第一篇：高中數(shù)學(xué)必修4平面向量復(fù)習(xí)5正弦定理余弦定理

5．5正弦定理、余弦定理

要點透視：

1．正弦定理有以下幾種變形，解題時要靈活運用其變形公式．

（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

abc（2）sinA＝，sinB＝，sinC＝： 2R2R2R

（3）sinA：sinB：sinC＝a：b：c．

可以用來判斷三角形的形狀，其主要功能是實現(xiàn)三角形中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化，如常把a，b，c換成2Rsin A，2Rsin B，2Rsin C來解題．

2．判斷三角形的形狀特征，必須從研究三角形的邊與邊關(guān)系，或角與角的關(guān)系入手，充分利用正弦定理與余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，由三角形的邊或角的代數(shù)運算或三角運算，找出邊與邊或角與角的關(guān)系，從而作出正確判斷．

3．要注意利用△ABC中 A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本關(guān)系式

B?CAsin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)=－sinA，sin＝cos等，進行三角變換的運2

2用．

4．應(yīng)用解三角形知識解決實際問題時，要分析和研究問題中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，應(yīng)選用正弦定理還是余弦定理進行求解．

5．應(yīng)用解三角形知識解實際問題的解題步驟：

（1）根據(jù)題意畫出示意圖．

（2）確定實際問題所涉及的三角形，并搞清該三角形的已知元和末知元．

（3）選用正、余弦定理進行求解，并注意運算的正確性．

（4）給出答案．

活題精析：

例1．(2001年全國卷)已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長是AB＝2，BC＝6，CD=DA＝4，求四邊形ABCD的面積．

要點精析：本題主要考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，以及應(yīng)用三角形面積公式和余弦定理解三角形的方法，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析、解決實際問題的能力．

解：如圖所示，連BD，四邊形ABCD的面積

11S=S?ABD?S?CDB=AB·AD·sinA+BC·CDsinC，2

21∵ A＋C=180°，∴ sin A= sin C，于是 S=(2×4＋4×6)·sin A=16sin A． 2

222在△ABD中，BD=AB＋AD－2AB·ADcosA＝20－16cosA．

在△CBD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcosC＝52－48cosC．

213又cosA=－cosC, ?cosA=－, ∵ A∈(0, π), ∴ A=π, sinA=.232

3∴ S=16×=8.2

例2．（2004春北京卷）在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對

邊長，已知a，b，c成等比數(shù)列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及bsinB的c值。

要點精析：（1）∵ a，b，c成等差數(shù)列，∴ b2=ac．

又a2－c2=ac－bc，∴ b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得

b2?c2?a21cosA==．∴ A=60°； 22bc

bsinA（2）解法1：在△ABC中，由正弦定理得sinB=，a

bsinBb2sin60?32∵ b=ac，∠A=60°，∴ ==sn60=． cca2

11解法2.在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB，∵ b2=ac，22

bsinB3∠A＝60°，∴ bcsinA＝b2 sinB，∴ ＝sinA＝.c2

例3．（2001年上海卷）已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊，S是△ABC的面積，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的長度．

13要點精析：∵ S=absinC，∴sinc=，于是∠C=60°或∠C=120°． 22

又∵ c2＝a2+b2－2abcosC，當(dāng)∠C=60°時，c2＝a2＋b2－ab，c

當(dāng)∠C=120°時，c2=a2＋b2＋ab，c，∴ c

.練習(xí)題

一、選擇題

tanAa

2?1．在△ABC中，若，則△ABC是（）tanBb2

A．等腰（非直角）三角形B．直角（非等腰）三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

A?Ba?b?2．在△ABC中，tan，則三角形中（）2a?b

A．a(chǎn)＝b且c>2aB．c2=a2＋b2且a≠b

2cD．a(chǎn)=b或c2=a2+b2

3．為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的樓的樓頂處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，測得塔基B的俯角為45°，那么塔AB的高度是（）

33A．20(1+)mB．20(1+)m 32

C．20(1+)mD．30m

4．設(shè)α，β是鈍角三角形的兩個銳角，下列四個不等式中不正確的是（）

???1A．tanαtanβ<1B．sinβ<2C．cosβ>1D．tan(α+β)

5．已知銳角三角形的三邊長分別為2，3，x，則x的取值范圍是（）C．a(chǎn)=b=

A．1

C．0

56．△ABC的三邊分別為 2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3（m＞0），則最大內(nèi)角的度數(shù)為（）

A．150°B．120°C．90°D．135°

二、填空題：

a?b?c7．在△ABC中，已知A=60°，b=1，S△ABC=3，則 sinA?sinB?sinC

113??8．△ABC的三邊滿足：，則∠B＝ a?bb?ca?b?c

4129．在△ABC中，已知sinA=，sinB=，則sinC的值是.51

310．在△ABC中，BC邊上的中線長是ma，用三邊a，b，c表示ma，其公式是.三、解答題

11．設(shè)a，b，c是△ABC中A，B，C的對邊，當(dāng)m>0時，關(guān)于x的方程b(x2＋m)＋c(x2－m)－

ax=0有兩個相等實根，且sinCcosA－cosCsinA=0，試判斷△ABC的形狀。

12．已知⊙O的半徑為R，若它的內(nèi)接三角形ABC中，等式2R(sin2A－sin2C)=(2a－b)sinB成立，（1）求∠C的大小；

（2）求△ABC的面積S的最大值．

13．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．

（1）試寫出△ABC的面積S與邊長a的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)a等于多少時，S有最大值并求出最大值；

（3）當(dāng)a等于多少時，周長l有最小值并未出最小值．

14．在△ABC中，已知面積S＝a2－(b－c)2，且b＋c=8，求S的最大值．

??????CCCC?15．在△ABC中，m?(cos,sin)，n?(cos,?sin)，且m與n的夾角是． 22222

（1）求C；

73（2）已知c=，三角形面積 S＝3，求a+b。22

第二篇：必修5教案1.1正弦定理余弦定理

教學(xué)設(shè)計示例（第一課時）

一、教學(xué)目標(biāo)

1．掌握正弦定理及其向量法推導(dǎo)過程；

2．掌握用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題．

二、教學(xué)重點正弦定理及其推導(dǎo)過程，正弦定理在三角形中的應(yīng)用；

教學(xué)難點正弦定理的向量法證明以及運用正弦定理解三角形時解的個數(shù)的判定．

三、教學(xué)準(zhǔn)備

直尺、投影儀．

四、教學(xué)過程

1．設(shè)置情境

師：初中我們已學(xué)過解直角三角形，請同學(xué)們回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系： 生：Rt?ABC中有a?b?c 22

2a?csinA

b?csinB

a?tanAb

A?B?90?

ab ?sinAsinB

師：對！利用直角三角形中的這些邊角關(guān)系對任給直角三角形的兩邊或一邊一角可以求出這個三角形的其他邊與其他角．

師：在直角三角形中，你能用其他的邊角表示斜邊嗎？

生：在直角三角形ABC中，c?abc。??sinAsinBsinC

師：這個式子在任意三角形中也是成立的，這就是我們今天要學(xué)的正弦定理（板書正弦定理）．

2．探索研究

（1）師：為了證明正弦定理（引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)向量的數(shù)量積），a?b?a?bcos?，式子的左邊與要證明的式子有相似之處嗎？你能否構(gòu)造一個可以用來證明的式子．

生：如圖，在銳角?ABC中，過A作單位向量j垂直于，則j與的夾角為90??A,j與的夾角為90??C。

由向量的加法可得

??

對上面向量等式兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算，得到

j?

AC?CB?j?AB

?90??90??C)

?90??A)

?asinC?csinA

同理，過點C作與垂直的單位向量j，可得

cb ?sinCsinB

∴abc ??sinAsinBsinC

師：當(dāng)?ABC為鈍角三角形時，設(shè)A?90?，如圖，過點A作與AC垂直的向量j，則j與的夾角為A?90?，j與的夾角為90??C，同樣可證得

abc ??sinAsinBsinC

師：課后同學(xué)考慮一下正弦定理還有沒有其它的方法證明？

師：請同學(xué)們觀察正弦定理，利用正弦定理可以解什么類型的三

角形問題？

生：已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角；已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的邊和角。

（2）例題分析

例1在?ABC中，已知c?10,A?45?,C?30?，求b（保留兩個有效數(shù)字）bc且B?180??(A?C)?105? ?sinBsinC

c?sinB10?sin105?∴b???19 sinCsin30?解：∵

例2在?ABC中，已知a?4,b?42,B?45?，求?A。abasinB1得sinA??? sinAsinBb2

∵?ABC中a?b∴A為銳角∴A?30? 解：由

例3在?ABC中，?B?45?,?C?60?,a?2(?1)，求?ABC的面積S。解：首先可證明：S?ABC?

這組結(jié)論可作公式使用。

其次求b邊 1111ah??absinC?bcsinA?acsinB。2222

?

?A?180??(B?C)?75?

∴由正弦定理，b?asinB?sinA2(3?1)(2)?4 ?2

∴S?ABC?11absinC??2(3?1)?4?()?6?23 222

3．演練反饋

（1）在?ABC中，一定成立的等式是（）

A．a(chǎn)sinA?bsinBB．a(chǎn)cosA?bcosB

C．a(chǎn)sinB?bsinAD．a(chǎn)cosB?bcosA

（2）在?ABC中，若a

Acos2?bBcos2?cCcos2，則?ABC是（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．等邊三有形

（3）在任一?ABC中，求證a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0 參考答案：（1）C；（2）D；（3）證：由于正弦定理：令a?ksinA,B?ksinB,c?ksinC代入左邊得：左邊＝k(sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sinBsinA?sinCsinA?sinCsinB)?0＝右邊

4．總結(jié)提煉

（1）三角形常用公式：A?B?C??；S?

弦定理以及下節(jié)將要學(xué)習(xí)的余弦定理。111absinC?bcsinA?casinB；正222

?a?2RsinAabc?（2）；?b?2RsinB；???2R（外接圓直徑）sinAsinBsinC?c?2RsinC?

a:b:c?sinA:sinB:sinC。

（3）正弦定理應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其他兩邊及一角。

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

③幾何作圖時，存在多種情況。如已知a、b及A，求作三角形時，要分類討論，確定解的個數(shù)。

第三篇：高中數(shù)學(xué)必修5第一章正弦定理

1．1．1正弦定理

（一）教學(xué)目標(biāo)

1．知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.過程與方法:讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應(yīng)用的實踐操作。

3．情態(tài)與價值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

（二）教學(xué)重、難點

重點：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

（三）學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：a

sinA?b

sinB?c

sinC，接著就一般斜

三角形進行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進行推導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識的簡捷，新穎。

教學(xué)用具：直尺、投影儀、計算器

（四）教學(xué)設(shè)想

[創(chuàng)設(shè)情景]

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動。思考：?C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

顯然，邊AB的長度隨著其對角?C的大小的增大而增大。能否

用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？

[探索研究](圖1．1-1)

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)

abc?sinA，?sinB，又sinC?1?,A cabc則???csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，CaB ??sinAsinBsinC的定義，有

(圖1．1-2)

思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

3如圖1．1-3，當(dāng)?ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB?bsinA,則同理可得從而

a

sin?

b

sin，c

sinC?

?

b

sinB?，a

sinA

b

sinB

c

sinC

AcB

(圖1．1-3)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

（證法二）：過點A作j?AC，C 由向量的加法可得AB?AC?CB

??????

??????????

??????????????

則j?AB?j?(AC?CB)????????????????∴j?AB?j?AC?j?CBj

??????????0

jABcos?90?A??0?jCBcos?900?C?

∴csinA?asinC，即

ac

?

?????bc

同理，過點C作j?BC，可得?

從而

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

類似可推出，當(dāng)?ABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

[理解定理]

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；（2）

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin等價于

a

sinA

?

b

sinB，c

sinC

?

b

sinB，a

sinA

?

c

sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?

bsinA

； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

ab

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C?1800?(A?B)

?1800?(32.00?81.80)

?66.20；

根據(jù)正弦定理，asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)；

sin32.00

根據(jù)正弦定理，asinC42.9sin66.20c???74.1(cm).sin32.00

評述：對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊

長精確到1cm）。

解：根據(jù)正弦定理，bsinA28sin400

sinB???0.8999.因為00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.⑴ 當(dāng)B?640時，C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，asinC20sin760c???30(cm).sin400

⑵ 當(dāng)B?1160時，C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，asinC20sin240c???13(cm).sin400

評述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。

[隨堂練習(xí)]第5頁練習(xí)第1（1）、2（1）題。

a?b?c

sinA?sinB?sinC

abc

分析：可通過設(shè)一參數(shù)k(k>0)使???k,sinAsinBsinC

abca?b?c

證明出 ???

sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

abc

解：設(shè)???k(k>o)

sinAsinBsinC

則有a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC

a?b?cksinA?ksinB?ksinC

從而==k

sinA?sinB?sinCsinA?sinB?sinC

例3．已知?ABC中，?A?

600，a?求

又

a

sinA

?

a?b?c

?2?k，所以=2 sinA?sinB?sinC評述：在?ABC中，等式

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?

a?b?c

?k?k?0?

sinA?sinB?sinC

恒成立。

[補充練習(xí)]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

[課堂小結(jié)]（由學(xué)生歸納總結(jié)）（1）定理的表示形式：

a

sinAsinBsinC

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)

（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

（五）評價設(shè)計

①課后思考題：（見例3）在?ABC中，?

b

?

c

?

a?b?c

?k?k?0?；

sinA?sinB?sinC

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?k(k>o)，這個k與?ABC有

什么關(guān)系？

②課時作業(yè)：第10頁[習(xí)題1.1]A組第1（1）、2（1）題。

第四篇：正弦定理和余弦定理的復(fù)習(xí)

第十九教時

教材：正弦定理和余弦定理的復(fù)習(xí)《教學(xué)與測試》76、77課

目的：通過復(fù)習(xí)、小結(jié)要求學(xué)生對兩個定理的掌握更加牢固，應(yīng)用更自如。過程：

一、復(fù)習(xí)正弦定理、余弦定理及解斜三角形 解之：x?6?2 22?(6?22)?3b?c?a1?3?6?22??? 當(dāng)c?時cosA?222

二、例一 證明在△ABC中asinA=bsinB=csinC=2R，其中R是三角形外接圓半徑

證略 見P159 注意：1．這是正弦定理的又一種證法(現(xiàn)在共用三種方法證明)2.正弦定理的三種表示方法(P159)例二 在任一△ABC中求證：a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0

證：左邊=2RsinA(sinB?sinC)?2RsinB(sinC?sinA)?2RsinC(sinA?sinB)

=2R[sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sinBsinA?sinCsinA?sinCsinB]=0=右邊

例三 在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45 求A、C及c

解一：由正弦定理得：sinA?asinB3sin45?3b?2?2 ∵B=45<90

即b

?當(dāng)A=60時C=7c?bsinC2sinsinB?756?2sin45??2 當(dāng)A=120時C=15

c?bsinC2sin15?6sinB?sin45???22 解二：設(shè)c=x由余弦定理 b2?a2?c2?2accosB 將已知條件代入，整理：x2?6x?1?0

22bc2?2?6?22(3?1)22從而A=60

C=75

當(dāng)c?6?22時同理可求得：A=120 C=15

例四 試用坐標(biāo)法證明余弦定理 證略見P161

例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x2?23x?2?0的兩個根，且

2cos(A+B)=1 求 1角C的度數(shù) 2AB的長度 3△ABC的面積

解：

1cosC=cos[

(A+B)]=

cos(A+B)=∴C=120

2由題設(shè)：??a?b?23?a?b?2

∴AB

2=AC2

+BC

2AC?BC?osC?a2?b2?2abcos120?

?a2?b2?ab?(a?b)2?ab?(23)2?2?10 即AB=10

3S1113△ABC=2absinC?2absin120??2?2?2?32

例六 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD

CD, AD=10, AB=14，BDA=60BCD=135

求BC的長

D

C

解：在△ABD中，設(shè)BD=x

則BA2?BD2?AD2?2BD?AD?cos?BDA

A

B ，即142?x2?102?2?10x?cos60? 整理得：x2?10x?96?0

解之：x1?16 x2??6（舍去）由余弦定理：

BCBD16???sin30?82

∴BC??sin?CDBsin?BCDsin135

例七（備用）△ABC中，若已知三邊為連續(xù)正整數(shù)，最大角為鈍角，1求最大角 2

求以此最大角為內(nèi)角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積。解：1設(shè)三邊a?k?1,b?k,c?k?1 k?N?且k?1

a2?b2?c2k?4∵C為鈍角 ∴cosC???0解得1?k?4

2ac2(k?1)∵k?N? ∴k?2或3 但k?2時不能構(gòu)成三角形應(yīng)舍去

1當(dāng)k?3時 a?2,b?3,c?4,cosC??,C?109?

42設(shè)夾C角的兩邊為x,y x?y?4

1515??(?x2?4x)44S?xysinC?x(4?x)?當(dāng)x?2時S最大=15

三、作業(yè)：《教學(xué)與測試》76、77課中練習(xí)

a2?b2b2?c2c2?a2???0 補充：1．在△ABC中，求證：

cosA?cosBcosB?cosCcosC?cosAD A

2．如圖ABBCD=75

BC CD=33 BDC=45

ACB=30

求AB的長(112)

B

C

第五篇：高中數(shù)學(xué)：8.1《正弦定理》學(xué)案(湘教版必修4)

正弦定理學(xué)案

一、預(yù)習(xí)問題：

1、在直角三角形中，由三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)，可以由已知的邊和角求出未知的邊和角。那么斜三角形怎么辦？確定一個直角三角形或斜三角形需要幾個條件？

2、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的的比相等，即。

3、一般地，把三角形的三個角A,B,C和它們所對的邊a,b,c叫做三角形的，已知三角形的幾個元素求其它元素的過程叫做。

4、用正弦定理可解決下列那種問題

已知三角形三邊；②已知三角形兩邊與其中一邊的對角；③已知三角形兩邊與第三邊的對角；④已知三角形三個內(nèi)角；⑤已知三角形兩角與任一邊；⑥已知三角形一個內(nèi)角與它所對邊之外的兩邊。

5、上題中運用正弦定理可求解的問題的解題思路是怎樣的？

二、實戰(zhàn)操作：

??例

1、已知：在?ABC中，?A?45，?C?30，c?10，解此三角形。

?例

2、已知：在?ABC中，?A?45，AB?6，BC?2，解此三角形。

用心愛心專心