第一篇：正弦定理教學案例

正弦定理教學案例

一、教學設計

1、教材分析

“正弦定理”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）數學第一冊（下）的第五章第九節的主要內容之五，既是初中“解直角三角形”內容的直接延拓，也是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。本次課是“正弦定理”教學的第一節課，其主要任務是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。因此，做好“正弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

為什么叫解斜三角形？解斜三角形必須要用正弦定理和余弦定理嗎？正弦定理和余弦定理是怎樣發現的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學生所關心的問題。

2、設計思路

為了回答上述問題我想到了“情境——問題”教學模式，即構建一個以情境為基礎，提出問題與解決問題相互引發攜手并進的“情境——問題”學習鏈，使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發現者”和“創造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。根據上述精神，筆者具體做出了如下設計：①創設一俱現實問題情境作為提出問題的背景；②啟發、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決過渡性7問題時需要使用正弦定理，借此引發學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數學實質，將過渡性問題引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關系？③為了解決提出的目標問題，引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后引導學生使用計算器對猜想進行驗證，進而引導學生對猜想進行嚴格的邏輯證明。證明時，關鍵在于啟發、引導學生明確以下兩點：一是證明的起點AC＋CB＝AB；二是如何將向量關系轉化成數量關系，同時將三個項的關系式轉化為只有兩個項的關系式，以揭示引入單位向量j和使用向量的數量積運算的合理性。④由學生獨立使用已證明的結論去解決②中所提出的問題。

二、教學過程

1、設置情境

利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬d＝1km。因上游暴

發特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船轉運到正對岸的碼頭B處

或其下游1km的碼頭C處。已知船在靜水中的速度

｜v 1｜＝5km/ h，水流速度｜v 2｜＝3km/ h。

2、提出問題

師：為了確定轉運方案，請同學們設身處地地考慮一下有關的問題，將各自的問題經小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。

待各小組將題紙交給老師后，老師篩選了幾張有代表性的題紙通過投影向全班展示，經大家歸納整理后得到如下的五個問題：

⑴船應開往B處還是C處？

⑵船從A開到B、C分別需要多少時間？

⑶船從A到B、C的距離分別是多少？

⑷船從A到B、C時的速度大小分別是多少？

⑸船應向什么方向開，才能保證沿直線到達B、C？

師：大家講座一下，應該怎樣解決上述問題？

大家經過討論達成如下共識：要回答問題⑴，需要解決問題⑵，要解決問題⑵，需要先解決問題⑶和⑷，問題用直角三角形知識可解，所以重點是解決問題⑷，問題⑷與問題⑸是兩個相關問題。因此，解決上述問題的關鍵是解決問題⑷和⑸。

師：請同學們根據平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生1：般從A開往B的情況如圖2，根據平行四邊形的性質及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小｜v｜及v 1與v 2的夾角θ：

＝｜v1｜＝5，｜DE｜＝｜AF｜＝｜v2｜＝3，易求得∠AED＝∠EAF＝45°，還需求 及v。我不知道怎樣解這兩個問題，因為以前從未解過類似的問題。

師：請大家想一下，這兩個問題的數學實質是什么？

部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。

師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？

生3：在已知條件下，若能知道三角形中兩條邊與其對角這四個元素之間的數量關系，則可以解決上述問題，求出另一邊的對角。

生4：如果另一邊的對角已經求出，那么第三個角也能夠求出。只要能知道三角形中兩條邊與其對角這四個元素的數量關系，則第三邊也可求出。

生5：在已知條件下，如果能知道三角形中三條邊和一個角這四個元素之間的數量關系，也能求出第三邊和另一邊的對角。

師：同學們的設想很好，只要能知道三角形中兩邊與它們的對角間的數量關系，或者三條邊與一個角間的數量關系，則兩個問題都能夠順利解決。下面我們先來解答問題：三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數量關系？

3、解決問題

師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？

眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發現解法。直角三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。

師：如圖4，請各小組研究在Rt△ABC中，任意兩邊及其對角這四個元素間有什么關系？

多數小組很快得出結論：

眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗，若有一個不成立，則否定結論：若都成立，則說明這個結論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。

師：這是個好主意。請每個小組任意做出一個非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各邊的長和各角的大小，用計算器作為計算工具，具體檢驗一下，然后報告檢驗結果。

幾分鐘后，多數小組報告結論成立，只有一個小組合 因測量和計算誤差，得出否定的結論。教師在引導學生找出失誤的原因后指出：此關系式在任意△ABC中都能成立，請大家先考慮一下證明思路。

生6：想法將問題轉化成直角三角形中的問題進行解決。

生7：因為要證明的是一個等式，所以應先找到一個可以作為證明基礎的等量關系。

師：在三角形中有哪些可以作為證明基礎的等量關系呢？

學生七嘴八舌地說出一些等量關系，經討論后確定如下一些與直

角三角形有關的等量關系可能有利用價值：①三角形的面積不變；②

三角形同一邊上的高不變；③三角形外接圓直徑不變。在教師的建議

下，學生分別利用這3種關系作為基礎得出了如下三種證法：

證法一：如圖5，設AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則

有

AD＝b·sin∠BCA，BE＝c·sin∠CAB，CF＝a·sin∠ABC。

所以S△ABC＝a·b·csin∠BCA

＝b·c·sin∠CAB

＝c·a·sin∠

ABC.證法二：如圖5，設AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。

則有

AD＝b·sin∠BCA＝c·sin∠ABC，BE＝a·sin∠BCA＝c·sin∠CAB。

證法三：如圖6，設CD＝2r是△ABC的外接圓的直徑，則∠DAC＝90°，∠ABC＝∠ADC。

師：據我所知，從AC＋CB＝AB出發，也能證得結論，請大家討論一下。

生8：要想辦法將向量關系轉化成數量關系。

生9：利用向量的數量積運算可將向量關系轉化成數量關系。

生10：還要想辦法將有三個項的關系式轉化成兩個項的關系式。

生11：因為兩個垂直向量的數量積為0，可考慮選一個與三個向量中的一個向量（如向量AC）垂直的向量與向量等式的兩邊分別作數量積。

師：請大家具體試一下，看還有什么問題？

眾學生：向量j與AB、CB的夾角與△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形有關，所以應分兩類情況分別證明。

教師讓學生通過小組代表作完成了如下證明。

語法四：如圖7，設單位向量j與向量AC垂直。

因為AB＝AC＋CB，所以 j·AB＝j·（AC＋CB）＝j·AC＋j·CB.因為j·AC＝0，j·CB＝| j ||CB|cos（90°－∠C）＝a·sinC，j·AB＝| j ||AB|cos（90°－∠A）＝c·sinA

.4、反思應用

師：同學們通過自己的努力，發現并證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對角的關系，請大家考慮一下，正弦定理能夠解決哪些問題？

眾生：知三求一，即已知三角形的兩邊與一邊的對角，可求另一邊的對角；已知三角形的兩角與一角的對邊，可求另一角的對邊；已知三角形中兩邊與它們的對角四個元素中的兩個元素，可研究另外兩個元素的關系。

師：請同學們用正弦定理解決本節課開始時大家提出的問題。

三、教學反思

本課中，教師立足于所創設的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為正弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實，為今后的“定理教學”提供了一些有用的借鑒。

創設數學情境是“情境——問題”教學的基礎環節，教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內容、教學目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。

從應用需要出發，創設認知沖突型數學情境，是創設情境的常用方法之一。“正弦定理”具有廣泛的應用價值，故本課中從應用需要出發創設了教學中所使用的數學情境。該情境源于教材第五章第十二節研究性課題的第二個問題，筆者將其加工成一個具有實際意義的決策型問題。實踐說明，這種將教材中的例題、習題作為素材改造加工成情境，是創設情境的一條有效途徑。只要教師能對教材進行深入、細致、全面的研究，便不難發現教材中有不少可用的素材。在進行教學設計時，筆者曾考慮以“直角三角形”作為情境，考慮到學生據此不易形成目標問題，而且問題缺乏向量背景，不容易想到用向量方法解決問題，故未采用這個方案。

“情境——問題”教學模式主張以問題為“紅線”組織教學活動，以學生作為提出問題的主體，如何引導學生提出問題是教學成敗的關鍵，教學實驗表明，學生能否提出數學問題，不僅受其數學基礎、生活經歷、學習方式等自身因素的影響，還受其所處的環境、教師對提問的態度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創設適宜的數學情境，而且要真正轉變對學生提問的態度，提高引導水平，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學生提出的問題。要引導學生對所提的問題進行分析、整理，篩選出有價值的問題，注意啟發學生揭示問題的數學實質，將提問綽向深入。

本課中，在教師的啟導下，學生首先提出的問題是：船應開往B處還是C處？答案取決于船從A到達B、C的時間；船從A到達B、C的時間，又取決于船從A到達B、C的距離和船的速度的大小；而船能否到達B、C，又取決于船的航向。這些都是具有實際意義的問題，去掉問題的實際意義得出過渡性數學問題，抓住過渡性問題的數學實質，將其上升為一般性數學問題，即目標問題。學生還提出了一個超前性問題：三角形中三條邊與一個角之間有什么關系？這是筆者在設計教案時未想到的，筆者除了對提出此問題的學生給予表揚和肯定外，還要求同學們課后認真研究這個問題，這個問題已經自然地成為教學“余弦定理”的情境。

使用計算器處理復雜、煩瑣的數字運算是新教材的一個重要特點。本課中通過使用計算器，使“正弦定理在非直角三角形中是否成立”的探究性試驗成為可能。這說明計算器在探索、檢驗規律方面也能發揮重要作用。在啟導學生證明正弦定理時，筆者沒有限制學生的思路，使學生通過自己的努力發現了多種證法，其中每一種證法都比教材上給出的證法要簡單。但沒有能夠自然地啟發、引導學生發現和選擇向量方法，是一個遺憾。

第二篇：正弦定理教學案例分析

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《正弦定理》教學案例分析

山東省萊蕪市第十七中學/田才林

一、教學內容：

本節課主要通過對實際問題的探索，構建數學模型，利用數學實驗猜想發現正弦定理，并從理論上加以證明，最后進行簡單的應用。

二、教材分析：

1、教材地位與作用：本節內容安排在《普通高中課程標準實驗教科書.數學必修5》（A版）第一章中，是在高二學生學習了三角等知識之后安排的，顯然是對三角知識的應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內容的直接延伸，而定理本身的應用（定理應用放在下一節專門研究）又十分廣泛，因此做好該節內容的教學，使學生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發現和證明，感受“類比--猜想--證明”的科學研究問題的思路和方法，體會由“定性研究到定量研究”這種數學地思考問題和研究問題的思想，養成大膽猜想、善于思考的品質和勇于求真的精神。

2、教學重點和難點：重點是正弦定理的發現和證明；難點是三角形外接圓法證明。

三、教學目標：

1、知識目標：

掌握正弦定理，理解證明過程。

2、能力目標：

（1）通過對實際問題的探索，培養學生數學地觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

（2）增強學生的協作能力和數學交流能力。（3）發展學生的創新意識和創新能力。

3、情感態度與價值觀：

（1）通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數學規律的發現，培養學生勇于探索、善于發現、不畏艱辛的創新品質，增強學習的成功心理，激發學習數學的興趣。

（2）通過實例的社會意義，培養學生的愛國主義情感和為祖國努力學習的責任心。

四、教學設想：

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本節課采用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以“正弦定理的發現”為基本探究內容，以周圍世界和生活實際為參照對象，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學知識應用于對任意三角形性質的深入探討。讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發展，在“合作”中增知，在“探究”中創新。設計思路如下：

五、教學過程：

（一）創設問題情景

課前放映一些有關軍事題材的圖片，并在課首給出引例：一天，我核潛艇A正在某海域執行巡邏任務，突然發現其正東處有一敵艇B正以30海里/小時的速度朝北偏西40°方向航行。經研究，決定向其發射魚雷給以威懾性打擊。已知魚雷的速度為60海里/小時，問怎樣確定發射角度可擊中敵艦？

[設計一個學生比較感興趣的實際問題，吸引學生注意力，使其立刻進入到研究者的角色中來！]

（二）啟發引導學生數學地觀察問題，構建數學模型。

用幾何畫板模擬演示魚雷及敵艦行蹤,在探討魚雷發射角度的過程中，抽象出一個解三角形問題：

1、考察角A的范圍，回憶“大邊對大角”的性質

2、讓學生猜測角A的準確角度，由AC=2BC,從而B=2A 從而抽象出一個雛形:

3、測量角A的實際角度,與猜測有誤差,從而產生矛盾: 定性研究如何轉化為定量研究? 《中學數學信息網》系列資料 www.tmdps.cn 版權所有@《中學數學信息網》

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4、進一步修正雛形中的公式,啟發學生大膽想象:以及

等

[直覺先行,思辨引路,在矛盾沖突中引發學生積極的思維!]

（三）引導學生用“特例到一般”的研究方法，猜想數學規律。提出問題:

1、如何對以上等式進行檢驗呢?激發學生思維，從自身熟悉的特例（直角三角形）入手進行研究，篩選出能成立的等式（）。

2、那這一結論對任意三角形都適用嗎？指導學生用刻度尺、圓規、計算器等工具對一般三角形進行驗證。

3、讓學生總結實驗結果，得出猜想：

在三角形中，角與所對的邊滿足關系[“特例→類比→猜想”是一種常用的科學的研究思路！]

（四）讓學生進行各種嘗試，探尋理論證明的方法。提出問題:

1、如何把猜想變成定理呢？使學生注意到猜想和定理的區別，強化學生思維的嚴密性。

2、怎樣進行理論證明呢？培養學生的轉化思想，通過作高轉化為熟悉的直角三角形進行證明。

3、你能找出它們的比值嗎？借以檢驗學生是否掌握了以上的研究思路。用幾何畫板動畫演示，找到比值，突破難點。

4、將猜想變為定理，并用以解決課首提出的問題，并進行適當的思想教育。[學生成為發現者，成為創造者！讓學生享受成功的喜悅！] 《中學數學信息網》系列資料 www.tmdps.cn 版權所有@《中學數學信息網》

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（五）反思總結，布置作業

1、正弦定理具有對稱和諧美

2、“類比→實驗→猜想→證明”是一種常用的研究問題的思路和方法 課下思考：三角形中還有其它的邊角定量關系嗎？

六、板書設計：

正弦定理

問題：大邊對大角→邊角準確的量化關系？ 研究思路：特例→類比→實驗→猜想→證明 結論：在△ABC中，邊與所對角滿足關系：

七、課后反思

本節課授課對象為實驗班的學生，學習基礎較好。同時，考慮到這是一節探究課，授課前并沒有告訴學生授課內容。學生在未經預習不知正弦定理內容和證明方法的前提下，在教師預設的思路中，一步步發現了定理并證明了定理，感受到了創造的快樂，激發了學習數學的興趣。

（一）、通過創設教學情境，激活了學生思維。從認知的角度看，情境可視為一種信息載體，一種知識產生的背景。本節課數學情境的創設突出了以下兩點：

1．從有利于學生主動探索設計數學情境。新課標指出：學生的數學學習內容應當是現實的、有趣的和富有挑戰性的。從心理學的角度看，青少年有一種好奇的心態、探究的心理。因此，本教案緊緊地抓住高二學生的這一特征，利用“正弦定理的發現和證明”這一富有挑戰性和探索性的材料，精心設計教學情境，使學生在觀察、實驗、猜想、驗證、推理等活動中，逐步形成創新意識。

2.以問題為導向設計教學情境。“問題是數學的心臟”，本節課數學情境的設計處處以問題為導向：“怎樣調整發射角度呢？”、“我們的工作該怎樣進行呢？”、“我們的‘根據地’是什么？”、“對任意三角形都成立嗎？”??促使學生去思考問題，去發現問題。

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（二）、創造性地使用了教材。數學教學的核心是學生的“再創造”，新課標提倡教師創造性地使用教材。本節課從問題情境的創造到數學實驗的操作，再到證明方法的發現，都對教材作了一定的調整和拓展，使其更符合學生的思維習慣和認知水平，使學生在知識的形成過程、發展過程中展開思維，發展了學生的能力。

（三）數學實驗走進了課堂，這一樸實無華而又意義重大的科學研究的思路和方法給了學生成功的快樂；這一思維模式的養成也為學生的終身發展提供了有利的武器。

一些遺憾：由于這種探究課型在平時的教學中還不夠深入，有些學生往往以一種觀賞者的身份參與其中，主動探究意識不強，思維水平沒有達到足夠的提升。但相信隨著課改實驗的深入，這種狀況會逐步改善。

一些感悟：輕松愉快的課堂是學生思維發展的天地，是合作交流、探索創新的主陣地，是思想教育的好場所。新課標下的課堂是學生和教師共同成長的舞臺！

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第三篇：《正弦定理》教學案例分析

《正弦定理》教學案例分析

劉文弟

一、教學內容：

本節課主要通過對實際問題的探索，構建數學模型，利用數學實驗猜想發現正弦定理，并從理論上加以證實，最后進行簡單的應用。

二、教材分析：

1、教材地位與作用：本節內容安排在《普通高中課程標準實驗教科書.數學必修5》（A版）第一章中，是在高二學生學習了三角等知識之后安排的，顯然是對三角知識的應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內容的直接延伸，而定理本身的應用（定理應用放在下一節專門研究）又十分廣泛，因此做好該節內容的教學，使學生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發現和證實，感受“類比--猜想--證實”的科學研究問題的思路和方法，體會由“定性研究到定量研究”這種數學地思考問題和研究問題的思想，養成大膽猜想、善于思考的品質和勇于求真的精神。

2、教學重點和難點：重點是正弦定理的發現和證實；難點是三角形外接圓法證實。

三、教學目標：

1、知識目標：

把握正弦定理，理解證實過程。

2、能力目標：

（1）通過對實際問題的探索，培養學生數學地觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

（2）增強學生的協作能力和數學交流能力。（3）發展學生的創新意識和創新能力。

3、情感態度與價值觀：

（1）通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數學規律的發現，培養學生勇于探索、善于發現、不畏艱辛的創新品質，增強學習的成功心理，激發學習數學的愛好。（2）通過實例的社會意義，培養學生的愛國主義情感和為祖國努力學習的責任心。

四、教學設想：

本節課采用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以“正弦定理的發現”為基本探究內容，以四周世界和生活實際為參照對象，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學知識應用于對任意三角形性質的深入探討。讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發展，在“合作”中增知，在“探究”中創新。設計思路如下：

五、教學過程：

（一）創設問題情景

課前放映一些有關軍事題材的圖片，并在課首給出引例：一天，我核潛艇A正在某海域執行巡邏任務，忽然發現其正東處有一敵艇B正以30海里/小時的速度朝北偏西40°方向航行。經研究，決定向其發射魚雷給以威懾性打擊。已知魚雷的速度為60海里/小時，問怎樣確定發射角度可擊中敵艦？

[設計一個學生比較感愛好的實際問題，吸引學生注重力，使其馬上進入到研究者的角色中來！]

（二）啟發引導學生數學地觀察問題，構建數學模型。

用幾何畫板模擬演示魚雷及敵艦行蹤,在探討魚雷發射角度的過程中，抽象出一個解三角形問題：

1、考察角A的范圍，回憶“大邊對大角”的性質

2、讓學生猜測角A的準確角度，由AC=2BC,從而B=2A 從而抽象出一個雛形:

3、測量角A的實際角度,與猜測有誤差,從而產生矛盾: 定性研究如何轉化為定量研究?

4、進一步修正雛形中的公式,啟發學生大膽想象:以及

等

[直覺先行,思辨引路,在矛盾沖突中引發學生積極的思維!]

（三）引導學生用“特例到一般”的研究方法，猜想數學規律。提出問題:

1、如何對以上等式進行檢驗呢?激發學生思維，從自身熟悉的特例（直角三角形）入手進行研究，篩選出能成立的等式（）。

2、那這一結論對任意三角形都適用嗎？指導學生用刻度尺、圓規、計算器等工具對一般三角形進行驗證。

3、讓學生總堅固驗結果，得出猜想：

在三角形中，角與所對的邊滿足關系

[“特例→類比→猜想”是一種常用的科學的研究思路！]

（四）讓學生進行各種嘗試，探尋理論證實的方法。提出問題:

1、如何把猜想變成定理呢？使學生注重到猜想和定理的區別，強化學生思維的嚴密性。

2、怎樣進行理論證實呢？培養學生的轉化思想，通過作高轉化為熟悉的直角三角形進行證實。

3、你能找出它們的比值嗎？借以檢驗學生是否把握了以上的研究思路。用幾何畫板動畫演示，找到比值，突破難點。

4、將猜想變為定理，并用以解決課首提出的問題，并進行適當的思想教育。[學生成為發現者，成為創造者！讓學生享受成功的喜悅！]

（五）反思總結，布置作業

1、正弦定理具有對稱和諧美

2、“類比→實驗→猜想→證實”是一種常用的研究問題的思路和方法 課下思考：三角形中還有其它的邊角定量關系嗎？

六、板書設計： 正弦定理

問題：大邊對大角→邊角準確的量化關系？ 研究思路：特例→類比→實驗→猜想→證實 結論：在△ABC中，邊與所對角滿足關系：

七、課后反思 本節課授課對象為實驗班的學生，學習基礎較好。同時，考慮到這是一節探究課，授課前并沒有告訴學生授課內容。學生在未經預習不知正弦定理內容和證實方法的前提下，在教師預設的思路中，一步步發現了定理并證實了定理，感受到了創造的快樂，激發了學習數學的愛好。

（一）、通過創設教學情境，激活了學生思維。從認知的角度看，情境可視為一種信息載體，一種知識產生的背景。本節課數學情境的創設突出了以下兩點：

1．從有利于學生主動探索設計數學情境。新課標指出：學生的數學學習內容應當是現實的、有趣的和富有挑戰性的。從心理學的角度看，青少年有一種好奇的心態、探究的心理。因此，本教案緊緊地抓住高二學生的這一特征，利用“正弦定理的發現和證實”這一富有挑戰性和探索性的材料，精心設計教學情境，使學生在觀察、實驗、猜想、驗證、推理等活動中，逐步形成創新意識。

2.以問題為導向設計教學情境。“問題是數學的心臟”，本節課數學情境的設計處處以問題為導向：“怎樣調整發射角度呢？”、“我們的工作該怎樣進行呢？”、“我們的‘根據地’是什么？”、“對任意三角形都成立嗎？”??促使學生去思考問題，去發現問題。

（二）、創造性地使用了教材。數學教學的核心是學生的“再創造”，新課標提倡教師創造性地使用教材。本節課從問題情境的創造到數學實驗的操作，再到證實方法的發現，都對教材作了一定的調整和拓展，使其更符合學生的思維習慣和認知水平，使學生在知識的形成過程、發展過程中展開思維，發展了學生的能力。

（三）數學實驗走進了課堂，這一樸實無華而又意義重大的科學研究的思路和方法給了學生成功的快樂；這一思維模式的養成也為學生的終身發展提供了有利的武器。

一些遺憾：由于這種探究課型在平時的教學中還不夠深入，有些學生往往以一種觀賞者的身份參與其中，主動探究意識不強，思維水平沒有達到足夠的提升。但相信隨著課改實驗的深入，這種狀況會逐步改善。

一些感悟：輕松愉快的課堂是學生思維發展的天地，是合作交流、探索創新的主陣地，是思想教育的好場所。新課標下的課堂是學生和教師共同成長的舞臺！

第四篇：《正弦定理》教學反思

通過本節課的學習，結合教學目標，從知識、能力、情感三個方面預測可能會出現的結果：

1、學生對于正弦定理的發現、證明正弦定理的幾何法、正弦定理的簡單應用，能夠很輕松地掌握；在證明正弦定理的向量法方面，估計有少部分學生還會有一定的困惑，需要在以后的教學中進一步培養應用向量工具的意識。

2、學生的基本數學思維能力得到一定的提高，能領悟一些基本的數學思想方法；但由于學生還沒有形成完整、嚴謹的數學思維習慣，對問題的認識會不周全，良好的數學素養的形成有待于進一步提高。

3、由于學生的層次不同，體驗與認識有所不同。對層次較高的學生，還應引導其形成更科學、嚴謹、謙虛及鍥而不舍的求學態度；基礎較差的學生，由于不善表達，參與性較差，還應多關注，鼓勵，培養他們的學習興趣，多找些機會讓其體驗成功。

第五篇：正弦定理 教學設計

《正弦定理》教學設計

郭來華

一、教學內容分析

“正弦定理”是《普通高中課程標準數學教科書·數學（必修5）》（人教版）第一章第一節的主要內容，它既是初中“解直角三角形”內容的直接延拓，也是三角函數一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發現的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學生所關心的問題。

本節課是“正弦定理”教學的第一課時，其主要任務是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。因此，做好“正弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且通過對定理的探究，能使學生體驗到數學發現和創造的歷程，進而培養學生提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

二、學生學習情況分析

學生在初中已經學習了解直角三角形的內容，在必修4中，又學習了三角函數的基礎知識和平面向量的有關內容，對解直角三角形、三角函數、平面向量已形成初步的知識框架，這不僅是學習正弦定理的認知基礎，同時又是突破定理證明障礙的強有力的工具。正弦定理是關于任意三角形邊角關系的重要定理之一，《課程標準》強調在教學中要重視定理的探究過程，并能運用它解決一些實際問題，可以使學生進一步了解數學在實際中的應用，從而激發學生學習數學的興趣，也為學習正弦定理提供一種親和力與認同感。

三、設計思想

培養學生學會學習、學會探究是全面發展學生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務。如何培養學生學會學習、學會探究呢？建構主義認為：“知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的。”這個觀點從教學的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的學習經驗，并通過與他人（在教師指導和學習伙伴的幫助下）協作，主動建構而獲得的，建構主義教學模式強調以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用。本節“正弦定理”的教學，將遵循這個原則而進行設計。

四、教學目標

1、知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法。

2、過程與方法：讓學生從已有的知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗數學發現和創造的歷程。

3、情感態度與價值觀：在平等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，實現共同探究、教學相長的教學情境。

五、教學重點與難點

重點：正弦定理的發現和推導 難點：正弦定理的推導

六、教學過程設計

（一）設置情境

利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬d?1km。因上游暴發特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉運到正對岸的碼頭B處或其下游1km的碼頭C處，請你確定轉運方案。已知船在靜水中的速度v1?5km/h，水流速度v1?3km/h。【設計意圖】培養學生的“數學起源于生活，運用于

（二）提出問題

師：為了確定轉運方案，請同學們設身處地地考慮有關的問題，將各自的問題經小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。

待各小組將問題交給老師后，老師篩選了幾個問題通過投影向全班展示，經大家歸納整理后得到如下的五個問題：

1、船應開往B處還是C處？

2、船從A開到B、C分別需要多少時間？

3、船從A到B、C的距離分別是多少？

4、船從A到B、C時的速度大小分別是多少？

5、船應向什么方向開，才能保證沿直線到達B、C？

【設計意圖】通過小組交流，提供一定的研究學習與情感交流的時空，培養學生合作學習的能力；問題源于學生，突出學生學習的主體性，能激發學生學習的興趣；問題通過老師的篩選，確定研究的方向，體現教師的主導作用。

師：誰能幫大家講解，應該怎樣解決上述問題？

大家經過討論達成如下共識：要回答問題1，需要解決問題2，要解決問題2，需要先解決問題3和4，問題3用直角三角形知識可解，所以重點是解決問

A圖 1BC生活”的思想意識，同時情境問題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。題4，問題4與問題5是兩個相關問題。因此，解決上述問題的關鍵是解決問題4和5。

師：請同學們根據平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生1：船從A開往B的情況如圖2，根據平行四邊形的性質及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1與v2的夾角?：

|v|?|v1|?|v2|?|v1||v2|?35, 22BDEC5?3?4，22v1vFAv2圖 2sin?? 用計算器可求得??37?

BDv1vv2AF圖 3EC船從A開往C的情況如圖3，|AD|?|v1|?5，|DE|?|AF|?|v2|?3，易求得?AED??EAF?45?，還需求?DAE及v，我還不知道怎樣解這兩個問題。

師：請大家思考，這兩個問題的數學實質是什么？ 部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。

【設計意圖】將問題數學化，有助于加深學生對問題的理解，有助于培養學生的數學意識。

師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？ 生3：不知道。

師：圖2的情形大家都會解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何異同點？

生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。但圖2中?ADE是直角三角形，而圖3中?ADE不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關系求解。

師：圖3的情形能否轉化成直角三角形來解呢？

【設計意圖】通過教師的問題引導，啟發學生將問題進行轉化，培養學生的化歸思想，同時為下一步用特例作為突破口來研究正弦定理以及用作高的方法來證明正弦定理做好鋪墊。

生5：能，過點D作DG?AE于點G（如圖4），?|DG|?|v1|sin?DAG?|DE|sin?AED|AG|?|v1|cos?DAGBDv1vAGv2EC，|EG|?|DE|cos?AED

F圖 4?sin?DAG?|DE|sin?AED|v1|?3sin45?5?3210

|v|?|AG|?|GE|????

師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個直角三角形求解。但在生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關系求解呢？三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數量關系？

【設計意圖】通過教師對學生的肯定評價，創造一個教與學的和諧環境，既激發學生的學習興趣，使緊接著的問題能更好地得到學生的認同，又有利于學生和教師的共同成長。

（三）解決問題

1、正弦定理的引入

師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？ 眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發現解法。可以以直角三角形為特例，先在直角三角形中試探一下。

師：如果一般三角形具有某種邊角關系，對于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我們先研究特例，請同學們對直角三角形進行研究，尋找一般三角形的各邊及其對角之間有何關系？同學們可以參與小組共同研究。

（1）學生以小組為單位進行研究；教師觀察學生的研究進展情況或參與學生的研究。

（2）展示學生研究的結果。

【設計意圖】教師參與學生之間的研究，增進師生之間的思維與情感的交流，并通過教師的指導與觀察，及時掌握學生研究的情況，為展示學生的研究結論做準備；同時通過展示研究結論，強化學生學習的動機，增進學生的成功感及學習的信心。

師：請說出你研究的結論？ 生7：asinA?bsinB?csinC

師：你是怎樣想出來的？

生7：因為在直角三角形中，它們的比值都等于斜邊c。

師：有沒有其它的研究結論？（根據實際情況，引導學生進行分析判斷結論正確與否，或留課后進一步深入研究。）

師：asinA?bsinB?csinC對一般三角形是否成立呢？

眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗，若有一個不成立，則否定結論：若都成立，則說明這個結論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。

師：這是個好主意。那么生9：成立。師：對任意三角形

asinA?bsinB?csinCasinA?bsinB?csinC對等邊三角形是否成立呢？

是否成立，現在讓我們借助于《幾何畫板》做一個數學實驗，??

【設計意圖】引導學生的思維逐步形成“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決問題”的思維方式，進而形成解決問題的能力。

2、正弦定理的探究（1）實驗探究正弦定理

師：借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教學課件。邊演示邊引導學生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。

結論：asinA?bsinB?csinC對于任意三角形都成立。

【設計意圖】通過《幾何畫板》軟件的演示，使學生對結論的認識從感性逐步上升到理性。

師：利用上述結論解決情境問題中圖3的情形，并檢驗與生5的計算結果是否一致。

生10：（通過計算）與生5的結果相同。

師：如果上述結論成立，則在三角形中利用該結論解決“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。”的問題就簡單多了。

【設計意圖】與情境設置中的問題相呼應，間接給出了正弦定理的簡單應用，并強化學生學習探究、應用正弦定理的心理需求。

（2）點明課題：正弦定理（3）正弦定理的理論探究

師：既然是定理，則需要證明，請同學們與小組共同探究正弦定理的證明。探究方案：

直角三角形——已驗證； 銳角三角形——課堂探究； 鈍角三角形——課后證明。

【設計意圖】通過分析，確定探究方案。課堂只讓學生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進程的同時，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學生鞏固課堂的成果。師：請你（生11）到講臺上，講講你的證明思路？

生11：（走上講臺），設法將問題轉化成直角三角形中的問題進行解決。通過作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，則AD?csinB?bsinC，所以

bsinB?csinCAcabB，同理可得

asinA?bsinBCD圖 5 銳角三角形

師：因為要證明的是一個等式，所以應從銳角三角形的條件出發，構造等量關系從而達到證明的目的。注意： csinB?bsinC表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是一個簡捷的證明方法！

【設計意圖】點明此證法的實質是找到一個可以作為證明基礎的等量關系，為后續兩種方法的提出做鋪墊，同時適時對學生作出合情的評價。

師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎的等量關系呢？ 學生七嘴八舌地說出一些等量關系，經討論后確定如下一些與直角三角形有關的等量關系可能有利用價值：①三角形的面積不變；②三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下，學生分別利用這兩種關系作為基礎又得出了如下兩種證法：

證法二：如圖6，設AD、BE、CF分別是?ABC的三條高。則有

AD?b?sin?ACB，BE?c?sin?BACCF?a?sin?ABCAFcaD圖 6 EbCB。

b?c?sin?BAC?c12c?a?sin?ABC12?S?ABC??a12a?b?sin?ACB??bsin?ABC?

Asin?BACsin?ACB

cB

a證法三：如圖7，設BD?2r是?ABC外接圓的直徑，則?BAD?90?，?ACB??ADB

?BD?2r

sin?ADBab??2r同理可證：sin?BACsin?ABC?sin?ACB??asin?BAC?bsin?ABC?csin?ACBccb

D

C圖 7 三角形外接圓

【設計意圖】在證明正弦定理的同時，將兩邊及其夾角的三角形面積公式 及asinA?bsinB?csinC?2r一并牽出，使知識的產生自然合理。

????????、BC、CA間有什么關系？ 師：前面我們學習了平面向量，能否運用向量的方法證明呢？

????師：任意?ABC中，三個向量AB?????????????生12：AB?BC?CA?0

?????????????師：正弦定理體現的是三角形中邊角間的數量關系，由AB?BC?CA?0轉化成數量關系？

??????????????????????????師：在AB?BC?CA兩邊同乘以向量j,有(AB?BC?CA)?j?0,這里的向量??j可否任意？又如何選擇向量j?

?生14：因為兩個垂直向量的數量積為0，可考慮讓向量j與三個向量中的一????個向量（如向量BC）垂直，而且使三個項的關系式轉化成兩個項的關系式。生13：利用向量的數量積運算可將向量關系轉化成數量關系。

師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請大家具體試一下，看還有什么問題？

教師參與學生的小組研究，同時引導學生注意兩個向量的夾角，最后讓學生通過小組代表作完成了如下證明。

?????證法四：如圖8，設非零向量j與向量BC垂直。

?????????????因為AB?BC?CA?0，?????????????所以(AB?BC?CA)?j?0 ??????????即AB?j?CA?j?0 B????????????????????|AB|?|j|?cos?AB,j??|CA|?|j|?cos?CA,j??0 ??c?|j|?cos(90??B)?b?|j|?cos(90??C)?0 ??c?|j|?(?sinB)?b?|j|?sinC?0

Ac?jbaC圖 8 向量所以bsinB?csinC，同理可得

asinA?bsinB

師：能否簡化證法四的過程？（留有一定的時間給學生思考）

??????????師：AB?j?CA?j?0有什么幾何意義？

????????????????????生15：把AB?j?CA?j?0移項可得CA?j?BA?j?????????義可知CA與BA在j方向上的投影相等。，由向量數量積的幾何意生16：我還有一種證法

????????證法五：如圖9，作AD?BC，則AB與AC在????????????????????AD方向上的投影相等,即AB?AD?AC?AD

?????????????????|AB|?|AD|?cos(90??B)?|AC|?|AD|?cos(90??C)C

?c?sinB?b?sin 師：請你到講臺來給大家講一講。（學生16上臺板書自己的證明方法。）

AcBDabC圖 9 向量故bsinB?csinC，同理可得

asinA?bsinB

師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡捷明了！

【設計意圖】利用向量法來證明幾何問題，學生相對比較生疏，不容易馬上想出來，教師通過設計一些遞進式的問題給予適當的啟發引導，將很難想到的方法合理分解，有利于學生理解接受。

（四）小結

師：本節課我們是從實際問題出發，通過猜想、實驗，歸納等思維方法，最后發現了正弦定理，并從不同的角度證明了它。本節課，我們研究問題的突出特點是從特殊到一般，利用了幾何畫板進行數學實驗。我們不僅收獲著結論，而且整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。

（五）作業

1、回顧本節課的整個研究過程，體會知識的發生過程；

2、思考：證法五與證法一有何聯系？

3、思考：能否借助向量的坐標的方法證明正弦定理？

4、當三角形為鈍角三角形時，證明正弦定理。

【設計意圖】為保證學生有充足的時間來完成觀察、歸納、猜想、探究和證明，小結的時間花得少且比較簡單，這將在下一節課進行完善，因此作業的布置也為下節課做一些必要的準備。

七、教學反思

為了使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發現者”和“創造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。我想到了“情境——問題”教學模式，即構建一個以情境為基礎，提出問題與解決問題相互引發攜手并進的“情境——問題”學習鏈，并根據上述精神，結合教學內容，具體做出了如下設計：①創設一個現實問題情境作為提出問題的背景（注：該情境源于《普通高中課程標準數學教科書·數學（必修4）》（人教版）第二章習題2.5 B組第二題，我將其加工成一個具有實際意義的決策型問題）；②啟發、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決過渡性問題4與5時需要使用正弦定理，借此引發學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數學實質，將過渡性問題引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關系？③為了解決提出的目標問題，引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板對猜想進行驗證，進而引導學生對猜想進行嚴格的邏輯證明。

總之，整個過程讓學生通過自主探索、合作交流，親身經歷了“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決問題”——“反思總結”的歷程，使學生成為正弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，從而使三維教學目標得以實現。