第一篇：必修5教案1.1正弦定理余弦定理

教學設計示例（第一課時）

一、教學目標

1．掌握正弦定理及其向量法推導過程；

2．掌握用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題．

二、教學重點正弦定理及其推導過程，正弦定理在三角形中的應用；

教學難點正弦定理的向量法證明以及運用正弦定理解三角形時解的個數的判定．

三、教學準備

直尺、投影儀．

四、教學過程

1．設置情境

師：初中我們已學過解直角三角形，請同學們回憶一下直角三角形的邊角關系： 生：Rt?ABC中有a?b?c 22

2a?csinA

b?csinB

a?tanAb

A?B?90?

ab ?sinAsinB

師：對！利用直角三角形中的這些邊角關系對任給直角三角形的兩邊或一邊一角可以求出這個三角形的其他邊與其他角．

師：在直角三角形中，你能用其他的邊角表示斜邊嗎？

生：在直角三角形ABC中，c?abc。??sinAsinBsinC

師：這個式子在任意三角形中也是成立的，這就是我們今天要學的正弦定理（板書正弦定理）．

2．探索研究

（1）師：為了證明正弦定理（引導學生復習向量的數量積），a?b?a?bcos?，式子的左邊與要證明的式子有相似之處嗎？你能否構造一個可以用來證明的式子．

生：如圖，在銳角?ABC中，過A作單位向量j垂直于，則j與的夾角為90??A,j與的夾角為90??C。

由向量的加法可得

??

對上面向量等式兩邊同取與向量j的數量積運算，得到

j?

AC?CB?j?AB

?90??90??C)

?90??A)

?asinC?csinA

同理，過點C作與垂直的單位向量j，可得

cb ?sinCsinB

∴abc ??sinAsinBsinC

師：當?ABC為鈍角三角形時，設A?90?，如圖，過點A作與AC垂直的向量j，則j與的夾角為A?90?，j與的夾角為90??C，同樣可證得

abc ??sinAsinBsinC

師：課后同學考慮一下正弦定理還有沒有其它的方法證明？

師：請同學們觀察正弦定理，利用正弦定理可以解什么類型的三

角形問題？

生：已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角；已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的邊和角。

（2）例題分析

例1在?ABC中，已知c?10,A?45?,C?30?，求b（保留兩個有效數字）bc且B?180??(A?C)?105? ?sinBsinC

c?sinB10?sin105?∴b???19 sinCsin30?解：∵

例2在?ABC中，已知a?4,b?42,B?45?，求?A。abasinB1得sinA??? sinAsinBb2

∵?ABC中a?b∴A為銳角∴A?30? 解：由

例3在?ABC中，?B?45?,?C?60?,a?2(?1)，求?ABC的面積S。解：首先可證明：S?ABC?

這組結論可作公式使用。

其次求b邊 1111ah??absinC?bcsinA?acsinB。2222

?

?A?180??(B?C)?75?

∴由正弦定理，b?asinB?sinA2(3?1)(2)?4 ?2

∴S?ABC?11absinC??2(3?1)?4?()?6?23 222

3．演練反饋

（1）在?ABC中，一定成立的等式是（）

A．asinA?bsinBB．acosA?bcosB

C．asinB?bsinAD．acosB?bcosA

（2）在?ABC中，若a

Acos2?bBcos2?cCcos2，則?ABC是（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．等邊三有形

（3）在任一?ABC中，求證a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0 參考答案：（1）C；（2）D；（3）證：由于正弦定理：令a?ksinA,B?ksinB,c?ksinC代入左邊得：左邊＝k(sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sinBsinA?sinCsinA?sinCsinB)?0＝右邊

4．總結提煉

（1）三角形常用公式：A?B?C??；S?

弦定理以及下節將要學習的余弦定理。111absinC?bcsinA?casinB；正222

?a?2RsinAabc?（2）；?b?2RsinB；???2R（外接圓直徑）sinAsinBsinC?c?2RsinC?

a:b:c?sinA:sinB:sinC。

（3）正弦定理應用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其他兩邊及一角。

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

③幾何作圖時，存在多種情況。如已知a、b及A，求作三角形時，要分類討論，確定解的個數。

第二篇：數學： 1.1 正弦定理 教案(蘇教版必修5)

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第 2 課時： §1.1 正弦定理（2）

【三維目標】：

一、知識與技能

1.學會利用正弦定理解決有關平幾問題以及判斷三角形的形狀，掌握化歸與轉化的數學思想； 2.能熟練運用正弦定理解斜三角形；

二、過程與方法

通過解斜三角形進一步鞏固正弦定理，讓學生總結本節課的內容。

三、情感、態度與價值觀

1.培養學生在方程思想指導下處理解斜三角形問題的運算能力； 2.培養學生合情推理探索數學規律的數學思想能力?！窘虒W重點與難點】：

重點：利用正弦定理解斜三角形

難點：靈活利用正弦定理以及三角恒等變換公式。【學法與教學用具】：

1.學法：

2.教學用具：多媒體、實物投影儀、直尺、計算器 【授課類型】：新授課 【課時安排】：1課時 【教學思路】：

一、創設情景，揭示課題

1.正弦定理：

2.已知兩邊和其中一邊的對角，如何判斷三角形的形狀？

二、研探新知，質疑答辯，排難解惑，發展思維

abc??，試判斷三角形的形狀.cosAcosBcosCABBDAD?ABC?BAC?例2（教材P例5）在中，是的平分線，用正弦定理證明：． 10ACDC例1（教材P9例4）在?ABC中，已知證明：設?BAD??，?BDA??，則?CAD??，?CDA?180???．在?ABD和?ACD中分別運用正弦定理，得即ABsin?ACsin(180???)ABAC???，又sin(180???)?sin?，所以，BDsin?DCsin?BDDCABBD?． ACDC例3 在?ABC中，已知角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若a?c?2b,（1）求證：2cosA?CA?C??cos；（2）若B?，試確定?ABC形狀 2231例4 在?ABC中，a,b,c分別為?ABC三邊長，若cosA?，（1）求sin32A?C?cos2A的值；（2）2若a?3，求bc的最大值

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例5（教材P9例3）某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為35?，沿傾斜角為20?的斜坡前進1000米后到達D處，又測得山頂的仰角為65?，求山的高度(精確到1米)． 分析：要求BC，只要求AB，為此考慮解?ABD．

解：過點D作DE//AC交BC于E，因為?DAC?20?，所以?ADE?160?，于是?ADB?360??160??65??135?．又?BAD?35??20??15?，所以?ABD?30?．在?ABD中，由正弦定理，得

AB?ADsin?ADB1000sin135???10002(m)．

sin?ABDsin30?在Rt?ABC中，BC?ABsin35??10002sin35??811(m)． 答：山的高度約為811m．

四、鞏固深化，反饋矯正

1.在?ABC中，tanA?sinB?tanB?sinA，那么?ABC一定是________ 221?lgsinA??lg2，則?ABC形狀為_______ ca?b?c?_______ 3.在?ABC中，若A?600,a?3，則

sinA?sinB?sinC2.在?ABC中，A為銳角，lgb?lg

五、歸納整理，整體認識

讓學生總結本節課的內容（1）知識總結：（2）方法總結：

六、承上啟下，留下懸念

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第三篇：1.1 正弦定理和余弦定理 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

知識目標：理解并掌握正弦定理，能初步運用正弦定理解斜三角形；

技能目標：理解用向量方法推導正弦定理的過程，進一步鞏固向量知識，體現向量的工具性

情感態度價值觀：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；

2.教學重點/難點

重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

3.教學用具

多媒體

4.標簽

正弦定理

教學過程 講授新課

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．1-2，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據銳角三角函數中正弦函數的定義，有，又，則

.從而在直角三角形ABC中，思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？（由學生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：（證法一）如圖1．1-3，當

ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根，則

.據任意角三角函數的定義，有CD=

同理可得，從而.類似可推出，當自己推導）ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

[理解定理]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數k使，；（2）

等價于。

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如

；

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如.一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。[隨堂練習]第5頁練習第1（1）、2（1）題。

課堂小結（由學生歸納總結）（1）定理的表示形式：

或，（2）正弦定理的應用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

課后習題

板書

第四篇：正弦定理余弦定理[推薦]

正弦定理 余弦定理

一、知識概述

主要學習了正弦定理、余弦定理的推導及其應用，正弦定理是指在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通過兩定理的學習，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用這兩個定理去解斜三角形，學會用計算器解決解斜三角形的計算問題，熟悉兩定理各自解決不同類型的解三角形的問題．認識在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，產生多解的原因，并能準確判斷解的情況．

二、重點知識講解

1、三角形中的邊角關系

在△ABC中，設角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則有

（1）角與角之間的關系：A＋B＋C＝180°；

（2）邊與角之間的關系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：a＝bcosC＋ccosB

b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋

bcosA

2、正弦定理的另三種表示形式：

3、余弦定理的另一種表示形式：

4、正弦定理的另一種推導方法——面積推導法

在△ABC中，易證明再在上式各邊同時除

以在此方法推導過程中，要注意對

面積公式的應用．

例

1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面積S=15，求△ABC的三個內角． 分析：

在正弦定理中，由

進而可以利用三角函數之間的關系進行解題． 解：

可以把面積進行轉化，由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°顯然A＋B=90°不可能成立

當C=30°時，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°

當C=150°時，由A－B=90°得B為負值，不合題意故所求解為A=120°，B=30°，C=30°.例

2、在△ABC中，a、b、c分別是內角A、B、C的外邊，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析：

把題中的邊的關系b=2a利用正弦定理化為角的關系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：

∵B=A＋60°

∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°

=

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例

3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，試判斷△ABC的形狀． 分析：

三角形分類是按邊或角進行的，所以判定三角形形狀時一般要把條件轉化為邊之間關系或角之間關系式，從而得到諸如a＋b＝c，a＋b>c（銳角三角形），a＋b＜c（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進而判定其形狀，但在選擇轉化為邊或是角的關系上，要進行探索．

解法一：由同角三角函數關系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內角，∴sinA≠0，sinB≠0．

．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形狀，此類問題主要考查邊角互化、要么同時化邊為角，要么同時化角為邊，然后再找出它們之間的關系，注意解答問題要周密、嚴謹．

例

4、若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀． 分析：

本題既可以利用正弦定理化邊為角，也可以利用余弦定理化角為邊． 解：

解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°

故△ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得

∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c

故△ABC為等腰三角形或直角三角形．

6、正弦定理，余弦定理與函數之間的相結合，注意運用方程的思想．

例

5、如圖，設P是正方形ABCD的一點，點P到頂點A、B、C的距離分別是

1，2，3，求正方形的邊長．

分析：

本題運用方程的思想，列方程求未知數． 解：

設邊長為x(1

設x=t，則1

－5)=16t

三、難點剖析

1、已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，將出現無解、一解和兩解的情況，應分情況予以討論．

下圖即是表示在△ABC中，已知a、b和A時解三角形的各種情況．

（1）當A為銳角時（如下圖），（2）當A為直角或鈍角時（如下圖），也可利用正弦定理進行討論．

如果sinB>1，則問題無解； 如果sinB＝1，則問題有一解；

如果求出sinB<1，則可得B的兩個值，但要通過“三角形內角和定理”或“大邊對大角”等三角形有關性質進行判斷．

2、用方程的思想理解和運用余弦定理：當等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知數時，等式便成為方程．式中有四個量，知道任意三個，便可以解出另一個，運用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法證明三角形中的射影定理

在△ABC中，設三內角A、B、C的對邊分別是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知兩角和任一邊解三角形；

（2）已知兩邊和一邊的對角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知三邊解三角形；

（2）已知兩邊和夾角解三角形．

6、三角形面積公式：

例

6、不解三角形，判斷三角形的個數． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：

①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．

③a

④a0 ∴△ABC有兩解．

⑤b>c，C＝45°，∴△ABC無解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，這樣B＋C>180°，∴△ABC無解．

第五篇：正弦定理余弦定理練習

正弦定理和余弦定理練習

一、選擇題

1、已知?ABC中，a?4,b?43,A?300,則B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知?ABC中，AB?6,A?300,B?1200,則S?ABC?()

A.9B.18C.93D.1833、已知?ABC中，a:b:c?1:3:2，則A:B:C?（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?k:(k?1):2k(k?0)，則k的取值范圍是（）

A.?2,???B.???,0?C.二、填空題

1、已知?ABC中，B?300,AB?23,AC?2,則S?ABC?

2、已知?ABC中，b?2csinB,則角

3、設?ABC的外接圓的半徑為R，且AB?4,C?450,則R=

4、已知S?ABC?32,b?2,c?3,則角1??,0???2??D.?1?,????2?? A=

5、已知?ABC中，B?450,C?600,a?2(3?1)，則S?ABC?

三、簡答題

01、在?ABC中，若B?30,AB?23,AC?2,求S?ABC.2、已知?ABC中，C?60,BC?a,AC?b,a?b?6.(1)寫出?ABC的面積S與a的函數關系式；(2)當a等于多少時，Smax？并求出Smax.23、已知?ABC中，a?a?2(b?c),a?2b?2c?3,若sinC:sinA?4:，求a,b,c.04、a,b,c是?ABC的三內角A,B,C的對邊，4sin

(1)求角A；(2)若a?3,b?c?3,2B?C2?cos2A?72.求b,c的值.