第一篇：2014年高考數學第一輪復習：正弦定理、余弦定理
2014年高考數學第一輪復習：正弦定理、余弦定理
一、考試要求：了解利用向量知識推導正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題
二、知識梳理： 1.正弦定理： ____________________.強調幾個問題：（1）正弦定理適合于任何三角形；（2）可以證明的外接圓半徑）；（3）每個等式可視為一個方程：知三求一；（4）公式的變形：①a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC；
a
?__R（R為?ABCsinA
sinA?
②
abc,sinB?,sinC?2R2R2R；③sinA:sinB:sinC?a:b:c．
（5）三角形面積公式：S?ABC?________=_________=________．
(6)正弦定理的應用范圍：①已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角。②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角。2.余弦定理： a?_____________________；b
2?____________________；
c2?_____________________.強調幾個問題：(1)熟悉定理的結構，注意“平方”“夾角”“余弦”等；(2)知三求一；(3)當夾角為90時，即三角形為直角三角形時即為勾股定理（特例）；
?
b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2
cosC?(4)變形：cosA? cosB?．
2bc2ac2ac
（5）余弦定理的應用范圍：①已知三邊，求三個角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其
他兩個角.3.解斜三角形(1)．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；(2)．兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角。（見圖示）已知a, b和A, 用正弦定理求B時的各種情況:
①若A為銳角時:
?a?bsinA無解?
?a?bsinA一解(直角)
?
?bsinA?a?b二解(一銳, 一鈍)?a?b一解(銳角)?
已知邊a,b和?A
a 無解 a=CH=bsinA僅有一個解 CH=bsinA ②若A為直角或鈍角時:??a?b無解 ?a?b一解(銳角) 三、基礎檢測：1.在 中，則 等于（） A．B．C．D． 2.若 是（） A．等邊三角形B．有一內角是30° C．等腰直角三角形D．有一內角是30°的等腰三角形 3.在，面積，則BC長為（） A．B．75C．51D．49 4．在 中，已知角 則角A的值是（） A．15°B．75°C．105°D．75°或15° 5． 中，sinB=1,sinC?,則a：b：c為（22） A.1：3：2B.1：1：C.1：2： D.2：1：或1：1： 6.如圖，在△ABC中，D是邊AC 上的點，且AB?CD,2AB?,BC?2BD，則sinC的值為 A ． B ． C ．D ． 7.若 的三個內角 成等差數列，且最大邊為最小邊的2倍，則三內角之比為________。 8.在 中，的值為______。 9.如圖，△ABC中，AB=AC=2，BC=D 在BC邊上，∠ADC=45°，則AD的長度等于______。 10.在?ABC中。若b=5，?B??4，tanA=2，則sinA=_______；a=__________。 11.已知?ABC 的一個內角為120o，并且三邊長構成公差為4的等差數列，則?ABC的面積為_______________.12.在△ABC中，角A、B、C所對應的邊為a,b,c sin(A? （1）若?6)?2cosA,求A的值； 1cosA?,b?3c3（2）若，求sinC的值.cosA-2cosC2c-a=cosBb． 13.在?ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知 sinC1 （I）求sinA的值；（II）若cosB=4，b=2，?ABC的面積S。 14.設?ABC的內角A.B.C所對的邊分別為a.b.c，已知a?1.b?2.cosC?（Ⅰ）求?ABC的周長 （Ⅱ）求cos?A?C?的值 1.4 正弦定理 余弦定理 一、知識概述 主要學習了正弦定理、余弦定理的推導及其應用，正弦定理是指在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通過兩定理的學習，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用這兩個定理去解斜三角形，學會用計算器解決解斜三角形的計算問題，熟悉兩定理各自解決不同類型的解三角形的問題．認識在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，產生多解的原因，并能準確判斷解的情況． 二、重點知識講解 1、三角形中的邊角關系 在△ABC中，設角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則有 （1）角與角之間的關系：A＋B＋C＝180°； （2）邊與角之間的關系： 正弦定理： 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝c2＋a2－2accosB c2＝a2＋b2－2abcosC 射影定理：a＝bcosC＋ccosB b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋ bcosA 2、正弦定理的另三種表示形式： 3、余弦定理的另一種表示形式： 4、正弦定理的另一種推導方法——面積推導法 在△ABC中，易證明再在上式各邊同時除 以在此方法推導過程中，要注意對 面積公式的應用． 例 1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面積S=15，求△ABC的三個內角． 分析： 在正弦定理中，由 進而可以利用三角函數之間的關系進行解題． 解： 可以把面積進行轉化，由公式 ∴C=30°或150° 又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°顯然A＋B=90°不可能成立 當C=30°時，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30° 當C=150°時，由A－B=90°得B為負值，不合題意故所求解為A=120°，B=30°，C=30°.例 2、在△ABC中，a、b、c分別是內角A、B、C的外邊，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析： 把題中的邊的關系b=2a利用正弦定理化為角的關系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解： ∵B=A＋60° ∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60° = 又∵b=2a ∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA 例 3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，試判斷△ABC的形狀． 分析： 三角形分類是按邊或角進行的，所以判定三角形形狀時一般要把條件轉化為邊之間關系或角之間關系式，從而得到諸如a＋b＝c，a＋b>c（銳角三角形），a＋b＜c（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進而判定其形狀，但在選擇轉化為邊或是角的關系上，要進行探索． 解法一：由同角三角函數關系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內角，∴sinA≠0，sinB≠0． ． ∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得： 整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． 5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形狀，此類問題主要考查邊角互化、要么同時化邊為角，要么同時化角為邊，然后再找出它們之間的關系，注意解答問題要周密、嚴謹． 例 4、若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀． 分析： 本題既可以利用正弦定理化邊為角，也可以利用余弦定理化角為邊． 解： 解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B ∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90° 故△ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得 ∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c 故△ABC為等腰三角形或直角三角形． 6、正弦定理，余弦定理與函數之間的相結合，注意運用方程的思想． 例 5、如圖，設P是正方形ABCD的一點，點P到頂點A、B、C的距離分別是 1，2，3，求正方形的邊長． 分析： 本題運用方程的思想，列方程求未知數． 解： 設邊長為x(1 設x=t，則1 －5)=16t 三、難點剖析 1、已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，將出現無解、一解和兩解的情況，應分情況予以討論． 下圖即是表示在△ABC中，已知a、b和A時解三角形的各種情況． （1）當A為銳角時（如下圖），（2）當A為直角或鈍角時（如下圖），也可利用正弦定理進行討論． 如果sinB>1，則問題無解； 如果sinB＝1，則問題有一解； 如果求出sinB<1，則可得B的兩個值，但要通過“三角形內角和定理”或“大邊對大角”等三角形有關性質進行判斷． 2、用方程的思想理解和運用余弦定理：當等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知數時，等式便成為方程．式中有四個量，知道任意三個，便可以解出另一個，運用此式可以求a或b或c或cosA． 3、向量方法證明三角形中的射影定理 在△ABC中，設三內角A、B、C的對邊分別是a、b、c． 4、正弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知兩角和任一邊解三角形； （2）已知兩邊和一邊的對角解三角形． 5、余弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知三邊解三角形； （2）已知兩邊和夾角解三角形． 6、三角形面積公式： 例 6、不解三角形，判斷三角形的個數． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析： ①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解． ③a ④a ⑤b>c，C＝45°，∴△ABC無解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，這樣B＋C>180°，∴△ABC無解． 第十九教時 教材：正弦定理和余弦定理的復習《教學與測試》76、77課 目的：通過復習、小結要求學生對兩個定理的掌握更加牢固，應用更自如。過程： 一、復習正弦定理、余弦定理及解斜三角形 解之：x?6?2 22?(6?22)?3b?c?a1?3?6?22??? 當c?時cosA?222 二、例一 證明在△ABC中asinA=bsinB=csinC=2R，其中R是三角形外接圓半徑 證略 見P159 注意：1．這是正弦定理的又一種證法(現在共用三種方法證明)2.正弦定理的三種表示方法(P159)例二 在任一△ABC中求證：a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0 證：左邊=2RsinA(sinB?sinC)?2RsinB(sinC?sinA)?2RsinC(sinA?sinB) =2R[sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sinBsinA?sinCsinA?sinCsinB]=0=右邊 例三 在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45 求A、C及c 解一：由正弦定理得：sinA?asinB3sin45?3b?2?2 ∵B=45<90 即b ?當A=60時C=7c?bsinC2sinsinB?756?2sin45??2 當A=120時C=15 c?bsinC2sin15?6sinB?sin45???22 解二：設c=x由余弦定理 b2?a2?c2?2accosB 將已知條件代入，整理：x2?6x?1?0 22bc2?2?6?22(3?1)22從而A=60 C=75 當c?6?22時同理可求得：A=120 C=15 例四 試用坐標法證明余弦定理 證略見P161 例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x2?23x?2?0的兩個根，且 2cos(A+B)=1 求 1角C的度數 2AB的長度 3△ABC的面積 解： 1cosC=cos[ (A+B)]= cos(A+B)=∴C=120 2由題設：??a?b?23?a?b?2 ∴AB 2=AC2 +BC 2AC?BC?osC?a2?b2?2abcos120? ?a2?b2?ab?(a?b)2?ab?(23)2?2?10 即AB=10 3S1113△ABC=2absinC?2absin120??2?2?2?32 例六 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD CD, AD=10, AB=14，BDA=60BCD=135 求BC的長 D C 解：在△ABD中，設BD=x 則BA2?BD2?AD2?2BD?AD?cos?BDA A B ，即142?x2?102?2?10x?cos60? 整理得：x2?10x?96?0 解之：x1?16 x2??6（舍去）由余弦定理： BCBD16???sin30?82 ∴BC??sin?CDBsin?BCDsin135 例七（備用）△ABC中，若已知三邊為連續正整數，最大角為鈍角，1求最大角 2 求以此最大角為內角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積。解：1設三邊a?k?1,b?k,c?k?1 k?N?且k?1 a2?b2?c2k?4∵C為鈍角 ∴cosC???0解得1?k?4 2ac2(k?1)∵k?N? ∴k?2或3 但k?2時不能構成三角形應舍去 1當k?3時 a?2,b?3,c?4,cosC??,C?109? 42設夾C角的兩邊為x,y x?y?4 1515??(?x2?4x)44S?xysinC?x(4?x)?當x?2時S最大=15 三、作業：《教學與測試》76、77課中練習 a2?b2b2?c2c2?a2???0 補充：1．在△ABC中，求證： cosA?cosBcosB?cosCcosC?cosAD A 2．如圖ABBCD=75 BC CD=33 BDC=45 ACB=30 求AB的長(112) B C 《正弦定理和余弦定理》學習成果測評 基礎達標： 1.在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為() A.一個解B.二個解C.無解D.無法確定 2．在△ABC 中，若a?2,b?c??A的度數是() A.30°B.45°C.60°D.75° 2223．ΔABC中，若a=b+c+bc，則∠A=() A.60?B.45?C.120?D.30? 4．邊長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為() A.90°B.120°C.135°D.150° 5.在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45?.求A、C及c.06．在?ABC中，若B? 45，c? b?A.7.在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形.8．在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求A.能力提升： AB的取值范圍是()AC A.(0，2)B.(2,2)C.(2,)D.(,2)9．銳角ΔABC中，若C=2B，則 10.已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC的值為()A.? 14B.1 422ABC.?D.銳角ΔABC中，若C=2B，則的取值范圍是 33AC 11.等腰三角形底邊長為6，一條腰長12，則它的外接圓半徑為() 12．在?ABC中，已知三邊a、b、c滿足?a?b?c??a?b?c??3ab，則C＝() A．15B．30C．45D．60 13．鈍角?ABC的三邊長為連續自然數，則這三邊長為（）。 A、1、2、3B、2、3、4C、3、4、5D、4、5、6 ???? sinC2?(6?1)，則∠A=_______.sinB 5a?b?c?_____.15.在△ABC中，∠A=60°，b=1，c=4，則sinA?sinB?sinC14．在ΔABC中，BC=3，AB=2，16.在△ABC中，∠B=120°，sinA:sinC=3:5，b=14，則a，c長為_____.綜合探究： 17．已知鈍角?ABC的三邊為：a?k,b?k?2,c?k?4,求實數k的取值范圍.a2?b2sin(A?B)?18.在?ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，證明:.2sinCc 參考答案： 基礎達標： 1.B2.A3.C4.B 5.解析： asinB3sin45?解法1：由正弦定理得：sinA? ??b22 ∴∠A=60?或120? bsinC2sin75?6?2當∠A=60?時，∠C=75?，c?； ??sinB2sin45? bsinC2sin15?6?2當∠A=120?時，∠C=15?，c?.???sinB2sin45 解法2：設c=x，由余弦定理b?a?c?2accosB 將已知條件代入，整理：x?x?1?0 解之：x?22226?2 2 222?22)?3b?c?a1?3??2??? 當c?時，cosA?2bc26?22(?1)22?2?22?（從而∠A=60?，∠C=75?； ?2時，同理可求得：∠A=120?，∠C=15?.2 bc?6.∵，sinBsinC當c? csinBsin45???∴sinC?，b∵0?C?180，∴C?60或C?120 ∴當C?60時，A?75； ????? 當C?120時，A?15，； 所以A?75或A?15． 7.由余弦定理的推論得： ???? b2?c2?a287.82?161.72?134.62 ?0.5543,?cosA?A?56020?； c2?a2?b2134.62?161.72?87.82 ? cosB?B?32053?； ? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053) 8.∵bc?b2?c2?a2，?0.8398,b2?c2?a21∴由余弦定理的推論得：cosA?? ∵0?A?180，∴A?60.能力提升： 9.C10.A11.C 12.D．由?a?b?c??a?b?c??3ab，得a?b?2ab?c?3ab 222?? a2?b2?c21?，∴由余弦定理的推論得：cosC?2ab2 ∵0?C?180，∴C?60.13.B；只需要判定最大角的余弦值的符號即可。 選項A不能構成三角形； ?? 22?32?421???0，故該三角形為鈍角三角形； 選項B中最大角的余弦值為2?2?34 32?42?52 ?0，故該三角形為直角三角形； 選項C中最大角的余弦值為：2?4?3 42?52?621??0，故該三角形為銳角三角形.選項D中最大角的余弦值為2?4?58 14.120? 1516.4綜合探究： 17.∵?ABC中邊a?k,b?k?2,c?k?4，∴a?k?0，且邊c最長，∵?ABC為鈍角三角形 ∴當C為鈍角時 a2?b2?c2 ?0，∴cosC?2ab ∴a?b?c?0, 即a?b?c ∴k2?(k?2)2?(k?4)2, 解得?2?k?6,又由三角形兩邊之和大于第三邊：k?(k?2)?k?4,得到k?2，故實數k的取值范圍：2?k?6.18.證法一:由正弦定理得： 222222 a2?b2sin2A?sin2Bcos2B?cos2A?? c2sin2C2sin2C =?2sin(B?A)sin(B?A)sinCsin(A?B)sin(A?B)==.222sinCsinCsinC 222證法二:由余弦定理得a=b+c-2bccosA，a2?b2c2?2bccosA2b??1??cosA，則22ccc 又由正弦定理得bsinB?，csinC a2?b22sinBsinC?2sinBcosA?1??cosA?∴ 2csinCsinC sin(A?B)?2sinBcosA sinC sinAcosB?sinBcosAsin(A?B)??.sinCsinC sin(A?B)sinAcosB?sinBcosA?證法三:.sinCsinC sinAasinBb?,?，由正弦定理得sinCcsinCc sin(A?B)acosB?bcosA?∴，sinCc? 又由余弦定理得 a2?c2?b2b2?c2?a2a??b?sin(A?B)?sinCc (a2?c2?b2)?(b2?c2?a2)? 22c a2?b2 ?.c2 正弦定理和余弦定理練習 一、選擇題 1、已知?ABC中，a?4,b?43,A?300,則B=（） A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知?ABC中，AB?6,A?300,B?1200,則S?ABC?() A.9B.18C.93D.1833、已知?ABC中，a:b:c?1:3:2，則A:B:C?（） A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?k:(k?1):2k(k?0)，則k的取值范圍是（） A.?2,???B.???,0?C.二、填空題 1、已知?ABC中，B?300,AB?23,AC?2,則S?ABC? 2、已知?ABC中，b?2csinB,則角 3、設?ABC的外接圓的半徑為R，且AB?4,C?450,則R= 4、已知S?ABC?32,b?2,c?3,則角1??,0???2??D.?1?,????2?? A= 5、已知?ABC中，B?450,C?600,a?2(3?1)，則S?ABC? 三、簡答題 01、在?ABC中，若B?30,AB?23,AC?2,求S?ABC.2、已知?ABC中，C?60,BC?a,AC?b,a?b?6.(1)寫出?ABC的面積S與a的函數關系式；(2)當a等于多少時，Smax？并求出Smax.23、已知?ABC中，a?a?2(b?c),a?2b?2c?3,若sinC:sinA?4:，求a,b,c.04、a,b,c是?ABC的三內角A,B,C的對邊，4sin (1)求角A；(2)若a?3,b?c?3,2B?C2?cos2A?72.求b,c的值.第二篇：正弦定理余弦定理[推薦]
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