第一篇：正弦定理、余弦定理練習題(學生版)[精選]

正弦定理、余弦定理練習題

一、選擇題

1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，則c＝()

A．52B．102C.6

3D．6

2．(2010·茂名調研)已知a，b，c是△ABC三邊之長，若滿足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則角C的大小為()

A．60°B．90°C．120°D．150°

3．在△ABC中，已知sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是()

A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

4．△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，則△ABC的面積等于()A.33

4C.23D.32或3

45．(2010·上海卷)若△ABC的三個內角滿足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，則△ABC()

A．一定是銳角三角形B．一定是直角三角形

C．一定是鈍角三角形D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形

6．在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝－lg 2，并且B為銳角，則△ABC的形狀是（A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形

二、填空題

7．在△ABC中，2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面積為3

2b等于________．

8．(2010·廣東卷)已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C所對的邊，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，則sin A＝________.9．(2010·山東卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a2，b＝2，sin B＋cos B＝，則角A的大小為________．

10．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若三角形的面積S＝1(a2＋b24－c2)，則角C的度數是________．

11．已知△ABC三邊滿足a2＋b2＝c2－3ab，則此三角形的最大內角為________．

三、解答題

12．在△ABC中，內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sin Acos C＝3cos Asin C，求b.)

第二篇：正弦定理余弦定理[推薦]

正弦定理 余弦定理

一、知識概述

主要學習了正弦定理、余弦定理的推導及其應用，正弦定理是指在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通過兩定理的學習，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用這兩個定理去解斜三角形，學會用計算器解決解斜三角形的計算問題，熟悉兩定理各自解決不同類型的解三角形的問題．認識在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，產生多解的原因，并能準確判斷解的情況．

二、重點知識講解

1、三角形中的邊角關系

在△ABC中，設角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則有

（1）角與角之間的關系：A＋B＋C＝180°；

（2）邊與角之間的關系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：a＝bcosC＋ccosB

b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋

bcosA

2、正弦定理的另三種表示形式：

3、余弦定理的另一種表示形式：

4、正弦定理的另一種推導方法——面積推導法

在△ABC中，易證明再在上式各邊同時除

以在此方法推導過程中，要注意對

面積公式的應用．

例

1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面積S=15，求△ABC的三個內角． 分析：

在正弦定理中，由

進而可以利用三角函數之間的關系進行解題． 解：

可以把面積進行轉化，由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°顯然A＋B=90°不可能成立

當C=30°時，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°

當C=150°時，由A－B=90°得B為負值，不合題意故所求解為A=120°，B=30°，C=30°.例

2、在△ABC中，a、b、c分別是內角A、B、C的外邊，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析：

把題中的邊的關系b=2a利用正弦定理化為角的關系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：

∵B=A＋60°

∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°

=

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例

3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，試判斷△ABC的形狀． 分析：

三角形分類是按邊或角進行的，所以判定三角形形狀時一般要把條件轉化為邊之間關系或角之間關系式，從而得到諸如a＋b＝c，a＋b>c（銳角三角形），a＋b＜c（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進而判定其形狀，但在選擇轉化為邊或是角的關系上，要進行探索．

解法一：由同角三角函數關系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內角，∴sinA≠0，sinB≠0．

．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形狀，此類問題主要考查邊角互化、要么同時化邊為角，要么同時化角為邊，然后再找出它們之間的關系，注意解答問題要周密、嚴謹．

例

4、若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀． 分析：

本題既可以利用正弦定理化邊為角，也可以利用余弦定理化角為邊． 解：

解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°

故△ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得

∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c

故△ABC為等腰三角形或直角三角形．

6、正弦定理，余弦定理與函數之間的相結合，注意運用方程的思想．

例

5、如圖，設P是正方形ABCD的一點，點P到頂點A、B、C的距離分別是

1，2，3，求正方形的邊長．

分析：

本題運用方程的思想，列方程求未知數． 解：

設邊長為x(1

設x=t，則1

－5)=16t

三、難點剖析

1、已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，將出現無解、一解和兩解的情況，應分情況予以討論．

下圖即是表示在△ABC中，已知a、b和A時解三角形的各種情況．

（1）當A為銳角時（如下圖），（2）當A為直角或鈍角時（如下圖），也可利用正弦定理進行討論．

如果sinB>1，則問題無解； 如果sinB＝1，則問題有一解；

如果求出sinB<1，則可得B的兩個值，但要通過“三角形內角和定理”或“大邊對大角”等三角形有關性質進行判斷．

2、用方程的思想理解和運用余弦定理：當等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知數時，等式便成為方程．式中有四個量，知道任意三個，便可以解出另一個，運用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法證明三角形中的射影定理

在△ABC中，設三內角A、B、C的對邊分別是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知兩角和任一邊解三角形；

（2）已知兩邊和一邊的對角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知三邊解三角形；

（2）已知兩邊和夾角解三角形．

6、三角形面積公式：

例

6、不解三角形，判斷三角形的個數． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：

①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．

③a

④a0 ∴△ABC有兩解．

⑤b>c，C＝45°，∴△ABC無解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，這樣B＋C>180°，∴△ABC無解．

第三篇：正弦定理余弦定理練習

正弦定理和余弦定理練習

一、選擇題

1、已知?ABC中，a?4,b?43,A?300,則B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知?ABC中，AB?6,A?300,B?1200,則S?ABC?()

A.9B.18C.93D.1833、已知?ABC中，a:b:c?1:3:2，則A:B:C?（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?k:(k?1):2k(k?0)，則k的取值范圍是（）

A.?2,???B.???,0?C.二、填空題

1、已知?ABC中，B?300,AB?23,AC?2,則S?ABC?

2、已知?ABC中，b?2csinB,則角

3、設?ABC的外接圓的半徑為R，且AB?4,C?450,則R=

4、已知S?ABC?32,b?2,c?3,則角1??,0???2??D.?1?,????2?? A=

5、已知?ABC中，B?450,C?600,a?2(3?1)，則S?ABC?

三、簡答題

01、在?ABC中，若B?30,AB?23,AC?2,求S?ABC.2、已知?ABC中，C?60,BC?a,AC?b,a?b?6.(1)寫出?ABC的面積S與a的函數關系式；(2)當a等于多少時，Smax？并求出Smax.23、已知?ABC中，a?a?2(b?c),a?2b?2c?3,若sinC:sinA?4:，求a,b,c.04、a,b,c是?ABC的三內角A,B,C的對邊，4sin

(1)求角A；(2)若a?3,b?c?3,2B?C2?cos2A?72.求b,c的值.

第四篇：正弦定理和余弦定理練習題

【正弦定理、余弦定理模擬試題】

一.選擇題：

1.在?ABC中，a?23，b?22，B?45?，則A為（）

A.60?或120?B.60?C.30?或150?D.30?

sinAcosB

2.在???C中，若?，則?B?（）

abB.45?C.60?D.90?

A.30?

3.在?ABC中，a2?b2?c2?bc，則A等于（）B.45?C.120?D.30?

A.60????????|AB|?1，|BC|?2，(AB?BC)?(AB?BC)?5?23，4.在?ABC中，則邊|AC|等于（）

A.5B.5?23C.5?23D.5?23

5.以4、5、6為邊長的三角形一定是（）

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.銳角或鈍角三角形

6.在?ABC中，bcosA?acosB，則三角形為（）

A.直角三角形

B.銳角三角形

C.等腰三角形

D.等邊三角形

7.在?ABC中，cosAcosB?sinAsinB，則?ABC是（）

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.正三角形

8.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x2?7x?6?0的根，則三角形的另一邊長為（）

A.52 B.21

3C.16 D.4

二.填空題：

9.在?ABC中，a?b?12，A?60?，B?45?，則a?_______，b?________

10.在?ABC中，化簡bcosC?ccosB?___________

11.在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?654::，則cosA?___________

12.在?ABC中，A、B均為銳角，且cosA?sinB，則?ABC是_________

三.解答題：

13.已知在?ABC中，?A?45?，a?2，c?6，解此三角形。

14.在四邊形ABCD中，BC?a，DC?2a，四個角A、B、C、D的度數的比為3:7:4:10，求AB的長。

15.已知?ABC的外接圓半徑是2，且滿足條件22(sin2A?sin2C)?(a?b)sinB。

（1）求角C。

（2）求?ABC面積的最大值。

四大題

證明在△ABC中abc===2R，其中R是三角形外接圓半徑 sinAsinBsinC

證略

見P159

注意：1．這是正弦定理的又一種證法(現在共用三種方法證明)2.正弦定理的三種表示方法(P159)例 二 在任一

△ABC中求證：a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0

證=

：左邊=2RsinA(sinB?sinC)?2RsinB(sinC?sinA)?2RsinC(sinA?sinB)

2R[sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sinBsinA?sinCsinA?sinCsinB]=0=右邊

例三 在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45? 求A、C及c

asinB3sin45?3解一：由正弦定理得：sinA? ??b22∵B=45?<90? 即b

∴A=60?或120?

bsinC2sin75?6?2當A=60?時C=75? c? ???sinB2sin45bsinC2sin15?6?2當A=120?時C=15? c? ??sinB2sin45?解二：設c=x由余弦定理 b2?a2?c2?2accosB 將已知條件代入，整理：x2?6x?1?0 解之：x?6?2 22226?22)?3b?c?a1?3?6?22??? 當c?時cosA?2bc26?22(3?1)22?2?22?（從而A=60?

C=75?

當c?6?2時同理可求得：A=120?

C=15? 2例四 試用坐標法證明余弦定理 證略見P161 例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x2?23x?2?0的兩個根，且 2cos(A+B)=1 求 1?角C的度數 2?AB的長度 3?△ABC的面積 解：1?cosC=cos[??(A+B)]=?cos(A+B)=??a?b?232?由題設：?

?a?b?2∴AB=AC+BC?2AC?BC?osC?a?b?2abcos120 22∴C=120? 222??a2?b2?ab?(a?b)2?ab?(23)2?2?10

即AB=10

111333?S△ABC=absinC?absin120???2? ?22222例六 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? 求BC的長 解：在△ABD中，設BD=x 則BA2?BD2?AD2?2BD?AD?cos?BDA 即142?x2?102?2?10x?cos60? 整理得：x2?10x?96?0

A

B D

C 解之：x1?16 x2??6（舍去）由余弦定理：

BCBD16???sin30?82

∴BC??sin?CDBsin?BCDsin135例七（備用）△ABC中，若已知三邊為連續正整數，最大角為鈍角，1?求最大角 2?求以此最大角為內角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積。

解：1?設三邊a?k?1,b?k,c?k?1 k?N?且k?1

a2?b2?c2k?4∵C為鈍角 ∴cosC???0解得1?k?4

2ac2(k?1)∵k?N? ∴k?2或3 但k?2時不能構成三角形應舍去

1當k?3時 a?2,b?3,c?4,cosC??,C?109?

42?設夾C角的兩邊為x,y x?y?4 S?xysinC?x(4?x)?當x?2時S最大=15

三、作業：《教學與測試》76、77課中練習

a2?b2b2?c2c2?a2???0 補充：1．在△ABC中，求證：

cosA?cosBcosB?cosCcosC?cosAD

1515??(?x2?4x)442．如圖AB?BC CD=33 ?ACB=30? ?BCD=75? ?BDC=45? 求AB的長(112)

A

B

C 3 【試題答案】

一.選擇題：

1.A

提示：?aba3?，?sinA?sinB? sinAsinBb

22.B

提示：?由題意及正弦定理可得tanB?3.C

1提示：由余弦定理及已知可得cosA??

24.D ????2????

提示：?AC?AB?BC，?AC?(AB?BC)(AB?BC)

?2?AC?5?2

32???|AC|?AC?5?23

5.A

提示：長為6的邊所對角最大，設它為?

16?25?361

則cos????0

2?4?58

?0????90?

6.C

提示：由余弦定理可將原等式化為

b2?c2?a2a2?c2?b2?a?

b?

2bc2ac

即2b2?2a2，?a?b

7.C

提示：原不等式可變形為cos(A?B)?0

?0?A?B??，???B?(0，)

從而C???(A?B)?（8.B

??2，?)

3提示：由題意得cos???或2（舍去）?三角形的另一邊長?52?32?2?5?3?cos??52?213 二.填空題：

9.36?126，126?2提示：?absinAsin60?6?，?a?b?b?b sinAsinBsinBsin45?2

又?a?b?12，?a?36?126，b?126?24

10.a

a2?b2?c2a2?c2?b2?c??a

提示：利用余弦定理，得原式?b?2ab2ac1

11.8提示：由正弦定理得a:b:c?654::

設1份為k，則a?6k，b?5k，c?4k

b2?c2?a21?

再由余弦定理得cosA?2bc8

12.鈍角三角形

提示：由cosA?sinB得sin（?A、B均為銳角，??2?A)?sinB

??A?(0，)，B?(0，)222??

而y?sinx在(0，)上是增函數 ???2?A?B

即A?B??2

?C???(A?B)?(，?)

2三.解答題：

13.解：由正弦定理得：

sinC?c623sinA???a222

???C?60?或120?

當?C?60?時，?B?180??(?A??C)?75? a26?2sinB???3?1 sinA422

當?C?120?時，?B?180??(?A??C)?15?

b?

b?a2sinB??sinA226?2?3?1 ?b?3?1，?C?60?，?B?75?

或b?3?1，?C?120?，?B?15?

14.解：設四個角A、B、C、D的度數分別為3x、7x、4x、10x

則有3x?7x?4x?10x?360?

解得x?15?

?A?45?，B?105?，C?60?，D?150?

連BD，在?BCD中，由余弦定理得：

BD2?BC2?DC2?2BC?DC?cosC?a2?4a2?2?a?2a??3a2

?BD?3a

此時，DC2?BD2?BC2

??BCD是以DC為斜邊的直角三角形

??CDB?30?

??BDA?150??30??120?

在??BD中，由正弦定理有：

AB?BD?sin?BDA?sinA3a?32?32a

2225 32a 2

15.解：（1）?R?2且22(sin2A?sin2C)?(a?b)sinB

?AB的長為2

?(22)2(si2nA?sinC)?(a?b)?22sinB

即(2R)2sin2A?(2R)2sin2C?(a?b)2RsinB

由正弦定理知a2?c2?(a?b)b

即a2?b2?c2?ab

a2?b2?c2ab1??

由余弦定理得cosC?2ab2ab2

?C?60?

（2）S?absinC

??2R?sinA?2RsinB?sin60?

2?3?2sinAsinB??3[cos(A?B)?cos(A?B)]

??3[cos(180??60?)?cos(A?B)]1?3[?cos(A?B)]2

133

?當A＝B時，S有最大值3(?1)?

第五篇：正弦定理與余弦定理練習題

正弦定理與余弦定理

1.△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,則a等于

2.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若（a+c-b）tanB=3ac，則角B的值為

3.下列判斷中正確的是A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有兩解 B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解 C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有兩解 D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,無解

4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,則△ABC一定是

（）

（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等邊三角形 5.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，則

A.85

sinB的值為sinC

5335

（）

B.458

C.D.（）

6.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),則∠C的度數是A.60°

B.45°或135°C.120°

D.30°

7.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c，若a=1,b=7,c=3,則B=.8.在△ABC中，A=60°,AB=5,BC=7,則△ABC的面積為.

9.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，則cosA10.在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.11.在△ABC中，a、b、c分別是角A，B，C的對邊，且

cosBb

=-.cosC2a?c

（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面積.12.在△ABC中，a、b、c分別表示三個內角A、B、C的對邊，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）

sin（A+B），判斷三角形的形狀.22

13.已知△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為S，且2S=(a+b)-c，求tanC的值.14.已知△ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等差數列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判斷△ABC的形狀.15.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面積.7A?B

-cos2C=.22