第一篇：高中數學必修4教案 平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐標表示及運算

平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐標表示及運算

教學目的：

（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐標的概念；

（2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；

（3）能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.教學重點：平面向量基本定理.教學難點：平面向量基本定理的理解與應用.向量的坐標表示的理解及運算的準確性.教學過程： 復習引入：

??aa1．實數與向量的積：實數λ與向量的積是一個向量，記作：λ ??aa（1）|λ|=|λ|||；

?????aaaaa（2）λ>0時λ與方向相同；λ<0時λ與方向相反；λ=0時λ=0

2．運算定律

????????aaaaaaab結合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ

???3.向量共線定理

向量b與非零向量a共線則：有且只有一個非零實數λ，使b=λ

二、講解新課：

1．思考：（1）給定平面內兩個向量e1，e2，請你作出向量3e1+2e2，e1-2e2，（2）同一平面內的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示？

?b

?a.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的??aa任一向量，有且只有一對實數λ1，λ2使=λ1e1+λ2e2.2．探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；

?a(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被，e1，e2唯一確定的數量

3．講解范例：

例1 已知向量e1，e

2求作向量?2.5e1+3e2 例2 如圖，OA、OB 不共線,且

AP?t AB(t?R), 用 OA，OB 表示 OP.本題實質是 已知O、A、B三點不共線，P B O

A 若點 P 在直線 AB 上，則 OP?mOA?nOB, 且 m?n?1.4．練習1：

1.設e1、e2是同一平面內的兩個向量，則有(D)A.e1、e2一定平行

B.e1、e2的模相等

C.同一平面內的任一向量a都有a ＝λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知向量a ＝ e1-2e2，b ＝2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c ＝6e1-2e2的關系（Ｂ）

A.不共線

B.共線

C.相等

D.無法確定

３.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一組基底，且a ＝λ1e1+λ2e2，則a與e1不共線，a與e2不共線．

(填共線或不共線).???????aa?bOA?aOB?b5．向量的夾角:已知兩個非零向量、，作，則∠AOB＝，叫向量、???????b的夾角，當?=0°，a、b同向，當?=180°，a、b反向，當?=90°，a與b垂直，記作??a⊥b。

6．平面向量的坐標表示

（1）正交分解：把向量分解為兩個互相垂直的向量。

（2）思考：在平面直角坐標系中，每一個點都可以用一對有序實數表示，平面內的每一個向量，如何表示呢？

如圖，在直角坐標系內，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基

y底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、，使得a?xi?yj…………○1

我們把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作a?(x,y)…………○2

其中x的坐標，叫做a在x軸上y叫做a在y軸上的坐標，○

2式叫做向量的坐標表示.與a相等的向量的坐標也為(x,y).特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).如圖，在直角坐標平面內，以原點O為起點作OA?a，則點A的位置由a唯一確定.設OA?xi?yj，則向量OA的坐標(x,y)就是點A的坐標；反過來，點A的坐標(x,y)也就是向量OA的坐標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數唯一表示.7．講解范例：

例2．教材P96面的例2。

8．課堂練習：P100面第3題。

三、小結：（1）平面向量基本定理；

（2）平面向量的坐標的概念；

四、課后作業：《習案》作業二十一

第二篇：高中數學 第二章《平面向量的正交分解和坐標表示及運算》教案 新人教A版必修4

第5課時§2.3.2—§2.3.3平面向量的正交分解和坐標表示及運算

教學目的：

（1）理解平面向量的坐標的概念；（2）掌握平面向量的坐標運算；

（3）會根據向量的坐標，判斷向量是否共線.教學重點：平面向量的坐標運算

教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性.授課類型：新授課

教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程：

一、復習引入：

1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量ａ在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數量

二、講解新課： 1．平面向量的坐標表示

如圖，在直角坐標系內，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得 a?xi?yj…………○我們把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作 a?(x,y)…………○

2式叫做向其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，○量的坐標表示.與．a相等的向量的坐標也為．．．．．．．．．．(x,y).特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).??? 1

如圖，在直角坐標平面內，以原點O為起點作OA?a，則點A的位置由a唯一確定.設OA?xi?yj，則向量OA的坐標(x,y)就是點A的坐標；反過來，點A的坐標(x,y)也就是向量OA的坐標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數唯一表示.2．平面向量的坐標運算（1）若a?(x1,y1)a?b?(x1?x2,y1?y2)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.設基底為i、j，則a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)?(x1?x2)i?(y1?y2)j 即a?b?(x1?x2,y1?y2)，同理可得a?b?(x1?x2,y1?y2)（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.AB=OB?OA=(x2，y2)?(x1，y1)=(x2? x1，y2? y1)（3）若a?(x,y)和實數?，則?a?(?x,?y).實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.設基底為i、j，則?a??(xi?yj)??xi??yj，即?a?(?x,?y)

三、講解范例：

????例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐標.????????例2 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐標.例3 已知平面上三點的坐標分別為A(?2，1)，B(?1，3)，C(3，4)，求點D的坐標使這四點構成平行四邊形四個頂點.解：當平行四邊形為ABCD時，由AB?DC得D1=(2，2)當平行四邊形為ACDB時，得D2=(4，6)，當平行四邊形為DACB時，得D3=(?6，0)

例4已知三個力F1(3，4)，F2(2，?5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐標.解：由題設F1+F2+F3=0 得：(3，4)+(2，?5)+(x，y)=(0，0)?3?2?x?0?x??5即：? ∴? ∴F3(?5，1)4?5?y?0y?1??

四、課堂練習：

1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP?12MN，求P點的坐標

2．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，則AB?2BC=.3．已知：四點A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求證：四邊形ABCD是梯形.五、小結（略）

六、課后作業（略）

七、板書設計（略）

八、課后記：

第三篇：平面向量基本定理教案

§2.3.1平面向量基本定理教學設計

教學目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；（3）能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.教學重點：平面向量基本定理.教學難點：平面向量基本定理的理解與應用.授課類型：新授課 教學過程：

一、復習引入：

??1．實數與向量的積：實數λ與向量a的積是一個向量，記作：λa

??（1）|λa|=|λ||a|；

?????（2）λ>0時λa與a方向相同；λ<0時λa與a方向相反；λ=0時λa=0

2．運算定律

??結合律：λ(μa)=(λμ)a ；

???????分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

??3.向量共線定理 向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零??實數λ，使b=λa.二、講解新課：

1．提出問題：由平行四邊形想到：

（1）是不是每一個向量都可以分解成兩個不共線向量？且分解是唯一？（2）對于平面上兩個不共線向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它們來表示？

2．設e1，e2是不共線向量，a是平面內任一向量，e1 a

MC

N B e2

O OA=e1，OM=λ

1e2； OB=e2，ON=λe2

21OC=a=OM+ON=λ

e1+λe2，2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對

??于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；

?(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數量

3、兩個非零向量的夾角：

???????????? 如圖所示，已知兩個非零向量a,b，在平面上任取一點O，作OA?aO ,B?b，??則?AOB???0?????叫做向量a與b的夾角，ba BAO θbθ bAOB aa【說明】（1）研究兩個非零向量的夾角時，必須先將這兩個向量的起點移至同一個點；但是當兩個向量的終點重合時，表示向量的這兩條線段所成的?0,??范圍內的角也等于這兩個向量之間的夾角。（2）只有非零向量之間才存在夾角；

??（3）如果∠AOB=0°a與b同向；

????（4）如果∠AOB=90°，我們就說向量a與b垂直，記作：a?b；

??（5）如果∠AOB=180°a與b反向。

三、講解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量?2.5e1+3e2.作法：見教材

四、課堂練習：

1.設e1、e2是同一平面內的兩個向量，則有()A.e1、e2一定平行

e2e1B.e1、e2的模相等

C.同一平面內的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c =6e1-2e2的關系

A.不共線 B.共線 C.相等 D.無法確定

3.已知向量e1、e2不共線，實數x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2

五、小結：平面向量基本定理，其實質在于：同一平面內任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合．

六、課后作業：課本：101頁1,2 板書設計：略

第四篇：《平面向量基本定理》教案

一、教學目標：

1.知識與技能：

了解平面向量基本定理及其意義, 理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示；能夠在具體問題中適當地選取基底,使其他向量都能夠用基底來表示。

2.過程與方法：

讓學生經歷平面向量基本定理的探索與發現的形成過程,體會由特殊到一般和數形結合的數學思想，初步掌握應用平面向量基本定理分解向量的方法，培養學生分析問題與解決問題的能力。

3.情感、態度和價值觀

通過對平面向量基本定理的學習,激發學生的學習興趣,調動學習積極性,增強學生向量的應用意識,并培養學生合作交流的意識及積極探索勇于發現的學習品質.二、教學重點：平面向量基本定理.三、教學難點：平面向量基本定理的理解與應用.四、教學方法：探究發現、講練結合五、授課類型：新授課

六、教 具：電子白板、黑板和課件

七、教學過程：

（一）情境引課，板書課題

由導彈的發射情境，引出物理中矢量的分解，進而探究我們數學中的向量是不是也可以沿兩個不同方向的向量進行分解呢？

（二）復習鋪路，漸進新課

在共線向量定理的復習中，自然地、漸進地融入到平面向量基本定理的師生互動合作的探究與發現中去，感受著從特殊到一般、分類討論和數形結合的數學思想碰撞的火花，體驗著學習的快樂。

（三）歸納總結，形成定理

讓學生在發現學習的過程中歸納總結出平面向量基本定理，并給出基底的定義。

（四）反思定理，解讀要點

反思平面向量基本定理的實質即向量分解，思考基底的不共線、不惟一和非零性及實數對的存在性和唯一性。

（五）跟蹤練習，反饋測試

及時跟蹤練習，反饋測試定理的理解程度。

（六）講練結合，鞏固理解

即講即練定理的應用，講練結合，進一步鞏固理解平面向量基本定理。

（七）夾角概念，順勢得出

不共線向量的不同方向的位置關系怎么表示，夾角概念順勢得出。然后數形結合，講清本質：夾角共起點。再結合例題鞏固加深。

（八）課堂小結，畫龍點睛

回顧本節的學習過程，小結學習要點及數學思想方法，老師的“教 ”與學生的“學”渾然一體，一氣呵成。

（九）作業布置，回味思考。

布置課后作業，檢驗教學效果。回味思考，更加理解定理的實質。

七、板書設計：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數，使

.2.基底：

(1)不共線向量

叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；

(2)基底：不共線，不唯一，非零

(3)基底給定，分解形式唯一，實數對

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，實數對

可同可異。

例1 例2

3.夾角

：

（1）兩向量共起點；

（2）夾角范圍：

例3

4.小結

5.作業

第五篇：平面向量的坐標運算教案

“平面向量的坐標運算”教學方案

教學目標：

1.知識與技能：

理解平面向量坐標的概念，掌握平面向量坐標的運算。2.過程與方法：

在對平面向量坐標表示及坐標運算的學習過程中使學生的演繹、歸納、猜想、類比的能力得到發展，利用圖形解決問題，也讓學生體會到數形結合的思想方法解決問題的能力的重要性。3.情感、態度與價值觀：

通過本節課的學習，使學生感受到數學與實際生產、生活的密切聯系，體會客觀世界中事物之間普遍聯系的辯證唯物主義觀點。教學重點：

平面向量的坐標表示及坐標運算。教學難點：

平面向量坐標表示的意義。教學方法：

結合本節課的目標要求、重難點的確定以及學生實際思維水平，教學設計中采取啟發引導、類比歸納、合作探究、實踐操作等教學方法。教學手段：

投影儀、多媒體軟件 教學過程 1.情境創設

教師借助多媒體動畫演示人站在高處拋擲硬物的過程作為本節課的問題情境引入課題，引導學生注意觀察硬物下落軌跡，提出問題：結合同學們的生活常識及物理學知識，想一想硬物的速度可做怎樣的分解？

學生回答：速度可按豎直和水平兩個方向進行分解

設計目的：情境與生活聯系，激發學生學習興趣，同時為下面展開的知識做

好鋪墊。

2.展開探究

問題一：平面向量的基本定理內容是什么？ 教師請一學生回答，同時投影出示其內容。問題二：向量能不能象平面坐標系中點一樣給出坐標表示呢？我們如何表示更加

合理呢？

組織學生談論，給出各種想法，教師做點評歸納。投影展示：將一任意向量a置于直角坐標系中，給出向量的起點、終點坐標，并 提出問題 問題三：既然向量的起點和終點的坐標是確定的，那么向量也可以用一對實數來表示嗎？

設計目的：此問題引發學生聯想，對平面向量坐標表示方法具有指導性作用。教師講授：在直角坐標系內，我們分別取與 x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x,y，使得a=xi+yj ,我們把 叫做向量a的（直角）坐標，記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標,y叫做a在y軸上的坐標，(x,y)式叫做向量的坐標表示。

3.深化理解

一.平面向量坐標表示的的理解 提出問題：

(1)、如果以原點O作為起點作一向量OA=a（投影動畫同步演示），那么點A的位置是否可以唯一確定呢？

(2)、點A的坐標與向量OA的坐標之間有什么關系？(3)、兩個向量相等的充要條件利用坐標如何進行表示呢？

(4)、如果我們將一個平面向量在直角坐標系中作任意平移（不該表大小和方向），那么它的坐標會改變嗎？

組織學生以小組為單位展開探究交流活動，在討論后回答上述問題，可師生共同完善答案，歸納如下:

(1)、點A的位置受向量OA決定，唯一確定。

(2)、以原點O為起點的向量OA的坐標和終點A的坐標事完全相同的。(3)、兩個平面向量相等的充要條件是兩個向量的坐標相同。

(4)、在直角坐標系中平面向量在大小和方向不變的前提下自由移動，它們的坐標就是相同的。

設計目的：讓學生在合作探究中去主動學習，不僅鍛煉了解決問題的能力，還培養了探究協作的能力。

出示練習：用基底i、j分別表示向量a、b、c、d，并求出它們的坐標（圖略）。教師讓學生獨立完成，之后借助投影讓 個別學生展示完成情況，教師點評。設計目的：增進了所學新知的內化。

二、平面向量的坐標運算

提出問題：通過以上研究，我們了解了平面向量的坐標表示，向量是可以進行運

算的，如何運用所學的知識進行兩個向量的和與差的坐標表示及實數 與向量積的坐標表示呢？

投影出示：已知向量a=（s，t），b=(m,n)，求向量a+b，a-b, λa的坐標

學生展開討論，可能給出多種推導方法，教師要耐心給與點評，并做最后歸納。（1）向量加減法的坐標等于向量坐標的加減法。

（2）實數與向量的積的坐標等于是屬于向量坐標的積。

（3）一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點坐標 教師提問：設AB是表示向量a的有向線段，點A(s,t)，B(m,n)，那么向量a的坐標如何表示？

學生結合向量坐標運算可得出答案，a=(m-s,n-t)，教師強調

一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標。設計目的 ：此環節教師充當引導者，以學生為主體，讓學生在討論思考中享受成功的快樂。

4.例題剖析

例

1、已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求頂點D的坐標。

變式：已知平面上三點的坐標分別為A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4)，求點D的坐標，使這四點成為平行四邊形的四個頂點。

教師給學生充足時間獨立思考，適當時可提示作圖理解，而變式對學生來說

難度增大，要鼓勵學生大膽嘗試，獨立求解，并提示要考慮圖形的多種畫法。設計目的：通過例題和變式綜合考查學生對本節所學知識的理解和掌握程度，也促進學生應用知識解決問題的能力。

5.課堂小結

請學生對本節課內容作歸納，不足之處師生補充完善，最后教師作總結式說明。1.向量的坐標表示是向量的另一種表示形式，也可以稱之為向量的代數表示，其背景是平面向量的基本定理。

2.向量的坐標表示為我們進行向量的運算提供了方便。

3.向量的坐標表示使得我們借助數的運算對圖形的幾何性質展開研究，體現了數形結合思想方法的應用。

前面我們還學習了這留待我們下一 節再來研究。

6.布置作業（1）.課后習題

（2）如何運用向量坐標來表示和判定共線向量呢？讓學生預習下節內容。

7.板書設計

平面向量的坐標運算

1.平面向量的坐標

例1

變式 定義

解：

解：（1）

（2）

（3）

2.平面向量的坐標運算