第一篇：高中數學《余弦定理》素材1 蘇教版必修5

1.1～1.2正弦定理、余弦定理要點解讀

一、正弦定理

1．正弦定理及其證明

abc． ??sinAsinBsinC

課本利用三角形中的正弦函數的定義和向量的數量積兩種方法證明了正弦定理，同學們可以思考一下有沒有別的方法呢？答案是肯定的．證明如下：

當△ABC為銳角三角形時（如圖所示），過點A作單位向量i垂直于AB，因為????????????????????????????????AC?AB?BC，所以·iAC?·i(AB?BC)?·iAB?·iBC，bcos(90°?A)?0?acos(90°?B)，在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

ab． ?sinAsinB

當△ABC為鈍角或直角三角形時也可類似證明．

2．正弦定理常見變形公式 即bsinA?asinB，得

bsinAcsinAcsinBasinBasinCbsinC，b?，c?； ???sinBsinCsinCsinAsinAsinB

（2）a:b:c?sinA:sinB:sinC；

（3）a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC（R為△ABC外接圓的半徑）；（1）a?

（4）sinA?（5）abc，sinB?，sinC?； 2R2R2Ra?b?cabc． ???sinA?sinB?sinCsinAsinBsinC

注：這些常見的變形公式應熟練掌握，在具體解題時，可根據不同的題設條件選擇不同的變形公式．

3．正弦定理的運用

利用正弦定理，可以解決以下兩類有關解三角形的問題：

①已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和另一角；

②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角．

二、余弦定理

1．余弦定理及表達式

三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．

a2?b2?c22?b2?c2?a22?bcco；s Acao；s Bc2?a2?b22?acbo．s C注：余弦定理反映了a，b，c，A，B，C元素間的動態結構，揭示了任意三角形的邊、角關系．

2．余弦定理的另一種表達形式

b2?c2?coAs?2bc

c2?a2?coBs?2aca2； b2；

用心愛心專心

a2?b2?c2

coC； s?2ab

注：若已知三邊求角時，應用余弦定理的此表達形式簡單易行．

3．余弦定理的運用

利用余弦定理，可以解決以下兩類有關解三角形的問題：

（1）已知三邊，求三個角；

（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角．

注：這兩類問題在有解時都只有一個解．

4．勾股定理和余弦定理的區別與聯系

勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系．由余弦定理及余弦函數的性質可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角．因此，勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情況，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣．

用心愛心專心

第二篇：高中數學《余弦定理》教案1 蘇教版必修5

1.2余弦定理 第1課時

知識網絡

三角形中的向量關系→余弦定理 學習要求

1． 掌握余弦定理及其證明； 2． 體會向量的工具性；

3． 能初步運用余弦定理解斜三角形． 【課堂互動】

自學評價

1．余弦定理：

(1)a2?b2?c2?2bc?cosA，______________________，______________________.(2)變形：cosA?

b

2?c

2?a

2，2bc

___________________，___________________.2．利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：

（１）_______________________________；（２）_______________________________． 【精典范例】

【例1】在?ABC中，（1）已知b?3，c?1，A?600，求a；（2）已知a?4，b?5，c?6，求A（精確到0.10）． 【解】

點評: 利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：（１）已知三邊，求三個

用心愛心角；（２）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角．

【例2】A,B兩地之間隔著一個水塘，聽課隨筆

擇另一點C，測CA?182m,CB?126m,?ACB?630，求A,B兩地之間的距離確到1m）．

【解】

【例3】用余弦定理證明：在?ABCC為銳角時，a2?b2?c2；當Ca2?b2?c2

．

【證】

點評:余弦定理可以看做是勾股定理的推廣． 追蹤訓練一

１．在△ＡＢＣ中，求a；

（２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，２．若三條線段的長為５，６，７，則用這

三條線段（）Ａ．能組成直角三角形 Ｂ．能組成銳角三角形 Ｃ．能組成鈍角三角形

專心

Ｄ．不能組成三角形

３．在△ＡＢＣ中，已知a2?b2?ab?c2，試求∠Ｃ的大小．

４．兩游艇自某地同時出發，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行駛，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏東４５°的方向行駛，問：經過４０ｍｉｎ，兩艇相距多遠？

【選修延伸】

【例4】在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2

?23x?2?0的兩根，2cos?A?B??1。

（1）求角C的度數；

（2）求AB的長；（3）求△ABC的面積。【解】

用心愛心

【例5】在△ABC中，角A、B、C聽課隨筆

分別為a，b，c，證明： a

2?b2

?A?B?。

c

2?

sinsinC

追蹤訓練二

1．在△ABC中，已知b?2，c?1，B=450則a?（）A2B

6?2C

6?2

6?22

D2

2．在△ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=31則A=（）

A?2???

B

3C6D

43．在△ABC中，若b?10，c?15，C=?

6則此三角形有解。

4、△ABC中，若a2

?c2

?bc?b2，則A=_______.專心

【師生互動】

用心愛心 專心3

第三篇：高中數學 《余弦定理》教案1 蘇教版必修5（模版）

第 3 課時：§1.2余弦定理（1）

【三維目標】：

一、知識與技能

1.通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

2.能夠運用余弦定理理解解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題

3.通過三角函數、余弦定理、向量數量積等多處知識間聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一.二、過程與方法

利用向量的數量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題

三、情感、態度與價值觀

1.培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；

2.通過三角函數、余弦定理、向量的數量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯系與辯證統一。

【教學重點與難點】：

重點：余弦定理的發現和證明過程及其基本應用；

難點：向量方法證明余弦定理.【學法與教學用具】：

1.學法：

2.教學用具：多媒體、實物投影儀.【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學思路】：

一、創設情景，揭示課題

1.正弦定理的內容？

2.由正弦定理可解決哪幾類斜三角形的問題？

二、研探新知

1．余弦定理的向量證明：

方法1：如圖，在?ABC中，AB、BC、CA的長分別為c、a、b．∵AC?AB?BC，?????????

∴AC?AC?(AB?BC)?(AB?BC)?AB?????????????????????2?2AB?BC?BC?????????

2B?AB???2?2|AB|?|BC|cos(1800?B)+BC222?????????2?c2?2accosB?a2 即b?c?a?2accosB；

同理可證：a?b?c?2bccosA，c?a?b?2abcosC． 222222

方法2：建立直角坐標系，則A(0,0),B(ccosA,csinA),C(b,0)．所以

a2?(ccosA?b)2?(csinA)2?c2cos2A?c2sin2A?2bccosA?b2?b2?c2?2bccosA，同理可證

1b2?c2?a2?2accosB，c2?a2?b2?2abcosC

注意：此法的優點在于不必對A是銳角、直角、鈍角進行分類討論．

于是得到以下定理

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

b2?c2?a

2a?b?c?2bccosA?cosA? 2bc222

c2?a2?b2

b?c?a?2accosB?cosB? 2ca222

a2?b2?c2

c?a?b?2abcosC?cosC? 2ab222

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？

語言敘述：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。用符號語言表示：a2?b2?c2?2bccosA，?等；

2.理解定理

注意：（1）熟悉定理的結構，注意“平方”“夾角”“余弦”等

（2）余弦定理的應用：①已知三邊，求三個角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角

（3）當夾角為90?時，即三角形為直角三角形時即為勾股定理（特例）

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

（4）變形：cosA?cosB?cosC? 2bc2ac2ac

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？

（由學生總結）若?ABC中，C=900，則cosC?0，這時c2?a2?b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

三、質疑答辯，排難解惑，發展思維

例1（教材P在?ABC中，（1）已知b?3,c?1,A?600，求a；（2）已知a?4,b?5,c?6，14例1）

求A

7，8的三角形中，求最大角與最小角的和 例2 邊長為5，例3 在?ABC中，最大角A為最小角C的2倍，且三邊a、b、c為三個連續整數，求a、b、c的值

例4 在?ABC中，a、b是方程x?23x?2?0的兩根，又2cos(A?B)?1，求：（1）角C的度數；（2）求AB的長；（3）?ABC的面積

四、鞏固深化，反饋矯正

1．在?ABC中，sinA:sinB:sinC?3:5:7，那么這個三角形的最大角是_____

22.在?ABC中，(a?c)(a?c)?b(b?c)，則A?______

在?ABC中，S?a2?b2?c2

3.4，則角C的度數是______

4.在?ABC中，已知a?7,b?8,cosC?1

314，則最大角的余弦值是______

5.已知銳角三角形的邊長分別是1、3、a，則a的取值范圍是_______

6.用余弦定理證明：在?ABC中，當C為銳角時，a2?b2?c2；當C為鈍角時，a2?b2?c2．

五、歸納整理，整體認識

1.余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規律，勾股定理是余弦定理的特例；

2.余弦定理的應用范圍：①已知三邊求三角；②已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

六、承上啟下，留下懸念

1．書面作業

七、板書設計（略）

八、課后記：

第四篇：北師大版高中數學必修5余弦定理

北師大版高中數學必修

52.1.2《余弦定理》教學設計

一、教學目標

認知目標：引導學生發現余弦定理，掌握余弦定理的證明，會運用余弦定解三角形中的兩類

基本問題。

能力目標：創設情境，構筑問題串，在引導學生發現并探究余弦定理過程中,培養學生觀察、類比、聯想、遷移、歸納等能力；在證明定理過程中，體會向量的思想方法；在解決實際問題過程中，逐步培養學生的創新意識和實踐能力。

情感目標：通過自主探究、合作交流，使學生體會到“發現”和“創造”的樂趣，培養學生

學習數學興趣和熱愛科學、勇于創新的精神。

二、教學重難點

重點：探究和證明余弦定理；初步掌握余弦定理的應用。

難點：探究余弦定理，利用向量法證明余弦定理。

三、學情分析和教法設計：

本節課的重點和難點是余弦定理的發現和證明，教學中，我采取“情境—問題”教學法,從情境中提出數學問題,以“問題”為主線組織教學,從特殊到一般，引導學生在解決問題串的過程中，既歸納出余弦定理，又完成了用幾何法對余弦定理的證明，以分散難點；用向量證明余弦定理時，我首先引導學生利用向量證明勾股定，讓學生體會向量解題基本思路、感受到向量方法的便捷，然后鼓勵學生證明余弦定理，最后通過二組例題加深學生對余弦定理的理解，體會余弦定理的實際應用。

四、教學過程

環節一 【創設情境】

1、復習引入

讓學生回答正弦定理的內容和能用這個定理解決哪些類型的問題。

2、情景引入

浙江杭州淳安千島湖(圖片來自于http://image.baidu.com)，A、B、C三島位置如圖所示，根據圖中所給的數據，你能求出A、B兩島之間的距離嗎？

啟發學生積極思考，嘗試轉化為直角三角形,利用已學知識解決問題解決問題。在三角形ABC中，作AD⊥BC，交BC延長線于D，由∠ACB=120o，則∠ACD=60o，在RtΔADC中，∠CAD=30o，AC=6則CD=3,AD=3.在RtΔADB中,由勾股定理得:

AB2=AD2+BD2，AB2=67.96AB≈8.24km

答：島嶼A與島嶼B的距離為8.24 km

探究2:若把上面這個問題變為：

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C為鈍角）求 c.在探究1的解法基礎上，把具體數字用字母替換，結合三角函數知識，不難得出 c2= a2+b2－2abcosC．

探究3:若把上面這個問題變為：

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C為銳角）求 c.如右圖，當∠C為銳角時，作AD⊥BC于D，BD把△ABC分成兩個直角三角形： A 在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2；

在Rt△ADC中，AD=AC·sinC=bsinC，DC=AC·cosC=bcosC．

容易求得：c2=a2+b2－2abcosC．

探究4: :若把上面這個問題變為： C

B

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C為直角）求 c.結合前面的探究，你有新的發現嗎？

222此時，△ABC為直角三角形，由勾股定理得c=a+b;也可以寫成c2=a2+b2－2abcos900

環節三【總結規律，發現新知】

探究1：總結規律。

結合前面的探究，我們容易發現，在△ABC中，無論∠C是銳角、直角還是鈍角，都有

c2=a2+b2－2abcosC

同理可以得到a2=b2+c2－2bccosA．

b2=c2+a2－2accosB．

這就是余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余

弦的積的兩倍。

探究2：余弦定理的證明：

余弦定理是三角學中一個重要的定理，上一環節中的探究2—探究4是該定理的一種傳統的方法——幾何證法，歷史上有很多人對余弦定理的證明方法進行研究，建議同學們登陸，在百度文庫中查閱有關三角學的歷史，了解余弦定理證明的一些經典方法，如愛因斯坦的證法、坐標法、用物理的方法以及張景中的《繞來繞去的向量法》和《仁者無敵面積法》等等。其中向量法是最簡潔、最明了的方法之一。

問題①:用向量的方法能證明勾股定理嗎?

222在△ABC中已知∠A=900，BC=a，AB=c,CA=b, 求證：a=b+c B ????????????????證明：如右圖，在△ABC中，設AC?b,AB?c,CB?a.???????????????由向量的減法運算法則可得，AB?AC?CB,即c?b?a

???????????A

222 等式兩邊平方得，c?b?2c?b?a，??????2202222由向量的運算性質得c?b?2c?b?Cos90?a即c?b?a

所以a2=b2+c

2問題②:如何用向量的方法證明余弦定理？

0把問題①的證明中Cos90換為CosA即可。

教師點評：利用向量來證明勾股定理,讓學生體會向量解題基本思路、感受到向量方法的便捷，激發學生興趣，在此基礎上，可以很簡單的證明余弦定理，讓學生切身體會到向量作為一種工具在證明一些數學問題中的作用。

探究3：余弦定理的分析

問題①：在△ABC中，當∠C=90°時，有c2=a2+b2．若a，b邊的長度不變，變換∠C的大小時，c2與a2+b2有什么大小關系呢？請同學們思考。

首先，可借助于多媒體動畫演示，讓學生直觀感受，a，b邊的長度不變時，∠C越小，AB的長度越短，∠C越大，AB的長度越長

222其后，引導學生，由余弦定理分析： c=a+b－2abcosC。

當∠C=90°時，cosC=0，則有c2=a2+b2，這是勾股定理，它是余弦定理的特例。當∠C為銳角時，cosC>0，則有c2

2當∠C為鈍角時，cosC<0，則有c2＞a2+b2

問題②余弦定理作用？

從以上的公式中解出cosA,cosB,cosC,則可以得到余弦定理的另外一種形式： b2?c2?a2

cosA?2bca2?c2?b2cosB?2aca2?b2?c2cosC?2ab

即已知三角形的兩邊和它們的夾角，可求另一邊；

知三求一已知三角形的三條邊，求角。

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，可求另一邊；（方程的思想）環節四【及時練習，鞏固提高】

下面，請同學們根據余弦定理的這兩種應用，來解決以下例題。O例1①在△ABC中，已知a=5,b=4,∠C=120,求c.②在△ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形三個內角的大小及其

面積。Q 環節五【應用拓展，提高能力】

例2：如圖所示，有兩條直線AB和CD相交成800角，交點是O，甲、乙兩人同是從點O分別沿OA，OC方向出發，速度分別是4km/h、4.5km/h，B O P 3小時后兩個相距多遠（結果精確到0.1km）? 分析：經過3時，甲到達點P，OP=4?3=12（12km）乙到達點Q，OQ=4.5?3=13.5(km).問題轉化為在△OPQ，已知OP=12km.，OQ=13.5km,∠POQ=800,求PQ的長。

例3 下圖是公元前約400 ┅的圖形（可登陸http://math.100xuexi.com 查閱詳細資料），試計算圖中線

段BD的長度及∠DAB的大小.1B A 環節六 【課堂反思總結】 通過以上的研究過程，同學們主要學到了那些知識和方法？你對此

有何體會？（先由學生回答總結，教師適時的補充完善）

1、余弦定理的發現從直角三角形入手，分別討論了銳角三角形和鈍角的三角形情況，體現了由特殊到一般的認識過程，運用了分類討

論的數學思想； D C2、用向量證明了余弦定理，體現了數學知識的應用以及數形結合數

學思想的應用；

3、余弦定理表述了三角形的邊與對角的關系，勾股定理是它的一種特例。用這個定理可以解決已知三角形的兩邊及夾角求第三邊和已知三角形的三邊求內角的兩類問題。環節七 【布置課后作業】

1、若三角形ABC的三條邊長分別為a?2，b?3，c?4，則2bccosA?2cacosB?2abcosC?。

2、在△ABC中,若a＝7,b＝8,cosC?13,則最大內角的余弦值為 143、已知△ABC中，acosB=bcos A，請判斷三角形的形狀（用兩種不同的方法）。

4、p52教材習題2-1第6,7題。

五、教學反思

1、余弦定理是解三角形的重要依據。本節內容安排兩節課適宜。第一節，余弦定理的引出、證明和簡單應用；第二節復習定理內容，加強定理的應用。

2、當已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時應注意解的不唯一性。但是這個問題在本節課講給學生，學生不易理解，可以放在第二課時處理。

3、本節課的重點首先是定理的發現和證明，教學中，我采取“情境—問題”教學模式,沿著“設置情境—提出問題—解決問題—總結規律---應用規律”這條主線,從情境中提出數學問題,以“問題”為主線組織教學,形成以提出問題與解決問題攜手并進的“情境—問題”學習鏈,目的使學生真正成為提出問題和解決問題的主體,成為知識的“發現者”和“創造者”,使教學過程成為學生主動獲取知識,發展能力,體驗數學的過程.5、合理的應用多媒體教學，起到畫龍點睛。

6、在實際的教學中，發現學生對于所學的知識（例如向量）不能很好的應用，學生的數學思想（如分類討論、數形結合）也不能靈活的應用，這在以后的教學中還應該加強。

第五篇：高中數學《余弦定理》教案2 蘇教版必修5

第2課時余弦定理

【學習導航】

知識網絡

余弦定理?航運問題中的應用

?

?判斷三角形的形狀

學習要求

1．能把一些簡單的實際問題轉化為數學問題；

2．余弦定理的教學要達到“記熟公式”和“運算正確”這兩個目標；

3．初步利用定理判斷三角形的形狀。【課堂互動】

自學評價

1．余弦定理：

(1)_______________________，_______________________，_______________________.(2)變形：____________________，_____________________，_____________________.2．利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：（１）_______________________________；（２）______________________________． 【精典范例】

【例1】在長江某渡口處，江水以5km/h的速度向東流，一渡船在江南岸的A碼頭出發，預定要在0.1h后到達江北岸B碼頭，????

設AN為正北方向，已知B碼頭在A碼頭的北偏東150，并與A碼頭相距1.2km．該渡船應按什么方向航行？速度是多少（角度

精確到0.10，速度精確到0.1km/h）？

【解】

用心愛心 聽課隨筆

【例2】在?ABC中，已知

sinA?2sinBcosC，試判斷該三角形的形狀． 【解】

【例3】如圖，AM是?ABC中BC

中線，求證：

AM?

．

【證明】

追蹤訓練一

1.在△ＡＢＣ中，如果sinA:sinB:sinC＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（Ａ．Ｂ．?2 Ｃ．?1 Ｄ．?13

2.如圖，長７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯腳與壁基相距１．５ｍ，梯頂在沿著壁向上

專心

６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精確到０.１°）．

3.在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，試證明此三角形為銳角三角形．

【選修延伸】

3【例4】在△ABC中，設

a?b3?c3

a?b?c

?c2，且sinAsinB?34，請判斷三角形的形狀。

【解】

用心愛心聽課隨筆

專心