第一篇：正弦定理(第一課時)

課題: §1．1．1正弦定理（第1課時）

●教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

過程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

●教學(xué)重點(diǎn)

正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

●教學(xué)難點(diǎn)

已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

●教學(xué)過程

1.課題導(dǎo)入

在直角三角形中：sinA=a

c，sinB=b

c，sinC=

1即 c=a

sinA，c=bc

sinB，c=sinC．

∴a

sinA=bc

sinB=sinC

2．學(xué)生探究

思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）

證明一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中

S

12absinC?1

2acsinB?1△ABC=2bcsinA

兩邊同除以1ab

2abc即得：c

sinA=sinB=sinC

證明二：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴a

sinA?a

sinD?CD?2R

同理 b

sinB=2R，c

sinC＝2R

證明三：（向量法）

過A作單位向量垂直于

由 +=兩邊同乘以單位向量 得 ?(+)=? 則?+?=?

∴||?||cos90?+||?||cos(90??C)=||?|AB|cos(90??A)

∴asinC?csinA∴ac= sinAsinC

cb=sinCsinB同理，若過C作垂直于得：

abc==。sinAsinBsinC∴

（板書）

1、正弦定理：abc===2R（R是?ABC外接圓的半徑）sinAsinBsinC

變形：a:b:c?sinA:sinB:sinC。

注：每個等式可視為一個方程：知三求一

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

3.例題講解

例1.（1）在?ABC中，b?,B?600,c?1,求a和A,C．

（2）在?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C．

bccsinB1?sin6001解：（1）∵?,?sinC???，sinBsinCb2?b?c,B?600,?C?B,C為銳角，?C?300,B?900∴a?b2?c2?

2（?C?30或C?150，而C?B?210?180）0000

accsinA6?sin4503?,?sinC???（2）?sinAsinCa22

?csinA?a?c,?C?600或1200

csinBsin750

?當(dāng)C?60時，B?75,b????1，sinCsin60000

csinB6sin150

?當(dāng)C?120時，B?15,b????1 0sinCsin6000

?b??1,B?750,C?600或b?3?1,B?150,C?1200

利用正弦定理可以解決下列兩類解斜三角形的問題： ①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?bsinA； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。a

b

思考：由例1條件，已知兩邊及其中一邊的對角解三角形時，為什么三角形的形狀不能唯一確定，會出現(xiàn)兩解、一解？。（學(xué)生討論，老師引導(dǎo)：從代數(shù)和幾何兩方面）

4．三角形解的判斷方法：（板書）

已知兩邊及其中一邊的對角解三角形時，由于三角形的形狀不能唯一確定，會出現(xiàn)兩解、一解和無解三種情況。

已知邊a,b和?A

a

無解a=CH=bsinA僅有一個解

CH=bsinA

⑴若A為銳角時:（板書）⑵若A為直角或鈍角時：（學(xué)生自己完成）

無解?a?bsinA??a?b無解一解(直角)?a?bsinA: ???a?b一解(銳角)?bsinA?a?b二解(一銳, 一鈍)

?a?b一解(銳角)?

5．課堂練習(xí)

1.在?ABC中，三個內(nèi)角之比A:B:C?1:2:3，那么a:b:c等于.2.在?ABC中，B?1350,C?150,A?5,則此三角形的最大邊長為3.在?ABC中，已知b?2csinB，求?C的度數(shù).6．課堂小結(jié)（學(xué)生發(fā)言，互相補(bǔ)充，老師評價）

1．用三種方法證明了正弦定理：

（1）轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系；（2）利用向量的數(shù)量積．（3）外接圓法

2．理論上正弦定理可解決兩類問題：

（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

（2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其它的邊和角．

教學(xué)反思：本課通過引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形中的正弦定理，進(jìn)而探究在任意三角形中是否還成立？將學(xué)生帶入探索新知的氛圍，學(xué)生從已有的知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，探索得出新結(jié)論，體驗(yàn)了成功的樂趣，對如何運(yùn)用定理解決問題也是躍躍欲試，在課堂小結(jié)教學(xué)中，給學(xué)生一個暢所欲言的機(jī)會，互相評價，最終得到完善的答案．這樣做，可以鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能力，這也體現(xiàn)了一個人成長、發(fā)展所必須經(jīng)歷的過程，對于培養(yǎng)意志品質(zhì)起到了重要作用．

第二篇：正弦定理第一課時教學(xué)設(shè)計(jì)

《正弦定理》（第一課時）教學(xué)設(shè)計(jì)

點(diǎn)明課題

本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5第一章《解三角形》中的1.1《正弦定理和余弦定理》中的1.1.1《正弦定理》的內(nèi)容，該節(jié)包括正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用，我把這節(jié)內(nèi)容分為2課時，現(xiàn)在我要說的是《正弦定理》的第一課時，主要包括正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明和簡單的應(yīng)用。

下面我從三個方面來說說對這節(jié)課的分析和設(shè)計(jì)：

一、教學(xué)背景分析1.教學(xué)目標(biāo)分析 2.學(xué)生現(xiàn)實(shí)分析 3.教材地位分析

二、教學(xué)展開分析1.教學(xué)過程實(shí)施2.教學(xué)媒體選擇3.教學(xué)策略與學(xué)法指導(dǎo) 4.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

三、教學(xué)結(jié)果分析

(一)、教學(xué)背景分析

1.教材地位分析

《正弦定理》是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5中第一章《解三角形》的學(xué)習(xí)內(nèi)容，比較系統(tǒng)地研究了解三角形這個課題?！墩叶ɡ怼肪o跟必修4（包括三角函數(shù)與平面向量）之后，可以啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想所學(xué)知識，運(yùn)用平面向量的數(shù)量積連同三角形、三角函數(shù)的其他知識作為工具，推導(dǎo)出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基礎(chǔ)，又是學(xué)生了解向量的工具性和知識間的相互聯(lián)系的的開端，對進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形的求解、體會事物是相互聯(lián)系的辨證思想均起著舉足輕重的作用。通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識和自主、合作、探究能力。

2.學(xué)生現(xiàn)實(shí)分析

(1)學(xué)生在初中已學(xué)過有關(guān)直角三角形的一些知識：

①勾股定理：

②三角函數(shù)式，如：(2)學(xué)生在初中已學(xué)過有關(guān)任意三角形的一些知識：

①

②大邊對大角，小邊對小角

③兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

(3)學(xué)生在高中已學(xué)過必修4（包括三角函數(shù)與平面向量）

(4)學(xué)生已具備初步的數(shù)學(xué)建模能力，會從簡單的實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型

3.教學(xué)目標(biāo)分析

知識目標(biāo)：

(1)正弦定理的發(fā)現(xiàn)

(2)證明正弦定理的幾何法和向量法

(3)正弦定理的簡單應(yīng)用

能力目標(biāo)：

(1)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題、應(yīng)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力

(2)通過向量把三角形的邊長和三角函數(shù)建立起關(guān)系，在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力、綜合應(yīng)用知識的能力

情感目標(biāo)：

(1)設(shè)置情景，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立探究意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣(2)鼓勵學(xué)生探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決實(shí)際問題

(3)通過共同剖析、探討問題，推進(jìn)師生合作意識，加強(qiáng)相互評價與自我反思

(二)、教學(xué)展開分析

1.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)正弦定理、用幾何法和向量法證明正弦定理。正弦定理是三角形邊角關(guān)系中最常見、最重要的兩個定理之一，它準(zhǔn)確反映了三角形中各邊與它所對角的正弦的關(guān)系，對于它的形式、內(nèi)容、證明方法和應(yīng)用必須引起足夠的重視。正弦定理要求學(xué)生綜合運(yùn)用正弦定理和內(nèi)角和定理等眾多基礎(chǔ)知識解決幾何問題和實(shí)際應(yīng)用問題，這些知識的掌握，有助于培養(yǎng)分析問題和解決問題能力，所以一向?yàn)閿?shù)學(xué)教育所重視。

教學(xué)難點(diǎn)是用向量法證明正弦定理。雖然學(xué)生剛學(xué)過必修4中的平面向量的知識，但是要利用向量推導(dǎo)正弦定理，有一定的困難。突破此難點(diǎn)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生通過向量的數(shù)量積把三角形的邊長和內(nèi)角的三角函數(shù)聯(lián)系起來。用平面向量的數(shù)量積方法證明這個定理，使學(xué)生鞏固向量知識，突出了向量的工具性，是向量知識應(yīng)用的范例。

2.教學(xué)策略與學(xué)法指導(dǎo)

教學(xué)策略：本節(jié)課采用“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”的模式，即由“結(jié)合實(shí)例提出問題——觀察特例提出猜想——數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深入探究——證明猜想得出定理——運(yùn)用定理解決問題”五個環(huán)節(jié)組成的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”模式，在教學(xué)中貫徹“啟發(fā)性”原則，通過提問不斷啟發(fā)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生自主探索與思考；并貫徹“以學(xué)定教”原則，即根據(jù)教學(xué)中的實(shí)際情況及時地調(diào)整教學(xué)方案。

學(xué)法指導(dǎo)：教師平等地參與學(xué)生的自主探究活動，引導(dǎo)學(xué)生全員參與、全過程參與。通過啟發(fā)、調(diào)整、激勵來體現(xiàn)主導(dǎo)作用，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況和情感發(fā)展來調(diào)整整個學(xué)習(xí)活動的梯度和層次，保證學(xué)生的認(rèn)知水平和情感體驗(yàn)分層次向前推進(jìn)。

3.教學(xué)媒體選擇與應(yīng)用

使用多媒體平臺（包括電腦和投影儀）輔助教學(xué)，讓學(xué)生自己動手進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，借助多媒體快捷、形象、生動的輔助作用，既突出了知識的產(chǎn)生過程，遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生形成體驗(yàn)性認(rèn)識，體會成功的愉悅，同時又可以增加課堂的趣味性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

4.教學(xué)過程實(shí)施

本節(jié)課采用“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”的模式，因而教學(xué)過程實(shí)施分為五個部分：(1)結(jié)合實(shí)例提出問題(2)觀察特例提出猜想(3)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深入探究(4)證明猜想得出定理(5)運(yùn)用定理解決問題

第三篇：第一課時 正弦定理(一)教案53

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第一課時 正弦定理(一)

教學(xué)要求：要求學(xué)生掌握正弦定理，并能應(yīng)用解斜三角形，解決實(shí)際問題。

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理及應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的向量證明。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

在直角三角形中，由三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)，可以由已知的邊和角求出未知的邊和角。那么斜三角形怎么辦？——提出課題：?

二、講授新課：

aba①、特殊情況：直角三角形中的正弦定理： sinA=sinB= sinC=1 即：c=?，∴ ccsinA

②、能否推廣到斜三角形？證明一（傳統(tǒng)證法）在任意斜△ABC當(dāng)中：

1111abcS△ABC=absinC?acsinB?bcsinA，兩邊同除以abc即得：== 2222sinAsinBsinC

③用向量證明： 證二：過A作單位向量垂直于

+=兩邊同乘以單位向量jj?(+)=j? 則：?+?=?

∴||?||cos90?+||?||cos(90??C)=||?||cos(90??A)

ac∴asinC?csinA∴= sinAsinC

cbabc同理：若過C作垂直于得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC

當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，設(shè) ?A>90?過A作單位向量垂直于向量

④突出幾點(diǎn)：1?正弦定理的敘述：在一個三角形中。各邊和它所對角的正弦比相等，即：abcabc==它適合于任何三角形。2?可以證明===2R（R為△ABC外接圓半徑）sinAsinBsinCsinAsinBsinC

3? 每個等式可視為一個方程：知三求一

⑤正弦定理的應(yīng)用： 從理論上正弦定理可解決兩類問題： 1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2．兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其它的邊和角。

例

一、在△ABC中，已知c?10A=45?C=30?求b

解略見P128注意強(qiáng)調(diào)“對”

例

二、在△ABC中，已知a?20b=28A=40?求B(精確到1?)和c（保留兩個有效數(shù)字）

ab解略見P129注意由=求出sinB=0.8999B角有兩解 sinAsinB

例

三、在△ABC中，已知a?60b=50A=38?求B(精確到1?)和c（保留兩個有效數(shù)字）

解略見P129注意由b

⑥小結(jié)：正弦定理，兩種應(yīng)用；已知兩邊和其中一邊對角解斜三角形有兩解或一解（見圖示）

三、鞏固練習(xí)：

1、?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C2、?ABC中，b?3,B?600,c?1,求a和A,C

3.P131練習(xí)1、2P1321、2、3

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第四篇：正弦定理證明

正弦定理證明1.三角形的正弦定理證明： 步驟1.在銳角△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到

a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC 步驟2.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角,所以∠DAB=90度 因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 類似可證其余兩個等式。2.三角形的余弦定理證明：平面幾何證法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a 則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根據(jù)勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 3 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。過A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a 由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因?yàn)閏osC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 題目中^2表示平方。2 談?wù)?、余弦定理的多種證法 聊城二中 魏清泉

正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則(1)(正弦定理)= =;(2)(余弦定理)c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A.一、正弦定理的證明

證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有 AD=b?sin∠BCA，BE=c?sin∠CAB，CF=a?sin∠ABC。

所以S△ABC=a?b?csin∠BCA =b?c?sin∠CAB =c?a?sin∠ABC.證法二：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有 AD=b?sin∠BCA=c?sin∠ABC，BE=a?sin∠BCA=c?sin∠CAB。證法三：如圖2，設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓 的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。因?yàn)锳B=AC+CB，所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j?CB.因?yàn)閖?AC=0，j?CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a?sinC，j?AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c?sinA.二、余弦定理的證明

法一：在△ABC中，已知，求c。

第五篇：正弦定理證明

正弦定理

1.在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，且等于其外接圓半徑的兩倍，即

abc???2R sinAsinBsinC

證明：如圖所示，過B點(diǎn)作圓的直徑BD交圓于D點(diǎn)，連結(jié)AD BD=2R, 則 D=C，?DAB?90 在Rt?ABD中 ?A ?sinC?sinD??c 2RD

b c c?2R sinCab同理：?2R,?2R

sinAsinBabc所以???2R

sinAsinBsinC2.變式結(jié)論

1）a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC 2）sinA?C

a

B abc ,sinB?,sinC?2R2R2R3）asinB?bsinA,asinC?csinA,csinB?bsinC 4）a:b:c?sinA:sinB:sinC

例題

在?ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，若(3b?c)cosA?acosC，求cosA的值.解：由正弦定理 a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC得

(3sinB?sinC)cosA?sinAcosC

?3sinBcosA?sin(A?C)?sin(A?C)?sinB?3sinBcosA?sinB?B?(0,?)?0?sinB?1?cosA?33