第一篇：正弦定理教學設計及反思

湖北省宜昌市第十八中學高中數教師學教學反思：正弦定理教學設計

及反思

【教學課題】1.1.1正弦定理（第一課時）

【教學背景】本節課所面對的是普通高中招生中最后的一批學生，學習成績較差，中考成績大多在280分左右。自身缺少良好的學習習慣和一定的數學學習能力。因此在教學設計時，以基礎知識，基本方法的學習和應用為主。在教學過程中，采用了以學生互動探究為主的“五二五”教學模式，以提高學生的學習興趣。

【教析分析】本章是高中數學必修5的第一章第一節內容，是初中解直角三角形的拓展和延續，重點揭示了三角形邊、角之間的數量關系。運用它可以解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。在高考中也常與三角函數、平面向量等知識結合在一起考考察。

【學習目標】通過對任意三角面積的探索，理解正弦定理的內容及其推導過程；能夠通過觀察、歸納、猜想，由特殊到一般得到正弦定理，體驗數學發現與創造的歷程；掌握正弦定理并能夠運用正弦定理解決一些簡單的求邊角問題。

【學習重點】正弦定理的幾種形式。

【學習難點】正弦定理的推導與證明。

【學習方法】自主學習、合作探究

【教學手段】多媒體輔助教學

【學習過程】

一、復習引入

在直角三角形中是如何定義邊角關系？

任意三角形的高怎么求？

二、合作探究

（要求：學生先獨立思考，再以小組為單位交流討論結果，并派代表展示本組的討論結果。）探究一：在△ABC中,分別以a,b,c為底邊，求出相應邊的高，并求出△ABC的面積。

結論：對任意△ABC都有===.探究二：你能利用三角形的面積公式，做適當的變形，探尋出各角與其對邊的關系嗎？

探究三：正弦定理說明在一個三角形中，各邊與所對角的正弦的比相等，你能想辦法求出這個比值嗎？

三、閱讀教材，記憶公式

我們利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題？

已知求;

已知求.四、小組合作，成果展示（要求：一、三、五組先做第一題再做第二題詞，二、四、六組先做第二題再做第一題；每組派兩位同學到黑板上板書，一位同學講解。評價標準：書寫規范，內容準確，聲音洪亮，思路清晰。）

1、在中，a=3,b=3 ,B=60,求a邊所對角的正弦值。

2、在中，A=60，B=75，a=10,求邊c。

五、課堂小結

（學生小結，相互補充。）

六、能力提升

在?ABC中，已知A?450,a?2,b?2,求B。

七、檢測評價

長江作業本2，3，4，5題。【教學反思】

本節課較好的完成了教學任務，實現了教學目標。在教學過程設計上充分考慮了學生的實際情況，從復習初中所學的直角三角形的邊角關系引入，為學生接下來探究三角形的面積做好鋪墊和引導。而不會讓學生感到很突兀，不知道從哪個角度入手。我的這個引入設計看上去很簡單，但卻是有心之作，是以學生為中心的一個設計。從后面對三角形面積的探究來看，這一個引入做的還是很成功的。

本節課的第一個探究環節是對三角形面積公式的研究推導，學生先獨立思考再小組交流討論，讓他們有了一定的結論和方法之后再交流討論，很好的保護了學生自主學習的空間，又給予了他們展示自己解決問題能力的機會，同時學會了傾聽別人的想法，讓基礎較差的同學在交流中得到點撥，成績較好的同學在爭論中加深了自己對問題的理解和思考。最后由學生展示探究結果，教師給予適當的評價和鼓勵，讓學生有學習的成就感，讓他們有了繼續學習的動力和興趣。

本節課的第二個探究環節是由三角形的面積公式變形推導出正弦定理，這一環節比較簡單，操作性強，學生一點就通。正弦定理的證明方法有很多，比如利用三角形全等、三角形的外接圓、向量法等，本節課我對教材做了改編，利用三角形的面積公式來推導正弦定理，思路自然，目標明確，易于學生接受和探究。在具體推導時，要注重學生思維的發展過程，這是數學的靈魂。

a的值。這一環節對于學生來說是一個難點。在sinA

a教學中恰當的使用了多媒體技術，利用幾何畫板探尋比值的值，由動到靜，取得了很好sinA本節課的第三個探究環節是探尋比值的效果。也讓學生感受到了數學是很有趣的。

在完成了正弦定理的推導之后，設計了兩個簡單的求邊角問題。讓學生進一步熟悉正弦定理的形式和結構特征。并讓學生在每組的黑板上板書并講解，即促使學生養成規范答題的習慣，又提升了數學語言的表達能力，還反饋了本節課的學習效果。

總的來說，本節課是以學生自己學、小組學、集體學為主要學習模式的課，充分調動了學生的學習積極性，每一位學生都動了起來，都有所收獲。數學知識也在歡樂和諧的氛圍中主動的進入了學生的大腦。

第二篇：《正弦定理》教學反思

通過本節課的學習，結合教學目標，從知識、能力、情感三個方面預測可能會出現的結果：

1、學生對于正弦定理的發現、證明正弦定理的幾何法、正弦定理的簡單應用，能夠很輕松地掌握；在證明正弦定理的向量法方面，估計有少部分學生還會有一定的困惑，需要在以后的教學中進一步培養應用向量工具的意識。

2、學生的基本數學思維能力得到一定的提高，能領悟一些基本的數學思想方法；但由于學生還沒有形成完整、嚴謹的數學思維習慣，對問題的認識會不周全，良好的數學素養的形成有待于進一步提高。

3、由于學生的層次不同，體驗與認識有所不同。對層次較高的學生，還應引導其形成更科學、嚴謹、謙虛及鍥而不舍的求學態度；基礎較差的學生，由于不善表達，參與性較差，還應多關注，鼓勵，培養他們的學習興趣，多找些機會讓其體驗成功。

第三篇：正弦定理 教學反思

教學反思

（二）——關于《正弦定理》這一節課的教學反思

1．本節課雖然在教師的引導下，完成了教學任務，但是一味地為了完成任務而忽略了對學生正確思維的展開和引導.上好一堂課不僅有好的教學設計，還應有靈活應變的能力，只有從思想上真正轉變為以學生的發展為根本，才不會為了進度而將學生強拉進自己事先設計好的軌道.正是教學有法，又無定法.2．問題是思維的起點，是學生主動探索的動力.本節課通過對課本引例的解決、展開，引導學生在問題解決中發現結論.符合認識問題的思維規律，對激發學生探究問題興趣是非常有益的.3．正弦定理的證明方法很多，如利用三角形的面積公式、利用三角形的外接圓、利用向量證明等，本節課將斜三角形的邊角關系轉化為直角三角形的邊角關系導出正弦定理，從學生的“最近發展區”入手去設計問題，思路自然，是學生們易于接受的一種證明方法.但在具體的推導時，要注意尊重學生思維的發展的過程，這是一種理念，也是一種能力.在教學設計和課堂教學中應充分了解學生、研究學生，備課不僅是備知識，更重要的是備學生.作為教師只有真正樹立以學生的發展為本的教學理念，才能尊重學生思維過程的發生、發展，才能從學生的生活經驗和已有知識背景出發，創設合理的教學情境，才能為學生提供充分的數學活動和交流的機會，使學生從單純的知識接受者轉變為數學學習的主人.

第四篇：正弦定理教學設計與反思

“正弦定理”的教學設計和反思

“正弦定理”的教學設計

一、教材分析

1、正弦與余弦定理是關于任意三角形邊角關系的兩個重要定理，《標準》強調在教學中要重視定理的探究過程，并能運用這兩個定理解決測量、工業、幾何等方面的實際問題，從而使學生進一步了解數學在實際中的運用，激發學生學習數學的興趣，培養學生由實際問題抽象出數學問題并加以解決的能力。

2、定理的探究可以采用向量的方法。向量在研究與解決有關幾何問題時提供了兩種方法——向量法與坐標法，它在實際問題與數學問題、“形”與“數”之間搭起了“橋梁”。向量在數學與物理中運用廣泛，在解析幾何運用更直接，用向量方法便于研究空間里涉及直線和平面的各種問題，是一張具有優良運算通性的數學體系。

3、定理的探究也可以采用幾何推理的方法。

4、在必修4中，學生已經學習了三角函數的基礎知識、圖像性質與恒等變形等三角函數和平面向量的有關內容，對三角函數、平面向量已形成初步的知識框架，是學習正弦定理的知識基礎。學生已經掌握的知識和方法形成的認知結構，是學習正弦定理的能力基礎。

正弦定理是必修5 中第一章 解三角形第一節

正弦定理和余弦定理中的第一

正弦定理，起著承上啟下的作用。

二、教學目標

1、掌握利用幾何或平面向量證明正弦定理的方法，引導學生運用向量知識解決問題的意識。

2、掌握正弦定理，并能解決一些簡單三角形度量問題。

3、能根據三角形邊長和角度的關系，進行三角形和解的個數的判定。

4、培養學生的觀察，歸納、猜想、探究的思維方法與能力。

三、教學重點、難點 重點：正弦定理的探究與運用

難點：根據三角形邊長和角度的關系，進行形狀和解的個數的判定。

四、教學過程

（一）、創設情景，導入新課

問題

1、在測量某水池東西兩端A與B之間距離實踐活動中。學生甲的測量方法是：從水池的一端點A出發，沿西北方向走了10米到C點出，又再C點測得點B在C的南偏西60度的方向上···試判斷：依據學生甲的測量數據是否能計算出水池兩端A、B之間的距離/若能求出A與B之間的距離？

利用直角三角形的邊角關系可以直接求解。正弦定理的引入

問題

2、p2探究

AbcCBa

在初中我們學習了關于任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系，我們能否得到這個邊、角關系準確化的表示呢？

對于此問題，首先研究比較特殊的直角三角形（銳角三角函數）由于涉及邊角之間的數量關系（引導學生到三角函數）問題

3、在初中，我們已學過如何解直角三角形，那么在直角三角形中存在怎樣的邊角關系呢？

正弦定理的探究

AbCc探究

aB

如同：在Rt△ABC中，在∠c=90°，設BC=a，AC=b,AB=c,sinA=

sinB=

sinC= 可以得到直角三角形中的正弦定理

abc???C sinAsinBsinCacbcc?c思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否成立？

abc?? sinAsinBsinC探究；根據三角形的分類，可分為銳角三角形和鈍角三角形亮種情況進行討論；

（二）合作交流，解讀新知

一般三角形的計算：采取分割的方法，將一般三角形化為兩個直角三角形求解。問題是生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個三角形都化為直角三角形求解，很麻煩，能不能，像直角三角形一樣利用邊角關系求解呢? 銳角三角形

利用銳角三角形中，同一條高的不同表示，證明銳角三角形中的正弦CABD定理。

asinB和bsinA實際上表示了銳角三角形

ab?，同理可得，sinAsinBAB邊上的高，CD?asinB?bsinA，則鈍角三角形

P3探究，當三角形ABC是鈍角三角形時，以上等式成立嗎？是否可以用其他方法證明正弦定理，學生自己探究，小組討論，教師提示

鈍角三角形中的正弦定理（正弦函數的誘導公式）作一邊上的高，總結：正弦定理abc?? sinAsinBsinC正弦定理的證明

方法有：向量法、三角形面積公式。

前面我們學習了排名向量，能否運用向量的方法證明呢？

CiAB但△ABC是銳角三角形時，過點A作單位向量

??????i垂直于AB，因為AC?AB?AC，所以 i?AC?i?(AB?BC)

???i?AC?i?AB?i?BC

所以b?cos(900?A)?c?cos900?a?cos(900?B)

即bsinA?asinB?ab? sinAsinB當△ABC是鈍角三角形時，類似證明。

提問為什么要做單位向量，引入單位向量有什么用？

因為垂直的兩向量的數量積等于0，所以過點A引入單位向量是為了消去第三邊。

正弦定理說明：（1）同一個三角形中，三條邊與其對應角的正弦成正比且比例系數為改三角形外接圓的直徑2R。即a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（2）、anisbc??AnisBnisCanisbcbac?,?,? AnisBnisCnisBnisAnisC（3）三角形面積公式 解三角形

(1)、說明是解三角形p3 三角形的元素，三邊對應三角（傳統）（2）正弦定理可以用于兩類解三角形的問題

P3思考

我們利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？（正弦定理說明（2））

（1）兩角與一邊（三角形內角和定理，求另一角，）正弦定理求另兩邊。

（2）兩邊與一邊對角，正弦定理求另一邊的對角正弦值（確定角）和其他邊和角。

（三）、例題講解（正弦定理的應用）P3例1 P4例2

教師提示學生動手做，叫學生上黑板演練，注意兩邊和一邊對角，解三角形，在某些條件下，出現無解情形 關于解三角形的進一步討論。（三角形中大邊對大角）

（四）、課堂練習P4練習

（五）、小結與作業

1、正弦定理的應用，在同一個三角形中，大角隊大邊，大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大。

即三角形中，A>B，等價于a>b等價于sin A>sin B

2、解決三角形中的計算與咱們問題時，要注意以下幾點，sinA=sin(B+C)

3、三角形常用的面積公式

教學反思

本節課是正弦、余弦定理教學的第一街課，重點是正弦定理的探究原因如下：教學的目的不僅是傳授知識與技能，更主要的是再此過程中，培養學生的能力，特別是思維能力；素材適合于學生教學“觀察與分析”，“歸納與猜想”，“實驗與證明”等思維能力的訓練，正弦定理的探究包含利用向量方法證明定理。缺點是，課堂思維容量大，教學進度受學生的思維水平的影響；教學中容易出現突發事件影響教學進度；故要求教師靈活處理隨機事件的能力高，在組織教學中，采取“讓學生走上講臺”、“讓學生自學課本”、“師生、生生討論”等模式，形成學生主動觀察、分析、歸納、探究、猜想、證明為主線的，教師的主導作用，真正體現了新課改的理念。教學的注意

對學生情況的把握是否到位，教學設計與學生的生成是否精彩，師生配合度是否默偰，方法是否得當。

學習數學不僅是知識的自我和應用，更主要的是知識的建構和思維能力的培養，體現了知識的探究、建構過程、體現了學生的主體作用。對教材教學適當的處理，分層遞進，理解思維方法，從特殊到一般，從歸納猜想到實驗證明，培養學生的探究問題的科學方法。

第五篇：正弦定理 教學設計

《正弦定理》教學設計

郭來華

一、教學內容分析

“正弦定理”是《普通高中課程標準數學教科書·數學（必修5）》（人教版）第一章第一節的主要內容，它既是初中“解直角三角形”內容的直接延拓，也是三角函數一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發現的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學生所關心的問題。

本節課是“正弦定理”教學的第一課時，其主要任務是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。因此，做好“正弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且通過對定理的探究，能使學生體驗到數學發現和創造的歷程，進而培養學生提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

二、學生學習情況分析

學生在初中已經學習了解直角三角形的內容，在必修4中，又學習了三角函數的基礎知識和平面向量的有關內容，對解直角三角形、三角函數、平面向量已形成初步的知識框架，這不僅是學習正弦定理的認知基礎，同時又是突破定理證明障礙的強有力的工具。正弦定理是關于任意三角形邊角關系的重要定理之一，《課程標準》強調在教學中要重視定理的探究過程，并能運用它解決一些實際問題，可以使學生進一步了解數學在實際中的應用，從而激發學生學習數學的興趣，也為學習正弦定理提供一種親和力與認同感。

三、設計思想

培養學生學會學習、學會探究是全面發展學生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務。如何培養學生學會學習、學會探究呢？建構主義認為：“知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的。”這個觀點從教學的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的學習經驗，并通過與他人（在教師指導和學習伙伴的幫助下）協作，主動建構而獲得的，建構主義教學模式強調以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用。本節“正弦定理”的教學，將遵循這個原則而進行設計。

四、教學目標

1、知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法。

2、過程與方法：讓學生從已有的知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗數學發現和創造的歷程。

3、情感態度與價值觀：在平等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，實現共同探究、教學相長的教學情境。

五、教學重點與難點

重點：正弦定理的發現和推導 難點：正弦定理的推導

六、教學過程設計

（一）設置情境

利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬d?1km。因上游暴發特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉運到正對岸的碼頭B處或其下游1km的碼頭C處，請你確定轉運方案。已知船在靜水中的速度v1?5km/h，水流速度v1?3km/h。【設計意圖】培養學生的“數學起源于生活，運用于

（二）提出問題

師：為了確定轉運方案，請同學們設身處地地考慮有關的問題，將各自的問題經小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。

待各小組將問題交給老師后，老師篩選了幾個問題通過投影向全班展示，經大家歸納整理后得到如下的五個問題：

1、船應開往B處還是C處？

2、船從A開到B、C分別需要多少時間？

3、船從A到B、C的距離分別是多少？

4、船從A到B、C時的速度大小分別是多少？

5、船應向什么方向開，才能保證沿直線到達B、C？

【設計意圖】通過小組交流，提供一定的研究學習與情感交流的時空，培養學生合作學習的能力；問題源于學生，突出學生學習的主體性，能激發學生學習的興趣；問題通過老師的篩選，確定研究的方向，體現教師的主導作用。

師：誰能幫大家講解，應該怎樣解決上述問題？

大家經過討論達成如下共識：要回答問題1，需要解決問題2，要解決問題2，需要先解決問題3和4，問題3用直角三角形知識可解，所以重點是解決問

A圖 1BC生活”的思想意識，同時情境問題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。題4，問題4與問題5是兩個相關問題。因此，解決上述問題的關鍵是解決問題4和5。

師：請同學們根據平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生1：船從A開往B的情況如圖2，根據平行四邊形的性質及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1與v2的夾角?：

|v|?|v1|?|v2|?|v1||v2|?35, 22BDEC5?3?4，22v1vFAv2圖 2sin?? 用計算器可求得??37?

BDv1vv2AF圖 3EC船從A開往C的情況如圖3，|AD|?|v1|?5，|DE|?|AF|?|v2|?3，易求得?AED??EAF?45?，還需求?DAE及v，我還不知道怎樣解這兩個問題。

師：請大家思考，這兩個問題的數學實質是什么？ 部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。

【設計意圖】將問題數學化，有助于加深學生對問題的理解，有助于培養學生的數學意識。

師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？ 生3：不知道。

師：圖2的情形大家都會解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何異同點？

生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。但圖2中?ADE是直角三角形，而圖3中?ADE不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關系求解。

師：圖3的情形能否轉化成直角三角形來解呢？

【設計意圖】通過教師的問題引導，啟發學生將問題進行轉化，培養學生的化歸思想，同時為下一步用特例作為突破口來研究正弦定理以及用作高的方法來證明正弦定理做好鋪墊。

生5：能，過點D作DG?AE于點G（如圖4），?|DG|?|v1|sin?DAG?|DE|sin?AED|AG|?|v1|cos?DAGBDv1vAGv2EC，|EG|?|DE|cos?AED

F圖 4?sin?DAG?|DE|sin?AED|v1|?3sin45?5?3210

|v|?|AG|?|GE|????

師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個直角三角形求解。但在生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關系求解呢？三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數量關系？

【設計意圖】通過教師對學生的肯定評價，創造一個教與學的和諧環境，既激發學生的學習興趣，使緊接著的問題能更好地得到學生的認同，又有利于學生和教師的共同成長。

（三）解決問題

1、正弦定理的引入

師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？ 眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發現解法。可以以直角三角形為特例，先在直角三角形中試探一下。

師：如果一般三角形具有某種邊角關系，對于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我們先研究特例，請同學們對直角三角形進行研究，尋找一般三角形的各邊及其對角之間有何關系？同學們可以參與小組共同研究。

（1）學生以小組為單位進行研究；教師觀察學生的研究進展情況或參與學生的研究。

（2）展示學生研究的結果。

【設計意圖】教師參與學生之間的研究，增進師生之間的思維與情感的交流，并通過教師的指導與觀察，及時掌握學生研究的情況，為展示學生的研究結論做準備；同時通過展示研究結論，強化學生學習的動機，增進學生的成功感及學習的信心。

師：請說出你研究的結論？ 生7：asinA?bsinB?csinC

師：你是怎樣想出來的？

生7：因為在直角三角形中，它們的比值都等于斜邊c。

師：有沒有其它的研究結論？（根據實際情況，引導學生進行分析判斷結論正確與否，或留課后進一步深入研究。）

師：asinA?bsinB?csinC對一般三角形是否成立呢？

眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗，若有一個不成立，則否定結論：若都成立，則說明這個結論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。

師：這是個好主意。那么生9：成立。師：對任意三角形

asinA?bsinB?csinCasinA?bsinB?csinC對等邊三角形是否成立呢？

是否成立，現在讓我們借助于《幾何畫板》做一個數學實驗，??

【設計意圖】引導學生的思維逐步形成“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決問題”的思維方式，進而形成解決問題的能力。

2、正弦定理的探究（1）實驗探究正弦定理

師：借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教學課件。邊演示邊引導學生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。

結論：asinA?bsinB?csinC對于任意三角形都成立。

【設計意圖】通過《幾何畫板》軟件的演示，使學生對結論的認識從感性逐步上升到理性。

師：利用上述結論解決情境問題中圖3的情形，并檢驗與生5的計算結果是否一致。

生10：（通過計算）與生5的結果相同。

師：如果上述結論成立，則在三角形中利用該結論解決“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。”的問題就簡單多了。

【設計意圖】與情境設置中的問題相呼應，間接給出了正弦定理的簡單應用，并強化學生學習探究、應用正弦定理的心理需求。

（2）點明課題：正弦定理（3）正弦定理的理論探究

師：既然是定理，則需要證明，請同學們與小組共同探究正弦定理的證明。探究方案：

直角三角形——已驗證； 銳角三角形——課堂探究； 鈍角三角形——課后證明。

【設計意圖】通過分析，確定探究方案。課堂只讓學生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進程的同時，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學生鞏固課堂的成果。師：請你（生11）到講臺上，講講你的證明思路？

生11：（走上講臺），設法將問題轉化成直角三角形中的問題進行解決。通過作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，則AD?csinB?bsinC，所以

bsinB?csinCAcabB，同理可得

asinA?bsinBCD圖 5 銳角三角形

師：因為要證明的是一個等式，所以應從銳角三角形的條件出發，構造等量關系從而達到證明的目的。注意： csinB?bsinC表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是一個簡捷的證明方法！

【設計意圖】點明此證法的實質是找到一個可以作為證明基礎的等量關系，為后續兩種方法的提出做鋪墊，同時適時對學生作出合情的評價。

師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎的等量關系呢？ 學生七嘴八舌地說出一些等量關系，經討論后確定如下一些與直角三角形有關的等量關系可能有利用價值：①三角形的面積不變；②三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下，學生分別利用這兩種關系作為基礎又得出了如下兩種證法：

證法二：如圖6，設AD、BE、CF分別是?ABC的三條高。則有

AD?b?sin?ACB，BE?c?sin?BACCF?a?sin?ABCAFcaD圖 6 EbCB。

b?c?sin?BAC?c12c?a?sin?ABC12?S?ABC??a12a?b?sin?ACB??bsin?ABC?

Asin?BACsin?ACB

cB

a證法三：如圖7，設BD?2r是?ABC外接圓的直徑，則?BAD?90?，?ACB??ADB

?BD?2r

sin?ADBab??2r同理可證：sin?BACsin?ABC?sin?ACB??asin?BAC?bsin?ABC?csin?ACBccb

D

C圖 7 三角形外接圓

【設計意圖】在證明正弦定理的同時，將兩邊及其夾角的三角形面積公式 及asinA?bsinB?csinC?2r一并牽出，使知識的產生自然合理。

????????、BC、CA間有什么關系？ 師：前面我們學習了平面向量，能否運用向量的方法證明呢？

????師：任意?ABC中，三個向量AB?????????????生12：AB?BC?CA?0

?????????????師：正弦定理體現的是三角形中邊角間的數量關系，由AB?BC?CA?0轉化成數量關系？

??????????????????????????師：在AB?BC?CA兩邊同乘以向量j,有(AB?BC?CA)?j?0,這里的向量??j可否任意？又如何選擇向量j?

?生14：因為兩個垂直向量的數量積為0，可考慮讓向量j與三個向量中的一????個向量（如向量BC）垂直，而且使三個項的關系式轉化成兩個項的關系式。生13：利用向量的數量積運算可將向量關系轉化成數量關系。

師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請大家具體試一下，看還有什么問題？

教師參與學生的小組研究，同時引導學生注意兩個向量的夾角，最后讓學生通過小組代表作完成了如下證明。

?????證法四：如圖8，設非零向量j與向量BC垂直。

?????????????因為AB?BC?CA?0，?????????????所以(AB?BC?CA)?j?0 ??????????即AB?j?CA?j?0 B????????????????????|AB|?|j|?cos?AB,j??|CA|?|j|?cos?CA,j??0 ??c?|j|?cos(90??B)?b?|j|?cos(90??C)?0 ??c?|j|?(?sinB)?b?|j|?sinC?0

Ac?jbaC圖 8 向量所以bsinB?csinC，同理可得

asinA?bsinB

師：能否簡化證法四的過程？（留有一定的時間給學生思考）

??????????師：AB?j?CA?j?0有什么幾何意義？

????????????????????生15：把AB?j?CA?j?0移項可得CA?j?BA?j?????????義可知CA與BA在j方向上的投影相等。，由向量數量積的幾何意生16：我還有一種證法

????????證法五：如圖9，作AD?BC，則AB與AC在????????????????????AD方向上的投影相等,即AB?AD?AC?AD

?????????????????|AB|?|AD|?cos(90??B)?|AC|?|AD|?cos(90??C)C

?c?sinB?b?sin 師：請你到講臺來給大家講一講。（學生16上臺板書自己的證明方法。）

AcBDabC圖 9 向量故bsinB?csinC，同理可得

asinA?bsinB

師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡捷明了！

【設計意圖】利用向量法來證明幾何問題，學生相對比較生疏，不容易馬上想出來，教師通過設計一些遞進式的問題給予適當的啟發引導，將很難想到的方法合理分解，有利于學生理解接受。

（四）小結

師：本節課我們是從實際問題出發，通過猜想、實驗，歸納等思維方法，最后發現了正弦定理，并從不同的角度證明了它。本節課，我們研究問題的突出特點是從特殊到一般，利用了幾何畫板進行數學實驗。我們不僅收獲著結論，而且整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。

（五）作業

1、回顧本節課的整個研究過程，體會知識的發生過程；

2、思考：證法五與證法一有何聯系？

3、思考：能否借助向量的坐標的方法證明正弦定理？

4、當三角形為鈍角三角形時，證明正弦定理。

【設計意圖】為保證學生有充足的時間來完成觀察、歸納、猜想、探究和證明，小結的時間花得少且比較簡單，這將在下一節課進行完善，因此作業的布置也為下節課做一些必要的準備。

七、教學反思

為了使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發現者”和“創造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。我想到了“情境——問題”教學模式，即構建一個以情境為基礎，提出問題與解決問題相互引發攜手并進的“情境——問題”學習鏈，并根據上述精神，結合教學內容，具體做出了如下設計：①創設一個現實問題情境作為提出問題的背景（注：該情境源于《普通高中課程標準數學教科書·數學（必修4）》（人教版）第二章習題2.5 B組第二題，我將其加工成一個具有實際意義的決策型問題）；②啟發、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決過渡性問題4與5時需要使用正弦定理，借此引發學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數學實質，將過渡性問題引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關系？③為了解決提出的目標問題，引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板對猜想進行驗證，進而引導學生對猜想進行嚴格的邏輯證明。

總之，整個過程讓學生通過自主探索、合作交流，親身經歷了“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決問題”——“反思總結”的歷程，使學生成為正弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，從而使三維教學目標得以實現。