第一篇：正弦定理與余弦定理習(xí)題總結(jié)
正弦定理與余弦定理
ab
1.正弦定理：sinA=sinBc=sinC
=2R，其中R是三角形外接圓半徑.b2?c2?a
22bc.2.余弦定理：a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,cosA=
3.S△ABC
=21absinC=21bcsinA=2
acsinB,S△=
p(p?a)(p?b)(p?c)=pr(p=
a?b?c
2,r為內(nèi)切圓半
abc
徑)=4R(R為外接圓半徑).4.在三角形中大邊對大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形內(nèi)角的誘導(dǎo)公式
(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos
C2
CA?BA?B
2=sin,sin2=cos2
在△ABC中，熟記并會證明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;7.解三角形常見的四種類型
ab
(1)已知兩角A、B與一邊a,由A+B+C=180°及sinA=sinB
c=sinC，可求出角C再求b、c.(2)已知兩邊b、c與其夾角A，由a=b+c-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三邊a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.ab
(4)已知兩邊a、b及其中一邊的對角A，由正弦定理sinA=sinBac求出c，再由sinA=sinC
判斷方法，如下表：，求出另一邊b的對角B，由C=π-(A+B)，ab
求出C，而通過sinA=sinB
求B時，可能出一解，兩解或無解的情況，其
8.9.三角形的分類或形狀判斷的思路，主要從邊或角兩方面入手.專題一：正、余弦定理的應(yīng)用
例1．在?ABC
中，已知a
?針對練習(xí)：
1．（2010上海文數(shù)）18.若△，c，B?600，求b及A；
ABC的三個內(nèi)角滿足 sinA:sinB:sinC?5:11:13，則△ABC
（A）一定是銳角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是鈍角三角形.(D)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.2．（2010湖南文數(shù)）7.在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若∠C=120°，A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a與b的大小關(guān)系不能確定例2．（2009北京理）.在?ABC中，角
a，則
A,B,C的對邊分別為a,b,c,B?
?
cos，A?,b?
5（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求?ABC的面積.針對練習(xí)：
3．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acosB＝3，bsinA＝4.(1)求邊長a；(2)若△ABC的面積S＝10，求△ABC的周長l.4．（2010天津理數(shù)）（7）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若a?b?
2，sinC?B，則A=（A）300（B）60（C）120（D）1500
5.(2010年天津)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若a2－b2＝3bc，sinC＝2 B，則A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°
專題二：正、余弦定理、三角函數(shù)與向量的綜合應(yīng)用
例3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；（Ⅱ）若c針對練習(xí)：
????k(k?R).?2,求k的值.????????????1
56.（2009岳陽一中第四次月考）.已知△ABC中，AB?a，AC?b，a?b?0，S?ABC?，??
a?3,b?5，則?BAC? A.． 30?B ．?150?C．1500D
． 30?或1500
7．（2009浙江理）在?ABC中，角
A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足cos
????????
AB?AC?3．（I）求?ABC的面積；（II）若b?c?6，求a的值．
A?2，8.設(shè)△ABC的三個內(nèi)角分別為A、B、C，向量m＝3sinA，sinB)，n＝(cosB3cosA)，若
m·n ＝1＋cos(A＋B)，則C＝()
ππ2π5πA.B.C.D.63369.(2010年遼寧)在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，且2asinA＝(2a＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)求sinB＋sinC的最大值． 專題三：三角形面積
例3．在?ABC中，sinA?cosA?和?ABC的面積。，2AC?2，AB
?3,求tanA的值
針對練習(xí)
10．(2010年安徽)△ABC的面積是30，內(nèi)角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，cosA＝1
3→→求AB·AC；(2)若c－b＝1，求a的值． 11．（2009湖南卷文）在銳角?ABC中，BC
?1,B?2A,則AC
cosA的值等于，AC的取值范圍為.12.在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C
?2csinA,求a＋b的值。
(Ⅰ)確定角C的大小：（Ⅱ）若c＝
7,且△ABC的面積為
3專題三：解三角形的實際應(yīng)用
例4：（2009遼寧卷理）如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D點
30，的仰角分別為75，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離（計算結(jié)果精確到0.01km
000
?1.41
4?2.449）針對練習(xí)
13.如圖3，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cosθ的值．
圖3
第二篇：正弦定理余弦定理[推薦]
正弦定理 余弦定理
一、知識概述
主要學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)及其應(yīng)用，正弦定理是指在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通過兩定理的學(xué)習(xí)，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用這兩個定理去解斜三角形，學(xué)會用計算器解決解斜三角形的計算問題，熟悉兩定理各自解決不同類型的解三角形的問題．認識在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，產(chǎn)生多解的原因，并能準(zhǔn)確判斷解的情況．
二、重點知識講解
1、三角形中的邊角關(guān)系
在△ABC中，設(shè)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則有
（1）角與角之間的關(guān)系：A＋B＋C＝180°；
（2）邊與角之間的關(guān)系：
正弦定理：
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA
b2＝c2＋a2－2accosB
c2＝a2＋b2－2abcosC
射影定理：a＝bcosC＋ccosB
b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋
bcosA
2、正弦定理的另三種表示形式：
3、余弦定理的另一種表示形式：
4、正弦定理的另一種推導(dǎo)方法——面積推導(dǎo)法
在△ABC中，易證明再在上式各邊同時除
以在此方法推導(dǎo)過程中，要注意對
面積公式的應(yīng)用．
例
1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面積S=15，求△ABC的三個內(nèi)角． 分析：
在正弦定理中，由
進而可以利用三角函數(shù)之間的關(guān)系進行解題． 解：
可以把面積進行轉(zhuǎn)化，由公式
∴C=30°或150°
又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°顯然A＋B=90°不可能成立
當(dāng)C=30°時，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°
當(dāng)C=150°時，由A－B=90°得B為負值，不合題意故所求解為A=120°，B=30°，C=30°.例
2、在△ABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的外邊，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析：
把題中的邊的關(guān)系b=2a利用正弦定理化為角的關(guān)系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：
∵B=A＋60°
∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°
=
又∵b=2a
∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA
例
3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，試判斷△ABC的形狀． 分析：
三角形分類是按邊或角進行的，所以判定三角形形狀時一般要把條件轉(zhuǎn)化為邊之間關(guān)系或角之間關(guān)系式，從而得到諸如a＋b＝c，a＋b>c（銳角三角形），a＋b＜c（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進而判定其形狀，但在選擇轉(zhuǎn)化為邊或是角的關(guān)系上，要進行探索．
解法一：由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內(nèi)角，∴sinA≠0，sinB≠0．
．
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：
整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形狀，此類問題主要考查邊角互化、要么同時化邊為角，要么同時化角為邊，然后再找出它們之間的關(guān)系，注意解答問題要周密、嚴(yán)謹．
例
4、若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀． 分析：
本題既可以利用正弦定理化邊為角，也可以利用余弦定理化角為邊． 解：
解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°
故△ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得
∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c
故△ABC為等腰三角形或直角三角形．
6、正弦定理，余弦定理與函數(shù)之間的相結(jié)合，注意運用方程的思想．
例
5、如圖，設(shè)P是正方形ABCD的一點，點P到頂點A、B、C的距離分別是
1，2，3，求正方形的邊長．
分析：
本題運用方程的思想，列方程求未知數(shù)． 解：
設(shè)邊長為x(1 設(shè)x=t，則1 －5)=16t 三、難點剖析 1、已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，將出現(xiàn)無解、一解和兩解的情況，應(yīng)分情況予以討論． 下圖即是表示在△ABC中，已知a、b和A時解三角形的各種情況． （1）當(dāng)A為銳角時（如下圖），（2）當(dāng)A為直角或鈍角時（如下圖），也可利用正弦定理進行討論． 如果sinB>1，則問題無解； 如果sinB＝1，則問題有一解； 如果求出sinB<1，則可得B的兩個值，但要通過“三角形內(nèi)角和定理”或“大邊對大角”等三角形有關(guān)性質(zhì)進行判斷． 2、用方程的思想理解和運用余弦定理：當(dāng)?shù)仁絘2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知數(shù)時，等式便成為方程．式中有四個量，知道任意三個，便可以解出另一個，運用此式可以求a或b或c或cosA． 3、向量方法證明三角形中的射影定理 在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c． 4、正弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知兩角和任一邊解三角形； （2）已知兩邊和一邊的對角解三角形． 5、余弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知三邊解三角形； （2）已知兩邊和夾角解三角形． 6、三角形面積公式： 例 6、不解三角形，判斷三角形的個數(shù)． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析： ①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解． ③a ④a ⑤b>c，C＝45°，∴△ABC無解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，這樣B＋C>180°，∴△ABC無解． 正弦定理和余弦定理練習(xí) 一、選擇題 1、已知?ABC中，a?4,b?43,A?300,則B=（） A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知?ABC中，AB?6,A?300,B?1200,則S?ABC?() A.9B.18C.93D.1833、已知?ABC中，a:b:c?1:3:2，則A:B:C?（） A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?k:(k?1):2k(k?0)，則k的取值范圍是（） A.?2,???B.???,0?C.二、填空題 1、已知?ABC中，B?300,AB?23,AC?2,則S?ABC? 2、已知?ABC中，b?2csinB,則角 3、設(shè)?ABC的外接圓的半徑為R，且AB?4,C?450,則R= 4、已知S?ABC?32,b?2,c?3,則角1??,0???2??D.?1?,????2?? A= 5、已知?ABC中，B?450,C?600,a?2(3?1)，則S?ABC? 三、簡答題 01、在?ABC中，若B?30,AB?23,AC?2,求S?ABC.2、已知?ABC中，C?60,BC?a,AC?b,a?b?6.(1)寫出?ABC的面積S與a的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)a等于多少時，Smax？并求出Smax.23、已知?ABC中，a?a?2(b?c),a?2b?2c?3,若sinC:sinA?4:，求a,b,c.04、a,b,c是?ABC的三內(nèi)角A,B,C的對邊，4sin (1)求角A；(2)若a?3,b?c?3,2B?C2?cos2A?72.求b,c的值. 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R為三角形外接圓的半徑） 正弦定理(Sine theorem) （1）已知三角形的兩角與一邊，解三角形 （2）已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形 （3）運用a：b：c=sinA：sinB：sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系直角三角形的一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個角的正弦。 證明 步驟1 在銳角△ABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足為點HCH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中,b/sinB=c/sinC 步驟2.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為在同圓或等圓中直徑所對的圓周角是直角，所以∠DAB=90度因為在同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等，所以∠D等于∠ACB.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 類似可證其余兩個等式。 余弦定理的證明： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根據(jù)勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 《正弦定理和余弦定理》學(xué)習(xí)成果測評 基礎(chǔ)達標(biāo)： 1.在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為() A.一個解B.二個解C.無解D.無法確定 2．在△ABC 中，若a?2,b?c??A的度數(shù)是() A.30°B.45°C.60°D.75° 2223．ΔABC中，若a=b+c+bc，則∠A=() A.60?B.45?C.120?D.30? 4．邊長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為() A.90°B.120°C.135°D.150° 5.在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45?.求A、C及c.06．在?ABC中，若B? 45，c? b?A.7.在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形.8．在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求A.能力提升： AB的取值范圍是()AC A.(0，2)B.(2,2)C.(2,)D.(,2)9．銳角ΔABC中，若C=2B，則 10.已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC的值為()A.? 14B.1 422ABC.?D.銳角ΔABC中，若C=2B，則的取值范圍是 33AC 11.等腰三角形底邊長為6，一條腰長12，則它的外接圓半徑為() 12．在?ABC中，已知三邊a、b、c滿足?a?b?c??a?b?c??3ab，則C＝() A．15B．30C．45D．60 13．鈍角?ABC的三邊長為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長為（）。 A、1、2、3B、2、3、4C、3、4、5D、4、5、6 ???? sinC2?(6?1)，則∠A=_______.sinB 5a?b?c?_____.15.在△ABC中，∠A=60°，b=1，c=4，則sinA?sinB?sinC14．在ΔABC中，BC=3，AB=2，16.在△ABC中，∠B=120°，sinA:sinC=3:5，b=14，則a，c長為_____.綜合探究： 17．已知鈍角?ABC的三邊為：a?k,b?k?2,c?k?4,求實數(shù)k的取值范圍.a2?b2sin(A?B)?18.在?ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，證明:.2sinCc 參考答案： 基礎(chǔ)達標(biāo)： 1.B2.A3.C4.B 5.解析： asinB3sin45?解法1：由正弦定理得：sinA? ??b22 ∴∠A=60?或120? bsinC2sin75?6?2當(dāng)∠A=60?時，∠C=75?，c?； ??sinB2sin45? bsinC2sin15?6?2當(dāng)∠A=120?時，∠C=15?，c?.???sinB2sin45 解法2：設(shè)c=x，由余弦定理b?a?c?2accosB 將已知條件代入，整理：x?x?1?0 解之：x?22226?2 2 222?22)?3b?c?a1?3??2??? 當(dāng)c?時，cosA?2bc26?22(?1)22?2?22?（從而∠A=60?，∠C=75?； ?2時，同理可求得：∠A=120?，∠C=15?.2 bc?6.∵，sinBsinC當(dāng)c? csinBsin45???∴sinC?，b∵0?C?180，∴C?60或C?120 ∴當(dāng)C?60時，A?75； ????? 當(dāng)C?120時，A?15，； 所以A?75或A?15． 7.由余弦定理的推論得： ???? b2?c2?a287.82?161.72?134.62 ?0.5543,?cosA?A?56020?； c2?a2?b2134.62?161.72?87.82 ? cosB?B?32053?； ? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053) 8.∵bc?b2?c2?a2，?0.8398,b2?c2?a21∴由余弦定理的推論得：cosA?? ∵0?A?180，∴A?60.能力提升： 9.C10.A11.C 12.D．由?a?b?c??a?b?c??3ab，得a?b?2ab?c?3ab 222?? a2?b2?c21?，∴由余弦定理的推論得：cosC?2ab2 ∵0?C?180，∴C?60.13.B；只需要判定最大角的余弦值的符號即可。 選項A不能構(gòu)成三角形； ?? 22?32?421???0，故該三角形為鈍角三角形； 選項B中最大角的余弦值為2?2?34 32?42?52 ?0，故該三角形為直角三角形； 選項C中最大角的余弦值為：2?4?3 42?52?621??0，故該三角形為銳角三角形.選項D中最大角的余弦值為2?4?58 14.120? 1516.4綜合探究： 17.∵?ABC中邊a?k,b?k?2,c?k?4，∴a?k?0，且邊c最長，∵?ABC為鈍角三角形 ∴當(dāng)C為鈍角時 a2?b2?c2 ?0，∴cosC?2ab ∴a?b?c?0, 即a?b?c ∴k2?(k?2)2?(k?4)2, 解得?2?k?6,又由三角形兩邊之和大于第三邊：k?(k?2)?k?4,得到k?2，故實數(shù)k的取值范圍：2?k?6.18.證法一:由正弦定理得： 222222 a2?b2sin2A?sin2Bcos2B?cos2A?? c2sin2C2sin2C =?2sin(B?A)sin(B?A)sinCsin(A?B)sin(A?B)==.222sinCsinCsinC 222證法二:由余弦定理得a=b+c-2bccosA，a2?b2c2?2bccosA2b??1??cosA，則22ccc 又由正弦定理得bsinB?，csinC a2?b22sinBsinC?2sinBcosA?1??cosA?∴ 2csinCsinC sin(A?B)?2sinBcosA sinC sinAcosB?sinBcosAsin(A?B)??.sinCsinC sin(A?B)sinAcosB?sinBcosA?證法三:.sinCsinC sinAasinBb?,?，由正弦定理得sinCcsinCc sin(A?B)acosB?bcosA?∴，sinCc? 又由余弦定理得 a2?c2?b2b2?c2?a2a??b?sin(A?B)?sinCc (a2?c2?b2)?(b2?c2?a2)? 22c a2?b2 ?.c2第三篇：正弦定理余弦定理練習(xí)
第四篇：正弦定理與余弦定理的證明
第五篇：《正弦定理和余弦定理》測試卷
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