第一篇：B01--1.1 正弦定理和余弦定理(3課時)
高中數學新課標必修⑤課時計劃城廂中學高一備課組 授課時間: 2011年 月日(星期)第節 總第課時 第一課時1.1.1正弦定理
教學要求：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題.教學重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用.教學難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數.教學過程：
一、復習準備：
1.討論：在直角三角形中，邊角關系有哪些？（三角形內角和定理、勾股定理、銳角三角函數）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么辦？
2.由已知的邊和角求出未知的邊和角，稱為解三角形.已學習過任意三角形的哪些邊角關系？（內角和、大邊對大角）是否可以把邊、角關系準確量化？ →引入課題：正弦定理
二、講授新課：
1.教學正弦定理的推導：
abcab①特殊情況：直角三角形中的正弦定理： sinA=sinB= sinC=1 即c=.??ccsinAsinBsinC
② 能否推廣到斜三角形？（先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）
當?ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據三角函數的定義，有CD?asinB?bsinA,acabcab.同理，（思考如何作高？），從而.????sinAsinCsinAsinBsinCsinAsinB
111③*其它證法：證明一：（等積法）在任意斜△ABC當中S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA.22
21abc 兩邊同除以abc即得：==.2sinAsinBsinC
aa證明二：（外接圓法）如圖所示，∠A＝∠D，∴??CD?2R，sinAsinDbc同理 =2R，＝2R.sinBsinC??????????????????證明三：（向量法）過A作單位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB邊同乘以單位向量j 得…..則
④ 正弦定理的文字語言、符號語言，及基本應用：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值.2.教學例題：
① 出示例1：在?ABC中，已知A?450，B?600，a?42cm，解三角形.分析已知條件 → 討論如何利用邊角關系 → 示范格式 → 小結：已知兩角一邊
② 出示例
2：?ABC中，cA?450,a?2,求b和B,C.分析已知條件 → 討論如何利用邊角關系 → 示范格式 → 小結：已知兩邊及一邊對角 ③
練習：?ABC中，b?B?600,c?1,求a和A,C.在?ABC中，已知a?10cm，b?14cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）④ 討論：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，如何判斷解的數量？
3.小結：正弦定理的探索過程；正弦定理的兩類應用；已知兩邊及一邊對角的討論.三、鞏固練習：
1.已知?ABC中，?A=60
°，a?，求
2.作業：教材P5 練習1(2)，2題.教學后記：板書設計： a?b?c.sinA?sinB?sinC
第二課時1.1.2余弦定理
（一）教學要求：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.教學重點：余弦定理的發現和證明過程及其基本應用.教學難點：向量方法證明余弦定理.教學過程：
一、復習準備：
1.提問：正弦定理的文字語言？ 符號語言？基本應用？
2.練習：在△ABC中，已知c?10，A=45?，C=30?，解此三角形.→變式
3.討論：已知兩邊及夾角，如何求出此角的對邊？
二、講授新課：
1.教學余弦定理的推導：
① 如圖在?ABC中，AB、BC、CA的長分別為c、a、b.???????????? ∵AC?AB?BC，∴AC?AC?(AB?BC)?(AB?BC)?AB?2AB?BC?BC ????????????????????????????2????????????2????2????????????2??AB?2|AB|?|BC|cos(180?B)?BC?c2?2accosB?a2.即b2?c2?a2?2accosB，→
② 試證：a2?b2?c2?2bccosA，c2?a2?b2?2abcosC.③ 提出余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.用符號語言表示a2?b2?c2?2bccosA，…等；→ 基本應用：已知兩邊及夾角
④ 討論：已知三邊，如何求三角？
b2?c2?a
2→ 余弦定理的推論：cosA?，…等.2bc
⑤ 思考：勾股定理與余弦定理之間的關系？
2.教學例題：
① 出示例1：在?ABC
中，已知a
?cB?600，求b及A.分析已知條件 → 討論如何利用邊角關系 → 示范求b
→ 討論：如何求A？（兩種方法）
（答案：b?A?600）
→ 小結：已知兩邊及夾角
②在?ABC中，已知a?13cm，b?8cm，c?16cm，解三角形.分析已知條件 → 討論如何利用邊角關系 → 分三組練習→ 小結：已知兩角一邊
3.練習：
① 在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.② 在ΔABC中，已知a＝2，b＝3，C＝82°，解這個三角形.4.小結：余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的應用范圍：①已知三邊求三角；②已知兩邊及它們的夾角，求第三邊.三、鞏固練習：
1.在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A.（答案：A=1200）
2.三角形ABC中，A＝120°，b＝3，c＝5，解三角形.→ 變式：求sinBsinC；sinB＋sinC.3.作業：教材P8 練習1、2（1）題.第三課時1.1正弦定理和余弦定理（練習）
教學要求：進一步熟悉正、余弦定理內容，能熟練運用余弦定理、正弦定理解答有關問題，如判斷三角形的形狀，證明三角形中的三角恒等式.教學重點：熟練運用定理.教學難點：應用正、余弦定理進行邊角關系的相互轉化.教學過程：
一、復習準備：
1.寫出正弦定理、余弦定理及推論等公式.2.討論各公式所求解的三角形類型.二、講授新課：
1.教學三角形的解的討論：
① 出示例1：在△ABC中，已知下列條件，解三角形.(i)A＝?
6，a＝25，b＝
(ii)A＝，a
?6，a＝
b＝
； ?，b＝
(iiii)A＝，a＝50，b＝
.66
分兩組練習→ 討論：解的個數情況為何會發生變化？
② 用如下圖示分析解的情況.（A為銳角時）
(iii)A＝
已知邊a,b和?A
a 無解a=CH=bsinA 僅有一個解 CH=bsinA 32.教學正弦定理與余弦定理的活用： ① 出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦.分析：已知條件可以如何轉化？→ 引入參數k，設三邊后利用余弦定理求角.② 出示例3：在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，判斷三角形的類型.分析：由三角形的什么知識可以判別？ → 求最大角余弦，由符號進行判斷 a2?b2?c2?A是直角??ABC是直角三角形 結論：活用余弦定理，得到：a2?b2?c2?A是鈍角?ABC是鈍角三角形 a2?b2?c2?AABC是銳角三角形 ③ 出示例4：已知△ABC中，bcosC?ccosB，試判斷△ABC的形狀.分析：如何將邊角關系中的邊化為角？→ 再思考：又如何將角化為邊？ 3.小結：三角形解的情況的討論；判斷三角形類型；邊角關系如何互化.三、鞏固練習： 1.已知a、b為△ABC的邊，A、B分別是a、b的對角，且sinA2a?b的值 ?，求sinB3b 2.在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，則cosA:cosB:cosC＝.3.作業：教材P11 B組1、2題. 《正弦定理和余弦定理》學習成果測評 基礎達標： 1.在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為() A.一個解B.二個解C.無解D.無法確定 2．在△ABC 中，若a?2,b?c??A的度數是() A.30°B.45°C.60°D.75° 2223．ΔABC中，若a=b+c+bc，則∠A=() A.60?B.45?C.120?D.30? 4．邊長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為() A.90°B.120°C.135°D.150° 5.在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45?.求A、C及c.06．在?ABC中，若B? 45，c? b?A.7.在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形.8．在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求A.能力提升： AB的取值范圍是()AC A.(0，2)B.(2,2)C.(2,)D.(,2)9．銳角ΔABC中，若C=2B，則 10.已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC的值為()A.? 14B.1 422ABC.?D.銳角ΔABC中，若C=2B，則的取值范圍是 33AC 11.等腰三角形底邊長為6，一條腰長12，則它的外接圓半徑為() 12．在?ABC中，已知三邊a、b、c滿足?a?b?c??a?b?c??3ab，則C＝() A．15B．30C．45D．60 13．鈍角?ABC的三邊長為連續自然數，則這三邊長為（）。 A、1、2、3B、2、3、4C、3、4、5D、4、5、6 ???? sinC2?(6?1)，則∠A=_______.sinB 5a?b?c?_____.15.在△ABC中，∠A=60°，b=1，c=4，則sinA?sinB?sinC14．在ΔABC中，BC=3，AB=2，16.在△ABC中，∠B=120°，sinA:sinC=3:5，b=14，則a，c長為_____.綜合探究： 17．已知鈍角?ABC的三邊為：a?k,b?k?2,c?k?4,求實數k的取值范圍.a2?b2sin(A?B)?18.在?ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，證明:.2sinCc 參考答案： 基礎達標： 1.B2.A3.C4.B 5.解析： asinB3sin45?解法1：由正弦定理得：sinA? ??b22 ∴∠A=60?或120? bsinC2sin75?6?2當∠A=60?時，∠C=75?，c?； ??sinB2sin45? bsinC2sin15?6?2當∠A=120?時，∠C=15?，c?.???sinB2sin45 解法2：設c=x，由余弦定理b?a?c?2accosB 將已知條件代入，整理：x?x?1?0 解之：x?22226?2 2 222?22)?3b?c?a1?3??2??? 當c?時，cosA?2bc26?22(?1)22?2?22?（從而∠A=60?，∠C=75?； ?2時，同理可求得：∠A=120?，∠C=15?.2 bc?6.∵，sinBsinC當c? csinBsin45???∴sinC?，b∵0?C?180，∴C?60或C?120 ∴當C?60時，A?75； ????? 當C?120時，A?15，； 所以A?75或A?15． 7.由余弦定理的推論得： ???? b2?c2?a287.82?161.72?134.62 ?0.5543,?cosA?A?56020?； c2?a2?b2134.62?161.72?87.82 ? cosB?B?32053?； ? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053) 8.∵bc?b2?c2?a2，?0.8398,b2?c2?a21∴由余弦定理的推論得：cosA?? ∵0?A?180，∴A?60.能力提升： 9.C10.A11.C 12.D．由?a?b?c??a?b?c??3ab，得a?b?2ab?c?3ab 222?? a2?b2?c21?，∴由余弦定理的推論得：cosC?2ab2 ∵0?C?180，∴C?60.13.B；只需要判定最大角的余弦值的符號即可。 選項A不能構成三角形； ?? 22?32?421???0，故該三角形為鈍角三角形； 選項B中最大角的余弦值為2?2?34 32?42?52 ?0，故該三角形為直角三角形； 選項C中最大角的余弦值為：2?4?3 42?52?621??0，故該三角形為銳角三角形.選項D中最大角的余弦值為2?4?58 14.120? 1516.4綜合探究： 17.∵?ABC中邊a?k,b?k?2,c?k?4，∴a?k?0，且邊c最長，∵?ABC為鈍角三角形 ∴當C為鈍角時 a2?b2?c2 ?0，∴cosC?2ab ∴a?b?c?0, 即a?b?c ∴k2?(k?2)2?(k?4)2, 解得?2?k?6,又由三角形兩邊之和大于第三邊：k?(k?2)?k?4,得到k?2，故實數k的取值范圍：2?k?6.18.證法一:由正弦定理得： 222222 a2?b2sin2A?sin2Bcos2B?cos2A?? c2sin2C2sin2C =?2sin(B?A)sin(B?A)sinCsin(A?B)sin(A?B)==.222sinCsinCsinC 222證法二:由余弦定理得a=b+c-2bccosA，a2?b2c2?2bccosA2b??1??cosA，則22ccc 又由正弦定理得bsinB?，csinC a2?b22sinBsinC?2sinBcosA?1??cosA?∴ 2csinCsinC sin(A?B)?2sinBcosA sinC sinAcosB?sinBcosAsin(A?B)??.sinCsinC sin(A?B)sinAcosB?sinBcosA?證法三:.sinCsinC sinAasinBb?,?，由正弦定理得sinCcsinCc sin(A?B)acosB?bcosA?∴，sinCc? 又由余弦定理得 a2?c2?b2b2?c2?a2a??b?sin(A?B)?sinCc (a2?c2?b2)?(b2?c2?a2)? 22c a2?b2 ?.c2 正弦定理 余弦定理 一、知識概述 主要學習了正弦定理、余弦定理的推導及其應用，正弦定理是指在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通過兩定理的學習，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用這兩個定理去解斜三角形，學會用計算器解決解斜三角形的計算問題，熟悉兩定理各自解決不同類型的解三角形的問題．認識在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，產生多解的原因，并能準確判斷解的情況． 二、重點知識講解 1、三角形中的邊角關系 在△ABC中，設角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則有 （1）角與角之間的關系：A＋B＋C＝180°； （2）邊與角之間的關系： 正弦定理： 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝c2＋a2－2accosB c2＝a2＋b2－2abcosC 射影定理：a＝bcosC＋ccosB b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋ bcosA 2、正弦定理的另三種表示形式： 3、余弦定理的另一種表示形式： 4、正弦定理的另一種推導方法——面積推導法 在△ABC中，易證明再在上式各邊同時除 以在此方法推導過程中，要注意對 面積公式的應用． 例 1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面積S=15，求△ABC的三個內角． 分析： 在正弦定理中，由 進而可以利用三角函數之間的關系進行解題． 解： 可以把面積進行轉化，由公式 ∴C=30°或150° 又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°顯然A＋B=90°不可能成立 當C=30°時，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30° 當C=150°時，由A－B=90°得B為負值，不合題意故所求解為A=120°，B=30°，C=30°.例 2、在△ABC中，a、b、c分別是內角A、B、C的外邊，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析： 把題中的邊的關系b=2a利用正弦定理化為角的關系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解： ∵B=A＋60° ∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60° = 又∵b=2a ∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA 例 3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，試判斷△ABC的形狀． 分析： 三角形分類是按邊或角進行的，所以判定三角形形狀時一般要把條件轉化為邊之間關系或角之間關系式，從而得到諸如a＋b＝c，a＋b>c（銳角三角形），a＋b＜c（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進而判定其形狀，但在選擇轉化為邊或是角的關系上，要進行探索． 解法一：由同角三角函數關系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內角，∴sinA≠0，sinB≠0． ． ∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得： 整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． 5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形狀，此類問題主要考查邊角互化、要么同時化邊為角，要么同時化角為邊，然后再找出它們之間的關系，注意解答問題要周密、嚴謹． 例 4、若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀． 分析： 本題既可以利用正弦定理化邊為角，也可以利用余弦定理化角為邊． 解： 解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B ∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90° 故△ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得 ∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c 故△ABC為等腰三角形或直角三角形． 6、正弦定理，余弦定理與函數之間的相結合，注意運用方程的思想． 例 5、如圖，設P是正方形ABCD的一點，點P到頂點A、B、C的距離分別是 1，2，3，求正方形的邊長． 分析： 本題運用方程的思想，列方程求未知數． 解： 設邊長為x(1 設x=t，則1 －5)=16t 三、難點剖析 1、已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，將出現無解、一解和兩解的情況，應分情況予以討論． 下圖即是表示在△ABC中，已知a、b和A時解三角形的各種情況． （1）當A為銳角時（如下圖），（2）當A為直角或鈍角時（如下圖），也可利用正弦定理進行討論． 如果sinB>1，則問題無解； 如果sinB＝1，則問題有一解； 如果求出sinB<1，則可得B的兩個值，但要通過“三角形內角和定理”或“大邊對大角”等三角形有關性質進行判斷． 2、用方程的思想理解和運用余弦定理：當等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知數時，等式便成為方程．式中有四個量，知道任意三個，便可以解出另一個，運用此式可以求a或b或c或cosA． 3、向量方法證明三角形中的射影定理 在△ABC中，設三內角A、B、C的對邊分別是a、b、c． 4、正弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知兩角和任一邊解三角形； （2）已知兩邊和一邊的對角解三角形． 5、余弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知三邊解三角形； （2）已知兩邊和夾角解三角形． 6、三角形面積公式： 例 6、不解三角形，判斷三角形的個數． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析： ①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解． ③a ④a ⑤b>c，C＝45°，∴△ABC無解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，這樣B＋C>180°，∴△ABC無解． 正弦定理和余弦定理練習 一、選擇題 1、已知?ABC中，a?4,b?43,A?300,則B=（） A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知?ABC中，AB?6,A?300,B?1200,則S?ABC?() A.9B.18C.93D.1833、已知?ABC中，a:b:c?1:3:2，則A:B:C?（） A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?k:(k?1):2k(k?0)，則k的取值范圍是（） A.?2,???B.???,0?C.二、填空題 1、已知?ABC中，B?300,AB?23,AC?2,則S?ABC? 2、已知?ABC中，b?2csinB,則角 3、設?ABC的外接圓的半徑為R，且AB?4,C?450,則R= 4、已知S?ABC?32,b?2,c?3,則角1??,0???2??D.?1?,????2?? A= 5、已知?ABC中，B?450,C?600,a?2(3?1)，則S?ABC? 三、簡答題 01、在?ABC中，若B?30,AB?23,AC?2,求S?ABC.2、已知?ABC中，C?60,BC?a,AC?b,a?b?6.(1)寫出?ABC的面積S與a的函數關系式；(2)當a等于多少時，Smax？并求出Smax.23、已知?ABC中，a?a?2(b?c),a?2b?2c?3,若sinC:sinA?4:，求a,b,c.04、a,b,c是?ABC的三內角A,B,C的對邊，4sin (1)求角A；(2)若a?3,b?c?3,2B?C2?cos2A?72.求b,c的值. 第十九教時 教材：正弦定理和余弦定理的復習《教學與測試》76、77課 目的：通過復習、小結要求學生對兩個定理的掌握更加牢固，應用更自如。過程： 一、復習正弦定理、余弦定理及解斜三角形 解之：x?6?2 22?(6?22)?3b?c?a1?3?6?22??? 當c?時cosA?222 二、例一 證明在△ABC中asinA=bsinB=csinC=2R，其中R是三角形外接圓半徑 證略 見P159 注意：1．這是正弦定理的又一種證法(現在共用三種方法證明)2.正弦定理的三種表示方法(P159)例二 在任一△ABC中求證：a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0 證：左邊=2RsinA(sinB?sinC)?2RsinB(sinC?sinA)?2RsinC(sinA?sinB) =2R[sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sinBsinA?sinCsinA?sinCsinB]=0=右邊 例三 在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45 求A、C及c 解一：由正弦定理得：sinA?asinB3sin45?3b?2?2 ∵B=45<90第二篇：《正弦定理和余弦定理》測試卷
第三篇：正弦定理余弦定理[推薦]
第四篇：正弦定理余弦定理練習
第五篇：正弦定理和余弦定理的復習
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