第一篇：高中數學必修4平面向量復習5正弦定理余弦定理

5．5正弦定理、余弦定理

要點透視：

1．正弦定理有以下幾種變形，解題時要靈活運用其變形公式．

（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

abc（2）sinA＝，sinB＝，sinC＝： 2R2R2R

（3）sinA：sinB：sinC＝a：b：c．

可以用來判斷三角形的形狀，其主要功能是實現三角形中的邊角關系轉化，如常把a，b，c換成2Rsin A，2Rsin B，2Rsin C來解題．

2．判斷三角形的形狀特征，必須從研究三角形的邊與邊關系，或角與角的關系入手，充分利用正弦定理與余弦定理進行邊角轉化，由三角形的邊或角的代數運算或三角運算，找出邊與邊或角與角的關系，從而作出正確判斷．

3．要注意利用△ABC中 A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本關系式

B?CAsin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)=－sinA，sin＝cos等，進行三角變換的運2

2用．

4．應用解三角形知識解決實際問題時，要分析和研究問題中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，應選用正弦定理還是余弦定理進行求解．

5．應用解三角形知識解實際問題的解題步驟：

（1）根據題意畫出示意圖．

（2）確定實際問題所涉及的三角形，并搞清該三角形的已知元和末知元．

（3）選用正、余弦定理進行求解，并注意運算的正確性．

（4）給出答案．

活題精析：

例1．(2001年全國卷)已知圓內接四邊形ABCD的邊長是AB＝2，BC＝6，CD=DA＝4，求四邊形ABCD的面積．

要點精析：本題主要考查三角函數的基礎知識，以及應用三角形面積公式和余弦定理解三角形的方法，考查應用數學知識分析、解決實際問題的能力．

解：如圖所示，連BD，四邊形ABCD的面積

11S=S?ABD?S?CDB=AB·AD·sinA+BC·CDsinC，2

21∵ A＋C=180°，∴ sin A= sin C，于是 S=(2×4＋4×6)·sin A=16sin A． 2

222在△ABD中，BD=AB＋AD－2AB·ADcosA＝20－16cosA．

在△CBD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcosC＝52－48cosC．

213又cosA=－cosC, ?cosA=－, ∵ A∈(0, π), ∴ A=π, sinA=.232

3∴ S=16×=8.2

例2．（2004春北京卷）在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對

邊長，已知a，b，c成等比數列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及bsinB的c值。

要點精析：（1）∵ a，b，c成等差數列，∴ b2=ac．

又a2－c2=ac－bc，∴ b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得

b2?c2?a21cosA==．∴ A=60°； 22bc

bsinA（2）解法1：在△ABC中，由正弦定理得sinB=，a

bsinBb2sin60?32∵ b=ac，∠A=60°，∴ ==sn60=． cca2

11解法2.在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB，∵ b2=ac，22

bsinB3∠A＝60°，∴ bcsinA＝b2 sinB，∴ ＝sinA＝.c2

例3．（2001年上海卷）已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊，S是△ABC的面積，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的長度．

13要點精析：∵ S=absinC，∴sinc=，于是∠C=60°或∠C=120°． 22

又∵ c2＝a2+b2－2abcosC，當∠C=60°時，c2＝a2＋b2－ab，c

當∠C=120°時，c2=a2＋b2＋ab，c，∴ c

.練習題

一、選擇題

tanAa

2?1．在△ABC中，若，則△ABC是（）tanBb2

A．等腰（非直角）三角形B．直角（非等腰）三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

A?Ba?b?2．在△ABC中，tan，則三角形中（）2a?b

A．a＝b且c>2aB．c2=a2＋b2且a≠b

2cD．a=b或c2=a2+b2

3．為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的樓的樓頂處測得塔頂的仰角為30°，測得塔基B的俯角為45°，那么塔AB的高度是（）

33A．20(1+)mB．20(1+)m 32

C．20(1+)mD．30m

4．設α，β是鈍角三角形的兩個銳角，下列四個不等式中不正確的是（）

???1A．tanαtanβ<1B．sinβ<2C．cosβ>1D．tan(α+β)

5．已知銳角三角形的三邊長分別為2，3，x，則x的取值范圍是（）C．a=b=

A．1

C．0

56．△ABC的三邊分別為 2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3（m＞0），則最大內角的度數為（）

A．150°B．120°C．90°D．135°

二、填空題：

a?b?c7．在△ABC中，已知A=60°，b=1，S△ABC=3，則 sinA?sinB?sinC

113??8．△ABC的三邊滿足：，則∠B＝ a?bb?ca?b?c

4129．在△ABC中，已知sinA=，sinB=，則sinC的值是.51

310．在△ABC中，BC邊上的中線長是ma，用三邊a，b，c表示ma，其公式是.三、解答題

11．設a，b，c是△ABC中A，B，C的對邊，當m>0時，關于x的方程b(x2＋m)＋c(x2－m)－

ax=0有兩個相等實根，且sinCcosA－cosCsinA=0，試判斷△ABC的形狀。

12．已知⊙O的半徑為R，若它的內接三角形ABC中，等式2R(sin2A－sin2C)=(2a－b)sinB成立，（1）求∠C的大小；

（2）求△ABC的面積S的最大值．

13．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．

（1）試寫出△ABC的面積S與邊長a的函數關系式；

（2）當a等于多少時，S有最大值并求出最大值；

（3）當a等于多少時，周長l有最小值并未出最小值．

14．在△ABC中，已知面積S＝a2－(b－c)2，且b＋c=8，求S的最大值．

??????CCCC?15．在△ABC中，m?(cos,sin)，n?(cos,?sin)，且m與n的夾角是． 22222

（1）求C；

73（2）已知c=，三角形面積 S＝3，求a+b。22

第二篇：必修5教案1.1正弦定理余弦定理

教學設計示例（第一課時）

一、教學目標

1．掌握正弦定理及其向量法推導過程；

2．掌握用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題．

二、教學重點正弦定理及其推導過程，正弦定理在三角形中的應用；

教學難點正弦定理的向量法證明以及運用正弦定理解三角形時解的個數的判定．

三、教學準備

直尺、投影儀．

四、教學過程

1．設置情境

師：初中我們已學過解直角三角形，請同學們回憶一下直角三角形的邊角關系： 生：Rt?ABC中有a?b?c 22

2a?csinA

b?csinB

a?tanAb

A?B?90?

ab ?sinAsinB

師：對！利用直角三角形中的這些邊角關系對任給直角三角形的兩邊或一邊一角可以求出這個三角形的其他邊與其他角．

師：在直角三角形中，你能用其他的邊角表示斜邊嗎？

生：在直角三角形ABC中，c?abc。??sinAsinBsinC

師：這個式子在任意三角形中也是成立的，這就是我們今天要學的正弦定理（板書正弦定理）．

2．探索研究

（1）師：為了證明正弦定理（引導學生復習向量的數量積），a?b?a?bcos?，式子的左邊與要證明的式子有相似之處嗎？你能否構造一個可以用來證明的式子．

生：如圖，在銳角?ABC中，過A作單位向量j垂直于，則j與的夾角為90??A,j與的夾角為90??C。

由向量的加法可得

??

對上面向量等式兩邊同取與向量j的數量積運算，得到

j?

AC?CB?j?AB

?90??90??C)

?90??A)

?asinC?csinA

同理，過點C作與垂直的單位向量j，可得

cb ?sinCsinB

∴abc ??sinAsinBsinC

師：當?ABC為鈍角三角形時，設A?90?，如圖，過點A作與AC垂直的向量j，則j與的夾角為A?90?，j與的夾角為90??C，同樣可證得

abc ??sinAsinBsinC

師：課后同學考慮一下正弦定理還有沒有其它的方法證明？

師：請同學們觀察正弦定理，利用正弦定理可以解什么類型的三

角形問題？

生：已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角；已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的邊和角。

（2）例題分析

例1在?ABC中，已知c?10,A?45?,C?30?，求b（保留兩個有效數字）bc且B?180??(A?C)?105? ?sinBsinC

c?sinB10?sin105?∴b???19 sinCsin30?解：∵

例2在?ABC中，已知a?4,b?42,B?45?，求?A。abasinB1得sinA??? sinAsinBb2

∵?ABC中a?b∴A為銳角∴A?30? 解：由

例3在?ABC中，?B?45?,?C?60?,a?2(?1)，求?ABC的面積S。解：首先可證明：S?ABC?

這組結論可作公式使用。

其次求b邊 1111ah??absinC?bcsinA?acsinB。2222

?

?A?180??(B?C)?75?

∴由正弦定理，b?asinB?sinA2(3?1)(2)?4 ?2

∴S?ABC?11absinC??2(3?1)?4?()?6?23 222

3．演練反饋

（1）在?ABC中，一定成立的等式是（）

A．asinA?bsinBB．acosA?bcosB

C．asinB?bsinAD．acosB?bcosA

（2）在?ABC中，若a

Acos2?bBcos2?cCcos2，則?ABC是（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．等邊三有形

（3）在任一?ABC中，求證a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0 參考答案：（1）C；（2）D；（3）證：由于正弦定理：令a?ksinA,B?ksinB,c?ksinC代入左邊得：左邊＝k(sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sinBsinA?sinCsinA?sinCsinB)?0＝右邊

4．總結提煉

（1）三角形常用公式：A?B?C??；S?

弦定理以及下節將要學習的余弦定理。111absinC?bcsinA?casinB；正222

?a?2RsinAabc?（2）；?b?2RsinB；???2R（外接圓直徑）sinAsinBsinC?c?2RsinC?

a:b:c?sinA:sinB:sinC。

（3）正弦定理應用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其他兩邊及一角。

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

③幾何作圖時，存在多種情況。如已知a、b及A，求作三角形時，要分類討論，確定解的個數。

第三篇：高中數學必修5第一章正弦定理

1．1．1正弦定理

（一）教學目標

1．知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.過程與方法:讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

3．情態與價值：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。

（二）教學重、難點

重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

（三）學法與教學用具 學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關系：a

sinA?b

sinB?c

sinC，接著就一般斜

三角形進行探索，發現也有這一關系；分別利用傳統證法和向量證法對正弦定理進行推導，讓學生發現向量知識的簡捷，新穎。

教學用具：直尺、投影儀、計算器

（四）教學設想

[創設情景]

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點C轉動。思考：?C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數量關系？

顯然，邊AB的長度隨著其對角?C的大小的增大而增大。能否

用一個等式把這種關系精確地表示出來？

[探索研究](圖1．1-1)

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據銳角三角函數中正弦函數

abc?sinA，?sinB，又sinC?1?,A cabc則???csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，CaB ??sinAsinBsinC的定義，有

(圖1．1-2)

思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？

（由學生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

3如圖1．1-3，當?ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據任意角三角函數的定義，有CD=asinB?bsinA,則同理可得從而

a

sin?

b

sin，c

sinC?

?

b

sinB?，a

sinA

b

sinB

c

sinC

AcB

(圖1．1-3)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

（證法二）：過點A作j?AC，C 由向量的加法可得AB?AC?CB

??????

??????????

??????????????

則j?AB?j?(AC?CB)????????????????∴j?AB?j?AC?j?CBj

??????????0

jABcos?90?A??0?jCBcos?900?C?

∴csinA?asinC，即

ac

?

?????bc

同理，過點C作j?BC，可得?

從而

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

類似可推出，當?ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

[理解定理]

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；（2）

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin等價于

a

sinA

?

b

sinB，c

sinC

?

b

sinB，a

sinA

?

c

sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?

bsinA

； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

ab

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。解：根據三角形內角和定理，C?1800?(A?B)

?1800?(32.00?81.80)

?66.20；

根據正弦定理，asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)；

sin32.00

根據正弦定理，asinC42.9sin66.20c???74.1(cm).sin32.00

評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊

長精確到1cm）。

解：根據正弦定理，bsinA28sin400

sinB???0.8999.因為00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.⑴ 當B?640時，C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，asinC20sin760c???30(cm).sin400

⑵ 當B?1160時，C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，asinC20sin240c???13(cm).sin400

評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。

[隨堂練習]第5頁練習第1（1）、2（1）題。

a?b?c

sinA?sinB?sinC

abc

分析：可通過設一參數k(k>0)使???k,sinAsinBsinC

abca?b?c

證明出 ???

sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

abc

解：設???k(k>o)

sinAsinBsinC

則有a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC

a?b?cksinA?ksinB?ksinC

從而==k

sinA?sinB?sinCsinA?sinB?sinC

例3．已知?ABC中，?A?

600，a?求

又

a

sinA

?

a?b?c

?2?k，所以=2 sinA?sinB?sinC評述：在?ABC中，等式

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?

a?b?c

?k?k?0?

sinA?sinB?sinC

恒成立。

[補充練習]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

[課堂小結]（由學生歸納總結）（1）定理的表示形式：

a

sinAsinBsinC

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)

（2）正弦定理的應用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

（五）評價設計

①課后思考題：（見例3）在?ABC中，?

b

?

c

?

a?b?c

?k?k?0?；

sinA?sinB?sinC

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?k(k>o)，這個k與?ABC有

什么關系？

②課時作業：第10頁[習題1.1]A組第1（1）、2（1）題。

第四篇：正弦定理和余弦定理的復習

第十九教時

教材：正弦定理和余弦定理的復習《教學與測試》76、77課

目的：通過復習、小結要求學生對兩個定理的掌握更加牢固，應用更自如。過程：

一、復習正弦定理、余弦定理及解斜三角形 解之：x?6?2 22?(6?22)?3b?c?a1?3?6?22??? 當c?時cosA?222

二、例一 證明在△ABC中asinA=bsinB=csinC=2R，其中R是三角形外接圓半徑

證略 見P159 注意：1．這是正弦定理的又一種證法(現在共用三種方法證明)2.正弦定理的三種表示方法(P159)例二 在任一△ABC中求證：a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0

證：左邊=2RsinA(sinB?sinC)?2RsinB(sinC?sinA)?2RsinC(sinA?sinB)

=2R[sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sinBsinA?sinCsinA?sinCsinB]=0=右邊

例三 在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45 求A、C及c

解一：由正弦定理得：sinA?asinB3sin45?3b?2?2 ∵B=45<90

即b

?當A=60時C=7c?bsinC2sinsinB?756?2sin45??2 當A=120時C=15

c?bsinC2sin15?6sinB?sin45???22 解二：設c=x由余弦定理 b2?a2?c2?2accosB 將已知條件代入，整理：x2?6x?1?0

22bc2?2?6?22(3?1)22從而A=60

C=75

當c?6?22時同理可求得：A=120 C=15

例四 試用坐標法證明余弦定理 證略見P161

例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x2?23x?2?0的兩個根，且

2cos(A+B)=1 求 1角C的度數 2AB的長度 3△ABC的面積

解：

1cosC=cos[

(A+B)]=

cos(A+B)=∴C=120

2由題設：??a?b?23?a?b?2

∴AB

2=AC2

+BC

2AC?BC?osC?a2?b2?2abcos120?

?a2?b2?ab?(a?b)2?ab?(23)2?2?10 即AB=10

3S1113△ABC=2absinC?2absin120??2?2?2?32

例六 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD

CD, AD=10, AB=14，BDA=60BCD=135

求BC的長

D

C

解：在△ABD中，設BD=x

則BA2?BD2?AD2?2BD?AD?cos?BDA

A

B ，即142?x2?102?2?10x?cos60? 整理得：x2?10x?96?0

解之：x1?16 x2??6（舍去）由余弦定理：

BCBD16???sin30?82

∴BC??sin?CDBsin?BCDsin135

例七（備用）△ABC中，若已知三邊為連續正整數，最大角為鈍角，1求最大角 2

求以此最大角為內角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積。解：1設三邊a?k?1,b?k,c?k?1 k?N?且k?1

a2?b2?c2k?4∵C為鈍角 ∴cosC???0解得1?k?4

2ac2(k?1)∵k?N? ∴k?2或3 但k?2時不能構成三角形應舍去

1當k?3時 a?2,b?3,c?4,cosC??,C?109?

42設夾C角的兩邊為x,y x?y?4

1515??(?x2?4x)44S?xysinC?x(4?x)?當x?2時S最大=15

三、作業：《教學與測試》76、77課中練習

a2?b2b2?c2c2?a2???0 補充：1．在△ABC中，求證：

cosA?cosBcosB?cosCcosC?cosAD A

2．如圖ABBCD=75

BC CD=33 BDC=45

ACB=30

求AB的長(112)

B

C

第五篇：高中數學：8.1《正弦定理》學案(湘教版必修4)

正弦定理學案

一、預習問題：

1、在直角三角形中，由三角形內角和定理、勾股定理、銳角三角函數，可以由已知的邊和角求出未知的邊和角。那么斜三角形怎么辦？確定一個直角三角形或斜三角形需要幾個條件？

2、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的的比相等，即。

3、一般地，把三角形的三個角A,B,C和它們所對的邊a,b,c叫做三角形的，已知三角形的幾個元素求其它元素的過程叫做。

4、用正弦定理可解決下列那種問題

已知三角形三邊；②已知三角形兩邊與其中一邊的對角；③已知三角形兩邊與第三邊的對角；④已知三角形三個內角；⑤已知三角形兩角與任一邊；⑥已知三角形一個內角與它所對邊之外的兩邊。

5、上題中運用正弦定理可求解的問題的解題思路是怎樣的？

二、實戰操作：

??例

1、已知：在?ABC中，?A?45，?C?30，c?10，解此三角形。

?例

2、已知：在?ABC中，?A?45，AB?6，BC?2，解此三角形。

用心愛心專心