第一篇：正弦余弦定理應用定理

正弦定理、余弦定理練習題

一、選擇題(共20題，題分合計100分)

1.已知在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么cosC的值為

A.?

14B.14C.23D.?23

2.在△ABC中，a=λ,b=

λ,A=45°,則滿足此條件的三角形的個數是

A.0 個B.1 個C.2個D.無數個

3.在△ABC中，bcosA=acosB，則三角形為

A.直角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

4.已知三角形的三邊長分別為x2

+x+1,x2

-1和2x+1(x＞1)，則最大角為

A.150°B.120°C.60°D.75°

5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+23則邊|

|等于

A.5B.5-23C.5?2D.5?23

6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么這個三角形是

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.在△ABC中，若b2

sin2

C+c2

sin2

B=2bccosBcosC，則此三角形為

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

8.正弦定理適應的范圍是

A.Rt△B.銳角△C.鈍角△D.任意△

9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，則c=

A.10+B.10（-1）C.（3+1）D.103

10.在△ABC中，bsinA＜a＜b，則此三角形有

A.一解B.兩解C.無解D.不確定

11.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x2

-7x-6=0的根，則三角形的另一邊長為A.52B.2C.16D.4

12.在△ABC中，a2

=b2

+c2

+bc，則A等于

A.60°B.45°C.120

D.30°

13.在△ABC中，則△ABC是

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.任意三角形

14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，則△ABC的面積S△ABC等于

A.2B.22C.+1D.(?1)15.已知三角形ABC的三邊a、b、c成等比數列，它們的對角分別是A、B、C，則sinAsinC等于

A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B

17.在△ABC中，bCosA=acosB，則三角形為

A.直角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

18.△ABC中，sin2

A=sin2

B+sin2

C，則△ABC為

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形

19.△ABC中,A=60°,b=1,這個三角形的面積為,則△ABC外接圓的直徑為

A.B.C.D.20.在△ABC中，,則k為

A.2RB.RC.4RD.(R為△ABC外接圓半徑)

第二篇：正弦定理余弦定理[推薦]

正弦定理 余弦定理

一、知識概述

主要學習了正弦定理、余弦定理的推導及其應用，正弦定理是指在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通過兩定理的學習，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用這兩個定理去解斜三角形，學會用計算器解決解斜三角形的計算問題，熟悉兩定理各自解決不同類型的解三角形的問題．認識在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，產生多解的原因，并能準確判斷解的情況．

二、重點知識講解

1、三角形中的邊角關系

在△ABC中，設角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則有

（1）角與角之間的關系：A＋B＋C＝180°；

（2）邊與角之間的關系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：a＝bcosC＋ccosB

b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋

bcosA

2、正弦定理的另三種表示形式：

3、余弦定理的另一種表示形式：

4、正弦定理的另一種推導方法——面積推導法

在△ABC中，易證明再在上式各邊同時除

以在此方法推導過程中，要注意對

面積公式的應用．

例

1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面積S=15，求△ABC的三個內角． 分析：

在正弦定理中，由

進而可以利用三角函數之間的關系進行解題． 解：

可以把面積進行轉化，由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°顯然A＋B=90°不可能成立

當C=30°時，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°

當C=150°時，由A－B=90°得B為負值，不合題意故所求解為A=120°，B=30°，C=30°.例

2、在△ABC中，a、b、c分別是內角A、B、C的外邊，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析：

把題中的邊的關系b=2a利用正弦定理化為角的關系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：

∵B=A＋60°

∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°

=

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例

3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，試判斷△ABC的形狀． 分析：

三角形分類是按邊或角進行的，所以判定三角形形狀時一般要把條件轉化為邊之間關系或角之間關系式，從而得到諸如a＋b＝c，a＋b>c（銳角三角形），a＋b＜c（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進而判定其形狀，但在選擇轉化為邊或是角的關系上，要進行探索．

解法一：由同角三角函數關系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內角，∴sinA≠0，sinB≠0．

．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形狀，此類問題主要考查邊角互化、要么同時化邊為角，要么同時化角為邊，然后再找出它們之間的關系，注意解答問題要周密、嚴謹．

例

4、若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀． 分析：

本題既可以利用正弦定理化邊為角，也可以利用余弦定理化角為邊． 解：

解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°

故△ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得

∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c

故△ABC為等腰三角形或直角三角形．

6、正弦定理，余弦定理與函數之間的相結合，注意運用方程的思想．

例

5、如圖，設P是正方形ABCD的一點，點P到頂點A、B、C的距離分別是

1，2，3，求正方形的邊長．

分析：

本題運用方程的思想，列方程求未知數． 解：

設邊長為x(1

設x=t，則1

－5)=16t

三、難點剖析

1、已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，將出現無解、一解和兩解的情況，應分情況予以討論．

下圖即是表示在△ABC中，已知a、b和A時解三角形的各種情況．

（1）當A為銳角時（如下圖），（2）當A為直角或鈍角時（如下圖），也可利用正弦定理進行討論．

如果sinB>1，則問題無解； 如果sinB＝1，則問題有一解；

如果求出sinB<1，則可得B的兩個值，但要通過“三角形內角和定理”或“大邊對大角”等三角形有關性質進行判斷．

2、用方程的思想理解和運用余弦定理：當等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知數時，等式便成為方程．式中有四個量，知道任意三個，便可以解出另一個，運用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法證明三角形中的射影定理

在△ABC中，設三內角A、B、C的對邊分別是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知兩角和任一邊解三角形；

（2）已知兩邊和一邊的對角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知三邊解三角形；

（2）已知兩邊和夾角解三角形．

6、三角形面積公式：

例

6、不解三角形，判斷三角形的個數． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：

①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．

③a

④a0 ∴△ABC有兩解．

⑤b>c，C＝45°，∴△ABC無解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，這樣B＋C>180°，∴△ABC無解．

第三篇：正弦定理余弦定理練習

正弦定理和余弦定理練習

一、選擇題

1、已知?ABC中，a?4,b?43,A?300,則B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知?ABC中，AB?6,A?300,B?1200,則S?ABC?()

A.9B.18C.93D.1833、已知?ABC中，a:b:c?1:3:2，則A:B:C?（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?k:(k?1):2k(k?0)，則k的取值范圍是（）

A.?2,???B.???,0?C.二、填空題

1、已知?ABC中，B?300,AB?23,AC?2,則S?ABC?

2、已知?ABC中，b?2csinB,則角

3、設?ABC的外接圓的半徑為R，且AB?4,C?450,則R=

4、已知S?ABC?32,b?2,c?3,則角1??,0???2??D.?1?,????2?? A=

5、已知?ABC中，B?450,C?600,a?2(3?1)，則S?ABC?

三、簡答題

01、在?ABC中，若B?30,AB?23,AC?2,求S?ABC.2、已知?ABC中，C?60,BC?a,AC?b,a?b?6.(1)寫出?ABC的面積S與a的函數關系式；(2)當a等于多少時，Smax？并求出Smax.23、已知?ABC中，a?a?2(b?c),a?2b?2c?3,若sinC:sinA?4:，求a,b,c.04、a,b,c是?ABC的三內角A,B,C的對邊，4sin

(1)求角A；(2)若a?3,b?c?3,2B?C2?cos2A?72.求b,c的值.

第四篇：例談正弦定理、余弦定理的應用

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例談正弦定理、余弦定理的應用

作者：姜如軍

來源：《理科考試研究·高中》2013年第08期

答：渡輪實際行駛的速度約為13.5 km/h，實際行駛方向與水流方向約成105°.點評根據平行四邊形法則作圖，從而構造數學模型，集中了實際問題中的條件與目標，將實際問題轉化為求解三角形問題.先由余弦定理確定AC的長，再用正弦定理求出∠ACB，最后過渡到∠BAC.運用正弦定理和余弦定理解決實際問題，關鍵是根據題意構造適當的三角形.如果知道兩邊和夾角，則可先由余弦定理求出角的對邊，再由正弦定理求出另外兩個角.如果已知兩邊及其中一邊的對角，則先由正弦定理求出另一條邊的對角，再由三角形的內角和為180°求出第三個角，最后用正弦定理可以求出第三條邊（當然也可用余弦定理求解，但正弦定理更為直接）.上述求解過程說明，求解三角形，一定要注意已知什么；由已知可以求得什么；目標是什么；要求出目標值需要知道什么；搞清楚這些問題后，就可以確定求解的“序”了.另外，在運用正弦定理、余弦定理的同時，還應該結合面積關系靈活選擇解決途徑.如果建立適當的直角坐標系，與解析法有機結合，或運用向量的有關性質，可能帶來更為簡便的求解方案，應予重視.

第五篇：§5.5 正弦定理、余弦定理的應用(教案)

響水二中高三數學（理）一輪復習教案 第五編平面向量、解三角形 主備人 張靈芝 總第25期

§5.5 正弦定理、余弦定理的應用

基礎自測

1.在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60°,C點的俯角為70°，則∠BAC=.答案 130°

2.從A處望B處的仰角為?，從B處望A處的俯角為?，則?、?的大小關系為.答案 ?=?

3.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinC=2sinAcosB,則△ABC是 三角形.答案 等邊

4.已知A、B兩地的距離為10 km,B、C兩地的距離為20 km,現測得∠ABC=120°，則A、C兩地的距離為 km.答案 107

5.線段AB外有一點C，∠ABC=60°,AB=200 km,汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以 50 km/h的速度由B向C行駛，則運動開始 h后，兩車的距離最小.答案 70 43例題精講

例1 要測量對岸A、B兩點之間的距離，選取相距3 km的C、D兩點，并測得∠ACB=75°，∠BCD= 45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A、B之間的距離.解 如圖所示，在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=3 km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.∴BC=2AB=(3)+(3sin75?6?2=.△ABC中，由余弦定理，得

sin60?226?226?2)-2×3××cos75°=3+2+3-3=5，22∴AB=5(km).∴A、B之間的距離為5 km.159 例2．沿一條小路前進，從A到B，方位角（從正北方向順時針轉到AB方向所成的角）是50°，距離是3 km，從B到C方位角是110°，距離是3 km，從C到D,方位角是140°，距離是（9+33）km.試畫出示意圖，并計算出從A到D的方位角和距離（結果保留根號）.解 示意圖如圖所示，連接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°.由余弦定理可得

1AC=AB2?BC2?2AB?BCcos120?= 9?9?2?3?3?(?)

2=27=33(km)，在△ACD中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°, CD=33+9.1由余弦定理得AD=AC2?CD2?2AC?CDcos120?= 27?(33?9)2?2?33?(33?9)?(?)

2=9(2?6)(km)2CD?sin?ACD=AD(33?9)?由正弦定理得sin∠CAD=

32=2.292?962∴∠CAD=45°,于是AD的方位角為50°+30°+45°=125°, 所以，從A到D的方位角是125°，距離為

9(2?6)km.2例3 如圖所示，已知半圓的直徑AB=2，點C在AB 的延長線上，BC=1，點P為半圓上的一個動點，以 DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC 的兩側，求四邊形OPDC面積的最大值.解 設∠POB=?，四邊形面積為y，則在△POC中，由余弦定理得

160 PC=OP+OC-2OP·OCcos?=5-4cos?.∴y=S△OPC+S△PCD=∴當?-1?353×1×2sin?+（5-4cos?）=2sin(?-)+.3244222??5?53=，即?=時，ymax=2+.326453.4所以四邊形OPDC面積的最大值為2+鞏固練習

1.某觀測站C在A城的南偏西20°的方向.由A城出發的一條公路，走向是南偏東40°，在C處測得公路上B處有一人距C為31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到達D處，此時CD間的距離為21千米，問這人還要走多少千米才能到達A城？ 解 設∠ACD=?，∠CDB=?.在△BCD中，由余弦定理得 cos?=

143BD2?CD2?CB2202?212?312==-，則sin?=，72BD?CD2?20?217而sin?=sin(?-60°)=sin?cos60°-cos?sin60° =1153433×+×=, 27142721AD21sin?=,∴AD==sin60?sin?sin60?21?在△ACD中，由正弦定理得

5314=15(千米).32答 這個人再走15千米就可到達A城.2.如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，現測得 ∠BCD=?，∠BDC=?，CD=s，并在點C測得塔頂A的仰角為?，求塔高AB.解 在△BCD中，∠CBD=?-?-?，由正弦定理得所以BC=CDsin?BDCs?sin?=

sin?CBDsin(???)BCCD=，sin?BDCsin?CBD在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=

stan?sin?.sin(???)3.為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架.三角形支架如圖

161 所示，要求∠ACB=60°，BC的長度大于1米，且AC比 AB長0.5米.為了使廣告牌穩固，要求AC的長度越短越 好，求AC最短為多少米？且當AC最短時，BC長度為多 少米？

解 設BC=a（a＞1）,AB=c，AC=b，b-c=

12221122

2.c=a+b-2abcos60°，將c=b-代入得(b-)=a+b-ab, 222化簡得b(a-1)=a-21.由a＞1,知a-1＞0.b=4a2?31(a?1)2?2a?2?34=(a-1)+4= 4(a?1)a?1a?1+2?3+2, 當且僅當a-1=33時，取“=”號，即a=1+時，b有最小值2+3.4(a?1)2答 AC最短為(2+3)米，此時，BC長為(1+

3)米.2回顧總結 知識 方法 思想

課后作業

一、填空題

1.海上有A、B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成 75°視角，則B、C的距離是 海里.答案 56

2.為測量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的樓頂處測得塔頂A的仰角為30°，測得塔基B的俯角為45°，那么塔AB的高度是 m.答案 20(1+3)33.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km, 162 燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為 km.答案 3a

4.一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為 海里/小時.答案 176 25.如圖所示，在河岸AC測量河的寬度BC，圖中所標的數據a，b，c，?，?是可供測量的數據.下面給出的四組數據中，對測量河寬較適宜 的是（填序號）.①c和?②c和b③c和?④b和? 答案 ④

6.如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°,與燈塔S相 距20海里,隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后,又測得燈塔在 貨輪的東北方向,則貨輪的速度為 海里/小時.答案 20(6-2)7.在△ABC中，若∠C=60°，則答案 1 8.（2008·蘇州模擬）在△ABC中，邊a,b,c所對角分別為A,B,C，且答案

nisaAab+=.b?cc?a=

cosBcosC

=,則∠A=.cb?

2二、解答題

9.在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對邊，設f（x）=ax-（a-b）x-4c.（1）f（1）=0且B-C=

2?，求角C的大小；（2）若f（2）=0，求角C的取值范圍.3222

2解（1）∵f（1）=0，∴a-(a-b)-4c=0，∴b=4c，∴b=2c，∴sinB=2sinC，163 又B-C=????.∴sin(C+)=2sinC，∴sinC·cos+cosC·sin=2sinC，3333∴3???5??3sinC-cosC=0，∴sin(C-)=0，又∵-＜C-＜，∴C=.6666622222

2（2）若f（2）=0，則4a-2(a-b)-4c=0，∴a+b=2c，∴cosC=又2c=a+b≥2ab，∴ab≤c，∴cosC≥2222

a2?b2?c2c2=，2ab2ab1?，又∵C∈（0，?），∴0＜C≤.323.410.（2008·泰安模擬）在△ABC中，a,b,c分別為角A，B，C的對邊.已知a=1,b=2,cosC=(1)求邊c的值；（2）求sin(C-A)的值.解（1）c=a+b-2abcosC=1+2-2×1×2×22222

3=2，∴c=2.4（2）∵cosC=3ac17，∴sinC=.在△ABC中，=,即=

sinAsinCsinA44274.∴sinA==

5214,∵a＜b,∴A為銳角，cosA=.∴sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA

8852371414×-×=.48481611.如圖所示，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧

AB上有一動點P，過P引平行于OB的直線和OA交于點C，設∠AOP=?，求△POC面積的最大值及此時?的值.解 ∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-?，∠OCP=120°.在△POC中，由正弦定理得又OPCP2CP4=，∴=，∴CP=sin?.sin?PCOsin?sin120?sin?32OC4=，∴OC=sin（60°-?）.因此△POC的面積為

sin(60???)sin120?3S（?）==11443CP·OCsin120°=·sin（60°-?）× sin?·2223343sin?sin（60°-?）=43sin?（1232

cos?-sin?)=2sin?·cos?-sin?

223=sin2?+

??332333cos2?-=sin(2?+)-.∴?=時，S（?）取得最大值為.6633333164 12.在海岸A處，發現北偏東45°方向，距離A（3-1）n mile的B處 有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A 2 n mile的C處的

緝私船奉命以103 n mile/h的速度追截走私船.此時，走私船正以 10 n mile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方 向能最快追上走私船？

解 如圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時間相等，若在D處相遇，則可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.設緝私船用t h在D處追上走私船，則有CD=103t，BD=10t.在△ABC中，222∵AB=3-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC=AB+AC-2AB·AC·cos∠BAC

22=(3-1)+2-2×(3-1)×2×cos120°=6, ∴BC=6，∵∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD=BD?sin?CBD10tsin120?1==,∴∠BCD=30°.CD2103t即緝私船北偏東60°方向能最快追上走私船.165