第一篇：正弦、余弦定理綜合應用

班別第小組姓名學號

正、余弦定理的綜合應用

一、知識要點

（一）1．正弦定理：

a

sinA

（）2．變形公式：（1）a?2RsinA，b?c?

（2）sinA?a

2R，sinB?，sinC?

（3）a:b:c?。

3．三角形面積公式：S?ABC?。

（二）1.余弦定理：a2?b2?c2

?。

2.余弦定理的變形：cosA?，cosB?cosC?。

二、基本類型

類型一：解三角形

1、已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°

2、△ABC的三內角A、B、C的對邊邊長分別為a、b、c.若a＝52，A＝2B，則cosB＝()A.55553B.45D.63、在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若A＝π3，b＝1，△ABC的面積為32

則a的值為()A．1B．2C.3234、、三角形的三邊分別為a,b,c，且滿足(a?b?c)(a?b?c)

?3ab，則c邊所對的角等于（）

A

45?B60?C30?D150?

5、在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若(a2＋c2－b2)·tanB3ac，則角B的值為()

A.π6B.ππ5ππ2π366D.3或36、在△ABC中，三個角A，B，C的對邊邊長分別為a＝3，b＝4，c＝6，則bccosA＋cacosB＋abcosC的值為________．

類型

二、判定三角形的形狀

7、在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若acosB?bcosA,則三角形為

8、在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若bcosB

?acosA,則三角形為

9、若△ABC的三個內角滿足sinA:sinB:sinC?5:11:13，則△ABC（）

（A）一定是銳角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是鈍角三角形.(D)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.10、已知在?ABC中，sin

A?sin2B?sin2C?sinB?sinC，則?ABC是（）

A鈍角三角形B銳角三角形C直角三角形D正三角形

11、在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊的長，且sin(B＋ππ2

4－sin(B－4＝2

.(1)求角B的大小；(2)若a、b、c成等比數列，試判斷△ABC的形狀．

三、體驗高考題

12、（2010浙江理數）在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，已知cos2C??14

(1)求sinC的值；(2)當a=2，2sinA=sinC時，求b及c的長．

13、（2010遼寧文數）在?ABC中，a、b、c分別為內角A、B、C的對邊，且2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC（1）求A的大小；（2）若sinB?sinC?1，試判斷?ABC的形狀.14、（2010安徽文數）?ABC的面積是30，內角A,B,C所對邊長分別為a,b,c，cosA?1213

。(1)求AB?

?AC?

；(2)若c?b?1，求a的值。

第二篇：正弦余弦定理應用一

友好三中高三數學學案設計時間：2010-9-6使用時間：

三角函數14：正弦定理、余弦定理的應用

（一）一、學習目標

1．知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

2.過程與方法:讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。利用向量的數量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

3．情態與價值：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數、余弦定理、向量的數量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯系與辯證統一。

二、學習重、難點

重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。余弦定理的發現和證明過程及其基本應用。

難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。勾股定理在余弦定理的發現和證明過程中的作用。

三、考綱要求

通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

四、知識鏈接

1、正弦定理的內容：

2、正弦定理適用的范圍：（1）

（2）

3、余弦定理的內容：；；

4、余弦定理適用的范圍：（1）

（2）

五、基礎檢測

1、在 中，則三角形的形狀為（）

A．直角三角形B．銳角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形

2、在 中，bcosB?acosA，則三角形的形狀為

3:2，求A,B,C23、在△ABC中，a:b:c?1:224、在?ABC中，若b?a?c?ac，則B=（）

A．60°B．45°或135°C．120°D．30°

5、在?ABC中，a?2,b?3,c?4，則此三角形是（）

A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形

六、學習過程

類型一、三角形中的三角函數問題

例1.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且(I)求角A的大小；(II)若a=3，b+ c=3，求b和c的值。

?

8sin

B?C

2?2cos2A?7.例2.已知在?ABC中，三條邊a,b,c所對的角分別為A,B,C，向量m?(sinA,cosA)，?

?

?

n?(cosB,sinB)且滿足m?n?sin2C。

?

?

?

（1）求角C的大小；（2）若sinA,sinC,sinB成等比數列，且CA?(AB?AC)?18，求c的值。

類型二、三角函數與其他知識交匯問題

????????????????

例3．已知在?ABC中，AB?BC?3，記AB,BC??．（1）若?ABC的面積S

?2S?3，求?的取值范圍；（2）若??

????????????

選做 例4．已知△ABC的周長為6，BC,CA,AB成等比數列．

?，求?ABC的最大邊長的最小值．

（Ⅰ）求△ABC的面積S的最大值；（Ⅱ）求BA?BC的取值范圍．

七、達標訓練

1、在△ABC中，AB=5,BC=6,AC=8,則△ABC的形狀是（）

A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．非鈍角三角形

2、在 3

4、在A

43-4

B4

3?4

C4

3?1

2D12-4

3中，三邊 與面積S的關系式為則角C為（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

若是（）A．等邊三角形B．有一內角是30°

C．等腰直角三角形D．有一內角是30°的等腰三角形

中，已知 則AD長為（）

5、在 面積則BC長為（）

A．206B．75C．51D．496、在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若

7、在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知a?

b?3,c?30?, 則A＝

?

3b?ccosA?acosC，則cosA?

?

以下為選做題：

8、在ΔABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且

????????（1）判斷此三角形的形狀；（2）若a=3, b=4，求|CA?CB|的值；

ab

2?tanAcotB

（3）若C=60，ΔABC的面積為

????????????????????????

AB?BC?BC?CA?CA?AB的值。

9、設△

ABC的內角A，B，C的對邊分別為a,b,c.已知b?c?a?（Ⅰ）A的大小；（Ⅱ）

sin

BcosC?sin(B?C)的值.，求：

第三篇：正弦余弦定理應用定理

正弦定理、余弦定理練習題

一、選擇題(共20題，題分合計100分)

1.已知在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么cosC的值為

A.?

14B.14C.23D.?23

2.在△ABC中，a=λ,b=

λ,A=45°,則滿足此條件的三角形的個數是

A.0 個B.1 個C.2個D.無數個

3.在△ABC中，bcosA=acosB，則三角形為

A.直角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

4.已知三角形的三邊長分別為x2

+x+1,x2

-1和2x+1(x＞1)，則最大角為

A.150°B.120°C.60°D.75°

5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+23則邊|

|等于

A.5B.5-23C.5?2D.5?23

6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么這個三角形是

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.在△ABC中，若b2

sin2

C+c2

sin2

B=2bccosBcosC，則此三角形為

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

8.正弦定理適應的范圍是

A.Rt△B.銳角△C.鈍角△D.任意△

9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，則c=

A.10+B.10（-1）C.（3+1）D.103

10.在△ABC中，bsinA＜a＜b，則此三角形有

A.一解B.兩解C.無解D.不確定

11.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x2

-7x-6=0的根，則三角形的另一邊長為A.52B.2C.16D.4

12.在△ABC中，a2

=b2

+c2

+bc，則A等于

A.60°B.45°C.120

D.30°

13.在△ABC中，則△ABC是

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.任意三角形

14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，則△ABC的面積S△ABC等于

A.2B.22C.+1D.(?1)15.已知三角形ABC的三邊a、b、c成等比數列，它們的對角分別是A、B、C，則sinAsinC等于

A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B

17.在△ABC中，bCosA=acosB，則三角形為

A.直角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

18.△ABC中，sin2

A=sin2

B+sin2

C，則△ABC為

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形

19.△ABC中,A=60°,b=1,這個三角形的面積為,則△ABC外接圓的直徑為

A.B.C.D.20.在△ABC中，,則k為

A.2RB.RC.4RD.(R為△ABC外接圓半徑)

第四篇：例談正弦定理、余弦定理的應用

龍源期刊網 http://.cn

例談正弦定理、余弦定理的應用

作者：姜如軍

來源：《理科考試研究·高中》2013年第08期

答：渡輪實際行駛的速度約為13.5 km/h，實際行駛方向與水流方向約成105°.點評根據平行四邊形法則作圖，從而構造數學模型，集中了實際問題中的條件與目標，將實際問題轉化為求解三角形問題.先由余弦定理確定AC的長，再用正弦定理求出∠ACB，最后過渡到∠BAC.運用正弦定理和余弦定理解決實際問題，關鍵是根據題意構造適當的三角形.如果知道兩邊和夾角，則可先由余弦定理求出角的對邊，再由正弦定理求出另外兩個角.如果已知兩邊及其中一邊的對角，則先由正弦定理求出另一條邊的對角，再由三角形的內角和為180°求出第三個角，最后用正弦定理可以求出第三條邊（當然也可用余弦定理求解，但正弦定理更為直接）.上述求解過程說明，求解三角形，一定要注意已知什么；由已知可以求得什么；目標是什么；要求出目標值需要知道什么；搞清楚這些問題后，就可以確定求解的“序”了.另外，在運用正弦定理、余弦定理的同時，還應該結合面積關系靈活選擇解決途徑.如果建立適當的直角坐標系，與解析法有機結合，或運用向量的有關性質，可能帶來更為簡便的求解方案，應予重視.

第五篇：§5.5 正弦定理、余弦定理的應用(教案)

響水二中高三數學（理）一輪復習教案 第五編平面向量、解三角形 主備人 張靈芝 總第25期

§5.5 正弦定理、余弦定理的應用

基礎自測

1.在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60°,C點的俯角為70°，則∠BAC=.答案 130°

2.從A處望B處的仰角為?，從B處望A處的俯角為?，則?、?的大小關系為.答案 ?=?

3.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinC=2sinAcosB,則△ABC是 三角形.答案 等邊

4.已知A、B兩地的距離為10 km,B、C兩地的距離為20 km,現測得∠ABC=120°，則A、C兩地的距離為 km.答案 107

5.線段AB外有一點C，∠ABC=60°,AB=200 km,汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以 50 km/h的速度由B向C行駛，則運動開始 h后，兩車的距離最小.答案 70 43例題精講

例1 要測量對岸A、B兩點之間的距離，選取相距3 km的C、D兩點，并測得∠ACB=75°，∠BCD= 45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A、B之間的距離.解 如圖所示，在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=3 km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.∴BC=2AB=(3)+(3sin75?6?2=.△ABC中，由余弦定理，得

sin60?226?226?2)-2×3××cos75°=3+2+3-3=5，22∴AB=5(km).∴A、B之間的距離為5 km.159 例2．沿一條小路前進，從A到B，方位角（從正北方向順時針轉到AB方向所成的角）是50°，距離是3 km，從B到C方位角是110°，距離是3 km，從C到D,方位角是140°，距離是（9+33）km.試畫出示意圖，并計算出從A到D的方位角和距離（結果保留根號）.解 示意圖如圖所示，連接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°.由余弦定理可得

1AC=AB2?BC2?2AB?BCcos120?= 9?9?2?3?3?(?)

2=27=33(km)，在△ACD中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°, CD=33+9.1由余弦定理得AD=AC2?CD2?2AC?CDcos120?= 27?(33?9)2?2?33?(33?9)?(?)

2=9(2?6)(km)2CD?sin?ACD=AD(33?9)?由正弦定理得sin∠CAD=

32=2.292?962∴∠CAD=45°,于是AD的方位角為50°+30°+45°=125°, 所以，從A到D的方位角是125°，距離為

9(2?6)km.2例3 如圖所示，已知半圓的直徑AB=2，點C在AB 的延長線上，BC=1，點P為半圓上的一個動點，以 DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC 的兩側，求四邊形OPDC面積的最大值.解 設∠POB=?，四邊形面積為y，則在△POC中，由余弦定理得

160 PC=OP+OC-2OP·OCcos?=5-4cos?.∴y=S△OPC+S△PCD=∴當?-1?353×1×2sin?+（5-4cos?）=2sin(?-)+.3244222??5?53=，即?=時，ymax=2+.326453.4所以四邊形OPDC面積的最大值為2+鞏固練習

1.某觀測站C在A城的南偏西20°的方向.由A城出發的一條公路，走向是南偏東40°，在C處測得公路上B處有一人距C為31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到達D處，此時CD間的距離為21千米，問這人還要走多少千米才能到達A城？ 解 設∠ACD=?，∠CDB=?.在△BCD中，由余弦定理得 cos?=

143BD2?CD2?CB2202?212?312==-，則sin?=，72BD?CD2?20?217而sin?=sin(?-60°)=sin?cos60°-cos?sin60° =1153433×+×=, 27142721AD21sin?=,∴AD==sin60?sin?sin60?21?在△ACD中，由正弦定理得

5314=15(千米).32答 這個人再走15千米就可到達A城.2.如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，現測得 ∠BCD=?，∠BDC=?，CD=s，并在點C測得塔頂A的仰角為?，求塔高AB.解 在△BCD中，∠CBD=?-?-?，由正弦定理得所以BC=CDsin?BDCs?sin?=

sin?CBDsin(???)BCCD=，sin?BDCsin?CBD在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=

stan?sin?.sin(???)3.為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架.三角形支架如圖

161 所示，要求∠ACB=60°，BC的長度大于1米，且AC比 AB長0.5米.為了使廣告牌穩固，要求AC的長度越短越 好，求AC最短為多少米？且當AC最短時，BC長度為多 少米？

解 設BC=a（a＞1）,AB=c，AC=b，b-c=

12221122

2.c=a+b-2abcos60°，將c=b-代入得(b-)=a+b-ab, 222化簡得b(a-1)=a-21.由a＞1,知a-1＞0.b=4a2?31(a?1)2?2a?2?34=(a-1)+4= 4(a?1)a?1a?1+2?3+2, 當且僅當a-1=33時，取“=”號，即a=1+時，b有最小值2+3.4(a?1)2答 AC最短為(2+3)米，此時，BC長為(1+

3)米.2回顧總結 知識 方法 思想

課后作業

一、填空題

1.海上有A、B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成 75°視角，則B、C的距離是 海里.答案 56

2.為測量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的樓頂處測得塔頂A的仰角為30°，測得塔基B的俯角為45°，那么塔AB的高度是 m.答案 20(1+3)33.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km, 162 燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為 km.答案 3a

4.一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為 海里/小時.答案 176 25.如圖所示，在河岸AC測量河的寬度BC，圖中所標的數據a，b，c，?，?是可供測量的數據.下面給出的四組數據中，對測量河寬較適宜 的是（填序號）.①c和?②c和b③c和?④b和? 答案 ④

6.如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°,與燈塔S相 距20海里,隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后,又測得燈塔在 貨輪的東北方向,則貨輪的速度為 海里/小時.答案 20(6-2)7.在△ABC中，若∠C=60°，則答案 1 8.（2008·蘇州模擬）在△ABC中，邊a,b,c所對角分別為A,B,C，且答案

nisaAab+=.b?cc?a=

cosBcosC

=,則∠A=.cb?

2二、解答題

9.在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對邊，設f（x）=ax-（a-b）x-4c.（1）f（1）=0且B-C=

2?，求角C的大小；（2）若f（2）=0，求角C的取值范圍.3222

2解（1）∵f（1）=0，∴a-(a-b)-4c=0，∴b=4c，∴b=2c，∴sinB=2sinC，163 又B-C=????.∴sin(C+)=2sinC，∴sinC·cos+cosC·sin=2sinC，3333∴3???5??3sinC-cosC=0，∴sin(C-)=0，又∵-＜C-＜，∴C=.6666622222

2（2）若f（2）=0，則4a-2(a-b)-4c=0，∴a+b=2c，∴cosC=又2c=a+b≥2ab，∴ab≤c，∴cosC≥2222

a2?b2?c2c2=，2ab2ab1?，又∵C∈（0，?），∴0＜C≤.323.410.（2008·泰安模擬）在△ABC中，a,b,c分別為角A，B，C的對邊.已知a=1,b=2,cosC=(1)求邊c的值；（2）求sin(C-A)的值.解（1）c=a+b-2abcosC=1+2-2×1×2×22222

3=2，∴c=2.4（2）∵cosC=3ac17，∴sinC=.在△ABC中，=,即=

sinAsinCsinA44274.∴sinA==

5214,∵a＜b,∴A為銳角，cosA=.∴sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA

8852371414×-×=.48481611.如圖所示，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧

AB上有一動點P，過P引平行于OB的直線和OA交于點C，設∠AOP=?，求△POC面積的最大值及此時?的值.解 ∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-?，∠OCP=120°.在△POC中，由正弦定理得又OPCP2CP4=，∴=，∴CP=sin?.sin?PCOsin?sin120?sin?32OC4=，∴OC=sin（60°-?）.因此△POC的面積為

sin(60???)sin120?3S（?）==11443CP·OCsin120°=·sin（60°-?）× sin?·2223343sin?sin（60°-?）=43sin?（1232

cos?-sin?)=2sin?·cos?-sin?

223=sin2?+

??332333cos2?-=sin(2?+)-.∴?=時，S（?）取得最大值為.6633333164 12.在海岸A處，發現北偏東45°方向，距離A（3-1）n mile的B處 有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A 2 n mile的C處的

緝私船奉命以103 n mile/h的速度追截走私船.此時，走私船正以 10 n mile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方 向能最快追上走私船？

解 如圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時間相等，若在D處相遇，則可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.設緝私船用t h在D處追上走私船，則有CD=103t，BD=10t.在△ABC中，222∵AB=3-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC=AB+AC-2AB·AC·cos∠BAC

22=(3-1)+2-2×(3-1)×2×cos120°=6, ∴BC=6，∵∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD=BD?sin?CBD10tsin120?1==,∴∠BCD=30°.CD2103t即緝私船北偏東60°方向能最快追上走私船.165