第一篇：數(shù)學(xué)： 1.3 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用 教案(蘇教版必修5)

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第 5 課時(shí)：§1.3 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用（1）

【三維目標(biāo)】：

一、知識(shí)與技能

1.能把一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并能應(yīng)用正弦定理、余弦定理及相關(guān)的三角公式解決這些問題；

2.體會(huì)數(shù)學(xué)建摸的基本思想，應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題的解題一般步驟：①根據(jù)題意作出示意圖；②確定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③選用合適的定理進(jìn)行求解；④給出答案。

3.了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語（如：仰角、俯角、方位角、視角及坡度、經(jīng)緯度等有關(guān)名詞和術(shù)語的確切含義）；綜合運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決與測(cè)量學(xué)、航海問題等有關(guān)的實(shí)際問題；

4．能夠從閱讀理解、信息遷移、數(shù)學(xué)化方法、創(chuàng)造性思維等方面，多角度培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力

5．規(guī)范學(xué)生的演算過程：邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，表述準(zhǔn)確，算法簡(jiǎn)練，書寫工整，示意圖清晰。

二、過程與方法

通過復(fù)習(xí)、小結(jié)，使學(xué)生牢固掌握兩個(gè)定理，熟練運(yùn)用。

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力 【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

重點(diǎn)：（1）綜合運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些實(shí)際問題；

（2）掌握求解實(shí)際問題的一般步驟． 難點(diǎn)：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖 【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：讓學(xué)生回憶正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形，讓學(xué)生嘗試?yán)L制知識(shí)綱目圖。生活中錯(cuò)綜復(fù)雜的問題本源仍然是我們學(xué)過的定理，因此系統(tǒng)掌握前一節(jié)內(nèi)容是學(xué)好本節(jié)課的基礎(chǔ)。解有關(guān)三角形的應(yīng)用題有固定的解題思路，引導(dǎo)學(xué)生尋求實(shí)際問題的本質(zhì)和規(guī)律，從一般規(guī)律到生活的具體運(yùn)用，這方面需要多琢磨和多體會(huì)。【授課類型】：新授課 【課時(shí)安排】：1課時(shí) 【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

總結(jié)解斜三角形的要求和常用方法

（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解決以下兩類解斜三角形問題： ①已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角；

②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，從而進(jìn)一步求其它的邊和角（2）應(yīng)用余弦定理解以下兩類三角形問題： ①已知三邊求三內(nèi)角；

②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個(gè)內(nèi)角

二、研探新知,質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1（教材P18例1）如圖1-3-1，為了測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)A,B之間的距離，在河岸這邊取點(diǎn)C,D，測(cè)

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?得?ADC?85，?BDC?60，?ACD?47，?BCD?72，CD?100m.設(shè)A,B,C,D在同一平面內(nèi)，試求A,B之間的距離（精確到1m）.???解：在?ADC中，?ADC?85，?ACD?47，則?DAC?48.又DC?100，由正弦定理，得

DCsin?ADC100sin85?AC???134.05?m?.?sin?DACsin48在?BDC中，?BDC?60，?BCD?72，?則?DBC?48.又DC?100，由正弦定理，得 ??DCsin?BDC100sin60?BC???116.54?m?.?sin?DBCsin48在?ABC中，由余弦定理，得

圖AB2?AC2?BC2?2AC?BCcos?ACB?134.052?116.542?2?134.05?116.54cos?72??47??

?3233.95，所以 AB?57?m? 答A,B兩點(diǎn)之間的距離約為57m.本例中AB看成?ABC或?ABD的一邊，為此需求出AC，BC或AD，BD，所以可考察?ADC和?BDC，根據(jù)已知條件和正弦定理來求AC，BC，再由余弦定理求AB.例2（教材P18例2）如圖1-3-2，某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，測(cè)出該漁輪在方位角為45，距離為10nmile的C處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為105的方向，以

??9nmile/h的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以21nmile/h的速度前去營(yíng)救.求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間（角度精確到0.1，時(shí)間精確到1min）.解：設(shè)艦艇收到信號(hào)后xh在B處靠攏漁輪，則AB?21x，BC?9x，又AC?10，??ACB?45???180??105???120?.由余弦定理，得AB?AC?BC?2AC?BCcos?ACB，2?即?21x??10??9x??2?10?9xcos?120.222222化簡(jiǎn)，得36x?9x?10?0，解得x??h??40?min?（負(fù)值舍去）.32圖1-3-2

BCsin?ACB9xsin120?33???由正弦定理，得sin?BAC?，所以?BAC?21.8，方位角為

AB21x1

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45??21.8??66.8?.答：艦艇應(yīng)沿著方向角66.8?的方向航行，經(jīng)過40min就可靠近漁輪.本例是正弦定理、余弦定理在航海問題中的綜合應(yīng)用.因?yàn)榕炌腁到B與漁輪從C到B的時(shí)間相同，所以根據(jù)余弦定理可求出該時(shí)間，從而求出AB和BC；再根據(jù)正弦定理求出?BAC.例3 如圖，要測(cè)底部不能到達(dá)的煙囪的高AB，從與煙囪底部在同一水平直線上的C,D兩處，測(cè)得煙囪的仰角分別為??3512?和??49?28?，CD間的距離是11.12m，已知測(cè)角儀高1.52m，求煙囪的高。?

四、鞏固深化，反饋矯正

1．在四邊形ABCD中，已知AD?CD,AD?10,AB?14,?BDA?600,?BCD?1350，求BC的長(zhǎng) 2.在四邊形ABCD中，AB?BC,CD?33,?ACB?300,?BCD?750,?BDC?450,求AB的長(zhǎng) 3.四邊形ABCD中，AB?BC,AD?DC，且?EAF?600,BC?5,CD?2，求AC

4.我炮兵陣地位于A處，兩觀察所分別設(shè)于C、D，已知?ACD為邊長(zhǎng)等于a的正三角形。當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)于B，測(cè)得?CDB?450,ACD?750（A、B在CD兩側(cè)），試求炮擊目標(biāo)的距離AB。

5.把一根長(zhǎng)為30CM的木條鋸成兩段，分別作鈍角三角形ABC的兩邊AB和BC，且?ABC?120，如何鋸斷木條，才能使第三邊AC最短？

0

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

1.解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解

2．測(cè)量的主要內(nèi)容是求角和距離，教學(xué)中要注意讓學(xué)生分清仰角、俯角、張角、視角和方位角及坡度、經(jīng)緯度等概念，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題.3．解決有關(guān)測(cè)量、航海等問題時(shí)，首先要搞清題中有關(guān)術(shù)語的準(zhǔn)確含義，再用數(shù)學(xué)語言（符號(hào)語言、圖形語言）表示已知條件、未知條件及其關(guān)系，最后用正弦定理、余弦定理予以解決.六、承上啟下，留下懸念

七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：

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第二篇：必修5教案1.1正弦定理余弦定理

教學(xué)設(shè)計(jì)示例（第一課時(shí)）

一、教學(xué)目標(biāo)

1．掌握正弦定理及其向量法推導(dǎo)過程；

2．掌握用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題．

二、教學(xué)重點(diǎn)正弦定理及其推導(dǎo)過程，正弦定理在三角形中的應(yīng)用；

教學(xué)難點(diǎn)正弦定理的向量法證明以及運(yùn)用正弦定理解三角形時(shí)解的個(gè)數(shù)的判定．

三、教學(xué)準(zhǔn)備

直尺、投影儀．

四、教學(xué)過程

1．設(shè)置情境

師：初中我們已學(xué)過解直角三角形，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系： 生：Rt?ABC中有a?b?c 22

2a?csinA

b?csinB

a?tanAb

A?B?90?

ab ?sinAsinB

師：對(duì)！利用直角三角形中的這些邊角關(guān)系對(duì)任給直角三角形的兩邊或一邊一角可以求出這個(gè)三角形的其他邊與其他角．

師：在直角三角形中，你能用其他的邊角表示斜邊嗎？

生：在直角三角形ABC中，c?abc。??sinAsinBsinC

師：這個(gè)式子在任意三角形中也是成立的，這就是我們今天要學(xué)的正弦定理（板書正弦定理）．

2．探索研究

（1）師：為了證明正弦定理（引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)向量的數(shù)量積），a?b?a?bcos?，式子的左邊與要證明的式子有相似之處嗎？你能否構(gòu)造一個(gè)可以用來證明的式子．

生：如圖，在銳角?ABC中，過A作單位向量j垂直于，則j與的夾角為90??A,j與的夾角為90??C。

由向量的加法可得

??

對(duì)上面向量等式兩邊同取與向量j的數(shù)量積運(yùn)算，得到

j?

AC?CB?j?AB

?90??90??C)

?90??A)

?asinC?csinA

同理，過點(diǎn)C作與垂直的單位向量j，可得

cb ?sinCsinB

∴abc ??sinAsinBsinC

師：當(dāng)?ABC為鈍角三角形時(shí)，設(shè)A?90?，如圖，過點(diǎn)A作與AC垂直的向量j，則j與的夾角為A?90?，j與的夾角為90??C，同樣可證得

abc ??sinAsinBsinC

師：課后同學(xué)考慮一下正弦定理還有沒有其它的方法證明？

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察正弦定理，利用正弦定理可以解什么類型的三

角形問題？

生：已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可以求出三角形的其他的邊和角。

（2）例題分析

例1在?ABC中，已知c?10,A?45?,C?30?，求b（保留兩個(gè)有效數(shù)字）bc且B?180??(A?C)?105? ?sinBsinC

c?sinB10?sin105?∴b???19 sinCsin30?解：∵

例2在?ABC中，已知a?4,b?42,B?45?，求?A。abasinB1得sinA??? sinAsinBb2

∵?ABC中a?b∴A為銳角∴A?30? 解：由

例3在?ABC中，?B?45?,?C?60?,a?2(?1)，求?ABC的面積S。解：首先可證明：S?ABC?

這組結(jié)論可作公式使用。

其次求b邊 1111ah??absinC?bcsinA?acsinB。2222

?

?A?180??(B?C)?75?

∴由正弦定理，b?asinB?sinA2(3?1)(2)?4 ?2

∴S?ABC?11absinC??2(3?1)?4?()?6?23 222

3．演練反饋

（1）在?ABC中，一定成立的等式是（）

A．a(chǎn)sinA?bsinBB．a(chǎn)cosA?bcosB

C．a(chǎn)sinB?bsinAD．a(chǎn)cosB?bcosA

（2）在?ABC中，若a

Acos2?bBcos2?cCcos2，則?ABC是（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．等邊三有形

（3）在任一?ABC中，求證a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0 參考答案：（1）C；（2）D；（3）證：由于正弦定理：令a?ksinA,B?ksinB,c?ksinC代入左邊得：左邊＝k(sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sinBsinA?sinCsinA?sinCsinB)?0＝右邊

4．總結(jié)提煉

（1）三角形常用公式：A?B?C??；S?

弦定理以及下節(jié)將要學(xué)習(xí)的余弦定理。111absinC?bcsinA?casinB；正222

?a?2RsinAabc?（2）；?b?2RsinB；???2R（外接圓直徑）sinAsinBsinC?c?2RsinC?

a:b:c?sinA:sinB:sinC。

（3）正弦定理應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其他兩邊及一角。

②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

③幾何作圖時(shí)，存在多種情況。如已知a、b及A，求作三角形時(shí)，要分類討論，確定解的個(gè)數(shù)。

第三篇：§5.5 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用(教案)

響水二中高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)教案 第五編平面向量、解三角形 主備人 張靈芝 總第25期

§5.5 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用

基礎(chǔ)自測(cè)

1.在某次測(cè)量中，在A處測(cè)得同一半平面方向的B點(diǎn)的仰角是60°,C點(diǎn)的俯角為70°，則∠BAC=.答案 130°

2.從A處望B處的仰角為?，從B處望A處的俯角為?，則?、?的大小關(guān)系為.答案 ?=?

3.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinC=2sinAcosB,則△ABC是 三角形.答案 等邊

4.已知A、B兩地的距離為10 km,B、C兩地的距離為20 km,現(xiàn)測(cè)得∠ABC=120°，則A、C兩地的距離為 km.答案 107

5.線段AB外有一點(diǎn)C，∠ABC=60°,AB=200 km,汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以 50 km/h的速度由B向C行駛，則運(yùn)動(dòng)開始 h后，兩車的距離最小.答案 70 43例題精講

例1 要測(cè)量對(duì)岸A、B兩點(diǎn)之間的距離，選取相距3 km的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB=75°，∠BCD= 45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A、B之間的距離.解 如圖所示，在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=3 km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.∴BC=2AB=(3)+(3sin75?6?2=.△ABC中，由余弦定理，得

sin60?226?226?2)-2×3××cos75°=3+2+3-3=5，22∴AB=5(km).∴A、B之間的距離為5 km.159 例2．沿一條小路前進(jìn)，從A到B，方位角（從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到AB方向所成的角）是50°，距離是3 km，從B到C方位角是110°，距離是3 km，從C到D,方位角是140°，距離是（9+33）km.試畫出示意圖，并計(jì)算出從A到D的方位角和距離（結(jié)果保留根號(hào)）.解 示意圖如圖所示，連接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°.由余弦定理可得

1AC=AB2?BC2?2AB?BCcos120?= 9?9?2?3?3?(?)

2=27=33(km)，在△ACD中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°, CD=33+9.1由余弦定理得AD=AC2?CD2?2AC?CDcos120?= 27?(33?9)2?2?33?(33?9)?(?)

2=9(2?6)(km)2CD?sin?ACD=AD(33?9)?由正弦定理得sin∠CAD=

32=2.292?962∴∠CAD=45°,于是AD的方位角為50°+30°+45°=125°, 所以，從A到D的方位角是125°，距離為

9(2?6)km.2例3 如圖所示，已知半圓的直徑AB=2，點(diǎn)C在AB 的延長(zhǎng)線上，BC=1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以 DC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC 的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值.解 設(shè)∠POB=?，四邊形面積為y，則在△POC中，由余弦定理得

160 PC=OP+OC-2OP·OCcos?=5-4cos?.∴y=S△OPC+S△PCD=∴當(dāng)?-1?353×1×2sin?+（5-4cos?）=2sin(?-)+.3244222??5?53=，即?=時(shí)，ymax=2+.326453.4所以四邊形OPDC面積的最大值為2+鞏固練習(xí)

1.某觀測(cè)站C在A城的南偏西20°的方向.由A城出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40°，在C處測(cè)得公路上B處有一人距C為31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到達(dá)D處，此時(shí)CD間的距離為21千米，問這人還要走多少千米才能到達(dá)A城？ 解 設(shè)∠ACD=?，∠CDB=?.在△BCD中，由余弦定理得 cos?=

143BD2?CD2?CB2202?212?312==-，則sin?=，72BD?CD2?20?217而sin?=sin(?-60°)=sin?cos60°-cos?sin60° =1153433×+×=, 27142721AD21sin?=,∴AD==sin60?sin?sin60?21?在△ACD中，由正弦定理得

5314=15(千米).32答 這個(gè)人再走15千米就可到達(dá)A城.2.如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得 ∠BCD=?，∠BDC=?，CD=s，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為?，求塔高AB.解 在△BCD中，∠CBD=?-?-?，由正弦定理得所以BC=CDsin?BDCs?sin?=

sin?CBDsin(???)BCCD=，sin?BDCsin?CBD在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=

stan?sin?.sin(???)3.為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架.三角形支架如圖

161 所示，要求∠ACB=60°，BC的長(zhǎng)度大于1米，且AC比 AB長(zhǎng)0.5米.為了使廣告牌穩(wěn)固，要求AC的長(zhǎng)度越短越 好，求AC最短為多少米？且當(dāng)AC最短時(shí)，BC長(zhǎng)度為多 少米？

解 設(shè)BC=a（a＞1）,AB=c，AC=b，b-c=

12221122

2.c=a+b-2abcos60°，將c=b-代入得(b-)=a+b-ab, 222化簡(jiǎn)得b(a-1)=a-21.由a＞1,知a-1＞0.b=4a2?31(a?1)2?2a?2?34=(a-1)+4= 4(a?1)a?1a?1+2?3+2, 當(dāng)且僅當(dāng)a-1=33時(shí)，取“=”號(hào)，即a=1+時(shí)，b有最小值2+3.4(a?1)2答 AC最短為(2+3)米，此時(shí)，BC長(zhǎng)為(1+

3)米.2回顧總結(jié) 知識(shí) 方法 思想

課后作業(yè)

一、填空題

1.海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成 75°視角，則B、C的距離是 海里.答案 56

2.為測(cè)量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的樓頂處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，測(cè)得塔基B的俯角為45°，那么塔AB的高度是 m.答案 20(1+3)33.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km, 162 燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為 km.答案 3a

4.一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為 海里/小時(shí).答案 176 25.如圖所示，在河岸AC測(cè)量河的寬度BC，圖中所標(biāo)的數(shù)據(jù)a，b，c，?，?是可供測(cè)量的數(shù)據(jù).下面給出的四組數(shù)據(jù)中，對(duì)測(cè)量河寬較適宜 的是（填序號(hào)）.①c和?②c和b③c和?④b和? 答案 ④

6.如圖，一貨輪航行到M處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15°,與燈塔S相 距20海里,隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后,又測(cè)得燈塔在 貨輪的東北方向,則貨輪的速度為 海里/小時(shí).答案 20(6-2)7.在△ABC中，若∠C=60°，則答案 1 8.（2008·蘇州模擬）在△ABC中，邊a,b,c所對(duì)角分別為A,B,C，且答案

nisaAab+=.b?cc?a=

cosBcosC

=,則∠A=.cb?

2二、解答題

9.在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊，設(shè)f（x）=ax-（a-b）x-4c.（1）f（1）=0且B-C=

2?，求角C的大小；（2）若f（2）=0，求角C的取值范圍.3222

2解（1）∵f（1）=0，∴a-(a-b)-4c=0，∴b=4c，∴b=2c，∴sinB=2sinC，163 又B-C=????.∴sin(C+)=2sinC，∴sinC·cos+cosC·sin=2sinC，3333∴3???5??3sinC-cosC=0，∴sin(C-)=0，又∵-＜C-＜，∴C=.6666622222

2（2）若f（2）=0，則4a-2(a-b)-4c=0，∴a+b=2c，∴cosC=又2c=a+b≥2ab，∴ab≤c，∴cosC≥2222

a2?b2?c2c2=，2ab2ab1?，又∵C∈（0，?），∴0＜C≤.323.410.（2008·泰安模擬）在△ABC中，a,b,c分別為角A，B，C的對(duì)邊.已知a=1,b=2,cosC=(1)求邊c的值；（2）求sin(C-A)的值.解（1）c=a+b-2abcosC=1+2-2×1×2×22222

3=2，∴c=2.4（2）∵cosC=3ac17，∴sinC=.在△ABC中，=,即=

sinAsinCsinA44274.∴sinA==

5214,∵a＜b,∴A為銳角，cosA=.∴sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA

8852371414×-×=.48481611.如圖所示，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧

AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過P引平行于OB的直線和OA交于點(diǎn)C，設(shè)∠AOP=?，求△POC面積的最大值及此時(shí)?的值.解 ∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-?，∠OCP=120°.在△POC中，由正弦定理得又OPCP2CP4=，∴=，∴CP=sin?.sin?PCOsin?sin120?sin?32OC4=，∴OC=sin（60°-?）.因此△POC的面積為

sin(60???)sin120?3S（?）==11443CP·OCsin120°=·sin（60°-?）× sin?·2223343sin?sin（60°-?）=43sin?（1232

cos?-sin?)=2sin?·cos?-sin?

223=sin2?+

??332333cos2?-=sin(2?+)-.∴?=時(shí)，S（?）取得最大值為.6633333164 12.在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A（3-1）n mile的B處 有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A 2 n mile的C處的

緝私船奉命以103 n mile/h的速度追截走私船.此時(shí)，走私船正以 10 n mile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方 向能最快追上走私船？

解 如圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時(shí)間相等，若在D處相遇，則可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.設(shè)緝私船用t h在D處追上走私船，則有CD=103t，BD=10t.在△ABC中，222∵AB=3-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC=AB+AC-2AB·AC·cos∠BAC

22=(3-1)+2-2×(3-1)×2×cos120°=6, ∴BC=6，∵∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD=BD?sin?CBD10tsin120?1==,∴∠BCD=30°.CD2103t即緝私船北偏東60°方向能最快追上走私船.165

第四篇：正弦余弦定理應(yīng)用定理

正弦定理、余弦定理練習(xí)題

一、選擇題(共20題，題分合計(jì)100分)

1.已知在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么cosC的值為

A.?

14B.14C.23D.?23

2.在△ABC中，a=λ,b=

λ,A=45°,則滿足此條件的三角形的個(gè)數(shù)是

A.0 個(gè)B.1 個(gè)C.2個(gè)D.無數(shù)個(gè)

3.在△ABC中，bcosA=acosB，則三角形為

A.直角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

4.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為x2

+x+1,x2

-1和2x+1(x＞1)，則最大角為

A.150°B.120°C.60°D.75°

5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+23則邊|

|等于

A.5B.5-23C.5?2D.5?23

6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么這個(gè)三角形是

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.在△ABC中，若b2

sin2

C+c2

sin2

B=2bccosBcosC，則此三角形為

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

8.正弦定理適應(yīng)的范圍是

A.Rt△B.銳角△C.鈍角△D.任意△

9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，則c=

A.10+B.10（-1）C.（3+1）D.103

10.在△ABC中，bsinA＜a＜b，則此三角形有

A.一解B.兩解C.無解D.不確定

11.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x2

-7x-6=0的根，則三角形的另一邊長(zhǎng)為A.52B.2C.16D.4

12.在△ABC中，a2

=b2

+c2

+bc，則A等于

A.60°B.45°C.120

D.30°

13.在△ABC中，則△ABC是

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.任意三角形

14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，則△ABC的面積S△ABC等于

A.2B.22C.+1D.(?1)15.已知三角形ABC的三邊a、b、c成等比數(shù)列，它們的對(duì)角分別是A、B、C，則sinAsinC等于

A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B

17.在△ABC中，bCosA=acosB，則三角形為

A.直角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

18.△ABC中，sin2

A=sin2

B+sin2

C，則△ABC為

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形

19.△ABC中,A=60°,b=1,這個(gè)三角形的面積為,則△ABC外接圓的直徑為

A.B.C.D.20.在△ABC中，,則k為

A.2RB.RC.4RD.(R為△ABC外接圓半徑)

第五篇：數(shù)學(xué)： 1.1 正弦定理 教案(蘇教版必修5)

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第 2 課時(shí)： §1.1 正弦定理（2）

【三維目標(biāo)】：

一、知識(shí)與技能

1.學(xué)會(huì)利用正弦定理解決有關(guān)平幾問題以及判斷三角形的形狀，掌握化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想； 2.能熟練運(yùn)用正弦定理解斜三角形；

二、過程與方法

通過解斜三角形進(jìn)一步鞏固正弦定理，讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容。

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解斜三角形問題的運(yùn)算能力； 2.培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想能力。【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

重點(diǎn)：利用正弦定理解斜三角形

難點(diǎn)：靈活利用正弦定理以及三角恒等變換公式。【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：

2.教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀、直尺、計(jì)算器 【授課類型】：新授課 【課時(shí)安排】：1課時(shí) 【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.正弦定理：

2.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，如何判斷三角形的形狀？

二、研探新知，質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

abc??，試判斷三角形的形狀.cosAcosBcosCABBDAD?ABC?BAC?例2（教材P例5）在中，是的平分線，用正弦定理證明：． 10ACDC例1（教材P9例4）在?ABC中，已知證明：設(shè)?BAD??，?BDA??，則?CAD??，?CDA?180???．在?ABD和?ACD中分別運(yùn)用正弦定理，得即ABsin?ACsin(180???)ABAC???，又sin(180???)?sin?，所以，BDsin?DCsin?BDDCABBD?． ACDC例3 在?ABC中，已知角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若a?c?2b,（1）求證：2cosA?CA?C??cos；（2）若B?，試確定?ABC形狀 2231例4 在?ABC中，a,b,c分別為?ABC三邊長(zhǎng)，若cosA?，（1）求sin32A?C?cos2A的值；（2）2若a?3，求bc的最大值

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例5（教材P9例3）某登山隊(duì)在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為35?，沿傾斜角為20?的斜坡前進(jìn)1000米后到達(dá)D處，又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?5?，求山的高度(精確到1米)． 分析：要求BC，只要求AB，為此考慮解?ABD．

解：過點(diǎn)D作DE//AC交BC于E，因?yàn)?DAC?20?，所以?ADE?160?，于是?ADB?360??160??65??135?．又?BAD?35??20??15?，所以?ABD?30?．在?ABD中，由正弦定理，得

AB?ADsin?ADB1000sin135???10002(m)．

sin?ABDsin30?在Rt?ABC中，BC?ABsin35??10002sin35??811(m)． 答：山的高度約為811m．

四、鞏固深化，反饋矯正

1.在?ABC中，tanA?sinB?tanB?sinA，那么?ABC一定是________ 221?lgsinA??lg2，則?ABC形狀為_______ ca?b?c?_______ 3.在?ABC中，若A?600,a?3，則

sinA?sinB?sinC2.在?ABC中，A為銳角，lgb?lg

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容（1）知識(shí)總結(jié)：（2）方法總結(jié)：

六、承上啟下，留下懸念

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