第一篇：《正弦定理》 評課

《正弦定理》視頻課堂 評課

高三年

曾燦波

本節課基本上實現了教學目標，從正弦定理的發現、向量法證明及正弦定理的簡單應用實現了知識目標，并在教學過程中培養學生觀察、分解和應用所學知識解決問題的能力。通過設置情境，培養學生的獨立探究意識，激發學生的學習興趣。下面就該教師的教學過程談幾點個人體會：

在引入階段，教師通過PPT展示了學生熟知的三國人物及一個小故事，由此引入分別在河兩岸的兩點間的距離的測量問題。由此激發學生對于本節課所學內容的期待，教師的表情，肢體語言豐富，拉近了師生間的距離。

在新課階段，通過教師的引導與學生的探究發現：正弦定理在直角三角形中是成立的。由此提出了一個問題：任意三角形中，這一結論是否成立。

在探究一般結論的過程中，教師把主要精力集中在銳角三角形的情形，通過向量工具證明了正弦定理在銳角三角形中也成立。對于鈍角三角形的情形，教師稍做提示，留有余地，給學生課后思考、探究的空間。

整個教學過程體現了由特殊到一般的思想，符合學生的認識規律。教師通過引入三角形的外接圓，用幾何法證明了正弦定理中式子的比值等于該三角形個接圓半徑的兩倍。由此體現了數形結合的思想，證明過程直觀明了。在板書寫出正弦定理后，教師與同學一起分析了正弦定理的兩個簡單應用1、2、已知三角形兩角及任一邊，求其它幾何要素； 已知兩邊及其中一邊的對角，求其它幾何要素。

本節課的第一個例子實際上是第1種類型的應用，在分析完第一個例題之后，教師回歸引入中的問題，讓學生設計一個方案測量不可到達兩點間的距離，愚以為這個環節可放到本節課最后再來進行。第二個例題就是第2種類型的應用，也是本節課的難點所在。在第二例的解決過程中會碰到三角形有兩解的問題。在本例的教學過程，愚認為應該在適當的提示之后給學生充分的思考和解決問題的時間，在學生充分思考并有部分同學犯了錯之后，再來展示解題過程并強調最后的三角形兩解問題可能會給學生留下更深刻的印象。而這樣的處理方法同樣適用于本例的變式。

本例變式1仍然是第2種類型的應用，而此時三角形只有一解，需要利用相關知識（如三角形大邊對大角等）進行判斷并舍去一解。變式2仍然是第2種類型的另外一種結果。

通過上述例題的分析，教師再次歸納了正弦定理的兩種重要應用。并在上述例2及變式的基礎上對第2種類型的問題作了詳細的討論及總結。在這一過程中利用了幾何畫板的動態過程給學生最直觀的展示，從幾何方面深化學生的認識，做到數形結合，從而進一步突破難點。當然如果能利用幾何畫板的點追蹤或者軌跡功能，效果可能會現好。本節課的課堂總結如果能花更多的時間強調一下重點及難點，相信會有更好的效果。

教師在課堂小結后給了學生充分的課堂練習的時間，并巡視完成情況，對其中存在的問題進行講評。

該教師的板書規范工整，突出重點。我想如果能在課堂最后的時間提問一下解三角形的另我一種情形：已知兩邊及夾角求第三邊，留給學生課后思考，相信下一節課《余弦定理》的學習會更加順利。

第二篇：《正弦定理》說課講稿

《正弦定理》說課講稿

唐山市豐南區第二中學

李立春

一、學情分析：

（一）教材分析：

本節知識是人教版必修五第一章《解三角形》的第一節內容，與初中學習的三角形的邊和角關系、判定三角形的全等有密切聯系，在日常生活和工農業生產中也時常有解三角形的問題，而且解三角形問題在高考當中是必考內容，因此，正弦定理和余弦定理的知識非常重要。

根據上述分析，故確定本節：

教學重點：

1、正弦定理的證明、內容；

2、定理的基本應用；

教學難點：

1、正弦定理的探索及證明；

2、已知兩邊和其中一邊的對角判斷解的個數問題。

（二）學生情況分析：

學生在此之前已經學習了函數、三角函數有關知識，初步掌握了利用函數研究問題的重要方法，并且在初中學習三角形知識及勾股定理的基礎上去探索正弦定理做好了鋪墊。經過一個學期的高中學習，學生已經初步能夠從特殊的情況中發現一些規律，從而推廣為一般情況。關鍵是學生在這個方面的應用意識還比較淡漠，所以本節課要做好這種引導工作，學生是比較容易理解的。這也是本節課要突出的“從特殊到一般”的課堂設計的原因，能夠使學生充分地參與進來，體會到成功的喜悅。

二、教學目標：

根據上述學情分析，制定如下教學目標：

認知目標：在創設的問題情境中，引導學生發現正弦定理的內容，推證正弦定理，簡單運用正弦定理與三角形的內角和定理解三角形的兩類問題。

能力目標：引導學生通過觀察、推導、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，培養學生的創新意識、觀察能力與邏輯思維能力，體會利用所學知識向量作為數形結合的工具，將幾何問題轉化為代數問題。

情感目標：培養學生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力因素資源，培養其良好的數學學習品質。調動學生的主動性和積極性，給學生成功的體驗，激發學生學習的興趣。

三、教學方法：

（一）教法：

1、遵循“數學學習的本質是主體（學生）在頭腦中建構和發展數學認知結構的過程，是主體的一種再創造行為”的理論，遵循以學生為主體，教師為主導的指導思想，采用探究式教學法，即在教學過程中，在教師的啟發引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以“正弦定理的發現”為基本探究內容，以生活實際為參照對象，讓學生的思維由問題開始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導，并逐步得到深化。

2、根據“教師應尊重學生主體和主動的精神，開發學生的智能，形成其健全個性”的原則，力求營造民主的教學氛圍，使學生或顯性（答問、板演等）或隱性（聆聽，苦思等）地參與全教學過程，學生在教師設計的問題下，積極思考、動手演練、步步深入，讓學生自己導出公式。

（二）學法：

指導學生掌握“觀察——猜想——證明——應用”這一思維方法，采取個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學知識應用于對任意三角形性質的探究。讓學生在問題情景中學習，觀察，類比，思考，探究，概括，動手嘗試相結合，體現學生的主體地位，增強學生由特殊到一般的數學思維能力，形成了實事求是的科學態度，增強了鍥而不舍的求學精神。

四、教具：

采用投影、計算機等教學手段，增大教學的容量和直觀性，有效提高教學效率和教學質量。軟件主要是PPT和幾何畫板，提高教學的有效性。

五、教學過程：

（一）創設情景，設疑激趣（2分鐘）

以民間傳說牛郎織女的故事引入課程，如何測得牛郎星與織女星的距離呢？

（二）實踐探究，形成概念（25分鐘）

1、特例探究，提出猜想

從初中學習的三角概念出發進行研究，發現正弦定理，所得結論對任意三角形都適用嗎？指導學生分小組用刻度尺、量角器、計算器等工具對一般三角形進行驗證。讓學生總結結果，得出猜想：

2、邏輯推理，證明猜想

猜想轉化為定理，需要嚴格證明，與學生共同證明，提高學生的邏輯推理能力。

3、歸納總結，簡單應用

讓學生用文字語言敘述正弦定理，討論定理可以解決三角形類型。

（三）應用解題，拓展思維（15分鐘）

1、例題講解，鞏固定理

例

1、在△ABC中，已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.本題較簡單，結果為唯一解，如果已知三角形兩角兩角所夾的邊，以及已知兩角和其中一角的對邊，都可利用正弦定理來解三角形。

例

2、在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.本題難度較大，利用正弦定理求角有兩種可能。要求學生熟悉掌握已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形。

2、課堂訓練，提高應用

1、在△ABC中,已知下列條件,解三角形。（1）A=45°,C=30°,c=10（2）A=60°,B=45°,c=20

2、在△ABC中,已知下列條件,解三角形。（1）a=20cm,b=11cm,B=30°（2）c=54cm,b=39cm,C=115°

學生板演，老師巡視，及時發現問題，并解答，總結規律。

（四）課堂小結（3分鐘）

1、用向量證明了正弦定理，體現了數形結合的數學思想；

2、定理內容及應用；

3、定理證明分別從直角、銳角、鈍角出發，運用分類討論的思想。

六、教學評價：

本節課是解決理論和實際問題的一個重要工具，這不僅是其有廣泛的應用，而更重要的是公式推導過程中蘊含著重要的數學思想，教學中理應予以重視。因而，在設計這節課的教學方案時，要力求暴露公式推導中的思維過程，突出整體觀念對思維過程的指導作用。教學中容易造成采用“滿堂灌”、“注入式”，學生的思維得不到應有的訓練，學生的主體作用也不能充分體現出來。為避免這個問題，有必要很好地探討一下，教學如何更合理，怎樣把教學過程變成師生共同探索、發現公式的過程，怎樣使推導過程自然而簡練。

七、教學反思：

從實際問題出發通過猜想、實驗、歸納等思維方法，最后得到了推導出正弦定理。我們研究問題的突出特點是從特殊到一般，我們不僅收獲著結論，而且整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。在強調研究性學習方法，注重學生的主體地位，調動學生積極性，使數學教學成為數學活動的教學。通過以上的學習主要學到了那些知識和方法？你對此有何體會？

第三篇：正弦定理教案

正弦定理教案

教學目標：

1．知識目標:通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.能力目標:讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

3．情感目標：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。

教學重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

教學難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

教學過程：

一、復習引入

創設情境：

【師】：世界聞名的巴黎埃菲爾鐵塔，比其他的建筑高出很多。如果只提供測角儀和皮尺，你能測出埃菲爾鐵塔的高度嗎？

【生】：可以先在離鐵塔一段距離的地方測出觀看鐵塔的仰角，再測出與鐵塔的水平距離，就可以利用三角函數測出高度。

【創設情境總結】：解決上述問題的過程中我們將距離的問題轉化為角，進而轉化為三角函數的問題進行計算。這個實際問題說明了三角形的邊與角有緊密的聯系，邊和角甚至可以互相轉化，這節課我們就要從正弦這個側面來研究三角形邊角的關系即正弦定理。

二、新課講解

【師】：請同學們回憶一下，在直角三角形中各個角的正弦是怎么樣表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinA?ab,sinB?,sinC?1 cc

abc,c?,c?，也就是說在Rt△ABCsinAsinBsinC【師】：有沒有一個量可以把三個式子聯系起來？ 【生】：邊c可以把他們聯系起來，即c?

中abc?? sinAsinBsinC

【師】：對，很美、很對稱的一個式子，用文字來描述就是：“在一個直角三角形中，各邊與

它所對角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，該式是否也成立呢？讓我們在幾何畫板中驗證一下，對任意的三角形ABC是不是都有“各邊與它所對角的正弦比相等”成立？

【師】：通過驗證我們得到，在任意的三角形中都有各個邊和他所對的角的正弦值相等。

在上面這個對稱的式子中涉及到了三角形三個角的正弦，因此我們把它稱為正弦定理，即我們今天的課題。

【師】：直觀的印象并不能代替嚴格的數學證明，所以，只是直觀的驗證是不夠的，那能不

能對這個定理給出一個證明呢？

【生】：可以用三角形的面積公式對正弦定理進行證明：S?1111absinC?acsinB?bcsinA，然后三個式子同時處以abc就可以得222

2到正弦定理了。

【師】：這是一種很好的證明方法，能不能用之前學過的向量來證明呢？答案是肯定的。怎

么樣利用向量只是來證明正弦定理呢？大家觀察，這個式子涉及到的是邊和角，即向量的模和夾角之間的關系。哪一種運算同時涉及到向量的夾角和模呢？

（板書：證法二，向量法）

????【生】：向量的數量積a?b?a?b?cos?

【師】：先在銳角三角形中討論一下，如果把三角形的三邊看做向量的話，則容易得到三角

????????????形的三個邊向量滿足的關系：AB?BC?AC,那么，和哪個向量做數量積呢？還

有數量積公式中提到的是夾角的余弦，而我們要得是夾角的正弦，這個又怎么轉化？（啟發學生得出通過做點A的垂線根據誘導公式來得到）

【生】：做A點的垂線

【師】：那是那條線的垂線呢？

【生】：AC的垂線

??【師】：如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式子的兩邊同時做數

?cos(90?A)?cos(90?C)??cos90，化簡000

即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC

銳角三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結論。

【師】：如果△ABC是鈍角三角形呢？又怎么樣得到正弦定理的證明呢？不妨假設∠A是鈍

??角，那么同樣道理如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式

????????????子AB?BC?AC的兩邊同時做數量積運算就可以得到

???????????????00j?AB?cos(C?90)?j?BC?cos(90?C)?j?AC?cos900，化簡即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在鈍角三角sinAsinCsinBsinC

形ABC中也有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結論。

【師】：經過上面的證明，我們用兩種方法得到了正弦定理的證明，并且得到了正弦定理對

于直角、銳角、鈍角三角形都是成立的。

【師】：大家觀察一下正弦定理的這個式子，它是一個比例式。對于一個比例式來說，如果

我們知道其中的三項，那么就可以根據比例的運算性質得到第四項。因此正弦定理的應用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對角求另外一邊的對角，或者兩角一邊求出另外一

邊。

【師】：其實大家如果聯系三角形的內角和公式的話，其實只要有上面的任意一個條件，我們都可以解出三角形中所有的未知邊和角。下面我們來看正弦定理的一些應用。

三、例題解析

【例1】優化P101例

1分析：直接代入正弦定理中運算即可

ab?sinAsinB

c?sinA10?sin45?

?a????sinCsin30

bc??sinBsinC

B?180??(A?C)?180??(45??30?)?105??

c?sinB10?sin105??b???20?5sinCsin30?總結：本道例題給出了解三角形的第一類問題（已知兩角和一邊，求另外兩邊和一

角，因為兩個角都是確定的的，所以只有一種情況）

【課堂練習1】教材P144練習1（可以讓學生上臺板演）

【隨堂檢測】見幻燈片

四、課堂小結

【師】：本節課的主要內容是正弦定理，即三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等。寫成數學式子就是abc??。并且一起研究了他的證明方法，利用它解決sinAsinBsinC

了一些解三角形問題。對于正弦定理的證明主，要有面積法和向量法，其實對于正弦定理的證明，還有很多別的方法，有興趣的同學下去之后可以自己去了解一下。

五、作業布置

世紀金榜P86自測自評、例

1、例

2板書設計：

六、教學反思

第四篇：正弦定理證明

新課標必修數學5“解三角形”內容分析及教學建議

江蘇省錫山高級中學楊志文

新課程必修數學5的內容主要包括解三角形、數列、不等式。這些內容都是高中數學中的傳統內容。其中“解三角形”既是高中數學的基本內容，又有較強的應用性。在歷次教材改革中都作為中學數學中的重點內容，一直被保留下來。在這次新課程改革中，新普通高中《數學課程標準》（以下簡稱《標準》）與原全日制普通高級中學《數學教學大綱》（以下簡稱《大綱》）相比，“解三角形”這塊內容在安排順序上進行了新的整合。本文就《標準》必修模塊數學5第一部分“解三角形”的課程內容、教學目標要求、課程關注點、內容處理上等方面的變化進行簡要的分析，并對教學中應注意的幾個問題談談自己的一些設想和教學建議，供大家參考。

一、《標準》必修模塊數學5中“解三角形”與原課程中“解斜三角形”的比較

1．課程內容安排上的變化

“解三角形”在原課程中為“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作為平面向量的一個單元。而在新課程《標準》中重新進行了整合，將其安排在必修模塊數學5中，獨立成為一章，與必修模塊數學4中的“平面向量”分別安排在不同的模塊中。

2．教學要求的變化

原大綱對“解斜三角形”的教學要求是：

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能運用它們解斜三角形，能利用計算器解決解斜三角形的計算問題。

（2）通過解三角形的應用的教學，提高運用所學知識解決實際問題的能力。

（3）實習作業以測量為內容，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力和實際操作的能力。《標準》對“解三角形”的教學要求是：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。由此可以看出，《標準》在計算方面降低了要求，取消了“利用計算器解決解斜三角形的計算問題”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

3、課程關注點的變化

原《大綱》中，解斜三角形內容，比較關注三角形邊角關系的恒等變換，往往把側重點放在運算上。而《標準》則關注運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。側重點放在學生探究和推理能力的培養上。

4、內容處理上的變化

原《大綱》中，解斜三角形作為平面向量知識的應用，突出其工具性和應用性。而《標準》將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何的作用，為學生理解數學中的量化思想、進一步學習數學奠定基礎。解三角形處理的是三角形中長度、角度、面積的度量問題，長度、面積是理解積分的基礎，角度是刻畫方向的，長度、方向是向量的特征，有了長度、方向，向量的工具自然就有用武之地。

二、教學中應注意的幾個問題及教學建議

原《大綱》中解斜三角形的內容，比較關注三角形邊角關系的恒等變換，往往把側重點放在運算上。而《標準》將解三角形作為幾何度量問題來展開，強調學生在已有知識的基礎上，通過對任意三角形邊角關系的探究，發現并掌握三角形中的邊長與角度之間的數量關系，解決簡單的三角形度量問題。這就要求在教學過程中，突出幾何的作用和數學量化思想，發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的探究過程、再創造過程。因此在教學中應注意以下幾個問題。

1．要重視探究和推理

《標準》要求“通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建議在教學中，既要重視從特殊到一般的探索學習過程的教學，又要重視數學的理性思維的培養。教學中不要直接給出定理進行證明，可通過學生對三角形邊與角的正弦的測量與計算，研究邊與其對角的正弦之間的比，揭示它們在數量上的規律，發現正弦定理的結論，然后再從理論上進行論證，從而掌握正弦定理。從中體會發現和探索數學知識的思想方法。

參考案例：正弦定理的探索、發現與證明

教學建議：建議按如下步驟設計教學過程：

(1)從特殊三角形入手進行發現

讓學生觀察并測量一個三角板的邊長。

提出問題：你能發現三邊長與其對角的正弦值之比之間的關系嗎？

例如，量得三角板三內角300，600，900所對的三邊長分別約為5cm，8.6cm，10cm，58.610，?10?10?10 000

sin30sin60sin90

abc

對于特殊三角形，我們發現規律：。??

sinAsinBsinC

則有：

提出問題：上述規律，對任意三角形成立嗎？(2)實驗，探索規律

二人合作，先在紙上做一任意銳角（銳角或鈍角）三角形，測量三邊長及其三個對角，然后用計算器計算每一邊與其對角正弦值的比，填入下面表中，驗證前面得出的結論是否正確。（其中，角精確到分，忽略測量誤差，通過實驗，對任意三角形，有結論：

abc，即在一個三角形中，??

sinAsinBsinC

各邊和它所對的角的正弦的比相等。

提出問題：上述的探索過程所得出的結論，只是我們通過實驗(近似結果)發現的一個結果，如果我們能在理論上證明它是正確的，則把它叫做正弦定理。那么怎樣證明呢？

(4)研究定理證明的方法方法一：（向量法）①若△ABC為直角三角形，由銳角三角函數的定義知，定理顯然成立。②若△ABC為銳角三角形，過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與向量的夾角為900-A，向

量j

與向量CB的夾角為900-C，（如圖1），且有：AC?CB?AB，所以j·(+)= j·即j·+ j· = j·AB 展開|j||AC|cos900+ | j||CB|cos(900-C)=| j|||cos(900-A)

ac

。?

sinAsinC

cbabc

同理，過點C做單位向量j垂直于,可得：，故有。???

sinCsinBsinAsinBsinC

③若△ABC為鈍角三角形，不妨設角A>900（如圖2），過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與

則得 a sinC = c sinA，即

向量AB的夾角為A-900，向量j與向量的夾角為900-C，且有：??，同樣可證得：

abc

。??

sinAsinB

提出問題：你還能利用其他方法證明嗎？

方法二：請同學們課后自己利用平面幾何中圓內接三角形（銳角，鈍角和直角）及同弧所對的圓周角相等等知識，將△ABC中的邊角關系轉化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法。

2．要重視綜合應用

《標準》要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。建議在正弦定理、余弦定理的教學中，設計一些關于正弦定理、余弦定理的綜合性問題，提高學生綜合應用知識解決問題的能力。如可設計下面的問題進行教學：

參考案例：正弦定理、余弦定理的綜合應用 C 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD?CD，AD=10，AB=14，?BDA=60?，?BCD=135?.求BC的長.教學建議：

引導學生進行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵?BCD=135?，?BDC=30?，∴需要求BD，而BD需在△ABD中求解.再引導學生將

A B

四邊形問題轉化為三角形問題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理

例2圖 求BC。

3．要重視實際應用

《標準》要求運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。因此建議在教學中，設計一些實際應用問題，為學生體驗數學在解決問題中的作用，感受數學與日常生活及與其他學科的聯系，培養學生的數學應用意識，提高學生解決實際問題的能力。在題目的設計中要注意對恒等變形降低要求，避免技巧性強的變形和繁瑣的運算。

參考案例：解三角形在實際中的應用

參考案例1．航海中甲船在A處發現乙船在北偏東45?，與A的距離為10海里的C處正以20海里/h的速度向南偏東75?的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，問甲船沿什么方向，用多少時間才能與

乙船相遇？

教學建議：引導學生依據題意畫出示意圖，將實際問題轉化為解三角形問題。若設甲船與乙船經過t小時在B處相遇，構建?ACB，容易計算出AB?20海里,BC?20海里，根據余弦定理建立關于t的方程，求出t，問題就解決了。

答: 甲船沿北偏東75?的方向，經過0.5小時與乙船相遇.參考案例2．為了測量某城市電視塔的高度，在一條直道上選 擇了A，B，C三點，使AB?BC?60m，在A，B，C三點

?

?

?

例1圖 DA 觀察塔的最高點，測得仰角分別為45，54.2，60，若測量 E

者的身高為1.5m，試求電視塔的高度(結果保留1位小數).F 教學建議：引導學生依據題意畫出示意圖如圖，將實際問題轉化為

解三角形問題。要求電視塔的高度。只要求出DE的長。將問題中的已

知量、未知量集中到有關三角形中，構造出解三角形的數學模型。在例2圖 ?ACE中和?BCE中應用余弦定理，使問題獲得解決.答: 電視塔的高度約為158.3m.4．要重視研究性學習

解三角形的內容有較強的應用性和研究性，可為學生提供豐富的研究性素材。建議在教學內容的設計上探索開放，在教學形式上靈活多樣。可設計一些研究性、開放性的問題，讓學生自行探索解決。參考案例：研究性學習

課外研究題：將一塊圓心角為120?，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請你設計裁法，使裁得矩形的面積最大?并說明理由．

教學建議：這是一個研究性學習內容，可讓學生在課外兩人一組合作完成，寫成研究報告，在習題課上讓學生交流研究結果，老師可適當進行點評。

參考答案：這是一個如何下料的問題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB

平行。從圖形的特點來看，涉及到線段的長度和角度，將

這些量放置在三角形中，通過解三角形求出矩形的邊長，再計算出兩種方案所得矩形的最大面積，加以比較，就可以得出問題的結論．

NBB

PO圖（2）

QM

O圖（1）

按圖（1）的裁法:矩形的一邊OP在OA上，頂點M在圓弧上，設?MOA??，則：

時，Smax?200．

4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設?MOQ??，在?MOQ中，?OQM?90??30??120?，由正弦定理，得：

sin120?

又?MN?2OMsin(60???)?40sin(60???)，MQ?

20sin?

?

3sin?． 3

MP?20sin?,OP?20cos?，從而S?400sin?cos??200sin2?．即當??

?

∴S?MQ?MN?

sin?sin(60???)?cos(2??60?)?cos60?． 33

??

∴當??30?時，Smax?由于

400． 3

400平方厘米． ?200，所以用第二中裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為33

也可以建議學生在課外自行尋找研究性、應用性的題目去做，寫出研究或實驗報告，在學校開設的研究性學習課上進行交流，評價。

參考文獻：

①全日制普通高中級學《數學教學大綱》。人民教育出版社。2002年4 月。

②《普通高中數學課程標準（實驗））》。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。③《普通高中數學課程標準（實驗）解讀》。嚴士健 張奠宙王尚志等主編。江蘇教育出版社。2004年4月。

第五篇：正弦定理余弦定理[推薦]

正弦定理 余弦定理

一、知識概述

主要學習了正弦定理、余弦定理的推導及其應用，正弦定理是指在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通過兩定理的學習，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用這兩個定理去解斜三角形，學會用計算器解決解斜三角形的計算問題，熟悉兩定理各自解決不同類型的解三角形的問題．認識在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，產生多解的原因，并能準確判斷解的情況．

二、重點知識講解

1、三角形中的邊角關系

在△ABC中，設角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則有

（1）角與角之間的關系：A＋B＋C＝180°；

（2）邊與角之間的關系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：a＝bcosC＋ccosB

b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋

bcosA

2、正弦定理的另三種表示形式：

3、余弦定理的另一種表示形式：

4、正弦定理的另一種推導方法——面積推導法

在△ABC中，易證明再在上式各邊同時除

以在此方法推導過程中，要注意對

面積公式的應用．

例

1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面積S=15，求△ABC的三個內角． 分析：

在正弦定理中，由

進而可以利用三角函數之間的關系進行解題． 解：

可以把面積進行轉化，由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°顯然A＋B=90°不可能成立

當C=30°時，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°

當C=150°時，由A－B=90°得B為負值，不合題意故所求解為A=120°，B=30°，C=30°.例

2、在△ABC中，a、b、c分別是內角A、B、C的外邊，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析：

把題中的邊的關系b=2a利用正弦定理化為角的關系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：

∵B=A＋60°

∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°

=

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例

3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，試判斷△ABC的形狀． 分析：

三角形分類是按邊或角進行的，所以判定三角形形狀時一般要把條件轉化為邊之間關系或角之間關系式，從而得到諸如a＋b＝c，a＋b>c（銳角三角形），a＋b＜c（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進而判定其形狀，但在選擇轉化為邊或是角的關系上，要進行探索．

解法一：由同角三角函數關系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內角，∴sinA≠0，sinB≠0．

．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形狀，此類問題主要考查邊角互化、要么同時化邊為角，要么同時化角為邊，然后再找出它們之間的關系，注意解答問題要周密、嚴謹．

例

4、若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀． 分析：

本題既可以利用正弦定理化邊為角，也可以利用余弦定理化角為邊． 解：

解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°

故△ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得

∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c

故△ABC為等腰三角形或直角三角形．

6、正弦定理，余弦定理與函數之間的相結合，注意運用方程的思想．

例

5、如圖，設P是正方形ABCD的一點，點P到頂點A、B、C的距離分別是

1，2，3，求正方形的邊長．

分析：

本題運用方程的思想，列方程求未知數． 解：

設邊長為x(1

設x=t，則1

－5)=16t

三、難點剖析

1、已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，將出現無解、一解和兩解的情況，應分情況予以討論．

下圖即是表示在△ABC中，已知a、b和A時解三角形的各種情況．

（1）當A為銳角時（如下圖），（2）當A為直角或鈍角時（如下圖），也可利用正弦定理進行討論．

如果sinB>1，則問題無解； 如果sinB＝1，則問題有一解；

如果求出sinB<1，則可得B的兩個值，但要通過“三角形內角和定理”或“大邊對大角”等三角形有關性質進行判斷．

2、用方程的思想理解和運用余弦定理：當等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知數時，等式便成為方程．式中有四個量，知道任意三個，便可以解出另一個，運用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法證明三角形中的射影定理

在△ABC中，設三內角A、B、C的對邊分別是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知兩角和任一邊解三角形；

（2）已知兩邊和一邊的對角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知三邊解三角形；

（2）已知兩邊和夾角解三角形．

6、三角形面積公式：

例

6、不解三角形，判斷三角形的個數． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：

①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．

③a

④a0 ∴△ABC有兩解．

⑤b>c，C＝45°，∴△ABC無解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，這樣B＋C>180°，∴△ABC無解．