第一篇：球面正弦,余弦定理證明

§4球面余弦定理和正弦定理

平面幾何中的三角形全等判定條件說明了平面三角形的唯一性，到了平面三角學，把這種唯一性定理提升到有效能算的角邊函數關系。其中最基本的就是三角形的余弦定理：設三角形 ABC 的三條邊分別是 a、b、c，它們的對角分別是、、，則

其中，分別表示 的余弦。

三角形的正弦定理：設三角形 ABC 的三條邊分別是 a、b、c，它們的對角分別是、、，則。

類似地，球面三角形也有有效能算的邊角函數關系，其中最主要的結果就是球面三角的正弦定理和余弦定理。

為證明球面三角余弦定理，我們介紹有關向量的另一種乘積—外積。兩向量a與b的外積是一個矢量，記做a×b，它的模是|a×b|=|a||b|它的方向與a,b都垂直，并且按a,b,a×b這個順序構成右手標架。對于向量的外積，有拉格朗日恒等式成立。

a×b）·(a’×b’)=(a·a’)·(b·b’)－(a·b’)·(b·a’)

定理4.1（球面三角余弦定理）在單位球面上，對于任給球面三角形三邊和三角

恒滿足下述函數關系，其(a,b),（證法一）證明：如圖4-1所示，圖4-1 是單位球面上的三點，以a,b,c分別表示單位長向量三角形,則球面的三角角度和三邊邊長分別可以用空間向量a,b,c表達如下：

是b,c之間夾角的弧度，所以cos=b·c,同理有cos=a·c, cos=a·b。是“a,b所張的平面”和“a,c所張的平面”之間的夾角，所以a×b和a×c之間的夾角，即

（a×b）·(a×c)=| a×b|·|a×c|cosA=同理亦有（b×c）·(b×a)=（c×a）·(c×b)=由（a×b）·(a×c)=所以同理可證

=cos－

也等于

當單位球面上的球面三角形三邊都小于三角余弦定理。證明如下： 取球面三角形

時，可以用平面三角余弦定理證明球面，將各頂點與球心O連接，過頂點A作b,c邊的切線，分別

和兩個平交OC,OB的延長線于N,M,由此得到兩個平面直角三角形面三角形

。在中，根據平面三角形的余弦定理，有。

同理在因此即中

即即得同理可證

（證法2）證明：設球心為O，連接OA、OB、OC，則。

圖4-2 過點A做的切線交直線OB于D，過點A做的切線，交直線OC于E，連接DE（如圖4-2所示）。顯然，ADAO，AE

AO，在直角三角形OAD中，AO=1，AD=，OD=在直角三角形OAE中，AE=

。，OE=。

注意。在三角形ODE中，利用平面三角形的余弦定理（定理3.1），??（1）

在三角形ADE中，??（2）

因為（1）式與（2）式左端相等，所以右端也相等，經化簡整理，即得。

類似地可以得到另外兩式。

當三角形有一個內角為直角時，比如，則由球面三角余弦定理有

。這恰好是平面幾何中的勾股定理在球面幾何中的對應物，但形式上有了很大差別。我們稱之為球面勾股定理。

定理4.2（球面三角正弦定理）在單位球面上，對于任給球面三角形三邊和三角

恒滿足下述函數關系

證明：因為上述三個比值都是正的，所以我們只要證明

恒成立。

由球面三角余弦定理，得

同理可證，所以。

一般地，易證在半徑為r的球面上，對于任給球面三角形，其三邊和三角恒滿足下述函數關系

和，其當形時，上述關系式會變成什么形式呢？如圖，當的三邊

可以看作直線段，所以

，時，球面三角所以， ,代入上述關系式，當，時對式子取極限，整理得：

這恰好是平面三角余弦定理和正弦定理。在實際使用時，考慮到所給條件的不同及計算的方便，我們常常需要不同形式的球面三角公式，這些公式本質上都能以球面正弦定理和余弦定理加以變換而得到。前面通過研究極對偶三角形的關系我們證明了球面幾何中特有的全等條件AAA,在球面三角中有反映這一特有全等條件的三角公式。

定理4.3（角的余弦公式）在單位球面上，對于任給球面三角形和三角

恒滿足下述函數關系，其三邊

證明：由的極對偶三角形的余弦定理

利用上節定理3.1將中相應的元素代入上式即有

乘以－1，化簡得同理可證其他兩式。

第二篇：正弦定理余弦定理[推薦]

正弦定理 余弦定理

一、知識概述

主要學習了正弦定理、余弦定理的推導及其應用，正弦定理是指在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通過兩定理的學習，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用這兩個定理去解斜三角形，學會用計算器解決解斜三角形的計算問題，熟悉兩定理各自解決不同類型的解三角形的問題．認識在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，產生多解的原因，并能準確判斷解的情況．

二、重點知識講解

1、三角形中的邊角關系

在△ABC中，設角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則有

（1）角與角之間的關系：A＋B＋C＝180°；

（2）邊與角之間的關系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：a＝bcosC＋ccosB

b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋

bcosA

2、正弦定理的另三種表示形式：

3、余弦定理的另一種表示形式：

4、正弦定理的另一種推導方法——面積推導法

在△ABC中，易證明再在上式各邊同時除

以在此方法推導過程中，要注意對

面積公式的應用．

例

1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面積S=15，求△ABC的三個內角． 分析：

在正弦定理中，由

進而可以利用三角函數之間的關系進行解題． 解：

可以把面積進行轉化，由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°顯然A＋B=90°不可能成立

當C=30°時，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°

當C=150°時，由A－B=90°得B為負值，不合題意故所求解為A=120°，B=30°，C=30°.例

2、在△ABC中，a、b、c分別是內角A、B、C的外邊，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析：

把題中的邊的關系b=2a利用正弦定理化為角的關系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：

∵B=A＋60°

∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°

=

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例

3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，試判斷△ABC的形狀． 分析：

三角形分類是按邊或角進行的，所以判定三角形形狀時一般要把條件轉化為邊之間關系或角之間關系式，從而得到諸如a＋b＝c，a＋b>c（銳角三角形），a＋b＜c（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進而判定其形狀，但在選擇轉化為邊或是角的關系上，要進行探索．

解法一：由同角三角函數關系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內角，∴sinA≠0，sinB≠0．

．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形狀，此類問題主要考查邊角互化、要么同時化邊為角，要么同時化角為邊，然后再找出它們之間的關系，注意解答問題要周密、嚴謹．

例

4、若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀． 分析：

本題既可以利用正弦定理化邊為角，也可以利用余弦定理化角為邊． 解：

解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°

故△ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得

∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c

故△ABC為等腰三角形或直角三角形．

6、正弦定理，余弦定理與函數之間的相結合，注意運用方程的思想．

例

5、如圖，設P是正方形ABCD的一點，點P到頂點A、B、C的距離分別是

1，2，3，求正方形的邊長．

分析：

本題運用方程的思想，列方程求未知數． 解：

設邊長為x(1

設x=t，則1

－5)=16t

三、難點剖析

1、已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，將出現無解、一解和兩解的情況，應分情況予以討論．

下圖即是表示在△ABC中，已知a、b和A時解三角形的各種情況．

（1）當A為銳角時（如下圖），（2）當A為直角或鈍角時（如下圖），也可利用正弦定理進行討論．

如果sinB>1，則問題無解； 如果sinB＝1，則問題有一解；

如果求出sinB<1，則可得B的兩個值，但要通過“三角形內角和定理”或“大邊對大角”等三角形有關性質進行判斷．

2、用方程的思想理解和運用余弦定理：當等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知數時，等式便成為方程．式中有四個量，知道任意三個，便可以解出另一個，運用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法證明三角形中的射影定理

在△ABC中，設三內角A、B、C的對邊分別是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知兩角和任一邊解三角形；

（2）已知兩邊和一邊的對角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知三邊解三角形；

（2）已知兩邊和夾角解三角形．

6、三角形面積公式：

例

6、不解三角形，判斷三角形的個數． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：

①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．

③a

④a0 ∴△ABC有兩解．

⑤b>c，C＝45°，∴△ABC無解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，這樣B＋C>180°，∴△ABC無解．

第三篇：正弦定理與余弦定理的證明

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R為三角形外接圓的半徑）

正弦定理(Sine theorem)

（1）已知三角形的兩角與一邊，解三角形

（2）已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形

（3）運用a：b：c=sinA：sinB：sinC解決角之間的轉換關系直角三角形的一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個角的正弦。

證明

步驟1

在銳角△ABC中，設BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足為點HCH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中,b/sinB=c/sinC

步驟2.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為在同圓或等圓中直徑所對的圓周角是直角，所以∠DAB=90度因為在同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等，所以∠D等于∠ACB.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

余弦定理的證明：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根據勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

第四篇：《正弦定理和余弦定理》測試卷

《正弦定理和余弦定理》學習成果測評

基礎達標：

1.在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為()

A.一個解B.二個解C.無解D.無法確定

2．在△ABC

中，若a?2,b?c??A的度數是()

A.30°B.45°C.60°D.75°

2223．ΔABC中，若a=b+c+bc，則∠A=()

A.60?B.45?C.120?D.30?

4．邊長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為()

A.90°B.120°C.135°D.150°

5.在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45?.求A、C及c.06．在?ABC中，若B?

45，c?

b?A.7.在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形.8．在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求A.能力提升：

AB的取值范圍是()AC

A.(0，2)B.(2,2)C.(2,)D.(,2)9．銳角ΔABC中，若C=2B，則

10.已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC的值為()A.?

14B.1

422ABC.?D.銳角ΔABC中，若C=2B，則的取值范圍是 33AC

11.等腰三角形底邊長為6，一條腰長12，則它的外接圓半徑為()

12．在?ABC中，已知三邊a、b、c滿足?a?b?c??a?b?c??3ab，則C＝()

A．15B．30C．45D．60

13．鈍角?ABC的三邊長為連續自然數，則這三邊長為（）。

A、1、2、3B、2、3、4C、3、4、5D、4、5、6 ????

sinC2?(6?1)，則∠A=_______.sinB

5a?b?c?_____.15.在△ABC中，∠A=60°，b=1，c=4，則sinA?sinB?sinC14．在ΔABC中，BC=3，AB=2，16.在△ABC中，∠B=120°，sinA:sinC=3:5，b=14，則a，c長為_____.綜合探究：

17．已知鈍角?ABC的三邊為：a?k,b?k?2,c?k?4,求實數k的取值范圍.a2?b2sin(A?B)?18.在?ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，證明:.2sinCc

參考答案：

基礎達標：

1.B2.A3.C4.B

5.解析：

asinB3sin45?解法1：由正弦定理得：sinA? ??b22

∴∠A=60?或120?

bsinC2sin75?6?2當∠A=60?時，∠C=75?，c?； ??sinB2sin45?

bsinC2sin15?6?2當∠A=120?時，∠C=15?，c?.???sinB2sin45

解法2：設c=x，由余弦定理b?a?c?2accosB 將已知條件代入，整理：x?x?1?0 解之：x?22226?2 2

222?22)?3b?c?a1?3??2??? 當c?時，cosA?2bc26?22(?1)22?2?22?（從而∠A=60?，∠C=75?； ?2時，同理可求得：∠A=120?，∠C=15?.2

bc?6.∵，sinBsinC當c?

csinBsin45???∴sinC?，b∵0?C?180，∴C?60或C?120

∴當C?60時，A?75； ?????

當C?120時，A?15，；

所以A?75或A?15．

7.由余弦定理的推論得： ????

b2?c2?a287.82?161.72?134.62

?0.5543,?cosA?A?56020?；

c2?a2?b2134.62?161.72?87.82

? cosB?B?32053?；

? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)

8.∵bc?b2?c2?a2，?0.8398,b2?c2?a21∴由余弦定理的推論得：cosA?? ∵0?A?180，∴A?60.能力提升：

9.C10.A11.C

12.D．由?a?b?c??a?b?c??3ab，得a?b?2ab?c?3ab 222??

a2?b2?c21?，∴由余弦定理的推論得：cosC?2ab2

∵0?C?180，∴C?60.13.B；只需要判定最大角的余弦值的符號即可。

選項A不能構成三角形； ??

22?32?421???0，故該三角形為鈍角三角形； 選項B中最大角的余弦值為2?2?34

32?42?52

?0，故該三角形為直角三角形； 選項C中最大角的余弦值為：2?4?3

42?52?621??0，故該三角形為銳角三角形.選項D中最大角的余弦值為2?4?58

14.120?

1516.4綜合探究：

17.∵?ABC中邊a?k,b?k?2,c?k?4，∴a?k?0，且邊c最長，∵?ABC為鈍角三角形

∴當C為鈍角時 a2?b2?c2

?0，∴cosC?2ab

∴a?b?c?0, 即a?b?c

∴k2?(k?2)2?(k?4)2, 解得?2?k?6,又由三角形兩邊之和大于第三邊：k?(k?2)?k?4,得到k?2，故實數k的取值范圍：2?k?6.18.證法一:由正弦定理得： 222222

a2?b2sin2A?sin2Bcos2B?cos2A?? c2sin2C2sin2C

=?2sin(B?A)sin(B?A)sinCsin(A?B)sin(A?B)==.222sinCsinCsinC

222證法二:由余弦定理得a=b+c-2bccosA，a2?b2c2?2bccosA2b??1??cosA，則22ccc

又由正弦定理得bsinB?，csinC

a2?b22sinBsinC?2sinBcosA?1??cosA?∴ 2csinCsinC

sin(A?B)?2sinBcosA sinC

sinAcosB?sinBcosAsin(A?B)??.sinCsinC

sin(A?B)sinAcosB?sinBcosA?證法三:.sinCsinC

sinAasinBb?,?，由正弦定理得sinCcsinCc

sin(A?B)acosB?bcosA?∴，sinCc?

又由余弦定理得

a2?c2?b2b2?c2?a2a??b?sin(A?B)?sinCc

(a2?c2?b2)?(b2?c2?a2)? 22c

a2?b2

?.c2

第五篇：正弦定理余弦定理練習

正弦定理和余弦定理練習

一、選擇題

1、已知?ABC中，a?4,b?43,A?300,則B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知?ABC中，AB?6,A?300,B?1200,則S?ABC?()

A.9B.18C.93D.1833、已知?ABC中，a:b:c?1:3:2，則A:B:C?（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?k:(k?1):2k(k?0)，則k的取值范圍是（）

A.?2,???B.???,0?C.二、填空題

1、已知?ABC中，B?300,AB?23,AC?2,則S?ABC?

2、已知?ABC中，b?2csinB,則角

3、設?ABC的外接圓的半徑為R，且AB?4,C?450,則R=

4、已知S?ABC?32,b?2,c?3,則角1??,0???2??D.?1?,????2?? A=

5、已知?ABC中，B?450,C?600,a?2(3?1)，則S?ABC?

三、簡答題

01、在?ABC中，若B?30,AB?23,AC?2,求S?ABC.2、已知?ABC中，C?60,BC?a,AC?b,a?b?6.(1)寫出?ABC的面積S與a的函數關系式；(2)當a等于多少時，Smax？并求出Smax.23、已知?ABC中，a?a?2(b?c),a?2b?2c?3,若sinC:sinA?4:，求a,b,c.04、a,b,c是?ABC的三內角A,B,C的對邊，4sin

(1)求角A；(2)若a?3,b?c?3,2B?C2?cos2A?72.求b,c的值.