第一篇：正弦余弦定理應(yīng)用一

友好三中高三數(shù)學學案設(shè)計時間：2010-9-6使用時間：

三角函數(shù)14：正弦定理、余弦定理的應(yīng)用

（一）一、學習目標

1．知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

2.過程與方法:讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應(yīng)用的實踐操作。利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

3．情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。培養(yǎng)學生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

二、學習重、難點

重點：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用。

難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。

三、考綱要求

通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

四、知識鏈接

1、正弦定理的內(nèi)容：

2、正弦定理適用的范圍：（1）

（2）

3、余弦定理的內(nèi)容：；；

4、余弦定理適用的范圍：（1）

（2）

五、基礎(chǔ)檢測

1、在 中，則三角形的形狀為（）

A．直角三角形B．銳角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形

2、在 中，bcosB?acosA，則三角形的形狀為

3:2，求A,B,C23、在△ABC中，a:b:c?1:224、在?ABC中，若b?a?c?ac，則B=（）

A．60°B．45°或135°C．120°D．30°

5、在?ABC中，a?2,b?3,c?4，則此三角形是（）

A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形

六、學習過程

類型一、三角形中的三角函數(shù)問題

例1.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且(I)求角A的大小；(II)若a=3，b+ c=3，求b和c的值。

?

8sin

B?C

2?2cos2A?7.例2.已知在?ABC中，三條邊a,b,c所對的角分別為A,B,C，向量m?(sinA,cosA)，?

?

?

n?(cosB,sinB)且滿足m?n?sin2C。

?

?

?

（1）求角C的大小；（2）若sinA,sinC,sinB成等比數(shù)列，且CA?(AB?AC)?18，求c的值。

類型二、三角函數(shù)與其他知識交匯問題

????????????????

例3．已知在?ABC中，AB?BC?3，記AB,BC??．（1）若?ABC的面積S

?2S?3，求?的取值范圍；（2）若??

????????????

選做 例4．已知△ABC的周長為6，BC,CA,AB成等比數(shù)列．

?，求?ABC的最大邊長的最小值．

（Ⅰ）求△ABC的面積S的最大值；（Ⅱ）求BA?BC的取值范圍．

七、達標訓(xùn)練

1、在△ABC中，AB=5,BC=6,AC=8,則△ABC的形狀是（）

A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．非鈍角三角形

2、在 3

4、在A

43-4

B4

3?4

C4

3?1

2D12-4

3中，三邊 與面積S的關(guān)系式為則角C為（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

若是（）A．等邊三角形B．有一內(nèi)角是30°

C．等腰直角三角形D．有一內(nèi)角是30°的等腰三角形

中，已知 則AD長為（）

5、在 面積則BC長為（）

A．206B．75C．51D．496、在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若

7、在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知a?

b?3,c?30?, 則A＝

?

3b?ccosA?acosC，則cosA?

?

以下為選做題：

8、在ΔABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且

????????（1）判斷此三角形的形狀；（2）若a=3, b=4，求|CA?CB|的值；

ab

2?tanAcotB

（3）若C=60，ΔABC的面積為

????????????????????????

AB?BC?BC?CA?CA?AB的值。

9、設(shè)△

ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c.已知b?c?a?（Ⅰ）A的大小；（Ⅱ）

sin

BcosC?sin(B?C)的值.，求：

第二篇：正弦、余弦定理綜合應(yīng)用

班別第小組姓名學號

正、余弦定理的綜合應(yīng)用

一、知識要點

（一）1．正弦定理：

a

sinA

（）2．變形公式：（1）a?2RsinA，b?c?

（2）sinA?a

2R，sinB?，sinC?

（3）a:b:c?。

3．三角形面積公式：S?ABC?。

（二）1.余弦定理：a2?b2?c2

?。

2.余弦定理的變形：cosA?，cosB?cosC?。

二、基本類型

類型一：解三角形

1、已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°

2、△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊邊長分別為a、b、c.若a＝52，A＝2B，則cosB＝()A.55553B.45D.63、在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若A＝π3，b＝1，△ABC的面積為32

則a的值為()A．1B．2C.3234、、三角形的三邊分別為a,b,c，且滿足(a?b?c)(a?b?c)

?3ab，則c邊所對的角等于（）

A

45?B60?C30?D150?

5、在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若(a2＋c2－b2)·tanB3ac，則角B的值為()

A.π6B.ππ5ππ2π366D.3或36、在△ABC中，三個角A，B，C的對邊邊長分別為a＝3，b＝4，c＝6，則bccosA＋cacosB＋abcosC的值為________．

類型

二、判定三角形的形狀

7、在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若acosB?bcosA,則三角形為

8、在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若bcosB

?acosA,則三角形為

9、若△ABC的三個內(nèi)角滿足sinA:sinB:sinC?5:11:13，則△ABC（）

（A）一定是銳角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是鈍角三角形.(D)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.10、已知在?ABC中，sin

A?sin2B?sin2C?sinB?sinC，則?ABC是（）

A鈍角三角形B銳角三角形C直角三角形D正三角形

11、在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊的長，且sin(B＋ππ2

4－sin(B－4＝2

.(1)求角B的大小；(2)若a、b、c成等比數(shù)列，試判斷△ABC的形狀．

三、體驗高考題

12、（2010浙江理數(shù)）在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，已知cos2C??14

(1)求sinC的值；(2)當a=2，2sinA=sinC時，求b及c的長．

13、（2010遼寧文數(shù)）在?ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，且2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC（1）求A的大小；（2）若sinB?sinC?1，試判斷?ABC的形狀.14、（2010安徽文數(shù)）?ABC的面積是30，內(nèi)角A,B,C所對邊長分別為a,b,c，cosA?1213

。(1)求AB?

?AC?

；(2)若c?b?1，求a的值。

第三篇：正弦余弦定理應(yīng)用定理

正弦定理、余弦定理練習題

一、選擇題(共20題，題分合計100分)

1.已知在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么cosC的值為

A.?

14B.14C.23D.?23

2.在△ABC中，a=λ,b=

λ,A=45°,則滿足此條件的三角形的個數(shù)是

A.0 個B.1 個C.2個D.無數(shù)個

3.在△ABC中，bcosA=acosB，則三角形為

A.直角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

4.已知三角形的三邊長分別為x2

+x+1,x2

-1和2x+1(x＞1)，則最大角為

A.150°B.120°C.60°D.75°

5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+23則邊|

|等于

A.5B.5-23C.5?2D.5?23

6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么這個三角形是

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.在△ABC中，若b2

sin2

C+c2

sin2

B=2bccosBcosC，則此三角形為

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

8.正弦定理適應(yīng)的范圍是

A.Rt△B.銳角△C.鈍角△D.任意△

9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，則c=

A.10+B.10（-1）C.（3+1）D.103

10.在△ABC中，bsinA＜a＜b，則此三角形有

A.一解B.兩解C.無解D.不確定

11.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x2

-7x-6=0的根，則三角形的另一邊長為A.52B.2C.16D.4

12.在△ABC中，a2

=b2

+c2

+bc，則A等于

A.60°B.45°C.120

D.30°

13.在△ABC中，則△ABC是

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.任意三角形

14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，則△ABC的面積S△ABC等于

A.2B.22C.+1D.(?1)15.已知三角形ABC的三邊a、b、c成等比數(shù)列，它們的對角分別是A、B、C，則sinAsinC等于

A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B

17.在△ABC中，bCosA=acosB，則三角形為

A.直角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

18.△ABC中，sin2

A=sin2

B+sin2

C，則△ABC為

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形

19.△ABC中,A=60°,b=1,這個三角形的面積為,則△ABC外接圓的直徑為

A.B.C.D.20.在△ABC中，,則k為

A.2RB.RC.4RD.(R為△ABC外接圓半徑)

第四篇：例談?wù)叶ɡ怼⒂嘞叶ɡ淼膽?yīng)用

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例談?wù)叶ɡ怼⒂嘞叶ɡ淼膽?yīng)用

作者：姜如軍

來源：《理科考試研究·高中》2013年第08期

答：渡輪實際行駛的速度約為13.5 km/h，實際行駛方向與水流方向約成105°.點評根據(jù)平行四邊形法則作圖，從而構(gòu)造數(shù)學模型，集中了實際問題中的條件與目標，將實際問題轉(zhuǎn)化為求解三角形問題.先由余弦定理確定AC的長，再用正弦定理求出∠ACB，最后過渡到∠BAC.運用正弦定理和余弦定理解決實際問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造適當?shù)娜切?如果知道兩邊和夾角，則可先由余弦定理求出角的對邊，再由正弦定理求出另外兩個角.如果已知兩邊及其中一邊的對角，則先由正弦定理求出另一條邊的對角，再由三角形的內(nèi)角和為180°求出第三個角，最后用正弦定理可以求出第三條邊（當然也可用余弦定理求解，但正弦定理更為直接）.上述求解過程說明，求解三角形，一定要注意已知什么；由已知可以求得什么；目標是什么；要求出目標值需要知道什么；搞清楚這些問題后，就可以確定求解的“序”了.另外，在運用正弦定理、余弦定理的同時，還應(yīng)該結(jié)合面積關(guān)系靈活選擇解決途徑.如果建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担c解析法有機結(jié)合，或運用向量的有關(guān)性質(zhì)，可能帶來更為簡便的求解方案，應(yīng)予重視.

第五篇：§5.5 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用(教案)

響水二中高三數(shù)學（理）一輪復(fù)習教案 第五編平面向量、解三角形 主備人 張靈芝 總第25期

§5.5 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用

基礎(chǔ)自測

1.在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60°,C點的俯角為70°，則∠BAC=.答案 130°

2.從A處望B處的仰角為?，從B處望A處的俯角為?，則?、?的大小關(guān)系為.答案 ?=?

3.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinC=2sinAcosB,則△ABC是 三角形.答案 等邊

4.已知A、B兩地的距離為10 km,B、C兩地的距離為20 km,現(xiàn)測得∠ABC=120°，則A、C兩地的距離為 km.答案 107

5.線段AB外有一點C，∠ABC=60°,AB=200 km,汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以 50 km/h的速度由B向C行駛，則運動開始 h后，兩車的距離最小.答案 70 43例題精講

例1 要測量對岸A、B兩點之間的距離，選取相距3 km的C、D兩點，并測得∠ACB=75°，∠BCD= 45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A、B之間的距離.解 如圖所示，在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=3 km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.∴BC=2AB=(3)+(3sin75?6?2=.△ABC中，由余弦定理，得

sin60?226?226?2)-2×3××cos75°=3+2+3-3=5，22∴AB=5(km).∴A、B之間的距離為5 km.159 例2．沿一條小路前進，從A到B，方位角（從正北方向順時針轉(zhuǎn)到AB方向所成的角）是50°，距離是3 km，從B到C方位角是110°，距離是3 km，從C到D,方位角是140°，距離是（9+33）km.試畫出示意圖，并計算出從A到D的方位角和距離（結(jié)果保留根號）.解 示意圖如圖所示，連接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°.由余弦定理可得

1AC=AB2?BC2?2AB?BCcos120?= 9?9?2?3?3?(?)

2=27=33(km)，在△ACD中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°, CD=33+9.1由余弦定理得AD=AC2?CD2?2AC?CDcos120?= 27?(33?9)2?2?33?(33?9)?(?)

2=9(2?6)(km)2CD?sin?ACD=AD(33?9)?由正弦定理得sin∠CAD=

32=2.292?962∴∠CAD=45°,于是AD的方位角為50°+30°+45°=125°, 所以，從A到D的方位角是125°，距離為

9(2?6)km.2例3 如圖所示，已知半圓的直徑AB=2，點C在AB 的延長線上，BC=1，點P為半圓上的一個動點，以 DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC 的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值.解 設(shè)∠POB=?，四邊形面積為y，則在△POC中，由余弦定理得

160 PC=OP+OC-2OP·OCcos?=5-4cos?.∴y=S△OPC+S△PCD=∴當?-1?353×1×2sin?+（5-4cos?）=2sin(?-)+.3244222??5?53=，即?=時，ymax=2+.326453.4所以四邊形OPDC面積的最大值為2+鞏固練習

1.某觀測站C在A城的南偏西20°的方向.由A城出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40°，在C處測得公路上B處有一人距C為31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到達D處，此時CD間的距離為21千米，問這人還要走多少千米才能到達A城？ 解 設(shè)∠ACD=?，∠CDB=?.在△BCD中，由余弦定理得 cos?=

143BD2?CD2?CB2202?212?312==-，則sin?=，72BD?CD2?20?217而sin?=sin(?-60°)=sin?cos60°-cos?sin60° =1153433×+×=, 27142721AD21sin?=,∴AD==sin60?sin?sin60?21?在△ACD中，由正弦定理得

5314=15(千米).32答 這個人再走15千米就可到達A城.2.如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，現(xiàn)測得 ∠BCD=?，∠BDC=?，CD=s，并在點C測得塔頂A的仰角為?，求塔高AB.解 在△BCD中，∠CBD=?-?-?，由正弦定理得所以BC=CDsin?BDCs?sin?=

sin?CBDsin(???)BCCD=，sin?BDCsin?CBD在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=

stan?sin?.sin(???)3.為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架.三角形支架如圖

161 所示，要求∠ACB=60°，BC的長度大于1米，且AC比 AB長0.5米.為了使廣告牌穩(wěn)固，要求AC的長度越短越 好，求AC最短為多少米？且當AC最短時，BC長度為多 少米？

解 設(shè)BC=a（a＞1）,AB=c，AC=b，b-c=

12221122

2.c=a+b-2abcos60°，將c=b-代入得(b-)=a+b-ab, 222化簡得b(a-1)=a-21.由a＞1,知a-1＞0.b=4a2?31(a?1)2?2a?2?34=(a-1)+4= 4(a?1)a?1a?1+2?3+2, 當且僅當a-1=33時，取“=”號，即a=1+時，b有最小值2+3.4(a?1)2答 AC最短為(2+3)米，此時，BC長為(1+

3)米.2回顧總結(jié) 知識 方法 思想

課后作業(yè)

一、填空題

1.海上有A、B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成 75°視角，則B、C的距離是 海里.答案 56

2.為測量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的樓頂處測得塔頂A的仰角為30°，測得塔基B的俯角為45°，那么塔AB的高度是 m.答案 20(1+3)33.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km, 162 燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為 km.答案 3a

4.一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為 海里/小時.答案 176 25.如圖所示，在河岸AC測量河的寬度BC，圖中所標的數(shù)據(jù)a，b，c，?，?是可供測量的數(shù)據(jù).下面給出的四組數(shù)據(jù)中，對測量河寬較適宜 的是（填序號）.①c和?②c和b③c和?④b和? 答案 ④

6.如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°,與燈塔S相 距20海里,隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后,又測得燈塔在 貨輪的東北方向,則貨輪的速度為 海里/小時.答案 20(6-2)7.在△ABC中，若∠C=60°，則答案 1 8.（2008·蘇州模擬）在△ABC中，邊a,b,c所對角分別為A,B,C，且答案

nisaAab+=.b?cc?a=

cosBcosC

=,則∠A=.cb?

2二、解答題

9.在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對邊，設(shè)f（x）=ax-（a-b）x-4c.（1）f（1）=0且B-C=

2?，求角C的大小；（2）若f（2）=0，求角C的取值范圍.3222

2解（1）∵f（1）=0，∴a-(a-b)-4c=0，∴b=4c，∴b=2c，∴sinB=2sinC，163 又B-C=????.∴sin(C+)=2sinC，∴sinC·cos+cosC·sin=2sinC，3333∴3???5??3sinC-cosC=0，∴sin(C-)=0，又∵-＜C-＜，∴C=.6666622222

2（2）若f（2）=0，則4a-2(a-b)-4c=0，∴a+b=2c，∴cosC=又2c=a+b≥2ab，∴ab≤c，∴cosC≥2222

a2?b2?c2c2=，2ab2ab1?，又∵C∈（0，?），∴0＜C≤.323.410.（2008·泰安模擬）在△ABC中，a,b,c分別為角A，B，C的對邊.已知a=1,b=2,cosC=(1)求邊c的值；（2）求sin(C-A)的值.解（1）c=a+b-2abcosC=1+2-2×1×2×22222

3=2，∴c=2.4（2）∵cosC=3ac17，∴sinC=.在△ABC中，=,即=

sinAsinCsinA44274.∴sinA==

5214,∵a＜b,∴A為銳角，cosA=.∴sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA

8852371414×-×=.48481611.如圖所示，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧

AB上有一動點P，過P引平行于OB的直線和OA交于點C，設(shè)∠AOP=?，求△POC面積的最大值及此時?的值.解 ∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-?，∠OCP=120°.在△POC中，由正弦定理得又OPCP2CP4=，∴=，∴CP=sin?.sin?PCOsin?sin120?sin?32OC4=，∴OC=sin（60°-?）.因此△POC的面積為

sin(60???)sin120?3S（?）==11443CP·OCsin120°=·sin（60°-?）× sin?·2223343sin?sin（60°-?）=43sin?（1232

cos?-sin?)=2sin?·cos?-sin?

223=sin2?+

??332333cos2?-=sin(2?+)-.∴?=時，S（?）取得最大值為.6633333164 12.在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A（3-1）n mile的B處 有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A 2 n mile的C處的

緝私船奉命以103 n mile/h的速度追截走私船.此時，走私船正以 10 n mile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方 向能最快追上走私船？

解 如圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時間相等，若在D處相遇，則可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.設(shè)緝私船用t h在D處追上走私船，則有CD=103t，BD=10t.在△ABC中，222∵AB=3-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC=AB+AC-2AB·AC·cos∠BAC

22=(3-1)+2-2×(3-1)×2×cos120°=6, ∴BC=6，∵∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD=BD?sin?CBD10tsin120?1==,∴∠BCD=30°.CD2103t即緝私船北偏東60°方向能最快追上走私船.165