第一篇：《正弦定理》教學設計

《正弦定理》教學設計

教學目標：

1、理解并掌握正弦定理，總結歸納用正弦定理解三角形問題的步驟。

2、探究證明定理的方法，理解正弦定理是對任意三角形中“大邊對大角、小邊對小角”的量化研究，從中體會知識的發生發展過程。

3、在探究及其證明的過程中，培養學生發現問題、解決問題的能力，初步感知數學中由定性到定量的思維方法。

教學任務分析：

正余弦定理作為解三角形的基礎，重要性不言而喻。一方面它們可以合力解決數學中的大量問題；另一方面，它們在實踐中也發揮著重大作用，比如距離、高度、速度等的測量。這節課是正弦定理的第一節課，需要先證明正弦定理和明確正弦定理可以解決哪些三角形問題。正弦定理的證明方法有很多，比如平面幾何法和向量法，也是簡單的方法，可是它們都無法輕易得出比值是2R這一結論，因而我在教學中采用外接圓的方法，將三角形內角轉化成直角三角形中的銳角，再利用銳角三角函數得出定理，過程稍稍復雜，可對于提高學生分析問題、解決問題的能力還是有幫助的。這節課還會通過練習讓學生總結歸納正弦定理解三角形的類型和方法。綜上，我將本節課的教學重點定為：正弦定理的證明及其使用。學生情況分析：

一方面，正弦定理和余弦定理作為解三角形的理論基礎，它們形式簡潔漂亮，學生易于接受。在探究證明方法時，學生也具備一定的分析問題的能力，也儲備了一些知識，比如初中時平面幾何中的知識和已經學習過的三角函數的知識，他們也知道也將問題做類比和轉化，這些無疑都是有利的。可是，另一方面，高一的學生在綜合應用所學知識上還有欠缺，思維也不夠縝密，比如這節課從直角三角形中得到邊角關系后，接下來要證明在任意三角形中也成立，學生可能束手無策，不知道將問題引向何處，這時就需要教師的引導。另外，現在很多學生運算能力相對薄弱，也會導致用正弦定理解三角形時漏解或多解情況的出現。總之，我認為學好正余弦定理也是將學生的思維水平和運算能力提高的一個好機會。綜上，我將本節課的教學難點定為：

1、探究定理證明的方法，比值等于2R的由來。

2、由正弦函數在區間上的單調性分析正弦

3、應用正弦定理解決第二類問題時，可能教學工具：多媒體課件。教學過程：

一、創設問題情境，引入新課 問題1：初 問題2：對對小角”僅是的知識得到這

中時你學過哪些關于三角形邊角關系的結論？ 于任意三角形中的邊角關系“大邊對大角、小邊一種感性認識，或者說定性分析，能否利用所學個邊角關系準確的量化表示？如右圖。

定理是一種定量的研究。碰見多解的情況。

設計意圖： 對于問題1，學生可以提供多種答案，教師可以往任意三角形這個方向引導，問題2則開門見山奔向這節課的主題。

二、正弦定理的證明及其應用

（一）定理的證明

對于邊角關系，首先想到的是特殊三角形，即直角三角形中的邊角關系，我們先得到直角三角形中的結論，然后看能否推廣到一般三角形中。

如右圖，因而，由于C=900，sinC=1 所以可得

問題3：這是一個連比的式子，三者的比值相等，那么這個比值具體應該是多少呢？

分析：比值等于,聯想到直角三角形外接圓的圓心在斜邊的中點上，即斜邊是外接圓的直徑，用2R表示。

由此得到 設計意圖：這個問題的解答很關鍵，起到承上啟下的作用。接下來，只需探討該結論是否適合一般三角形，而2R是三角形外接圓的直徑，就會自然而然將學生引向利用外接圓研究一般三角形中的邊角關系。

以下是銳角三角形和鈍角三角形中該結論的證明：

若△ABC是銳角三角形，則外接圓圓心在該三角形內部。連外接圓的一條直徑BD,則

所以

因而

所以

在與學生共同探究的過程中，可以設置下面的問題：

（1）受直角三角形的啟發，應該會用到銳角三角函數，所以一定要構造直角三角形，在外接圓已經做出的情況下，如何去構造直角三角形？

（2）如何轉化角？即為什么若△ABC是鈍角三角形，則外接圓圓心在三角形外部。連直徑BD,則可得

（想一想，為什么？）

？

在Rt△BCD中，又A=1800-D

所以sinA=sin(1800-D)=

即

得出與銳角三角形中相同

因而在鈍角△ABC中，仍然成立。

綜上，在任意△ABC中，都成立，即各邊與其所對角的正弦的比值相等，且都等于三角形外接圓的直徑，由于該式涉及角的正弦，即稱作正弦定理。問題3：如何說明正弦定理是對任意三角形中邊角關系的一種量化表示？ 分析：我們不妨反過來解釋為什么“大角對大邊，小角對小邊”，即弦定理可知，只需說明

即可。

。由正（1）若A、B都是銳角，則。

（2）若A是鈍角，B是銳角，由A+B<而sinB

-A，又因設計意圖：此問題是本節課的難點之一，很多同學會使用正弦定理，但是對于定理是刻畫任意三角形邊角關系這一意義含糊不清。在這會用到析，尤其是對于第二種情況，值得同學思考。定理的變式：（1）

(邊化角)

在上的單調性進行分（2）（3）

（角化邊）

（4）

（二）正弦定理的應用 解三角形：

稱為三角形的元素，已知某些元素求其他元素的過程。

例1：△ABC中，已知=20，A=300，C=450，解此三角形。分析：這屬于已知兩邊一角，求其余的一角兩邊的問題。例2：△ABC中，已知，=1，B=450，解此三角形。

分析：這屬于已知兩邊及其一邊的對角，求其余兩角一邊的問題。

問題4：對于例2，思考，為什么例1只有一解而例2有可能多解？，可能出現兩解，如何取舍？進一步設計意圖：用正弦定理的時候很容易出錯的就是多解的情形，通過此例讓學生探索取舍的辦法。已知兩角一邊實質上該三角形就是確定的，而兩邊及其一邊的對角時這樣的三角形并不唯一。如果在課堂上可以順利得出這樣的結論，那學生會有茅塞頓開的感覺，勢必會加強學習數學的興趣和自信。

練習：已知在△ABC中，A=450，=2，解此三角形。

問題5：通過以上例題和練習，總結歸納正弦定理可以解決怎樣的三角形問題，歸納出步驟。設計意圖：這是本節課的收尾問題，由學生自己總結歸納。正弦定理應該是知三求三的過程，需要知道三個獨立的條件，這點需要學生明白。

三、課堂小結

1、本節課的重要內容——正弦定理，是任意三角形中邊角關系的準確量化。

2、本節課的思想方法：證明正弦定理時，先從直角三角形中得到結論，然后推廣到一般三角形中，這種從特殊到一般的研究方法是數學中常用的思想方法。另外，還有類比、轉化、歸納等方法。

四、教后心得

本節課是我剛上完的課，感觸很深。證明正弦定理的方法很多，有比這種外接圓的方法簡單的證明方法，比如向量法和課本上通過高的方法，但是唯有這種方法能夠比較簡單的得到比值是2R這樣的結論，當然中間的過程也不算簡單，要構造直角三角形，要將角轉化，可是這些對于學生思維水平的提高還是很有幫助的，也能使得學生更加清楚數學知識發生發展的過程，將未知問題轉化為自己可以動手操作的問題，我認為這一點意義還是很大。還有對于多解的情況，我希望學生可以借助內角和和大邊對大角來判斷，并沒有加大這一點的難度。當然對于這節課的教法也希望得到更多老師、專家的指導。

板書設計： 1.正弦定理的證明

直角三角形

銳角三角形

鈍角三角形 2.變式 3.例題、練習

第二篇：正弦定理教學設計

教學設計

一、內容及其解析

1.內容: 正弦定理

2.解析: 《正弦定理》是普通高中課程標準實驗教科書必修5中第一章《解三角形》的學習內容，比較系統地研究了解三角形這個課題。《正弦定理》緊跟必修4（包括三角函數與平面向量）之后，可以啟發學生聯想所學知識，運用平面向量的數量積連同三角形、三角函數的其他知識作為工具，推導出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基礎，又是學生了解向量的工具性和知識間的相互聯系的的開端，對進一步學習任意三角形的求解、體會事物是相互聯系的辨證思想均起著舉足輕重的作用。通過本節課學習，培養學生“用數學”的意識和自主、合作、探究能力。

二、目標及其解析

目標：（1）正弦定理的發現；

（2）證明正弦定理的幾何法和向量法；（3）正弦定理的簡單應用。解析：先通過直角三角形找出三邊與三角的關系，再依次對銳角三角形與鈍角三角形進行探

討，歸納總結出正弦定理，并能進行簡單的應用。

三、教學問題診斷分析

正弦定理是三角形邊角關系中最常見、最重要的兩個定理之一，它準確反映了三角形中各邊與它所對角的正弦的關系，對于它的形式、內容、證明方法和應用必須引起足夠的重視。正弦定理要求學生綜合運用正弦定理和內角和定理等眾多基礎知識解決幾何問題和實際應用問題，這些知識的掌握，有助于培養分析問題和解決問題能力，所以一向為數學教育所重視。

四、教學支持條件分析

學生在初中已學過有關直角三角形的一些知識和有關任意三角形的一些知識，學生在高中已學過必修4（包括三角函數與平面向量），學生已具備初步的數學建模能力，會從簡單的實際問題中抽象出數學模型完成教學目標，是切實可行的。

五、教學過程

（一）教學基本流程

（一）創設情境，引出課題

①在Rt△ABC中，各邊、角之間存在何種數量關系？ 學生容易想到三角函數式子：（可能還有余弦、正

a切的式子）bc sinC?1sinA?sinB?c b c

②這三個式子中都含有哪個邊長？

c

學生馬上看到，是c邊，因為 sinC?1?B C a c③那么通過這三個式子，邊長c有幾種表示方法？

abc ??

sinAsinBsinC

④得到的這個等式，說明了在Rt△中，各邊、角之間存在什么關系？（各邊和它所對角的正弦的比相等）⑥此關系式能不能推廣到任意三角形？

設計意圖: 以舊引新, 打破學生原有認知結構的平衡狀態, 刺激學生認知結構根據問題情境進行自我組織, 促進認知發展.從直角三角形邊角關系切入, 符合從特殊到一般的思維過程.（二）探究正弦定理

abc

?

?猜想：在任意的△ABC中, 各邊和它所對角的正弦的比相等, 即：

sinAsinBsinC

設計意圖:鼓勵學生模擬數學家的思維方式和思維過程, 大膽拓廣, 主動投入數學發現過程,發展創造性思維能力.三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，對于直角三角形，我們前面已經推導出這個關系式是成立的，那么我們現在是否需要分情況來證明此關系式？ 設計意圖:及時總結，使方向更明確，并培養學生的分類意識

①那么能否把銳角三角形轉化為直角三角形來求證？ ——可以構造直角三角形

②如何構造直角三角形？

——作高線（例如：作CD⊥AB，則出現兩個直角三角形）

ab

?③將欲證的連等式分成兩個等式證明，若先證明，sinAsinB

那么如何將A、B、a、b聯系起來？

——在兩個直角三角形Rt△BCD與Rt△ACD中，CD是公共邊： 在Rt△BCD中，CD= asinB，在Rt△ACD中，CD= bsinA

ab

??asinB?bsinA?

sinAsinBbcsinB ?sinC？ ——作高線AE⊥BC，同理可證.設計意圖:把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題, 引導啟發學生利用已有的知識解決新的問題.c?

??若△ABC為鈍角三角形，同理可證明：

sinAsinBsinC

（三）例題分析，加深理解

例題：在△ABC中，已知C＝48.57o，A＝101.87o，AC＝2620m，C 求AB.(精確到1米)

解：B＝180o－A－C＝ 180o－ 48.57o －101.87o ＝29.56o0

abc

bc由?得c?bsinC?2620?sin48.57?3982 sinBsinCsinBsin29.560

abc

???2R sinAsinBsinC

正弦定理推論（1）a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC

abc

B?正弦定理推論（2）sinA?，sin,sinC?

2R2R2R

正弦定理：

解決類型：（1）已知三角形的任意兩角與一邊，可求出另外一角和兩邊；

（2）已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角，可求出另外一邊和兩角。

（四）目標檢測

1．一個三角形的兩個內角分別是30和45，如果45角所對的邊長為8，那么30角所對邊的長是2．在△ABC中，??

（１）已知A?75，B?45，c?，則a?，b?

?

?

?

?

（２）已知A?30，B?120，b?12，則a?，c?

??

3．在△ABC

中，b?

?

c?C?60,則A? ____________ ?

4．在△ABC中，b?3，c?B?30，則a=_____________ 5．在△ABC中，b?2asinB，則B?C＝________________

（五）小結

(1)在這節課中，學習了哪些知識？

正弦定理及其發現和證明，正弦定理的初步應用

(2)正弦定理如何表述？ a?b?c

sinAsinBsinC

（3）表達式反映了什么？

指出了任意三角形中，各邊與對應角的正弦之間的一個關系式

學案

1．1正弦定理

班級姓名學號

一、學習目標

（1）正弦定理的發現；

（2）證明正弦定理的幾何法和向量法；（3）正弦定理的簡單應用。

二、問題與例題

問題１：在Rt△ABC中，各邊、角之間存在何種數量關系？ 問題２：這三個式子中都含有哪個邊長？？

問題３：那么通過這三個式子，邊長c有幾種表示方法？？

問題4：得到的這個等式，說明了在Rt△中，各邊、角之間存在什么關系？ 問題5：那么能否把銳角三角形轉化為直角三角形來求證？ 例１.（三）例題分析，加深理解

例題：在△ABC中，已知C＝48.57o，A＝101.87o，CAC＝2620m，求AB.(精確到1米)

三、目標檢測

1．一個三角形的兩個內角分別是30和45，如果45角所對的邊長為8，那么30角所對邊的長是2．在△ABC中，??

（１）已知A?75，B?45，c?，則a?，b?

?

?

?

?

（２）已知A?30，B?120，b?12，則a?，c?

??

3．在△ABC

中，b?

?

c?C?60,則A? ____________ ?

4．在△ABC中，b?3，c?B?30，則a=_____________ 5．在△ABC中，b?2asinB，則B?C＝________________

配餐作業

一、基礎題(A組)

1、在△ABC中，若a=，b=，A=300, 則c等于（）A、2B、C、25或D、以上結果都不對 2．在△ABC中，一定成立的等式是()A.asinA=bsinBB.acosA=bcosB

C.asinB=bsinAD.acosB=bcosA 3.若

sinAcosBcosC

??則△ABC為abc

A．等邊三角形C．有一個內角為30°的直角三角形

（）

B．等腰三角形

D．有一個內角為30°的等腰三角形

4.△ABC中,∠A、∠B的對邊分別為a,b，且∠A=60°,a?（）A．有一個解B．有兩個解C．無解5.在△ABC中，a＝26,b?4,那么滿足條件的△ABC

D．不能確定，b＝22，B＝45°，則A等于6.在△ABC中，若c?2，C?60?，a?

3，則A? 3

二、鞏固題(B組)

7.在△ABC中，B=1350，C=150，a=5，則此三角形的最大邊長為 8.在銳角△ABC中，已知A?2B，則的9.在△ABC中，已知tanA?

a

取值范圍是． b

1，tanB?，則其最長邊與最短邊的比為． 2

310.已知銳角三角形的三邊長分別為2、3、x，則x的取值范圍是．

三、提高題(C組)

11．在△ABC中，a+b=1，A=600，B=450，求a，b

12△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，試判斷△ABC的形狀。

13．為了測量上海東方明珠的高度，某人站在A處測得塔尖的仰角為75.5，前進38.5m后，到達B處測得塔尖的仰角為80.0.試計算東方明珠塔的高度（精確到1m）.?

?

第三篇：《正弦定理》教學設計

《正弦定理》教學設計

2010級數學課程與教學論專業華娜學號201002101146

一、教材分析

《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一節內容，也是三角形理論中的一個重要內容，與初中學習的三角形的邊和角的基本關系有密切的聯系。在此之前，學生已經學習過了正弦函數和余弦函數，知識儲備已足夠。它是后續課程中解三角形的理論依據，也是解決實際生活中許多測量問題的工具。因此熟練掌握正弦定理能為接下來學習解三角形打下堅實基礎，并能在實際應用中靈活變通。

二、教學目標

根據上述教材內容分析，考慮到學生已有的認知結構心理特征及原有知識水平，制定如下教學目標：

知識目標：理解并掌握正弦定理的證明，運用正弦定理解三角形。

能力目標：探索正弦定理的證明過程，用歸納法得出結論，并能掌握多種證明方

法。

情感目標：通過推導得出正弦定理，讓學生感受數學公式的整潔對稱美和數學的實際應用價值。

三、教學重難點

教學重點：正弦定理的內容，正弦定理的證明及基本應用。

教學難點：正弦定理的探索及證明，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷

解的個數。

四、教法分析

依據本節課內容的特點，學生的認識規律，本節知識遵循以教師為主導，以學生為主體的指導思想，采用與學生共同探索的教學方法，命題教學的發生型模式，以問題實際為參照對象，激發學生學習數學的好奇心和求知欲，讓學生的思維由問題開始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導，并逐步得到深化，并且運用例題和習題來強化內容的掌握，突破重難點。即指導學生掌握“觀察——猜想——證明——應用”這一思維方法。學生采用自主式、合作式、探討式的學習方法，這樣能使學生積極參與數學學習活動，培養學生的合作意識和探究精神。

五、教學過程

本節知識教學采用發生型模式：

1、問題情境

有一個旅游景點，為了吸引更多的游客，想在風景區兩座相鄰的山之間搭建一條觀光索道。已知一座山A到山腳C的上面斜距離是1500米，在山腳測得兩座山頂之間的夾角是450，在另一座山頂B

300。求需要建多長的索道？

可將問題數學符號化，抽象成數學圖形。即已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？

此題可運用做輔助線BC邊上的高來間接求解得出。

提問：有沒有根據已提供的數據，直接一步就能解出來的方法？

思考：我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系。那我們能不能得到關于邊、角關系準確量化的表示呢？

2、歸納命題

我們從特殊的三角形

在如圖Rt三角形ABC

a

?

sinA, c

bc

?sin

B

.?c.所以，asinA

?

bsinB

又sinC?1,所以

csinC

asinA

?

bsinB

?

.在直角三角形中，得出這一關系。那么，對于一般的三角形，以上關系式是否仍然成立呢？

3、命題證明

首先考慮銳角三角形，要找到邊與角正弦之間的關系，就要找到橋梁，那就是構造出直角三角形——作高線。

A

作AB上的高CD,根據三角函數的定義，CD?asinB,CD?bsinA ,所以，asinB?bsinA.同理，在?ABC中，bsinB

?

csinC

.于是在銳角三角形中，asinA

?

bsinB

?

csinC

也成立。

當?ABC是鈍角三角形時，以上等式仍然成立嗎？

C

DAcB

由學生類比銳角三角形的證明方法，同樣可以得出。于是，從以上的討論和探究，得出定理：

正弦定理（laws of sines）在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

asinA

?

?

siBnb

csCin

分析此關系式的形式和結構，一方面便于學生理解和識記，另一方面，讓學生去

感受數學的間接美和對稱美。

正弦定理描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系。我們把三角形的三邊和三個角叫做三角形的元素，已知幾個元素求其他元素的過程叫解三角形。

分析正弦定理的應用范圍，定理形式可知，如果已知三角形的兩角和一邊，或者已知兩邊和其中一邊所對的角，都可以解出這個三角形。

4、命題應用

講解書本上兩個例題：

例1 在△ABC中，已知A=32°，B=81.8°，a=42.9cm.解三角形。例2 在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角精確到10，邊長精確到1cm）。

例1簡單，結果為唯一解。

總結：如果已知三角形兩角兩角所夾的邊，以及已知兩角和其中一角的對邊，都可利用正弦定理來解三角形。

例2較難，使學生明確，利用正弦定理求角有兩種可能。

要求學生熟悉掌握已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形。

接著回到課堂引入未解決的實際問題。

在△ABC中，已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？

B

A

在已經學習過正弦定理和例1例2的運用之后，此題就顯得非常簡單。接著，課堂練習，讓學習自己運用正弦定理解題。

1.在△ABC中，已知下列條件，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）：（1）A=45°，C=30°，c=10cm（2）A=60°，B=45°，c=20cm

2.在△ABC中，已知下列條件，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）：（1）a=20cm，b=11cm，B=30°（2）c=54cm，b=39cm，C=115°

學生板演，老師巡視，及時發現問題，并解答。

5、形成命題域、命題系

開始我們運用分類討論平面幾何三角形的情況證明了正弦定理。那么正弦定理的證明還有沒有其他的證法？學生可以自主思考，也可以合作探究。

學生思考出來就更好，如果沒有思考出來，提示兩種方法（1）幾何法，作三角形的外接圓；（2）向量法。

先讓學生思考。結束后，重點和學生一起討論幾何法，作外接圓的證法。一方面是讓學生體會到證明方法的多樣，進行發散性思維，但更主要的是為了得出

asinA

?

bsinB

?

csinC

?2R。即得正弦定理中這一比值等于外接圓半徑的2C

倍的結

論，讓學生能更深刻地理解到這一定理的，也方便以后的解題。而提到的向量法，則讓學生課后自己思考，可以查閱資料證明。

六、課堂小結與反思

這節課我們學到了什么？（正弦定理的形式？正弦定理的適應范圍？正弦定理的證明方法？）

1、我們從直角、銳角、鈍角三類三角形出發，運用分類的方法通過猜想、證明得到了正弦定理

asinA

?

bsinB

?

csinC，它揭示了任意三角形邊和其所對的角的正弦值的關系。

2、運用正弦定理解決了我們所要解決的實際問題。在解三角形中，若已知兩角和一邊，或者已知兩邊和其中一邊所對的角可以用正弦定理來解決。但在第二種情況下，運用正弦定理需要考慮多解的情況。

3、正弦定理的證明還可以運用向量法和作三角形的外接圓來證明。其中通過作外接圓可以得到

asinA

?

bsinB

?

csinC

?2R.這是對正弦定理的補充。

七、作業布置

教材第10頁，習題1.1，A組第一題、第二題。

第四篇：正弦定理教學設計

《正弦定理》教學設計

茂名市實驗中學張衛兵

一、教學目標分析

1、知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題。

2、過程與方法：讓學生從實際問題出發，結合初中學習過的直角三角形中的邊角關系，引導學生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發現并證明正弦定理；讓學生在應用定理解決問題的過程中更深入地理解定理及其作用。

3、情感、態度與價值觀：通過正弦定理的發現與證明過程體驗數學的探索性與創造性，讓學生體驗成功的喜悅，激發學生的好奇心與求知欲并培養學生堅忍不拔的意志、實事求是的科學態度和樂于探索、勇于創新的精神。

二、教學重點、難點分析

重點：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，發現、證明正弦定理并運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題。

難點：正弦定理的發現并證明過程以及已知兩邊以及其中一邊的對角解三角形時解的個數的判斷。

三、教學基本流程

1、創設問題情境，引出問題：在三角形中，已知兩角以及一邊，如何求出另外一邊；

2、結合初中學習過的直角三角形中的邊角關系，引導學生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發現并證明正弦定理；

3、分析正弦定理的特征及利用正弦定理可解的三角形的類型；

4、應用正弦定理解三角形。

四、教學情境設計

五、教學研究

1、新課標倡導積極主動、勇于探索的學習方式，使學生在自主探究的過程中提高數學思維能力。本設計從生活中的實際問題出發創設了一系列數學問題情境來引導學生質疑、思考，讓學生在“疑問”、“好奇”、“解難”中探究學習，激發了學生的學習興趣，調動了學生自主學習的積極性，從而有效地培養學生了的數學創新思維。

2、新課標強調數學教學要注重“過程”，要使學生學習數學的過程成為在教師的引導下進行“再創造”過程。本設計展示了一個先從特殊的直角三角形中正弦的定義出發探索?A的正弦與?B的正弦的關系從而發現正弦定理，再將一般的三角形與直角三角形聯系起來（在一般的三角形中構造直角三角形）進而在一般的三角形發現正弦定理的過程，使學生不但體會到探索新知的方法而且體驗到了發現的樂趣，起到了良好的教學效果。

3、新課標強調要發展學生的應用意識，增強學生應用數學解決實際問題的能力。本設計以一個實際問題出發引入正弦定理并讓學生在練習3中解決這一問題，這不但使學生體會到了數學的作用，而且使學生的數學應用意識和應用數學解決實際問題的能力得到了進一步的提高。

第五篇：正弦定理 教學設計

《正弦定理》教學設計

郭來華

一、教學內容分析

“正弦定理”是《普通高中課程標準數學教科書·數學（必修5）》（人教版）第一章第一節的主要內容，它既是初中“解直角三角形”內容的直接延拓，也是三角函數一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發現的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學生所關心的問題。

本節課是“正弦定理”教學的第一課時，其主要任務是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。因此，做好“正弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且通過對定理的探究，能使學生體驗到數學發現和創造的歷程，進而培養學生提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

二、學生學習情況分析

學生在初中已經學習了解直角三角形的內容，在必修4中，又學習了三角函數的基礎知識和平面向量的有關內容，對解直角三角形、三角函數、平面向量已形成初步的知識框架，這不僅是學習正弦定理的認知基礎，同時又是突破定理證明障礙的強有力的工具。正弦定理是關于任意三角形邊角關系的重要定理之一，《課程標準》強調在教學中要重視定理的探究過程，并能運用它解決一些實際問題，可以使學生進一步了解數學在實際中的應用，從而激發學生學習數學的興趣，也為學習正弦定理提供一種親和力與認同感。

三、設計思想

培養學生學會學習、學會探究是全面發展學生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務。如何培養學生學會學習、學會探究呢？建構主義認為：“知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的。”這個觀點從教學的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的學習經驗，并通過與他人（在教師指導和學習伙伴的幫助下）協作，主動建構而獲得的，建構主義教學模式強調以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用。本節“正弦定理”的教學，將遵循這個原則而進行設計。

四、教學目標

1、知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法。

2、過程與方法：讓學生從已有的知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗數學發現和創造的歷程。

3、情感態度與價值觀：在平等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，實現共同探究、教學相長的教學情境。

五、教學重點與難點

重點：正弦定理的發現和推導 難點：正弦定理的推導

六、教學過程設計

（一）設置情境

利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬d?1km。因上游暴發特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉運到正對岸的碼頭B處或其下游1km的碼頭C處，請你確定轉運方案。已知船在靜水中的速度v1?5km/h，水流速度v1?3km/h。【設計意圖】培養學生的“數學起源于生活，運用于

（二）提出問題

師：為了確定轉運方案，請同學們設身處地地考慮有關的問題，將各自的問題經小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。

待各小組將問題交給老師后，老師篩選了幾個問題通過投影向全班展示，經大家歸納整理后得到如下的五個問題：

1、船應開往B處還是C處？

2、船從A開到B、C分別需要多少時間？

3、船從A到B、C的距離分別是多少？

4、船從A到B、C時的速度大小分別是多少？

5、船應向什么方向開，才能保證沿直線到達B、C？

【設計意圖】通過小組交流，提供一定的研究學習與情感交流的時空，培養學生合作學習的能力；問題源于學生，突出學生學習的主體性，能激發學生學習的興趣；問題通過老師的篩選，確定研究的方向，體現教師的主導作用。

師：誰能幫大家講解，應該怎樣解決上述問題？

大家經過討論達成如下共識：要回答問題1，需要解決問題2，要解決問題2，需要先解決問題3和4，問題3用直角三角形知識可解，所以重點是解決問

A圖 1BC生活”的思想意識，同時情境問題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。題4，問題4與問題5是兩個相關問題。因此，解決上述問題的關鍵是解決問題4和5。

師：請同學們根據平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生1：船從A開往B的情況如圖2，根據平行四邊形的性質及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1與v2的夾角?：

|v|?|v1|?|v2|?|v1||v2|?35, 22BDEC5?3?4，22v1vFAv2圖 2sin?? 用計算器可求得??37?

BDv1vv2AF圖 3EC船從A開往C的情況如圖3，|AD|?|v1|?5，|DE|?|AF|?|v2|?3，易求得?AED??EAF?45?，還需求?DAE及v，我還不知道怎樣解這兩個問題。

師：請大家思考，這兩個問題的數學實質是什么？ 部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。

【設計意圖】將問題數學化，有助于加深學生對問題的理解，有助于培養學生的數學意識。

師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？ 生3：不知道。

師：圖2的情形大家都會解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何異同點？

生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。但圖2中?ADE是直角三角形，而圖3中?ADE不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關系求解。

師：圖3的情形能否轉化成直角三角形來解呢？

【設計意圖】通過教師的問題引導，啟發學生將問題進行轉化，培養學生的化歸思想，同時為下一步用特例作為突破口來研究正弦定理以及用作高的方法來證明正弦定理做好鋪墊。

生5：能，過點D作DG?AE于點G（如圖4），?|DG|?|v1|sin?DAG?|DE|sin?AED|AG|?|v1|cos?DAGBDv1vAGv2EC，|EG|?|DE|cos?AED

F圖 4?sin?DAG?|DE|sin?AED|v1|?3sin45?5?3210

|v|?|AG|?|GE|????

師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個直角三角形求解。但在生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關系求解呢？三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數量關系？

【設計意圖】通過教師對學生的肯定評價，創造一個教與學的和諧環境，既激發學生的學習興趣，使緊接著的問題能更好地得到學生的認同，又有利于學生和教師的共同成長。

（三）解決問題

1、正弦定理的引入

師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？ 眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發現解法。可以以直角三角形為特例，先在直角三角形中試探一下。

師：如果一般三角形具有某種邊角關系，對于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我們先研究特例，請同學們對直角三角形進行研究，尋找一般三角形的各邊及其對角之間有何關系？同學們可以參與小組共同研究。

（1）學生以小組為單位進行研究；教師觀察學生的研究進展情況或參與學生的研究。

（2）展示學生研究的結果。

【設計意圖】教師參與學生之間的研究，增進師生之間的思維與情感的交流，并通過教師的指導與觀察，及時掌握學生研究的情況，為展示學生的研究結論做準備；同時通過展示研究結論，強化學生學習的動機，增進學生的成功感及學習的信心。

師：請說出你研究的結論？ 生7：asinA?bsinB?csinC

師：你是怎樣想出來的？

生7：因為在直角三角形中，它們的比值都等于斜邊c。

師：有沒有其它的研究結論？（根據實際情況，引導學生進行分析判斷結論正確與否，或留課后進一步深入研究。）

師：asinA?bsinB?csinC對一般三角形是否成立呢？

眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗，若有一個不成立，則否定結論：若都成立，則說明這個結論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。

師：這是個好主意。那么生9：成立。師：對任意三角形

asinA?bsinB?csinCasinA?bsinB?csinC對等邊三角形是否成立呢？

是否成立，現在讓我們借助于《幾何畫板》做一個數學實驗，??

【設計意圖】引導學生的思維逐步形成“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決問題”的思維方式，進而形成解決問題的能力。

2、正弦定理的探究（1）實驗探究正弦定理

師：借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教學課件。邊演示邊引導學生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。

結論：asinA?bsinB?csinC對于任意三角形都成立。

【設計意圖】通過《幾何畫板》軟件的演示，使學生對結論的認識從感性逐步上升到理性。

師：利用上述結論解決情境問題中圖3的情形，并檢驗與生5的計算結果是否一致。

生10：（通過計算）與生5的結果相同。

師：如果上述結論成立，則在三角形中利用該結論解決“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。”的問題就簡單多了。

【設計意圖】與情境設置中的問題相呼應，間接給出了正弦定理的簡單應用，并強化學生學習探究、應用正弦定理的心理需求。

（2）點明課題：正弦定理（3）正弦定理的理論探究

師：既然是定理，則需要證明，請同學們與小組共同探究正弦定理的證明。探究方案：

直角三角形——已驗證； 銳角三角形——課堂探究； 鈍角三角形——課后證明。

【設計意圖】通過分析，確定探究方案。課堂只讓學生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進程的同時，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學生鞏固課堂的成果。師：請你（生11）到講臺上，講講你的證明思路？

生11：（走上講臺），設法將問題轉化成直角三角形中的問題進行解決。通過作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，則AD?csinB?bsinC，所以

bsinB?csinCAcabB，同理可得

asinA?bsinBCD圖 5 銳角三角形

師：因為要證明的是一個等式，所以應從銳角三角形的條件出發，構造等量關系從而達到證明的目的。注意： csinB?bsinC表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是一個簡捷的證明方法！

【設計意圖】點明此證法的實質是找到一個可以作為證明基礎的等量關系，為后續兩種方法的提出做鋪墊，同時適時對學生作出合情的評價。

師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎的等量關系呢？ 學生七嘴八舌地說出一些等量關系，經討論后確定如下一些與直角三角形有關的等量關系可能有利用價值：①三角形的面積不變；②三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下，學生分別利用這兩種關系作為基礎又得出了如下兩種證法：

證法二：如圖6，設AD、BE、CF分別是?ABC的三條高。則有

AD?b?sin?ACB，BE?c?sin?BACCF?a?sin?ABCAFcaD圖 6 EbCB。

b?c?sin?BAC?c12c?a?sin?ABC12?S?ABC??a12a?b?sin?ACB??bsin?ABC?

Asin?BACsin?ACB

cB

a證法三：如圖7，設BD?2r是?ABC外接圓的直徑，則?BAD?90?，?ACB??ADB

?BD?2r

sin?ADBab??2r同理可證：sin?BACsin?ABC?sin?ACB??asin?BAC?bsin?ABC?csin?ACBccb

D

C圖 7 三角形外接圓

【設計意圖】在證明正弦定理的同時，將兩邊及其夾角的三角形面積公式 及asinA?bsinB?csinC?2r一并牽出，使知識的產生自然合理。

????????、BC、CA間有什么關系？ 師：前面我們學習了平面向量，能否運用向量的方法證明呢？

????師：任意?ABC中，三個向量AB?????????????生12：AB?BC?CA?0

?????????????師：正弦定理體現的是三角形中邊角間的數量關系，由AB?BC?CA?0轉化成數量關系？

??????????????????????????師：在AB?BC?CA兩邊同乘以向量j,有(AB?BC?CA)?j?0,這里的向量??j可否任意？又如何選擇向量j?

?生14：因為兩個垂直向量的數量積為0，可考慮讓向量j與三個向量中的一????個向量（如向量BC）垂直，而且使三個項的關系式轉化成兩個項的關系式。生13：利用向量的數量積運算可將向量關系轉化成數量關系。

師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請大家具體試一下，看還有什么問題？

教師參與學生的小組研究，同時引導學生注意兩個向量的夾角，最后讓學生通過小組代表作完成了如下證明。

?????證法四：如圖8，設非零向量j與向量BC垂直。

?????????????因為AB?BC?CA?0，?????????????所以(AB?BC?CA)?j?0 ??????????即AB?j?CA?j?0 B????????????????????|AB|?|j|?cos?AB,j??|CA|?|j|?cos?CA,j??0 ??c?|j|?cos(90??B)?b?|j|?cos(90??C)?0 ??c?|j|?(?sinB)?b?|j|?sinC?0

Ac?jbaC圖 8 向量所以bsinB?csinC，同理可得

asinA?bsinB

師：能否簡化證法四的過程？（留有一定的時間給學生思考）

??????????師：AB?j?CA?j?0有什么幾何意義？

????????????????????生15：把AB?j?CA?j?0移項可得CA?j?BA?j?????????義可知CA與BA在j方向上的投影相等。，由向量數量積的幾何意生16：我還有一種證法

????????證法五：如圖9，作AD?BC，則AB與AC在????????????????????AD方向上的投影相等,即AB?AD?AC?AD

?????????????????|AB|?|AD|?cos(90??B)?|AC|?|AD|?cos(90??C)C

?c?sinB?b?sin 師：請你到講臺來給大家講一講。（學生16上臺板書自己的證明方法。）

AcBDabC圖 9 向量故bsinB?csinC，同理可得

asinA?bsinB

師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡捷明了！

【設計意圖】利用向量法來證明幾何問題，學生相對比較生疏，不容易馬上想出來，教師通過設計一些遞進式的問題給予適當的啟發引導，將很難想到的方法合理分解，有利于學生理解接受。

（四）小結

師：本節課我們是從實際問題出發，通過猜想、實驗，歸納等思維方法，最后發現了正弦定理，并從不同的角度證明了它。本節課，我們研究問題的突出特點是從特殊到一般，利用了幾何畫板進行數學實驗。我們不僅收獲著結論，而且整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。

（五）作業

1、回顧本節課的整個研究過程，體會知識的發生過程；

2、思考：證法五與證法一有何聯系？

3、思考：能否借助向量的坐標的方法證明正弦定理？

4、當三角形為鈍角三角形時，證明正弦定理。

【設計意圖】為保證學生有充足的時間來完成觀察、歸納、猜想、探究和證明，小結的時間花得少且比較簡單，這將在下一節課進行完善，因此作業的布置也為下節課做一些必要的準備。

七、教學反思

為了使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發現者”和“創造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。我想到了“情境——問題”教學模式，即構建一個以情境為基礎，提出問題與解決問題相互引發攜手并進的“情境——問題”學習鏈，并根據上述精神，結合教學內容，具體做出了如下設計：①創設一個現實問題情境作為提出問題的背景（注：該情境源于《普通高中課程標準數學教科書·數學（必修4）》（人教版）第二章習題2.5 B組第二題，我將其加工成一個具有實際意義的決策型問題）；②啟發、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決過渡性問題4與5時需要使用正弦定理，借此引發學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數學實質，將過渡性問題引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關系？③為了解決提出的目標問題，引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板對猜想進行驗證，進而引導學生對猜想進行嚴格的邏輯證明。

總之，整個過程讓學生通過自主探索、合作交流，親身經歷了“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決問題”——“反思總結”的歷程，使學生成為正弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，從而使三維教學目標得以實現。