第一篇：正弦余弦定理典型題例

7月13-23作業(yè)早知道整體介紹必修五 作業(yè)題 備注 7月13日 專題一 必修五整體把握 1.結(jié)合您的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)您給出等差數(shù)列的起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并突出您的創(chuàng)新點(diǎn)； 2.請(qǐng)結(jié)合您的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)列應(yīng)用的案例（可以是一個(gè)例題，可以是一節(jié)課，也可以是一個(gè)教學(xué)片段等）； 3.為什么集中討論不等關(guān)系？要不要補(bǔ)充絕對(duì)值不等式、不等式的證明、均值不等式等； 4.不等式教學(xué)能不能提前？ 5.解三角形的教學(xué)的重點(diǎn)是什么？ 6.解三角形的活動(dòng)課怎么上？ 7.用向量證明正余弦定理的教學(xué)； 8.解三角形中計(jì)算器的使用。學(xué)習(xí)要求: 每人不少于十篇作業(yè),其中五篇為模塊規(guī)定作業(yè)題.其余為這兩個(gè)模塊的教學(xué)設(shè)計(jì),教學(xué)體會(huì)或者是章節(jié)模塊測(cè)試題.評(píng)論總數(shù)不少于100條。7月14日 專題二 解三角形 1.請(qǐng)舉出5個(gè)例題，說(shuō)明余弦定理、正弦定理的作用和意義； 2.請(qǐng)給出5個(gè)例題，體會(huì)向量在解三角形中的作用； 7月15日 專題三 等差等比數(shù)列及應(yīng)用 1.結(jié)合您的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)您給出等差數(shù)列的起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)？突出您的創(chuàng)新點(diǎn)。2.請(qǐng)結(jié)合您的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)列應(yīng)用的案例（可以是一道例題，可以是一節(jié)課，也可以是一個(gè)教學(xué)片斷等）3.請(qǐng)找出10~15道數(shù)列的習(xí)題，說(shuō)明學(xué)生掌握這些題目就能很好的把握數(shù)列的內(nèi)容； 7月16日 專題四 不等式及應(yīng)用 1． 請(qǐng)您給出一元二次不等式的一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)，在這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中，能把三個(gè)“一元二次”融為一體，進(jìn)行一次全面的學(xué)習(xí)和提升，并指出您的創(chuàng)新點(diǎn)； 2． 請(qǐng)結(jié)合您教學(xué)中的一個(gè)具體的案例，展示您是如何說(shuō)明“最優(yōu)解在可行域的頂點(diǎn)上”的，并指出您的創(chuàng)新點(diǎn)； 3． 請(qǐng)您給出一個(gè)線性規(guī)劃的實(shí)際問題，與解決線性規(guī)劃問題的一般程序框圖結(jié)合起來(lái)，設(shè)計(jì)一個(gè)教學(xué)案例，并指出您的創(chuàng)新點(diǎn)； 4． 請(qǐng)您依托基本不等式，全面的梳理一下基本不等關(guān)系及其性質(zhì)； 5． 請(qǐng)您列舉5個(gè)例題，說(shuō)明您是如何把握基本不等式教學(xué)的難度的； 7月17日 專題五 必修五高端備課 1.談?wù)勀匣顒?dòng)課的經(jīng)驗(yàn)與感受； 2.談?wù)勀鷮?duì)通性通法的認(rèn)識(shí)； 3.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)解決“測(cè)量問題”的“活動(dòng)課”的案例，并指出您的創(chuàng)新點(diǎn)； 選修2-1 7月19日 專題六 選修2-1整體把握 ． 為什么“從簡(jiǎn)易邏輯到常用邏輯用語(yǔ)”； 2． 為什么要把傳統(tǒng)的內(nèi)容分為兩部分？ 3． 如何把握文理科的差異？ 4． 結(jié)合您對(duì)向量的理解，談?wù)劇跋蛄俊痹跀?shù)學(xué)中的作用； 7月20日 專題七 常用邏輯用語(yǔ) 1． 請(qǐng)結(jié)合學(xué)過的重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容，舉出5個(gè)充分條件（判定定理）、5個(gè)必要條件（性質(zhì)定理）的案例； 2． 請(qǐng)您談?wù)劤浞謼l件、必要條件在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用和意義； 3． 請(qǐng)結(jié)合學(xué)過的重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容，舉出5個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念或結(jié)論，并給出它們的充分必要條件，體會(huì)充分必要條件在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用和意義； 4． 請(qǐng)舉出10個(gè)運(yùn)用全稱量詞和存在量詞的數(shù)學(xué)案例； 5． 請(qǐng)您用常用邏輯用語(yǔ)梳理一下學(xué)過的某些內(nèi)容，例如：函數(shù)、幾何、運(yùn)算等； 7月21日 專題八 立體幾何和橢圓 1． 請(qǐng)您設(shè)計(jì)一節(jié)復(fù)習(xí)課，利用向量對(duì)于立體幾何進(jìn)行一次完整的復(fù)習(xí)，并指出您的創(chuàng)新點(diǎn)。2． 如何依托向量提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力； 3． 如何把向量和算法結(jié)合起來(lái)解決幾何問題—距離問題、角度問題； 7月22日 專題九 圓錐曲線與方程 1.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)橢圓的引入課，突出幾何到代數(shù)的過程？ 2.請(qǐng)您用類比的思想設(shè)計(jì)一個(gè)雙曲線的引入課，指出您的創(chuàng)新點(diǎn)； 3.請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)關(guān)于拋物線的應(yīng)用課，指出您的創(chuàng)新點(diǎn)； 4.請(qǐng)舉出10~15個(gè)有關(guān)圓錐曲線的習(xí)題，說(shuō)明學(xué)生掌握了這些題目就基本掌握了本章內(nèi)容； 5.請(qǐng)您列出高考中計(jì)算量大的圓錐曲線的試題，談?wù)勀目捶ê徒ㄗh； 7月23日 專題十 選修2-1高端備課 1． 請(qǐng)舉出10個(gè)運(yùn)用全稱量詞和存在量詞的數(shù)學(xué)案例； 2． 請(qǐng)您用常用邏輯用語(yǔ)梳理一下學(xué)過的某些內(nèi)容，例如：函數(shù)、幾何、運(yùn)算等； 3． 請(qǐng)舉出10~15個(gè)有關(guān)圓錐曲線的習(xí)題，說(shuō)明學(xué)生掌握了這些題目就基本掌握了本章內(nèi)容； 4． 請(qǐng)您列出高考中計(jì)算量大的圓錐曲線的試題，談?wù)勀目捶ê徒ㄗh；

5． 如何依托向量提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力；如何把向量和算法結(jié)合起來(lái)解決幾何問題—距離問題、角度問題；

第二篇：正弦定理余弦定理[推薦]

正弦定理 余弦定理

一、知識(shí)概述

主要學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)及其應(yīng)用，正弦定理是指在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通過兩定理的學(xué)習(xí)，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用這兩個(gè)定理去解斜三角形，學(xué)會(huì)用計(jì)算器解決解斜三角形的計(jì)算問題，熟悉兩定理各自解決不同類型的解三角形的問題．認(rèn)識(shí)在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，產(chǎn)生多解的原因，并能準(zhǔn)確判斷解的情況．

二、重點(diǎn)知識(shí)講解

1、三角形中的邊角關(guān)系

在△ABC中，設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則有

（1）角與角之間的關(guān)系：A＋B＋C＝180°；

（2）邊與角之間的關(guān)系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：a＝bcosC＋ccosB

b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋

bcosA

2、正弦定理的另三種表示形式：

3、余弦定理的另一種表示形式：

4、正弦定理的另一種推導(dǎo)方法——面積推導(dǎo)法

在△ABC中，易證明再在上式各邊同時(shí)除

以在此方法推導(dǎo)過程中，要注意對(duì)

面積公式的應(yīng)用．

例

1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面積S=15，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角． 分析：

在正弦定理中，由

進(jìn)而可以利用三角函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行解題． 解：

可以把面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°顯然A＋B=90°不可能成立

當(dāng)C=30°時(shí)，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°

當(dāng)C=150°時(shí)，由A－B=90°得B為負(fù)值，不合題意故所求解為A=120°，B=30°，C=30°.例

2、在△ABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的外邊，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析：

把題中的邊的關(guān)系b=2a利用正弦定理化為角的關(guān)系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：

∵B=A＋60°

∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°

=

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例

3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，試判斷△ABC的形狀． 分析：

三角形分類是按邊或角進(jìn)行的，所以判定三角形形狀時(shí)一般要把條件轉(zhuǎn)化為邊之間關(guān)系或角之間關(guān)系式，從而得到諸如a＋b＝c，a＋b>c（銳角三角形），a＋b＜c（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進(jìn)而判定其形狀，但在選擇轉(zhuǎn)化為邊或是角的關(guān)系上，要進(jìn)行探索．

解法一：由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內(nèi)角，∴sinA≠0，sinB≠0．

．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形狀，此類問題主要考查邊角互化、要么同時(shí)化邊為角，要么同時(shí)化角為邊，然后再找出它們之間的關(guān)系，注意解答問題要周密、嚴(yán)謹(jǐn)．

例

4、若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀． 分析：

本題既可以利用正弦定理化邊為角，也可以利用余弦定理化角為邊． 解：

解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°

故△ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得

∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c

故△ABC為等腰三角形或直角三角形．

6、正弦定理，余弦定理與函數(shù)之間的相結(jié)合，注意運(yùn)用方程的思想．

例

5、如圖，設(shè)P是正方形ABCD的一點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別是

1，2，3，求正方形的邊長(zhǎng)．

分析：

本題運(yùn)用方程的思想，列方程求未知數(shù)． 解：

設(shè)邊長(zhǎng)為x(1

設(shè)x=t，則1

－5)=16t

三、難點(diǎn)剖析

1、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，將出現(xiàn)無(wú)解、一解和兩解的情況，應(yīng)分情況予以討論．

下圖即是表示在△ABC中，已知a、b和A時(shí)解三角形的各種情況．

（1）當(dāng)A為銳角時(shí)（如下圖），（2）當(dāng)A為直角或鈍角時(shí)（如下圖），也可利用正弦定理進(jìn)行討論．

如果sinB>1，則問題無(wú)解； 如果sinB＝1，則問題有一解；

如果求出sinB<1，則可得B的兩個(gè)值，但要通過“三角形內(nèi)角和定理”或“大邊對(duì)大角”等三角形有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷．

2、用方程的思想理解和運(yùn)用余弦定理：當(dāng)?shù)仁絘2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知數(shù)時(shí)，等式便成為方程．式中有四個(gè)量，知道任意三個(gè)，便可以解出另一個(gè)，運(yùn)用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法證明三角形中的射影定理

在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知兩角和任一邊解三角形；

（2）已知兩邊和一邊的對(duì)角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知三邊解三角形；

（2）已知兩邊和夾角解三角形．

6、三角形面積公式：

例

6、不解三角形，判斷三角形的個(gè)數(shù)． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：

①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．

③a

④a0 ∴△ABC有兩解．

⑤b>c，C＝45°，∴△ABC無(wú)解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，這樣B＋C>180°，∴△ABC無(wú)解．

第三篇：《正弦定理和余弦定理》測(cè)試卷

《正弦定理和余弦定理》學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：

1.在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為()

A.一個(gè)解B.二個(gè)解C.無(wú)解D.無(wú)法確定

2．在△ABC

中，若a?2,b?c??A的度數(shù)是()

A.30°B.45°C.60°D.75°

2223．ΔABC中，若a=b+c+bc，則∠A=()

A.60?B.45?C.120?D.30?

4．邊長(zhǎng)為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為()

A.90°B.120°C.135°D.150°

5.在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45?.求A、C及c.06．在?ABC中，若B?

45，c?

b?A.7.在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形.8．在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求A.能力提升：

AB的取值范圍是()AC

A.(0，2)B.(2,2)C.(2,)D.(,2)9．銳角ΔABC中，若C=2B，則

10.已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC的值為()A.?

14B.1

422ABC.?D.銳角ΔABC中，若C=2B，則的取值范圍是 33AC

11.等腰三角形底邊長(zhǎng)為6，一條腰長(zhǎng)12，則它的外接圓半徑為()

12．在?ABC中，已知三邊a、b、c滿足?a?b?c??a?b?c??3ab，則C＝()

A．15B．30C．45D．60

13．鈍角?ABC的三邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長(zhǎng)為（）。

A、1、2、3B、2、3、4C、3、4、5D、4、5、6 ????

sinC2?(6?1)，則∠A=_______.sinB

5a?b?c?_____.15.在△ABC中，∠A=60°，b=1，c=4，則sinA?sinB?sinC14．在ΔABC中，BC=3，AB=2，16.在△ABC中，∠B=120°，sinA:sinC=3:5，b=14，則a，c長(zhǎng)為_____.綜合探究：

17．已知鈍角?ABC的三邊為：a?k,b?k?2,c?k?4,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.a2?b2sin(A?B)?18.在?ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，證明:.2sinCc

參考答案：

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：

1.B2.A3.C4.B

5.解析：

asinB3sin45?解法1：由正弦定理得：sinA? ??b22

∴∠A=60?或120?

bsinC2sin75?6?2當(dāng)∠A=60?時(shí)，∠C=75?，c?； ??sinB2sin45?

bsinC2sin15?6?2當(dāng)∠A=120?時(shí)，∠C=15?，c?.???sinB2sin45

解法2：設(shè)c=x，由余弦定理b?a?c?2accosB 將已知條件代入，整理：x?x?1?0 解之：x?22226?2 2

222?22)?3b?c?a1?3??2??? 當(dāng)c?時(shí)，cosA?2bc26?22(?1)22?2?22?（從而∠A=60?，∠C=75?； ?2時(shí)，同理可求得：∠A=120?，∠C=15?.2

bc?6.∵，sinBsinC當(dāng)c?

csinBsin45???∴sinC?，b∵0?C?180，∴C?60或C?120

∴當(dāng)C?60時(shí)，A?75； ?????

當(dāng)C?120時(shí)，A?15，；

所以A?75或A?15．

7.由余弦定理的推論得： ????

b2?c2?a287.82?161.72?134.62

?0.5543,?cosA?A?56020?；

c2?a2?b2134.62?161.72?87.82

? cosB?B?32053?；

? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)

8.∵bc?b2?c2?a2，?0.8398,b2?c2?a21∴由余弦定理的推論得：cosA?? ∵0?A?180，∴A?60.能力提升：

9.C10.A11.C

12.D．由?a?b?c??a?b?c??3ab，得a?b?2ab?c?3ab 222??

a2?b2?c21?，∴由余弦定理的推論得：cosC?2ab2

∵0?C?180，∴C?60.13.B；只需要判定最大角的余弦值的符號(hào)即可。

選項(xiàng)A不能構(gòu)成三角形； ??

22?32?421???0，故該三角形為鈍角三角形； 選項(xiàng)B中最大角的余弦值為2?2?34

32?42?52

?0，故該三角形為直角三角形； 選項(xiàng)C中最大角的余弦值為：2?4?3

42?52?621??0，故該三角形為銳角三角形.選項(xiàng)D中最大角的余弦值為2?4?58

14.120?

1516.4綜合探究：

17.∵?ABC中邊a?k,b?k?2,c?k?4，∴a?k?0，且邊c最長(zhǎng)，∵?ABC為鈍角三角形

∴當(dāng)C為鈍角時(shí) a2?b2?c2

?0，∴cosC?2ab

∴a?b?c?0, 即a?b?c

∴k2?(k?2)2?(k?4)2, 解得?2?k?6,又由三角形兩邊之和大于第三邊：k?(k?2)?k?4,得到k?2，故實(shí)數(shù)k的取值范圍：2?k?6.18.證法一:由正弦定理得： 222222

a2?b2sin2A?sin2Bcos2B?cos2A?? c2sin2C2sin2C

=?2sin(B?A)sin(B?A)sinCsin(A?B)sin(A?B)==.222sinCsinCsinC

222證法二:由余弦定理得a=b+c-2bccosA，a2?b2c2?2bccosA2b??1??cosA，則22ccc

又由正弦定理得bsinB?，csinC

a2?b22sinBsinC?2sinBcosA?1??cosA?∴ 2csinCsinC

sin(A?B)?2sinBcosA sinC

sinAcosB?sinBcosAsin(A?B)??.sinCsinC

sin(A?B)sinAcosB?sinBcosA?證法三:.sinCsinC

sinAasinBb?,?，由正弦定理得sinCcsinCc

sin(A?B)acosB?bcosA?∴，sinCc?

又由余弦定理得

a2?c2?b2b2?c2?a2a??b?sin(A?B)?sinCc

(a2?c2?b2)?(b2?c2?a2)? 22c

a2?b2

?.c2

第四篇：球面正弦,余弦定理證明

§4球面余弦定理和正弦定理

平面幾何中的三角形全等判定條件說(shuō)明了平面三角形的唯一性，到了平面三角學(xué)，把這種唯一性定理提升到有效能算的角邊函數(shù)關(guān)系。其中最基本的就是三角形的余弦定理：設(shè)三角形 ABC 的三條邊分別是 a、b、c，它們的對(duì)角分別是、、，則

其中，分別表示 的余弦。

三角形的正弦定理：設(shè)三角形 ABC 的三條邊分別是 a、b、c，它們的對(duì)角分別是、、，則。

類似地，球面三角形也有有效能算的邊角函數(shù)關(guān)系，其中最主要的結(jié)果就是球面三角的正弦定理和余弦定理。

為證明球面三角余弦定理，我們介紹有關(guān)向量的另一種乘積—外積。兩向量a與b的外積是一個(gè)矢量，記做a×b，它的模是|a×b|=|a||b|它的方向與a,b都垂直，并且按a,b,a×b這個(gè)順序構(gòu)成右手標(biāo)架。對(duì)于向量的外積，有拉格朗日恒等式成立。

a×b）·(a’×b’)=(a·a’)·(b·b’)－(a·b’)·(b·a’)

定理4.1（球面三角余弦定理）在單位球面上，對(duì)于任給球面三角形三邊和三角

恒滿足下述函數(shù)關(guān)系，其(a,b),（證法一）證明：如圖4-1所示，圖4-1 是單位球面上的三點(diǎn)，以a,b,c分別表示單位長(zhǎng)向量三角形,則球面的三角角度和三邊邊長(zhǎng)分別可以用空間向量a,b,c表達(dá)如下：

是b,c之間夾角的弧度，所以cos=b·c,同理有cos=a·c, cos=a·b。是“a,b所張的平面”和“a,c所張的平面”之間的夾角，所以a×b和a×c之間的夾角，即

（a×b）·(a×c)=| a×b|·|a×c|cosA=同理亦有（b×c）·(b×a)=（c×a）·(c×b)=由（a×b）·(a×c)=所以同理可證

=cos－

也等于

當(dāng)單位球面上的球面三角形三邊都小于三角余弦定理。證明如下： 取球面三角形

時(shí)，可以用平面三角余弦定理證明球面，將各頂點(diǎn)與球心O連接，過頂點(diǎn)A作b,c邊的切線，分別

和兩個(gè)平交OC,OB的延長(zhǎng)線于N,M,由此得到兩個(gè)平面直角三角形面三角形

。在中，根據(jù)平面三角形的余弦定理，有。

同理在因此即中

即即得同理可證

（證法2）證明：設(shè)球心為O，連接OA、OB、OC，則。

圖4-2 過點(diǎn)A做的切線交直線OB于D，過點(diǎn)A做的切線，交直線OC于E，連接DE（如圖4-2所示）。顯然，ADAO，AE

AO，在直角三角形OAD中，AO=1，AD=，OD=在直角三角形OAE中，AE=

。，OE=。

注意。在三角形ODE中，利用平面三角形的余弦定理（定理3.1），??（1）

在三角形ADE中，??（2）

因?yàn)椋?）式與（2）式左端相等，所以右端也相等，經(jīng)化簡(jiǎn)整理，即得。

類似地可以得到另外兩式。

當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角為直角時(shí)，比如，則由球面三角余弦定理有

。這恰好是平面幾何中的勾股定理在球面幾何中的對(duì)應(yīng)物，但形式上有了很大差別。我們稱之為球面勾股定理。

定理4.2（球面三角正弦定理）在單位球面上，對(duì)于任給球面三角形三邊和三角

恒滿足下述函數(shù)關(guān)系

證明：因?yàn)樯鲜鋈齻€(gè)比值都是正的，所以我們只要證明

恒成立。

由球面三角余弦定理，得

同理可證，所以。

一般地，易證在半徑為r的球面上，對(duì)于任給球面三角形，其三邊和三角恒滿足下述函數(shù)關(guān)系

和，其當(dāng)形時(shí)，上述關(guān)系式會(huì)變成什么形式呢？如圖，當(dāng)?shù)娜?/p>

可以看作直線段，所以

，時(shí)，球面三角所以， ,代入上述關(guān)系式，當(dāng)，時(shí)對(duì)式子取極限，整理得：

這恰好是平面三角余弦定理和正弦定理。在實(shí)際使用時(shí)，考慮到所給條件的不同及計(jì)算的方便，我們常常需要不同形式的球面三角公式，這些公式本質(zhì)上都能以球面正弦定理和余弦定理加以變換而得到。前面通過研究極對(duì)偶三角形的關(guān)系我們證明了球面幾何中特有的全等條件AAA,在球面三角中有反映這一特有全等條件的三角公式。

定理4.3（角的余弦公式）在單位球面上，對(duì)于任給球面三角形和三角

恒滿足下述函數(shù)關(guān)系，其三邊

證明：由的極對(duì)偶三角形的余弦定理

利用上節(jié)定理3.1將中相應(yīng)的元素代入上式即有

乘以－1，化簡(jiǎn)得同理可證其他兩式。

第五篇：正弦定理余弦定理練習(xí)

正弦定理和余弦定理練習(xí)

一、選擇題

1、已知?ABC中，a?4,b?43,A?300,則B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知?ABC中，AB?6,A?300,B?1200,則S?ABC?()

A.9B.18C.93D.1833、已知?ABC中，a:b:c?1:3:2，則A:B:C?（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?k:(k?1):2k(k?0)，則k的取值范圍是（）

A.?2,???B.???,0?C.二、填空題

1、已知?ABC中，B?300,AB?23,AC?2,則S?ABC?

2、已知?ABC中，b?2csinB,則角

3、設(shè)?ABC的外接圓的半徑為R，且AB?4,C?450,則R=

4、已知S?ABC?32,b?2,c?3,則角1??,0???2??D.?1?,????2?? A=

5、已知?ABC中，B?450,C?600,a?2(3?1)，則S?ABC?

三、簡(jiǎn)答題

01、在?ABC中，若B?30,AB?23,AC?2,求S?ABC.2、已知?ABC中，C?60,BC?a,AC?b,a?b?6.(1)寫出?ABC的面積S與a的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)a等于多少時(shí)，Smax？并求出Smax.23、已知?ABC中，a?a?2(b?c),a?2b?2c?3,若sinC:sinA?4:，求a,b,c.04、a,b,c是?ABC的三內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，4sin

(1)求角A；(2)若a?3,b?c?3,2B?C2?cos2A?72.求b,c的值.