第一篇：《正弦定理》教案

《正弦定理》授課教案

湖南師范大學 數計院 數學一班 李雪

教材：人民教育出版社高中數學必修五第一章第一節

學生：高一年級學生

教學課時：8分鐘

一、教材分析：

《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一節內容，也是三角形理論中的一個重要內容，與初中學習的三角形的邊和角的基本關系有密切的聯系，是解三角形重要手段之一，也是解決實際生活中許多測量問題的工具。在此之前，學生已經學習過了三角形的相關性質，它是后續課程中解三角形的理論依據，因此熟練掌握正弦定理能為接下來學習解三角形打下堅實基礎，并能在實際應用中靈活變通。

二、教學目標

1.知識與技能

理解并掌握正弦定理的證明，能初步運用正弦定理解三角形。

2.過程與方法

探索正弦定理的證明過程，由特殊到一般，數學歸納的思想證明結論。灌輸數學建模的思想，學會在給定情境中建立數學模型。

3.情感、態度與價值觀

通過對公式證明過程的探究與發現，提高學生對數學的興趣，樹立學好數

1學的信心，讓學生感受數學公式的整潔對稱美和與其數學的實際應用價值。

三、教學重點、難點：

重點：正弦定理的內容及其證明。

難點：正弦定理的探索及證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內容及其證明方法。

四、教學過程 ：

1.探究假設

在直角三角形中，證明過程： abc??成立，對其進行證明。sinAsinBsinC

得出結論：abc?? sinAsinBsinC

探究問題：這個結論是否能推廣到一般三角形？若成立，給出理由。若不成立，能否舉出反例呢？

2.驗證假設

? 首先在銳角三角形中進行討論（板書）

驗證過程：

E

過C點作AB邊的垂線CD，sinA?CD

得到：b

sinB?CD

a

CD?bsinA

?asinB b

sinB?a

sinA

同理，過A點作BC邊的垂線AE，sinC?AE

得到：b

sinB?AE

c

AE?bsinC?csinB b

sinB?c

sinC

得出結論：a

sinA?b

sinB?c

sinC

? 再次在鈍角三角形中進行討論

3.得出結論：

正弦定理（laws of sines）: 在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等.即：任意三角形中，a

sinA?b

sinB?c

sinC成立

4.例題詳解：

例：AC=, BC=1,B=120o，求角A的度數。

解：由正弦定理可知

代入數據得：

故：

故A=150o或者30o

AC

sin

B?BC

sinA

sinA=

15.課堂小結：

? 正弦定理abc??及其證明 sinAsinBsinC

? 正弦定理的簡單應用

6.課后思考：

已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和角時,三角形的解是唯一的嗎？

五、板書設計

第二篇：《正弦定理》教案

《正弦定理》教學設計

一、教學目標分析

1、知識與技能：通過對銳角三角形中邊與角的關系的探索，發現正弦定理；掌握正弦定理的內容及其證明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解決簡單的實際問題。

2、過程與方法：讓學生從實際問題出發，結合以前學習過的直角三角形中的邊角關系，引導學生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發現并證明正弦定理，使學生體會完全歸納法在定理證明中的應用；讓學生在應用定理解決問題的過程中更深入的理解定理及其作用。

3、情感態度與價值觀：面向全體學生，創造平等的教學氛圍，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，發現并證明正弦定理。從發現與證明的過程中體驗數學的探索性與創造性，讓學生體驗成功的喜悅，激發學生的好奇心與求知欲。培養學生處理解三角形問題的運算能力和探索數學規律的推理能力，并培養學生堅忍不拔的意志、實事求是的科學態度和樂于探索、勇于創新的精神。

二、教學重點、難點分析

重點：通過對銳角三角形邊與角關系的探索，發現、證明正弦定理并運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題。

難點：①正弦定理的發現與證明過程；②已知兩邊以及其中一邊的對角解三角形時解的個數的判斷。

三、教法與學法分析

本節課是教材第一章《解三角形》的第一節，所需主要基礎知識有直角三角形的邊角關系，三角函數相關知識。在教法上，根據教材的內容和編排的特點，為更有效的突出重點，突破難點，教學中采用探究式課堂教學模式，首先從學生熟悉的銳角三角形情形入手，設計恰當的問題情境，將新知識與學生已有的知識建立起密切的聯系，通過學生自己的親身體驗，使學生經歷正弦定理的發現過程，激發學生的求知欲，調動學生主動參與的積極性，引導學生嘗試運用新知識解決新問題，即在教學過程中，讓學生的思維由問題開始，通過猜想的得出、猜想的探究、定理的推導等環節逐步得到深化。教學過程中鼓勵學生合作交流、動手實踐，通過對定理的推導、解讀、應用，引導學生主動思考、總結、歸納解答過程中的內在規律，形成一般結論。在學法上，采用個人探究、教師講解，學生討論相結合的方法，讓學生在問題情境中學習，自覺運用觀察、類比、歸納等思想方法，體驗數學知識的內在聯系，重視學生自主探究，增強學生由特殊到一般的數學思維能力，形成實事求是的科學態度和嚴謹求真的學習習慣。

四、學情分析

對于高一的學生來說，已學的平面幾何，解直角三角形，三角函數等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯系、理解、應用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。同時，由于學生目前還沒有學習習近平面向量，因此，對于正弦定理的證明方法——向量法，本節課沒有涉及到。根據以上特點，教師恰當引導，提高學生學習主動性，多加以前后知識間的聯系，帶領學生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。

五、教學工具

多媒體課件

六、教學過程 創設情境，導入新課

興趣是最好的老師。如果一節課有個好的開頭，那就意味著成功了一半。上課一開始，我先提出問題：

工人師傅的一個三角形模型壞了，只剩下如圖所示的部分，AB的長為1m，但他不知道AC和BC的長

是多少而無法去截料，你能告訴師傅這兩邊的長度嗎？ 教師：請大家思考，看看能否用過去所學過的知識解決

這個問題？（約2分鐘思考后學生代表發言）學生活動一:

（教師提示）把這個實際問題抽象為數學模型——那就是“已知三角形中的兩角及夾邊，求另外兩邊的長”，本題是通過三角形中已知的邊和角來求未知的邊和角的這個過程，我們把它習慣上叫解三角形，要求邊的長度，過去的做法就是把未知的邊必須要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函數進行求解，即本題的思路是：“把一般三角形轉化為直角三角形”，也就是要“作高”。

學生：如圖，過點A作BC邊上的高,垂直記作D

然后,首先利用題目中的已知數據求出角C的大小,接著把題目中的相關數據和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函數知識可分別求出CD和BD的長度，把所求出的CD和BD的長度相加即可求出BC的長度。教師：這位同學的想法和思路非常好，簡直是一位天才

（同時再一次回顧該同學具體的做法）

教師：能否像求AC的方法一樣對BC進行求解呢？ 學生：可以

教師：那么具體應該怎么做呢？

學生：過點B向AC作高，垂直記作E，如圖：

接下來，只需要將相關的數據代入即可求出BC的長度 教師：總結學生的做法

通過作兩條高線后，即可把AC、BC的長度用已知的邊和角表示出來

接下來，只需要將題目中的相關數據代入，本題便迎刃而解。定理的發現：

oo教師：如果把本題目中的有關數據變一下，其中A＝50，B＝80大家又該怎么做

呢？

學生1：同樣的做法（仍得作高）

學生2：只需將已知數據代入上述等式即可求出兩邊的長度 教師：還需要再次作高嗎？ 學生：不用

教師：對于任意的銳角三角形中的“已知兩角及其夾邊，求其他兩邊的長”的問

題是否都可以用上述兩個等式進行解決呢？ 學生：可以

教師：既然這兩個等式適合于任意的銳角三角形，那么我們只需要記住這兩個

等式，以后若是再遇見銳角三角形中的這種問題，直接應用這兩個等式 并進行代入求值即可。

教師：大家看看，這兩個等式的形式是否容易記憶呢？ 學生：不容易

教師：能否美化這個形式呢？

學生：美化之后可以得到：

（定理）

教師：銳角三角形中的這個結論，到底表達的是什么意思呢？ 學生：在銳角三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相等

教師：那么銳角三角形中的這個等式能否推廣到任意三角形中呢？那么接下來就

讓我們分別來驗證一下，看看這個等式在直角三角形和鈍角三角形中是否 成立。定理的探索：

教師：大家知道，在直角三角形ABC中：若 則：

所以：

故：

即： 在直角三角形中也成立

教師：那么這個等式在鈍角三角形中是否成立，我們又該如何驗證呢？請大家思考。

學生活動二：驗證

教師（提示）：要出現sinA、sinB的值

必須把A、B放在直角三角形中

即就是要作高（可利用誘導公式將

在鈍角三角形中是否成立

轉化為）

學生：學生可分小組進行完成，最終可由各小組組長

匯報本小組的思路和做法。（結論成立）

教師：我們在銳角三角形中發現有這樣一個等式成立，接下來，用類比的方法對

它分別在直角三角形和鈍角三角形中進行驗證，結果發現，這個等式對于

任意的直角三角形和任意的鈍角三角形都成立，那么我們此時能否說：“這

個等式對于任意的三角形都成立”呢？ 學生：可以

教師：這就是我們這節課要學習的《正弦定理》（引出課題）定理的證明

教師：展示正弦定理的證明過程

證明：（1）當三角形是銳角三角形時，過點A作BC邊

上的高線，垂直記作D，過點B向AC作高，垂直記作E，如圖：

同理可得：

所以易得

（2）當三角形是直角三角形時；

在直角三角形ABC中：若 因為：

所以：

故：

即：

（3）當三角形是鈍角三角形時（角C為鈍角）

過點A作BC邊上的高線，垂直記作D

由三角形ABC的面積可得 即：

故：

所以，對于任意的三角形都有

教師：這就是本節課我們學習的正弦定理（給出定理的內容）

（解釋定理的結構特征）

思考：正弦定理可以解決哪類問題呢？ 學生：在一個等式中可以做到“知三求一” 定理的應用

教師：接下來，讓我們來看看定理的應用（回到剛開始的那個實際問題，用正弦

定理解決）（板書步驟）

成立。

隨堂訓練

學生：獨立完成后匯報結果或快速搶答

教師：上述幾道題目只是初步的展現了正弦定理的應用，其實正弦定理的應用相

當廣泛，那么它到底可以解決什么問題呢，這里我送大家四句話：“近測

高塔遠看山，量天度海只等閑；古有九章勾股法，今看三角正余弦.”

以這四句話把正弦定理的廣泛應用推向高潮）

課堂小結：

1、知識方面：正弦定理：

2、其他方面：

過程與方法：發現

推廣

猜想

驗證

證明

（這是一種常用的科學研究問題的思路與方法，希望同學們在今

后的學習中一定要注意這樣的一個過程）

數學思想：轉化與化歸、分類討論、從特殊到一般

作業布置： ①書面作業：P52

②查找并閱讀“正弦定理”的其他證明方法（比如“面積法”、“向量法”等）

③思考、探究：若將隨堂訓練中的已知條件改為以下幾種情況，結果如何？

板書設計：

1、定理：

2、探索：

3、證明：

4、應用：

檢測評估：

第三篇：正弦定理教案

正弦定理教案

教學目標：

1．知識目標:通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.能力目標:讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

3．情感目標：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。

教學重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

教學難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

教學過程：

一、復習引入

創設情境：

【師】：世界聞名的巴黎埃菲爾鐵塔，比其他的建筑高出很多。如果只提供測角儀和皮尺，你能測出埃菲爾鐵塔的高度嗎？

【生】：可以先在離鐵塔一段距離的地方測出觀看鐵塔的仰角，再測出與鐵塔的水平距離，就可以利用三角函數測出高度。

【創設情境總結】：解決上述問題的過程中我們將距離的問題轉化為角，進而轉化為三角函數的問題進行計算。這個實際問題說明了三角形的邊與角有緊密的聯系，邊和角甚至可以互相轉化，這節課我們就要從正弦這個側面來研究三角形邊角的關系即正弦定理。

二、新課講解

【師】：請同學們回憶一下，在直角三角形中各個角的正弦是怎么樣表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinA?ab,sinB?,sinC?1 cc

abc,c?,c?，也就是說在Rt△ABCsinAsinBsinC【師】：有沒有一個量可以把三個式子聯系起來？ 【生】：邊c可以把他們聯系起來，即c?

中abc?? sinAsinBsinC

【師】：對，很美、很對稱的一個式子，用文字來描述就是：“在一個直角三角形中，各邊與

它所對角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，該式是否也成立呢？讓我們在幾何畫板中驗證一下，對任意的三角形ABC是不是都有“各邊與它所對角的正弦比相等”成立？

【師】：通過驗證我們得到，在任意的三角形中都有各個邊和他所對的角的正弦值相等。

在上面這個對稱的式子中涉及到了三角形三個角的正弦，因此我們把它稱為正弦定理，即我們今天的課題。

【師】：直觀的印象并不能代替嚴格的數學證明，所以，只是直觀的驗證是不夠的，那能不

能對這個定理給出一個證明呢？

【生】：可以用三角形的面積公式對正弦定理進行證明：S?1111absinC?acsinB?bcsinA，然后三個式子同時處以abc就可以得222

2到正弦定理了。

【師】：這是一種很好的證明方法，能不能用之前學過的向量來證明呢？答案是肯定的。怎

么樣利用向量只是來證明正弦定理呢？大家觀察，這個式子涉及到的是邊和角，即向量的模和夾角之間的關系。哪一種運算同時涉及到向量的夾角和模呢？

（板書：證法二，向量法）

????【生】：向量的數量積a?b?a?b?cos?

【師】：先在銳角三角形中討論一下，如果把三角形的三邊看做向量的話，則容易得到三角

????????????形的三個邊向量滿足的關系：AB?BC?AC,那么，和哪個向量做數量積呢？還

有數量積公式中提到的是夾角的余弦，而我們要得是夾角的正弦，這個又怎么轉化？（啟發學生得出通過做點A的垂線根據誘導公式來得到）

【生】：做A點的垂線

【師】：那是那條線的垂線呢？

【生】：AC的垂線

??【師】：如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式子的兩邊同時做數

?cos(90?A)?cos(90?C)??cos90，化簡000

即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC

銳角三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結論。

【師】：如果△ABC是鈍角三角形呢？又怎么樣得到正弦定理的證明呢？不妨假設∠A是鈍

??角，那么同樣道理如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式

????????????子AB?BC?AC的兩邊同時做數量積運算就可以得到

???????????????00j?AB?cos(C?90)?j?BC?cos(90?C)?j?AC?cos900，化簡即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在鈍角三角sinAsinCsinBsinC

形ABC中也有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結論。

【師】：經過上面的證明，我們用兩種方法得到了正弦定理的證明，并且得到了正弦定理對

于直角、銳角、鈍角三角形都是成立的。

【師】：大家觀察一下正弦定理的這個式子，它是一個比例式。對于一個比例式來說，如果

我們知道其中的三項，那么就可以根據比例的運算性質得到第四項。因此正弦定理的應用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對角求另外一邊的對角，或者兩角一邊求出另外一

邊。

【師】：其實大家如果聯系三角形的內角和公式的話，其實只要有上面的任意一個條件，我們都可以解出三角形中所有的未知邊和角。下面我們來看正弦定理的一些應用。

三、例題解析

【例1】優化P101例

1分析：直接代入正弦定理中運算即可

ab?sinAsinB

c?sinA10?sin45?

?a????sinCsin30

bc??sinBsinC

B?180??(A?C)?180??(45??30?)?105??

c?sinB10?sin105??b???20?5sinCsin30?總結：本道例題給出了解三角形的第一類問題（已知兩角和一邊，求另外兩邊和一

角，因為兩個角都是確定的的，所以只有一種情況）

【課堂練習1】教材P144練習1（可以讓學生上臺板演）

【隨堂檢測】見幻燈片

四、課堂小結

【師】：本節課的主要內容是正弦定理，即三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等。寫成數學式子就是abc??。并且一起研究了他的證明方法，利用它解決sinAsinBsinC

了一些解三角形問題。對于正弦定理的證明主，要有面積法和向量法，其實對于正弦定理的證明，還有很多別的方法，有興趣的同學下去之后可以自己去了解一下。

五、作業布置

世紀金榜P86自測自評、例

1、例

2板書設計：

六、教學反思

第四篇：正弦定理教案（最終版）

解斜三角形——正弦定理

學習目的: 1.探究并證明正弦定理，了解數學理論的發現發展過程；

2.理解并掌握正弦定理，能初步運用正弦定理解斜三角形。

學習重點: 正弦定理的證明和解三角形 學習難點: 正弦定理的證明 學習過程： 一．定理引入：

提出問題：設點B在長江岸邊，點A在對岸那邊，為了測量A、B兩點間的距離，你有何好辦法呢？（給你尺和量角器材）

二、定理講解：

正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即abc?? sinAsinBsinC正弦定理可以解決三角形中兩類問題：

①已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而可求其他的邊和角;②已知兩角和一邊，求另一角和其他邊。

三、定理應用：

例1：在△ABC中，已知c=10, A=45? , C=30? ,求b.例2：在△ABC中，已知a=16, b=163 , A=30? ,求B、C、c.例3：在△ABC中，已知a=4, b=42 , B=45? ,求A、c.情境教學法、講練結合法、任務驅動法、自主探究法、小組合作學習法 情境教學法、講練結合法、任務驅動法、自主探究法、小組合作學習法 課堂練習：

1、在△ABC中，已知b=

6,c=23, B=45?，解三角形。

2、在△ABC中，已知a=4，b=

46，A=60?，求B。

33、在△ABC中，已知b=40,c=20, C=45?，解三角形。

課后練習：

1、一個三角形的兩個內角分別為30?和45?，如果45?角所對的邊長為8，那么30?

角所對邊的長為________________

2、在△ABC中，b=3,c=33, B=30，求∠C。

o,3、在△ABC中，已知a=4，b=10，A=30，求∠B。

4、在△ABC中，已知b=4，c=8，B=30，求∠A，∠C和邊a。

o,o,

第五篇：正弦定理教案[定稿]

1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理從容說課本章內容是處理三角形中的邊角關系，與初中學習的三角形的邊與角的基本關系有密切的聯系，與已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識也有著密切的聯系．教科書在引入正弦定理內容時，讓學生從已有的幾何知識出發，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系.我們是否能得到這個邊、角的關系準確量化的表示呢?”在引入余弦定理內容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們仍然從量化的角度來研究這個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題”．這樣，用聯系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎上，形成良好的知識結構．教學重點1.正弦定理的概念； 2.正弦定理的證明及其基本應用．教學難點1.正弦定理的探索和證明； 2.已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數．教具準備直角三角板一個三維目標

一、知識與技能 1.通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法； 2.會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題．

二、過程與方法 1.讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系； 2.引導學生通過觀察、推導、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理； 3.進行定理基本應用的實踐操作．

三、情感態度與價值觀 1.培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力； 2.培養學生探索數學規律的思維能力，通過三角函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一．教學過程導入新課 師如右圖，固定△ABC的邊CB及∠B，使邊AC繞著頂點C轉動．師思考：∠C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數量關系？生顯然，邊AB的長度隨著其對角∠C的大小的增大而增大．師能否用一個等式把這種關系精確地表示出來？ 師在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系．如右圖，在Rt△ABC中，設BC =A,AC =B,AB =C,根據銳角三角函數中正弦函數的定義，有=sinA，=sinB，又sinC=1=,則.從而在直角三角形ABC中，.推進新課 [合作探究]師那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？（由學生討論、分析）生可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： 如右圖，當△ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據任意角三角函數的定義，有CD=AsinB=BsinA,則，同理，可得.從而.（當△ABC是鈍角三角形時，解法類似銳角三角形的情況，由學生自己完成）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.師是否可以用其他方法證明這一等式？生可以作△ABC的外接圓，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根據直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等，來證明這一關系．師很好！這位同學能充分利用我們以前學過的知識來解決此問題，我們一起來看下面的證法.在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圓,O為圓心,連結BO并延長交圓于B′,設BB′=2R.則根據直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sinC=sinB′=. ∴.同理,可得. ∴.這就是說,對于任意的三角形,上述關系式均成立,因此,我們得到等式.點評:上述證法采用了初中所學的平面幾何知識,將任意三角形通過外接圓性質轉化為直角三角形進而求證,此證法在鞏固平面幾何知識的同時,易于被學生理解和接受,并且消除了學生所持的“向量方法證明正弦定理是唯一途徑”這一誤解.既拓寬了學生的解題思路,又為下一步用向量方法證明正弦定理作了鋪墊. [知識拓展]師接下來,我們可以考慮用前面所學的向量知識來證明正弦定理.從定理內容可以看出,定理反映的是三角形的邊角關系,而在向量知識中,哪一知識點體現邊角關系呢?生向量的數量積的定義式A·B=|A||B|Cosθ,其中θ為兩向量的夾角.師回答得很好,但是向量數量積涉及的是余弦關系而非正弦關系,這兩者之間能否轉化呢?生 可以通過三角函數的誘導公式sinθ=Cos(90°-θ)進行轉化.師這一轉化產生了新角90°-θ,這就為輔助向量j的添加提供了線索,為方便進一步的運算,輔助向量選取了單位向量j,而j垂直于三角形一邊,且與一邊夾角出現了90°-θ這一形式,這是作輔助向量j垂直于三角形一邊的原因.師在向量方法證明過程中,構造向量是基礎,并由向量的加法原則可得 而添加垂直于的單位向量j是關鍵,為了產生j與、、的數量積,而在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數量積運算,也就在情理之中了.師下面,大家再結合課本進一步體會向量法證明正弦定理的過程,并

注意總結在證明過程中所用到的向量知識點.點評:(1)在給予學生適當自學時間后,應強調學生注意兩向量的夾角是以同起點為前提,以及兩向量垂直的充要條件的運用.(2)要求學生在鞏固向量知識的同時,進一步體會向量知識的工具性作用.向量法證明過程:(1)△ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90°-A,j與的夾角為90°-C.由向量的加法原則可得 ,為了與圖中有關角的三角函數建立聯系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數量積運算,得到 由分配律可得. ∴|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A). ∴AsinC=CsinA. ∴.另外,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與的夾角為90°+B,可得.(此處應強調學生注意兩向量夾角是以同起點為前提,防止誤解為j與的夾角為90°-C,j與的夾角為90°-B) ∴.(2)△ABC為鈍角三角形,不妨設A＞90°,過點A作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為A-90°,j與的夾角為90°-C.由,得j·+j·=j·,即A·Cos(90°-C)=C·Cos(A-90°), ∴AsinC=CsinA. ∴ 另外,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與夾角為90°+B.同理,可得. ∴（形式1）.綜上所述,正弦定理對于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形均成立.師在證明了正弦定理之后,我們來進一步學習正弦定理的應用. [教師精講]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC；（2）等價于(形式2).我們通過觀察正弦定理的形式2不難得到,利用正弦定理,可以解決以下兩類有關三角形問題.①已知三角形的任意兩角及其中一邊可以求其他邊，如.這類問題由于兩角已知,故第三角確定,三角形唯一,解唯一,相對容易,課本P4的例1就屬于此類問題. ②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如．此類問題變化較多,我們在解題時要分清題目所給的條件．一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形．師接下來,我們通過例題評析來進一步體會與總結.［例題剖析］【例1】在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9 cm,解三角形.分析:此題屬于已知兩角和其中一角所對邊的問題,直接應用正弦定理可求出邊B,若求邊C,再利用正弦定理即可.解：根據三角形內角和定理， C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;根據正弦定理， b=≈80.1(cm); c=≈74.1(cm). [方法引導](1)此類問題結果為唯一解,學生較易掌握,如果已知兩角和兩角所夾的邊,也是先利用內角和180°求出第三角,再利用正弦定理.(2)對于解三角形中的復雜運算可使用計算器.【例2】在△ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40°，解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1 cm）．分析:此例題屬于BsinA＜a＜b的情形,故有兩解,這樣在求解之后呢,無需作進一步的檢驗,使學生在運用正弦定理求邊、角時,感到目的很明確,同時體會分析問題的重要性.解：根據正弦定理， sinB =≈0.899 9.因為0°＜B＜180°，所以B≈64°或B≈116°.（1）當B≈64°時， C =180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°， C =≈30(cm).（2）當B≈116°時， C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°， C=≈13(cm). [方法引導]通過此例題可使學生明確,利用正弦定理求角有兩種可能,但是都不符合題意,可以通過分析獲得,這就要求學生熟悉已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形.當然對于不符合題意的解的取舍,也可通過三角形的有關性質來判斷,對于這一點,我們通過下面的例題來體會.變式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38°,求B(精確到1°)和C(保留兩個有效數字).分析:此題屬于A≥B這一類情形,有一解,也可根據三角形內大角對大邊,小角對小邊這一性質來排除B為鈍角的情形.解：已知B

(1)B=11,A=20,B=30°;(2)A=28,B=20,A=45°;(3)C =54,B=39,C=115°;(4)A=20,B=28,A=120°.解：(1)∵. ∴sinA =≈0.909 1. ∴A1≈65°，A2≈115°.當A1≈65°時，C1=180°-(B+A1)=180°-(30°+65°)=85°， ∴C1=≈22.當A2≈115°時，C2=180°-(B+A2)=180°-(30°+115°)=35°, ∴C2=≈13.(2)∵sinB=≈0.505 1, ∴B1≈30°，B2≈150°.由于A+B2=45°+150°＞180°,故B2≈150°應舍去(或者由B＜A知B＜A,故B應為銳角). ∴C=180°-(45°+30°)=105°. ∴C=≈38.(3)∵, ∴sinB=≈0.654 6. ∴B1≈41°,B2≈139°.由于B＜C,故B＜C,∴B2≈139°應舍去. ∴當B=41°時，A=180°-(41°+115°)=24°, A=≈24.(4)sinB= =1.212＞1. ∴本題無解.點評:此練習目的是使學生進一步熟悉正弦定理,同時加強解三角形的能力,既要考慮到已知角的正弦值求角的兩種可能,又要結合題目的具體情況進行正確取舍.課堂小結通過本節學習,我們一起研究了正弦定理的證明方法,同時了解了向量的工具性作用,并且明確了利用正弦定理所能解決的兩類有關三角形問題:已知兩角、一邊解三角形;已知兩邊和其中一邊的對角解三角形.布置作業

（一）課本第10頁習題1.1 第1、2題.

（二）預習內容：課本P5～P 8余弦定理 [預習提綱](1)復習余弦定理證明中所涉及的有關向量知識.(2)余弦定理如何與向量產生聯系.(3)利用余弦定理能解決哪些有關三角形問題.板書設計正弦定理 1.正弦定理: 2.證明方法: 3.利用正弦定理,能夠解決兩類問題:(1)平面幾何法(1)已知兩角和一邊(2)向量法(2)已知兩邊和其中一邊的對角