第一篇：蘇教版必修5 11.1.2正弦定理 教案

.11．1正弦定理（2）

一、課題：正弦定理（2）

二、教學目標：1．掌握正弦定理和三角形面積公式，并能運用這兩組公式求解斜三角形，解決實際問題；

2．熟記正弦定理abc???2R（R為?ABC的外接圓的半 sinAsinBsinC

徑）及其變形形式。

三、教學重點：正弦定理和三角形面積公式及其應用。

四、教學難點：應用正弦定理和三角形面積公式解題。

五、教學過程：

（一）復習：

1．正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對角的正弦比相等，abc???2R（R為?ABC的外接圓的半徑）； sinAsinBsinC

1112．三角形面積公式：S?ABC?bcsinA?acsinB?absinC． 222 即：

（二）新課講解：

1．正弦定理的變形形式：

①a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC；

2．利用正弦定理和三角形內角和定理，可解決以下兩類斜三角形問題：

（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

（2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角。

一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解斜三角形，有兩解或一解（見圖示）。C aaB1 B 2abc,sinB?,sinC?； 2R2R2R③sinA:sinB:sinC?a:b:c． ②sinA?Ba?bsinAbsinA?a?ba?ba?b一解兩解一解一解

3．正弦定理，可以用來判斷三角形的形狀，其主要功能是實現三角形邊角關系的轉化： 例如，判定三角形的形狀時，經常把a,b,c分別用2RsinA,2RsinB,2RsinC來替代。

4．例題分析：

例1在?ABC中，1 A?B2 sinA?sinB的（）

A．1只能推出2B．2只能推出1 C．

1、2可互相推出D．

1、2不可互相推出

解：在?ABC中，A?B?a?b?2RsinA?2RsinB?sinA?sinB，因此，選C．

說明：正弦定理可以用于解決?ABC中，角與邊的相互轉化問題。

例2在?ABC中，若lga?lgc?lgsinB??，且B為銳角，試判斷此三角形的形狀。解

：由lga?lgc?lgsinB??，得：sinB?

?B?45???0??B?90??，2asinA① ???

c2sinC2

將A?135?CC?2sin(135??C)。

?

∴sinC?sinC?cosC，∴cosC?0，故C?90，?

?A?45?，∴?ABC是等腰直角三角形。

說明：（1）判斷三角形的形狀特征，必須深入研究邊與邊的大小關系：是否兩邊相等？是否三邊相等？還要研究角與角的大小關系：是否兩角相等？是否三角相等？有無直角？有無鈍角？

（2）此類問題常用正弦定理（或將學習的余弦定理）進行代換、轉化、化簡、運算，揭示出邊與邊，或角與角的關系，或求出角的大小，從而作出正確的判斷。

?

例3某人在塔的正東方沿南60西的道路前進40米后，望見塔在東北方向上，若沿途測得

?

塔的最大仰角為30，求塔高。

???D解：如圖，由題設條件知：?CAB??1?90?60?30，?ABC?45??1?45?30?15，?

?

?

?

?

?

?

?

?

北 C

∴?ACB?180??BAC??ABC?180?30?15?135，又∵AB?40米，在?ABC中，B

?

AC40

?，sin15?sin135?

40sin15?

???30?)?1)，∴AC??

sin13

5在圖中，過C作AB的垂線，設垂足E，則沿AB測得塔的最大仰角是?CED，∴?CED?30，在Rt?ABC中，EC?AC?sinBAC?AC?sin30??1)，?

在Rt?DCE中，塔高CD?CE?tan?CED?1)?tan30?

?

10(3（米）．

3例4如圖所示，在等邊三角形中，AB?a,O為中心，過O的直線交AB于M，交AC

于N，求

1?的最大值和最小值。OM2ON

2解：由于O為正三角形ABC的中心，∴AO?

設?MOA??，則

?，?MAO??NAO?，6A

?

???

2?，在?AON中，由正弦定理得： 3

OMOA，∴OM?，?

sin?MAOsin[??(??)]sin(??)

M?

N

B

在?

AOM中，由正弦定理得：ON?

sin(??)

6，1112??121222

??[sin(??)?sin(??)]?(?sin?)，2222

OMONa66a2?2?3∵???，∴?sin??1，33

4?1118

?故當??時取得最大值，2OM2ON2a2

?2?311152

?所以，當??,or時sin??，此時取得最小值． 222

334OMONa

∴

六、課練：《

七、課堂小結：1．正弦定理能解給出什么條件的三角形問題？

2．由于有三角形面積公式，故解題時要注意與三角形面積公式及三角形外

接圓直徑聯系在一起。

八、作業：

1．在?ABC中，已知atanB?btanA，試判斷這個三角形的形狀；

222

2．在?ABC中，若sinA?2sinB?cosC，sinA?sinB?sinC，試判斷?ABC的形狀。

第二篇：必修⑤《1.1.1正弦定理》教案

必修⑤《1.1.1 正弦定理》教學設計

龍游縣橫山中學 黃建金

? 教材分析

正弦定理是必修⑤第一章開篇內容,在已有知識的基礎上，進一步對三角形邊角關系的研究，發現并掌握三角形中更準確的邊角關系。通過給出的實際問題，并指出解決問題的關鍵在于研究三角形中的邊、角關系，從而引導學生產生探索愿望，激發學生學習的興趣。在教學過程中，要引導學生自主探究三角形的邊角關系，先由特殊情況發現結論，再對一般三角形進行推導證明,并引導學生分析正弦定理可以解決兩類關于解三角形的問題：

（1）知兩角一邊，解三角形；

（2）知兩邊和一邊對角，解三角形。

? 學情分析

學生在學習了基本初等函數和三角恒等變換的基礎上，探究三角形邊角的量化關系，得出正弦定理。學生對現實問題比較感興趣，用現實問題出發激起學生的學習興趣，驅使學生探索研究新知識的欲望。

? 教學目標

1.知識與技能：

(1)引導學生發現正弦定理的內容，探索證明正弦定理的方法；

(2)簡單運用正弦定理解三角形、初步解決某些與測量和幾何計算有關的實際問題

2.過程與方法：

（1）通過對定理的探究，培養學生發現數學規律的思維方法與能力；

（2）通過對定理的證明和應用，培養學生獨立解決問題的能力和體會分類討論和數形結合的思想方法.3.情感、態度與價值觀：

(1)通過對三角形邊角關系的探究學習，經歷數學探究活動的過程，體會由特殊到一般再由一般到特殊的認識事物規律，培養探索精神和創新意識；

(2)通過本節學習和運用實踐，體會數學的科學價值、應用價值，學習用數學的思維方式解決問題、認識世界,進而領會數學的人文價值、美學價值，不斷提高自身的文化修養.? 教學重點、難點

? 教學重點：正弦定理的推證與運用。

? 教學難點：正弦定理的推證；解決問題時可能有兩解的情形。

教學過程

一、結合實例，導入新課

出示靈山江的圖片。

問：如何能夠實現不上塔頂而知塔高，不過河而知河寬？

二、觀察特例，提出猜想[討論]

（1）認識三角形中的6個元素，并復習“大角對大邊，小角對小邊”知識。

問1 ：構成一個三角形最基本的要素有哪些？（同時在黑板上畫出三個不同類型的三角形）問2：在三角形中，角與對邊之間有怎樣的數量關系？（大邊對大角，小邊對小角）

（2）觀察直角三角形，提出猜想

問：能否用一個等式把這種關系精確地表示出來？

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中的角與邊的等式關系。如圖，在Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,根據銳角三角函數中正弦函數的定義，有a

?sinA，b?sinB，又sinC?1?c,則ac

sinA?b

sinB?sinC?c

從而在直角三角形ABC中，a

sinA?b

sinB?c

sinC問：這種關系在銳角三角形中能否成立？

三、證明猜想，得出定理[探究] C（１）化歸思想，把銳角三角形轉化為直角三角形證明。

首先，證明當?ABC是銳角三角形時的情況。證法如下：

設邊AB上的高是CD（目的是把斜三角形轉化為直角三角形），根據任意角三角函數的定義，有CD=asinB?bsinA,則a

sinA?b

sinB，同理可得cbsinC?sinB，從而abc?sinAsinB?sinC

其次，提問當?ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立？（由學生課后自己推導）最后提問：還有其它證明方法嗎？（向量方法）

（２）向量思想，把代數問題轉化為向量問題證明。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這問題。

證明：過點A作單位向量j?????AC?????????CB???，由向量的加法可得 AB?AC?

j??????AB?j???(??AC???CB???·

則)

j??????AB??j????AC????j??CB???

∴?j???AB?

cos?900?A??0??j???CB?cos?

900?C?

a∴csinA?asinC，即?c A?????bc同理，過點C作j?BC，可得?

ab

從而sinA?sinB?c

sinC

（3）得出定理，細說定理

從上面的研探過程，和證明可得以下定理：

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即ab

sinA?sinB?c

sinC

四、定理運用，解決實例

例1．在 △ABC 中,已知 A?30?,B?45?，a?2 cm，求C、b及c

解：根據三角形內角和定理，C?1800?(A?B)?180??(30??45?)?105?

a2?sinB?sin45?22（cm）； ?sinAsin30

a2?sinC?sin105?6?2（cm）c??sinAsin30根據正弦定理，b?

說明：

1、學生講出解題思路，老師板書以示解題規范。

2、已知三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫作解三角形。

3、解題時利用定理的變形a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC更易解決問題。

例2．在 △ABC中，已知 a?6cm，b?6cm，A?30?，解三角形。

解：根據正弦定理，sinAsin30?3sinB?（？Ｂ角一定是銳角嗎？還有可能是什么角？如何判定？）b?63?a6

2因為00＜B＜1800，所以，B=60或120 oo

⑴ 當B=60時，C?180??(A?B)?180??(30??60?)?90?，o

c?a6sinC?sin90??12(cm)?sinAsin30

⑵ 當B=120時，C?180??(A?B)?180??(30??120?)?30?，o

c?a6?sinC?sin30?6(cm)?sinAsin30

說明：

1.讓學生講解題思路，其他同學補充說明，目的是要求學生注意分類討論思想（可能有兩解）。

2.求角時，為了使用方便正弦定理還可以寫成sinAsinBsinC??abc

3.用正弦定理的解題使用的題型：邊角成對已知（1第一類：已知任意兩角及其一邊；

第二類：已知任意兩邊與其中一邊的對角。對+1個），五、活學活用，當堂訓練

練習1在?ABC中，已知下列條件，解三角形。

（說明：可以讓學生上黑板扮演或通過實物投影解題的規范和對錯。）

（1）A?45，C?30，c?10cm，（2）a?20，b?11，B?30

練習2：[合作與探究]：某人站在靈山江岸邊樟樹B處，發現對岸發電廠A處有一棵大樹，如何求出A、B兩點間的距離？（如圖）???

六、回顧課堂，嘗試小結

①本節課學習了一個什么定理？

②該定理使用時至少需要幾個條件？

七、學有所成，課外續學

１、課本第10頁習題1.1A組1、2題

２.思考題：在?ABC中，a

sinA

?bsinB?csinC?k(k>o)，這個k與?ABC的外接圓半徑R有什么關系？

3八、板書設計

第三篇：《正弦定理》教案

《正弦定理》教學設計

一、教學目標分析

1、知識與技能：通過對銳角三角形中邊與角的關系的探索，發現正弦定理；掌握正弦定理的內容及其證明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解決簡單的實際問題。

2、過程與方法：讓學生從實際問題出發，結合以前學習過的直角三角形中的邊角關系，引導學生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發現并證明正弦定理，使學生體會完全歸納法在定理證明中的應用；讓學生在應用定理解決問題的過程中更深入的理解定理及其作用。

3、情感態度與價值觀：面向全體學生，創造平等的教學氛圍，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，發現并證明正弦定理。從發現與證明的過程中體驗數學的探索性與創造性，讓學生體驗成功的喜悅，激發學生的好奇心與求知欲。培養學生處理解三角形問題的運算能力和探索數學規律的推理能力，并培養學生堅忍不拔的意志、實事求是的科學態度和樂于探索、勇于創新的精神。

二、教學重點、難點分析

重點：通過對銳角三角形邊與角關系的探索，發現、證明正弦定理并運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題。

難點：①正弦定理的發現與證明過程；②已知兩邊以及其中一邊的對角解三角形時解的個數的判斷。

三、教法與學法分析

本節課是教材第一章《解三角形》的第一節，所需主要基礎知識有直角三角形的邊角關系，三角函數相關知識。在教法上，根據教材的內容和編排的特點，為更有效的突出重點，突破難點，教學中采用探究式課堂教學模式，首先從學生熟悉的銳角三角形情形入手，設計恰當的問題情境，將新知識與學生已有的知識建立起密切的聯系，通過學生自己的親身體驗，使學生經歷正弦定理的發現過程，激發學生的求知欲，調動學生主動參與的積極性，引導學生嘗試運用新知識解決新問題，即在教學過程中，讓學生的思維由問題開始，通過猜想的得出、猜想的探究、定理的推導等環節逐步得到深化。教學過程中鼓勵學生合作交流、動手實踐，通過對定理的推導、解讀、應用，引導學生主動思考、總結、歸納解答過程中的內在規律，形成一般結論。在學法上，采用個人探究、教師講解，學生討論相結合的方法，讓學生在問題情境中學習，自覺運用觀察、類比、歸納等思想方法，體驗數學知識的內在聯系，重視學生自主探究，增強學生由特殊到一般的數學思維能力，形成實事求是的科學態度和嚴謹求真的學習習慣。

四、學情分析

對于高一的學生來說，已學的平面幾何，解直角三角形，三角函數等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯系、理解、應用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。同時，由于學生目前還沒有學習習近平面向量，因此，對于正弦定理的證明方法——向量法，本節課沒有涉及到。根據以上特點，教師恰當引導，提高學生學習主動性，多加以前后知識間的聯系，帶領學生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。

五、教學工具

多媒體課件

六、教學過程 創設情境，導入新課

興趣是最好的老師。如果一節課有個好的開頭，那就意味著成功了一半。上課一開始，我先提出問題：

工人師傅的一個三角形模型壞了，只剩下如圖所示的部分，AB的長為1m，但他不知道AC和BC的長

是多少而無法去截料，你能告訴師傅這兩邊的長度嗎？ 教師：請大家思考，看看能否用過去所學過的知識解決

這個問題？（約2分鐘思考后學生代表發言）學生活動一:

（教師提示）把這個實際問題抽象為數學模型——那就是“已知三角形中的兩角及夾邊，求另外兩邊的長”，本題是通過三角形中已知的邊和角來求未知的邊和角的這個過程，我們把它習慣上叫解三角形，要求邊的長度，過去的做法就是把未知的邊必須要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函數進行求解，即本題的思路是：“把一般三角形轉化為直角三角形”，也就是要“作高”。

學生：如圖，過點A作BC邊上的高,垂直記作D

然后,首先利用題目中的已知數據求出角C的大小,接著把題目中的相關數據和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函數知識可分別求出CD和BD的長度，把所求出的CD和BD的長度相加即可求出BC的長度。教師：這位同學的想法和思路非常好，簡直是一位天才

（同時再一次回顧該同學具體的做法）

教師：能否像求AC的方法一樣對BC進行求解呢？ 學生：可以

教師：那么具體應該怎么做呢？

學生：過點B向AC作高，垂直記作E，如圖：

接下來，只需要將相關的數據代入即可求出BC的長度 教師：總結學生的做法

通過作兩條高線后，即可把AC、BC的長度用已知的邊和角表示出來

接下來，只需要將題目中的相關數據代入，本題便迎刃而解。定理的發現：

oo教師：如果把本題目中的有關數據變一下，其中A＝50，B＝80大家又該怎么做

呢？

學生1：同樣的做法（仍得作高）

學生2：只需將已知數據代入上述等式即可求出兩邊的長度 教師：還需要再次作高嗎？ 學生：不用

教師：對于任意的銳角三角形中的“已知兩角及其夾邊，求其他兩邊的長”的問

題是否都可以用上述兩個等式進行解決呢？ 學生：可以

教師：既然這兩個等式適合于任意的銳角三角形，那么我們只需要記住這兩個

等式，以后若是再遇見銳角三角形中的這種問題，直接應用這兩個等式 并進行代入求值即可。

教師：大家看看，這兩個等式的形式是否容易記憶呢？ 學生：不容易

教師：能否美化這個形式呢？

學生：美化之后可以得到：

（定理）

教師：銳角三角形中的這個結論，到底表達的是什么意思呢？ 學生：在銳角三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相等

教師：那么銳角三角形中的這個等式能否推廣到任意三角形中呢？那么接下來就

讓我們分別來驗證一下，看看這個等式在直角三角形和鈍角三角形中是否 成立。定理的探索：

教師：大家知道，在直角三角形ABC中：若 則：

所以：

故：

即： 在直角三角形中也成立

教師：那么這個等式在鈍角三角形中是否成立，我們又該如何驗證呢？請大家思考。

學生活動二：驗證

教師（提示）：要出現sinA、sinB的值

必須把A、B放在直角三角形中

即就是要作高（可利用誘導公式將

在鈍角三角形中是否成立

轉化為）

學生：學生可分小組進行完成，最終可由各小組組長

匯報本小組的思路和做法。（結論成立）

教師：我們在銳角三角形中發現有這樣一個等式成立，接下來，用類比的方法對

它分別在直角三角形和鈍角三角形中進行驗證，結果發現，這個等式對于

任意的直角三角形和任意的鈍角三角形都成立，那么我們此時能否說：“這

個等式對于任意的三角形都成立”呢？ 學生：可以

教師：這就是我們這節課要學習的《正弦定理》（引出課題）定理的證明

教師：展示正弦定理的證明過程

證明：（1）當三角形是銳角三角形時，過點A作BC邊

上的高線，垂直記作D，過點B向AC作高，垂直記作E，如圖：

同理可得：

所以易得

（2）當三角形是直角三角形時；

在直角三角形ABC中：若 因為：

所以：

故：

即：

（3）當三角形是鈍角三角形時（角C為鈍角）

過點A作BC邊上的高線，垂直記作D

由三角形ABC的面積可得 即：

故：

所以，對于任意的三角形都有

教師：這就是本節課我們學習的正弦定理（給出定理的內容）

（解釋定理的結構特征）

思考：正弦定理可以解決哪類問題呢？ 學生：在一個等式中可以做到“知三求一” 定理的應用

教師：接下來，讓我們來看看定理的應用（回到剛開始的那個實際問題，用正弦

定理解決）（板書步驟）

成立。

隨堂訓練

學生：獨立完成后匯報結果或快速搶答

教師：上述幾道題目只是初步的展現了正弦定理的應用，其實正弦定理的應用相

當廣泛，那么它到底可以解決什么問題呢，這里我送大家四句話：“近測

高塔遠看山，量天度海只等閑；古有九章勾股法，今看三角正余弦.”

以這四句話把正弦定理的廣泛應用推向高潮）

課堂小結：

1、知識方面：正弦定理：

2、其他方面：

過程與方法：發現

推廣

猜想

驗證

證明

（這是一種常用的科學研究問題的思路與方法，希望同學們在今

后的學習中一定要注意這樣的一個過程）

數學思想：轉化與化歸、分類討論、從特殊到一般

作業布置： ①書面作業：P52

②查找并閱讀“正弦定理”的其他證明方法（比如“面積法”、“向量法”等）

③思考、探究：若將隨堂訓練中的已知條件改為以下幾種情況，結果如何？

板書設計：

1、定理：

2、探索：

3、證明：

4、應用：

檢測評估：

第四篇：正弦定理教案

正弦定理教案

教學目標：

1．知識目標:通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.能力目標:讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

3．情感目標：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。

教學重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

教學難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

教學過程：

一、復習引入

創設情境：

【師】：世界聞名的巴黎埃菲爾鐵塔，比其他的建筑高出很多。如果只提供測角儀和皮尺，你能測出埃菲爾鐵塔的高度嗎？

【生】：可以先在離鐵塔一段距離的地方測出觀看鐵塔的仰角，再測出與鐵塔的水平距離，就可以利用三角函數測出高度。

【創設情境總結】：解決上述問題的過程中我們將距離的問題轉化為角，進而轉化為三角函數的問題進行計算。這個實際問題說明了三角形的邊與角有緊密的聯系，邊和角甚至可以互相轉化，這節課我們就要從正弦這個側面來研究三角形邊角的關系即正弦定理。

二、新課講解

【師】：請同學們回憶一下，在直角三角形中各個角的正弦是怎么樣表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinA?ab,sinB?,sinC?1 cc

abc,c?,c?，也就是說在Rt△ABCsinAsinBsinC【師】：有沒有一個量可以把三個式子聯系起來？ 【生】：邊c可以把他們聯系起來，即c?

中abc?? sinAsinBsinC

【師】：對，很美、很對稱的一個式子，用文字來描述就是：“在一個直角三角形中，各邊與

它所對角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，該式是否也成立呢？讓我們在幾何畫板中驗證一下，對任意的三角形ABC是不是都有“各邊與它所對角的正弦比相等”成立？

【師】：通過驗證我們得到，在任意的三角形中都有各個邊和他所對的角的正弦值相等。

在上面這個對稱的式子中涉及到了三角形三個角的正弦，因此我們把它稱為正弦定理，即我們今天的課題。

【師】：直觀的印象并不能代替嚴格的數學證明，所以，只是直觀的驗證是不夠的，那能不

能對這個定理給出一個證明呢？

【生】：可以用三角形的面積公式對正弦定理進行證明：S?1111absinC?acsinB?bcsinA，然后三個式子同時處以abc就可以得222

2到正弦定理了。

【師】：這是一種很好的證明方法，能不能用之前學過的向量來證明呢？答案是肯定的。怎

么樣利用向量只是來證明正弦定理呢？大家觀察，這個式子涉及到的是邊和角，即向量的模和夾角之間的關系。哪一種運算同時涉及到向量的夾角和模呢？

（板書：證法二，向量法）

????【生】：向量的數量積a?b?a?b?cos?

【師】：先在銳角三角形中討論一下，如果把三角形的三邊看做向量的話，則容易得到三角

????????????形的三個邊向量滿足的關系：AB?BC?AC,那么，和哪個向量做數量積呢？還

有數量積公式中提到的是夾角的余弦，而我們要得是夾角的正弦，這個又怎么轉化？（啟發學生得出通過做點A的垂線根據誘導公式來得到）

【生】：做A點的垂線

【師】：那是那條線的垂線呢？

【生】：AC的垂線

??【師】：如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式子的兩邊同時做數

?cos(90?A)?cos(90?C)??cos90，化簡000

即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC

銳角三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結論。

【師】：如果△ABC是鈍角三角形呢？又怎么樣得到正弦定理的證明呢？不妨假設∠A是鈍

??角，那么同樣道理如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式

????????????子AB?BC?AC的兩邊同時做數量積運算就可以得到

???????????????00j?AB?cos(C?90)?j?BC?cos(90?C)?j?AC?cos900，化簡即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在鈍角三角sinAsinCsinBsinC

形ABC中也有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結論。

【師】：經過上面的證明，我們用兩種方法得到了正弦定理的證明，并且得到了正弦定理對

于直角、銳角、鈍角三角形都是成立的。

【師】：大家觀察一下正弦定理的這個式子，它是一個比例式。對于一個比例式來說，如果

我們知道其中的三項，那么就可以根據比例的運算性質得到第四項。因此正弦定理的應用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對角求另外一邊的對角，或者兩角一邊求出另外一

邊。

【師】：其實大家如果聯系三角形的內角和公式的話，其實只要有上面的任意一個條件，我們都可以解出三角形中所有的未知邊和角。下面我們來看正弦定理的一些應用。

三、例題解析

【例1】優化P101例

1分析：直接代入正弦定理中運算即可

ab?sinAsinB

c?sinA10?sin45?

?a????sinCsin30

bc??sinBsinC

B?180??(A?C)?180??(45??30?)?105??

c?sinB10?sin105??b???20?5sinCsin30?總結：本道例題給出了解三角形的第一類問題（已知兩角和一邊，求另外兩邊和一

角，因為兩個角都是確定的的，所以只有一種情況）

【課堂練習1】教材P144練習1（可以讓學生上臺板演）

【隨堂檢測】見幻燈片

四、課堂小結

【師】：本節課的主要內容是正弦定理，即三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等。寫成數學式子就是abc??。并且一起研究了他的證明方法，利用它解決sinAsinBsinC

了一些解三角形問題。對于正弦定理的證明主，要有面積法和向量法，其實對于正弦定理的證明，還有很多別的方法，有興趣的同學下去之后可以自己去了解一下。

五、作業布置

世紀金榜P86自測自評、例

1、例

2板書設計：

六、教學反思

第五篇：必修5 正弦定理1

必修51.1.1正弦定理（學案）

【學習要求】

1．發現并掌握正弦定理及證明方法。

2．會初步應用正弦定理解斜三角形．

3．三角形的面積公式

【學習過程】

1.正弦定理證明方法：（1）定義法（2）向量法（3法四：法一：（等積法）在任意斜△ABC當中，S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA.兩邊同除以abc即得：

法三：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴CD?2R?.同理2R =＝.可將正弦定理推廣為：abc== =2R（R為△ABC外接圓半sinAsinBsinC12121212abc==.sinAsinBsinC徑）.2.正弦定理：在一個三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相等，都

等于這個三角形的外接圓的直徑，即

注意：正弦定理本質是三個恒等式：

三角形的元素：a,b,c,??,??,?C

已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫解三角形。

3.定理及其變形 ：（1）sinA:sinB:sinC=a:b:c；

a?b?cabc(2)====2R； sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

（3）a=2RsinA,；b=_2RsinB ；c=2RsinC；

abc（4）sinA=；sinB=；sinC=.2R2R2R

4.正弦定理可以解決的問題：

（1）_已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和一角；（唯一解）abc=== 2RsinAsinBsinCabcbac??，, =.sinAsinCsinCsinBsinCsinB

（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和兩角．（常見：大一小二）

5.常用面積公式：

對于任意?ABC，若a，b，c為三角形的三邊，且A,B,C為三邊的對角，則三角形的面積為：

111①S?ABC?_____ha(ha表示a邊上的高）.②S?ABC?absinC?acsinB?____________ 22

2例1：在?ABC中，已知A?45?,B?30?,c?10,求b.例2：在?ABC中，已知A?45?,a?2,b?2,求B

例3：在?ABC中，已知B?45?,a?,b?2,求A,C和c

總結：（1）已知兩角和任意一邊，求解三角形時，注意結合三角形的內角和定理求出已知邊的對角；應用正弦定理時注意邊與角的對應性

（2）應用正弦定理時注意邊與角的對應性;注意由sinC求角C時，討論角C為銳角或鈍角的情況.例4不解三角形，判斷下列三角形解的個數．

(l)a=5,b=4，A=120?（2）a =7,b=l4,A= 150?(3)a =9,b=l0,A= 60?（4）c=50,b=72,C=135?練習：

1、在△ABC中，一定成立的是

A、acosA?bcosBB、asinA?bsinBC、asinB?bsinAD、acosB?bcosA

2．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,則a:b:c?3．已知在△ABC中，a=10，∠A=60°，b=10，則cosB=___________.4．在△ABC中，已知a?2,b?2,A?30?，解三角形。

5.（1）在?ABC中，已知b?,B?600,c?1,求a和A,C

（2）?ABC中，c?,A?450,a?2,求b和B,C

6.在△ABC中，若∠A=60，∠B=45，a?求△ABC的面積。00