shí)向量是溝通代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的一種工具.教師：首先我們先看看向量是怎么溝通代數(shù)的，下面大家請(qǐng)看屏幕這道題目.2.1深化導(dǎo)言，層層遞進(jìn)

_______________

例

1、證明：對(duì)于任意的a、b、c、d?R，恒有不等式(ac+bd)?(a22?b)(c22?d).2金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)

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（以一道不等式證明引起學(xué)生思考，學(xué)生紛紛動(dòng)手，巡視片刻，絕大部分學(xué)生采用作差比較.但從他們都是緊皺著眉頭看出證出這道題有困難.）

教師：不等式的右邊是兩個(gè)因式的乘積，大家能否看出每個(gè)因式“像什么”？比如a2?b“像”我們學(xué)過的哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)？（片刻，有些學(xué)生像領(lǐng)悟到了什2

么）

學(xué)生1：向量的模.（有些學(xué)生感到困惑）

學(xué)生2：（迫不及待地）應(yīng)該說是一個(gè)向量模的平方.????22教師：對(duì)！如果我們構(gòu)造個(gè)向量m?(a,b)，則a?b就可看作向量m模的平方.（學(xué)生都明白過來了，輕聲地說那c?d

?n?(c,d)模的平方.）22不就可以看作向量

教師：不錯(cuò)，大家把不等式的右邊看作是兩個(gè)向量模的平方的乘積，那么不等式的左邊又是什么呢？或者說像我們學(xué)習(xí)到的哪種模式？接下來要怎么證明請(qǐng)大家思考一下.??????

學(xué)生3：我覺得在構(gòu)造向量m,n后，不等式的左邊就可以看作是向量m,n數(shù)

???

量積的坐標(biāo)表示.設(shè)向量m,n的夾角為?，則有：

???m?n?ac?bd??.然

行放縮就可以得到結(jié)論了.（聽到他的表述，全班同學(xué)都發(fā)出贊許的聲音：“對(duì)哦！”）

（板書解題過程，略）

教師：這道題目如果純粹采用代數(shù)的方法去證明可能很困難，但是我們?cè)谶@里通過構(gòu)造法利用向量的數(shù)量積知識(shí)來處理，顯得比較簡(jiǎn)單和直觀，下面我們來看一個(gè)類似的變式題目.練習(xí)

1、求函數(shù)f(x)?

?最小值.（學(xué)生在沉思）

教師：能否用向量的方法去思考.（稍微點(diǎn)撥，學(xué)生恍然大悟）

??

學(xué)生4：構(gòu)造向量u?(x?1,1),v?(4?x,3)，那么函數(shù)f(x)就可以看作是向量??????u,v模的和，然后利用u?v?u?v就可求得f(x)的最小值為5.（聽到她如此流暢的表述，全班同學(xué)都投以贊許的目光，并發(fā)出嘖嘖的聲音表示向量在代數(shù)方面的應(yīng)用的確奇妙.）

教師：以上那兩個(gè)例題是說明向量在代數(shù)中的應(yīng)用，當(dāng)然以后我們學(xué)了其它知識(shí)也可用其它方法來做.接下來我們要來看看可用向量方法來解決平面幾何中的一些問題.例

2、平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.教師：前面我們學(xué)習(xí)過了，凡是涉及長度問題常常考慮向量的什么？

學(xué)生：向量的數(shù)量積.教師：不錯(cuò)！凡是涉及到向量的模，我們考慮它的數(shù)量積.那大家發(fā)現(xiàn)了什么沒有？

學(xué)生5：計(jì)算

????AC2????2????AC與DB22發(fā)現(xiàn) ?????AD2????????????2?(AB?AD)?AB?????????2AB?AD ????DB2????????????2????2????????2?(AB?AD)?AB?AD?2AB?AD

????AC?????DB2?????2(AB2????2?AD)

因此得出結(jié)論是：平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.教師：完全正確！同學(xué)們聽明白了沒有？

學(xué)生：摁.（學(xué)生們笑了笑）

教師：平面幾何經(jīng)常涉及距離（線段長度）、夾角問題，而平面向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的交角，因此我們可以用向量方法解決部分幾何問題.教師：從這個(gè)例題我們看到了解決幾何問題時(shí)，先用向量表示相應(yīng)的點(diǎn)、線段夾角等幾何元素；然后通過向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積來研究點(diǎn)、線段等元素之間的關(guān)系；最后再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，得到幾何問題的結(jié)論.下面我們共同來用向量的方法來解決另一個(gè)平面幾何中的問題.練

2、如圖2，已知四邊形ABCD為菱形，請(qǐng)用向量方法證明AC?BD.學(xué)生????????6：只需證出AC?DB?0即可.教師：那要怎么證明呢？ 學(xué)生????????????????????????6：因?yàn)锳C?AB?AD,DB?AB?AD,????????????????????????????2所以AC?DB?(AB?AD)?(AB?AD)?AB?因?yàn)????2????2ABCD是菱形，所以AB?AD,所以AB?AD?0.????????因此AC?DB?0,所以AC?BD.教師：看來向量在平面幾何的簡(jiǎn)單應(yīng)用同學(xué)們可以掌握了.那同學(xué)們，你們說平面向量的哪塊知識(shí)是溝通平面幾何的關(guān)鍵？

學(xué)生：平面向量的數(shù)量積.教師：不錯(cuò)，平面向量的數(shù)量積是一個(gè)非常重要的概念，利用它可以容易地證明平面幾何的許多命題，從而使幾何和向量有較好的聯(lián)系和溝通.因此我們

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還可以用向量知識(shí)可以證明或推導(dǎo)許多幾何定理和其他性質(zhì).學(xué)生：這么奇妙，原來向量這么有用.（學(xué)生都贊同地點(diǎn)了點(diǎn)頭）

教師：是的.那我們又要回到本章導(dǎo)言了，那你們說向量還溝通什么知識(shí)我們沒給出例子的？ 學(xué)生：三角函數(shù).教師：看來同學(xué)們都很期待嘛.教師：那接下來我們就高姿態(tài)的看看向量是如何

和三角緊密在一起的.例

3、如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)

為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點(diǎn)A(cos?,sin?),圖

3B(cos?,sin?),試用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示?AOB的余弦值.教師：前面我們剛提過涉及到夾角問題我們可用哪些相關(guān)知識(shí)來解決？

學(xué)生：向量的數(shù)量積.教師：完全正確!那誰來幫忙解答這題.學(xué)生

即

cos(???)?cos?cos??sin?sin?????????OA?OBcos?cos??sin?sin?7：cos?AOB??cos(???)?1?1OAOB.學(xué)生：太神奇了！這個(gè)公式能用嗎？

教師：當(dāng)然.這次我們發(fā)現(xiàn)了新大陸啊！這個(gè)公式可是溝通第二章與第三章的橋梁，把書翻到126頁，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生：就是剛才我們證明的這個(gè)公式.教師：對(duì)，我們把這個(gè)公式叫做差角的余弦公式.有了它，我們可以做很多工作，比如我們利用這個(gè)公式來算算cos15?.學(xué)生8：cos15??cos(45??30?)，4.教師：反應(yīng)很快嘛.教師：例3這個(gè)例子，主要是讓同學(xué)們體會(huì)向量在三角中的運(yùn)用，同時(shí)也為后面章節(jié)中兩角差的余弦公式的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備.比如根據(jù)差角的余弦公式可得到和角的余弦公式及差角與和角的正弦公式，同學(xué)們自己下去可自行探究.今天我們?cè)谶@里扯遠(yuǎn)了先暫時(shí)不提.2.3體驗(yàn)過程，完善認(rèn)知

教師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們談?wù)剬W(xué)習(xí)這節(jié)課的感受，究竟你獲得了哪些知識(shí)？ 學(xué)生5：向量是集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性.學(xué)生3：覺得向量數(shù)量積是一個(gè)很重要的概念.學(xué)生??7：我也覺得向量的數(shù)量積a?b是一個(gè)非常重要的概念，它是解決一些涉及距離、夾角等問題的一種有力工具.??

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教師：今天我們通過學(xué)習(xí)向量在代數(shù)、幾何、三角中的應(yīng)用，明白了“數(shù)學(xué)是有用的”吧！而且數(shù)學(xué)是自然的、清楚的.希望同學(xué)們能類比地學(xué)、聯(lián)系地學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)有個(gè)正確的認(rèn)識(shí).（教室響起一片熱烈的掌聲和笑聲）教學(xué)特色簡(jiǎn)評(píng)

文【1】指出：“數(shù)學(xué)的發(fā)展既有內(nèi)在的動(dòng)力，也有外在的動(dòng)力.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，要注重?cái)?shù)學(xué)的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系.”本節(jié)教學(xué)就是基于這點(diǎn)，使學(xué)生經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題、代數(shù)問題以及三角問題的過程，體會(huì)向量是處理幾何問題、代數(shù)問題等的工具，提高學(xué)生運(yùn)算能力和應(yīng)用能力.下面就簡(jiǎn)單地評(píng)說一下該課例的特色之處.3.1注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施之后的數(shù)學(xué)課，不再以“重點(diǎn)是否突出，內(nèi)容是否完成，技能是否掌握”為單一的知識(shí)目標(biāo)，也不再是以“板書是否清晰，語言是否流暢，用時(shí)是否合理”等片面的藝術(shù)價(jià)值觀來評(píng)價(jià)一堂課.它更注重過程性原則，是否讓學(xué)生真正地去“感受數(shù)學(xué)”；是否充分體現(xiàn)學(xué)生在發(fā)展中的主體地位，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿探索和創(chuàng)造等等.而這一切都是以發(fā)展學(xué)生的思維水平和能力為宗旨.這堂課采用了以“回味”的趣味性導(dǎo)入，至始至終引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用向量的意識(shí)，把學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)放在優(yōu)先地位，這充分體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的教學(xué)理念.比如例1與練1，學(xué)生很可能用不等式與函數(shù)的知識(shí)直接去處理，可是經(jīng)過引導(dǎo)可用向量方法來做，學(xué)生的思維馬上就可以發(fā)散出去.再比如把向量應(yīng)用在三角方面，得到了差角的余弦公式，有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過程和創(chuàng)造的激情.后來又說“比如根據(jù)差角的余弦公式可得到和角的余弦公式及差角與和角的正弦公式，同學(xué)們自己下去可自行探究.”這也有助于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和勇于探究的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.3.2強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化

高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探究活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的真正本質(zhì).很多學(xué)生學(xué)了向量只知道向量的外表形式即它可以線性運(yùn)算、坐標(biāo)表示，卻不知向量的真正內(nèi)涵與使用價(jià)值.因此根本不知道向量可用在哪里，更談不上對(duì)知識(shí)的承上啟下，因此感覺數(shù)學(xué)是索然無味的.本節(jié)課就克服了這點(diǎn)，用“回味”來吸引學(xué)生，一直努力揭示向量是解決幾何等其他問題的一種有力工具，以及培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用的意識(shí).例1這個(gè)題目通過不等式的證明引出向量的數(shù)量積，使學(xué)生達(dá)到了對(duì)數(shù)學(xué)概念的深刻理解，從而真正認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)的表達(dá)形式與本質(zhì)的統(tǒng)一.文【2】也指出：“平面向量的教學(xué)著眼于讓學(xué)生掌握處理幾何問題的代數(shù)方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.向量既是代數(shù)的對(duì)象，又是幾何的對(duì)象.作為代數(shù)對(duì)象，向量可以進(jìn)行運(yùn)算；作為幾何對(duì)象，向量有方向，可以刻畫直線、平面、切線等幾何對(duì)象.運(yùn)用向量刻畫幾何對(duì)象和幾何度量問題都是通過向量的代數(shù)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)的.”本節(jié)課的例2就做到了數(shù)與形的結(jié)合，形式與本質(zhì)的辨證統(tǒng)一.3.3教學(xué)過程生動(dòng)活潑、妙趣橫生

回味本章內(nèi)容的章節(jié)導(dǎo)言作為開場(chǎng)白，給學(xué)生留下了一個(gè)懸念.在慢慢給出向量的應(yīng)用時(shí)，學(xué)生才品味出這導(dǎo)言的深刻內(nèi)涵，知道了向量與幾何、向量與代數(shù)、向量與三角恒等變形的聯(lián)系是有血有肉、不容分割的.金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)wx.jtyjy.com

本堂課的設(shè)計(jì)還是具有比較先進(jìn)的教學(xué)理念和教學(xué)模式，教會(huì)學(xué)生注重聯(lián)系，領(lǐng)略思想；引導(dǎo)學(xué)生開闊視野，拓展思維.因此教學(xué)過程生動(dòng)活潑，處處是一片愉悅的景象.同時(shí)教學(xué)語言妙趣橫生，讓學(xué)生更加喜歡參與進(jìn)來.比如“看來同學(xué)們都很期待嘛”“那接下來我們就高姿態(tài)的看看向量是如何和三角緊密在一起的”“這次我們發(fā)現(xiàn)了新大陸啊！這個(gè)公式可是溝通第二章與第三章的橋梁.”等等都讓學(xué)生獲得對(duì)該學(xué)科學(xué)習(xí)的積極體驗(yàn)與情感.課后反思

4.1本課例滿意之處

在執(zhí)行新課改中，這一節(jié)誠然是對(duì)教師的一次嚴(yán)峻挑戰(zhàn)，因?yàn)樵诶辖滩闹袥]有出現(xiàn)過這節(jié)內(nèi)容而且很少關(guān)注向量的真正應(yīng)用.以往學(xué)生學(xué)了向量知識(shí)也很少懂得去聯(lián)系或溝通其它分支的知識(shí).本課例令我最滿意之處就是用“回味”章節(jié)導(dǎo)言，牢牢抓住“向量是溝通代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的一種工具”這根主線，逐一向?qū)W生介紹向量的應(yīng)用領(lǐng)域，讓學(xué)生獲得對(duì)該學(xué)科學(xué)習(xí)的積極體驗(yàn)與情感.本課例還令我滿意的就是整節(jié)課的構(gòu)思很注重?cái)?shù)學(xué)各分支的聯(lián)系，這樣有利提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識(shí).特別是例3用向量方法推導(dǎo)出差角的余弦公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用，使本節(jié)課達(dá)到了應(yīng)有的高潮，所以學(xué)生也對(duì)此評(píng)價(jià)很高.4.2課后再反思

平面向量及其運(yùn)算與空間向量及其運(yùn)算緊密聯(lián)系，與數(shù)及其運(yùn)算也直接相關(guān)，在其他學(xué)科（特別是物理）中也有廣泛應(yīng)用，而這節(jié)課卻忽略了這些.比如，平面向量的實(shí)際背景及基本概念就來源于物理學(xué)中的一些實(shí)例，如果課堂上提到向量在物理方面的應(yīng)用，這樣就能使知識(shí)“前呼后應(yīng)”、“融會(huì)貫通”.本節(jié)課還一個(gè)不足之處就是發(fā)現(xiàn)自己講得比較多，其實(shí)關(guān)鍵應(yīng)讓學(xué)生去感悟與自己思考.還有，其實(shí)我們更應(yīng)該教導(dǎo)學(xué)生怎么懂得去使用向量，尤其在哪些題目中使用向量的方法能使題目快速得以解答.正如課本的章節(jié)導(dǎo)言所說的那樣：“向量是溝通與研究解決代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的一種有力工具.”因此引導(dǎo)學(xué)生如何去使用向量來解決眾多的問題才是教本節(jié)《平面向量的應(yīng)用舉例》的真正目的！