第一篇：高中數學必修4 第二章課例：平面向量的應用舉例

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回味平面向量的章節導言——課例：平面向量的應用舉例 1 說明

［1］《普通高中數學課程標準（實驗）》指出：“高中數學課程是以模塊和

專題的形式呈現的.因此，教學中應注意溝通各部分內容之間的聯系，通過類比、聯想、知識的遷移和應用等方式，使學生體會知識之間的有機聯系，感受數學的整體性，進一步理解數學的本質，提高解決問題的能力.例如，教學中要注重函數、方程、不等式的聯系；向量與三角恒等變形、向量與幾何、向量與代數的聯系；數與形的聯系??”“向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景??能用向量語言和方法表述和解決數學和物理中的一些問題，發展運算能力和解決實際問題的能力.”

為了深入研究新課標、新課程、新理念，筆者在上述理念的啟導下，在自己所在學校開設了一節公開課——平面向量應用舉例（選自人教社必修4第二章），受到了其他教師的一致好評.現對這節課的課堂教學過程簡錄如下，并根據課后大家的點評以及個人的體會和看法做些分析，供大家參考，如有不妥之處敬請同行批評指正.2 教學過程簡錄

2.1導言引入，設置懸念

教師：前面我們一起學習了向量的線性運算和數量積運算，因為有了運算，向量的力量無限.（學生笑了笑，并示意的點了點頭）

教師：今天我要帶領大家再一次來回味一下本章內容的章節導言.(“哦！??”學生發出一陣詫異和期待的聲音)

教師：課本73頁平面向量的章節導言中有著這么兩段話：

（多媒體課件演示，以下不再注明）

向量是近代數學中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉化為向量的加（減）法、數乘向量、數量積運算（運算律），從而把圖形的基本性質轉化為向量的運算體系.向量是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景，在數學和物理學科中具有廣泛的應用.教師：哪句話大家看后有特別深的體會啊？

學生：向量有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.學生：向量是溝通代數、幾何、三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景，在數學和物理學科中有廣泛的應用.教師：是的.我們在學習向量的線性運算和坐標表示的時候，就體會到了向量通過坐標運算可以把幾何問題轉化成代數問題.今天我們要通過研究幾個具體的問題來進一步認識向量是溝通代數、幾何、三角函數的一種工具.教師：首先我們先看看向量是怎么溝通代數的，下面大家請看屏幕這道題目.2.1深化導言，層層遞進

_______________

例

1、證明：對于任意的a、b、c、d?R，恒有不等式(ac+bd)?(a22?b)(c22?d).2金太陽新課標資源網

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（以一道不等式證明引起學生思考，學生紛紛動手，巡視片刻，絕大部分學生采用作差比較.但從他們都是緊皺著眉頭看出證出這道題有困難.）

教師：不等式的右邊是兩個因式的乘積，大家能否看出每個因式“像什么”？比如a2?b“像”我們學過的哪個知識點？（片刻，有些學生像領悟到了什2

么）

學生1：向量的模.（有些學生感到困惑）

學生2：（迫不及待地）應該說是一個向量模的平方.????22教師：對！如果我們構造個向量m?(a,b)，則a?b就可看作向量m模的平方.（學生都明白過來了，輕聲地說那c?d

?n?(c,d)模的平方.）22不就可以看作向量

教師：不錯，大家把不等式的右邊看作是兩個向量模的平方的乘積，那么不等式的左邊又是什么呢？或者說像我們學習到的哪種模式？接下來要怎么證明請大家思考一下.??????

學生3：我覺得在構造向量m,n后，不等式的左邊就可以看作是向量m,n數

???

量積的坐標表示.設向量m,n的夾角為?，則有：

???m?n?ac?bd??.然

行放縮就可以得到結論了.（聽到他的表述，全班同學都發出贊許的聲音：“對哦！”）

（板書解題過程，略）

教師：這道題目如果純粹采用代數的方法去證明可能很困難，但是我們在這里通過構造法利用向量的數量積知識來處理，顯得比較簡單和直觀，下面我們來看一個類似的變式題目.練習

1、求函數f(x)?

?最小值.（學生在沉思）

教師：能否用向量的方法去思考.（稍微點撥，學生恍然大悟）

??

學生4：構造向量u?(x?1,1),v?(4?x,3)，那么函數f(x)就可以看作是向量??????u,v模的和，然后利用u?v?u?v就可求得f(x)的最小值為5.（聽到她如此流暢的表述，全班同學都投以贊許的目光，并發出嘖嘖的聲音表示向量在代數方面的應用的確奇妙.）

教師：以上那兩個例題是說明向量在代數中的應用，當然以后我們學了其它知識也可用其它方法來做.接下來我們要來看看可用向量方法來解決平面幾何中的一些問題.例

2、平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.教師：前面我們學習過了，凡是涉及長度問題常常考慮向量的什么？

學生：向量的數量積.教師：不錯！凡是涉及到向量的模，我們考慮它的數量積.那大家發現了什么沒有？

學生5：計算

????AC2????2????AC與DB22發現 ?????AD2????????????2?(AB?AD)?AB?????????2AB?AD ????DB2????????????2????2????????2?(AB?AD)?AB?AD?2AB?AD

????AC?????DB2?????2(AB2????2?AD)

因此得出結論是：平行四邊形的兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.教師：完全正確！同學們聽明白了沒有？

學生：摁.（學生們笑了笑）

教師：平面幾何經常涉及距離（線段長度）、夾角問題，而平面向量的運算，特別是數量積主要涉及向量的模以及向量之間的交角，因此我們可以用向量方法解決部分幾何問題.教師：從這個例題我們看到了解決幾何問題時，先用向量表示相應的點、線段夾角等幾何元素；然后通過向量的運算，特別是數量積來研究點、線段等元素之間的關系；最后再把運算結果“翻譯”成幾何關系，得到幾何問題的結論.下面我們共同來用向量的方法來解決另一個平面幾何中的問題.練

2、如圖2，已知四邊形ABCD為菱形，請用向量方法證明AC?BD.學生????????6：只需證出AC?DB?0即可.教師：那要怎么證明呢？ 學生????????????????????????6：因為AC?AB?AD,DB?AB?AD,????????????????????????????2所以AC?DB?(AB?AD)?(AB?AD)?AB?因為????2????2ABCD是菱形，所以AB?AD,所以AB?AD?0.????????因此AC?DB?0,所以AC?BD.教師：看來向量在平面幾何的簡單應用同學們可以掌握了.那同學們，你們說平面向量的哪塊知識是溝通平面幾何的關鍵？

學生：平面向量的數量積.教師：不錯，平面向量的數量積是一個非常重要的概念，利用它可以容易地證明平面幾何的許多命題，從而使幾何和向量有較好的聯系和溝通.因此我們

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還可以用向量知識可以證明或推導許多幾何定理和其他性質.學生：這么奇妙，原來向量這么有用.（學生都贊同地點了點頭）

教師：是的.那我們又要回到本章導言了，那你們說向量還溝通什么知識我們沒給出例子的？ 學生：三角函數.教師：看來同學們都很期待嘛.教師：那接下來我們就高姿態的看看向量是如何

和三角緊密在一起的.例

3、如圖3，在平面直角坐標系中，以原點

為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點A(cos?,sin?),圖

3B(cos?,sin?),試用A、B兩點的坐標表示?AOB的余弦值.教師：前面我們剛提過涉及到夾角問題我們可用哪些相關知識來解決？

學生：向量的數量積.教師：完全正確!那誰來幫忙解答這題.學生

即

cos(???)?cos?cos??sin?sin?????????OA?OBcos?cos??sin?sin?7：cos?AOB??cos(???)?1?1OAOB.學生：太神奇了！這個公式能用嗎？

教師：當然.這次我們發現了新大陸啊！這個公式可是溝通第二章與第三章的橋梁，把書翻到126頁，同學們發現什么？

學生：就是剛才我們證明的這個公式.教師：對，我們把這個公式叫做差角的余弦公式.有了它，我們可以做很多工作，比如我們利用這個公式來算算cos15?.學生8：cos15??cos(45??30?)，4.教師：反應很快嘛.教師：例3這個例子，主要是讓同學們體會向量在三角中的運用，同時也為后面章節中兩角差的余弦公式的學習作準備.比如根據差角的余弦公式可得到和角的余弦公式及差角與和角的正弦公式，同學們自己下去可自行探究.今天我們在這里扯遠了先暫時不提.2.3體驗過程，完善認知

教師：現在請同學們談談學習這節課的感受，究竟你獲得了哪些知識？ 學生5：向量是集數與形于一身，既有代數的抽象性又有幾何的直觀性.學生3：覺得向量數量積是一個很重要的概念.學生??7：我也覺得向量的數量積a?b是一個非常重要的概念，它是解決一些涉及距離、夾角等問題的一種有力工具.??

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教師：今天我們通過學習向量在代數、幾何、三角中的應用，明白了“數學是有用的”吧！而且數學是自然的、清楚的.希望同學們能類比地學、聯系地學，對數學有個正確的認識.（教室響起一片熱烈的掌聲和笑聲）教學特色簡評

文【1】指出：“數學的發展既有內在的動力，也有外在的動力.在高中數學的教學中，要注重數學的不同分支和不同內容之間的聯系，數學與日常生活的聯系，數學與其他學科的聯系.”本節教學就是基于這點，使學生經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、代數問題以及三角問題的過程，體會向量是處理幾何問題、代數問題等的工具，提高學生運算能力和應用能力.下面就簡單地評說一下該課例的特色之處.3.1注重提高學生的數學思維能力

新課程標準實施之后的數學課，不再以“重點是否突出，內容是否完成，技能是否掌握”為單一的知識目標，也不再是以“板書是否清晰，語言是否流暢，用時是否合理”等片面的藝術價值觀來評價一堂課.它更注重過程性原則，是否讓學生真正地去“感受數學”；是否充分體現學生在發展中的主體地位，在數學活動中充滿探索和創造等等.而這一切都是以發展學生的思維水平和能力為宗旨.這堂課采用了以“回味”的趣味性導入，至始至終引導學生應用向量的意識，把學生應用能力的培養放在優先地位，這充分體現了以學生為主體的教學理念.比如例1與練1，學生很可能用不等式與函數的知識直接去處理，可是經過引導可用向量方法來做，學生的思維馬上就可以發散出去.再比如把向量應用在三角方面，得到了差角的余弦公式，有助于學生了解數學概念和結論產生的過程，體驗數學研究的過程和創造的激情.后來又說“比如根據差角的余弦公式可得到和角的余弦公式及差角與和角的正弦公式，同學們自己下去可自行探究.”這也有助于培養學生獨立思考和勇于探究的習慣，培養學生發現、提出、解決數學問題的能力，有助于發展學生的創新意識和實踐能力.3.2強調本質，注意適度形式化

高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質.數學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探究活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，進一步理解數學的真正本質.很多學生學了向量只知道向量的外表形式即它可以線性運算、坐標表示，卻不知向量的真正內涵與使用價值.因此根本不知道向量可用在哪里，更談不上對知識的承上啟下，因此感覺數學是索然無味的.本節課就克服了這點，用“回味”來吸引學生，一直努力揭示向量是解決幾何等其他問題的一種有力工具，以及培養學生應用的意識.例1這個題目通過不等式的證明引出向量的數量積，使學生達到了對數學概念的深刻理解，從而真正認識了數學的表達形式與本質的統一.文【2】也指出：“平面向量的教學著眼于讓學生掌握處理幾何問題的代數方法，體會數形結合思想.向量既是代數的對象，又是幾何的對象.作為代數對象，向量可以進行運算；作為幾何對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面、切線等幾何對象.運用向量刻畫幾何對象和幾何度量問題都是通過向量的代數運算來實現的.”本節課的例2就做到了數與形的結合，形式與本質的辨證統一.3.3教學過程生動活潑、妙趣橫生

回味本章內容的章節導言作為開場白，給學生留下了一個懸念.在慢慢給出向量的應用時，學生才品味出這導言的深刻內涵，知道了向量與幾何、向量與代數、向量與三角恒等變形的聯系是有血有肉、不容分割的.金太陽新課標資源網wx.jtyjy.com

本堂課的設計還是具有比較先進的教學理念和教學模式，教會學生注重聯系，領略思想；引導學生開闊視野，拓展思維.因此教學過程生動活潑，處處是一片愉悅的景象.同時教學語言妙趣橫生，讓學生更加喜歡參與進來.比如“看來同學們都很期待嘛”“那接下來我們就高姿態的看看向量是如何和三角緊密在一起的”“這次我們發現了新大陸啊！這個公式可是溝通第二章與第三章的橋梁.”等等都讓學生獲得對該學科學習的積極體驗與情感.課后反思

4.1本課例滿意之處

在執行新課改中，這一節誠然是對教師的一次嚴峻挑戰，因為在老教材中沒有出現過這節內容而且很少關注向量的真正應用.以往學生學了向量知識也很少懂得去聯系或溝通其它分支的知識.本課例令我最滿意之處就是用“回味”章節導言，牢牢抓住“向量是溝通代數、幾何、三角函數的一種工具”這根主線，逐一向學生介紹向量的應用領域，讓學生獲得對該學科學習的積極體驗與情感.本課例還令我滿意的就是整節課的構思很注重數學各分支的聯系，這樣有利提高學生對數學整體的認識.特別是例3用向量方法推導出差角的余弦公式及簡單應用，使本節課達到了應有的高潮，所以學生也對此評價很高.4.2課后再反思

平面向量及其運算與空間向量及其運算緊密聯系，與數及其運算也直接相關，在其他學科（特別是物理）中也有廣泛應用，而這節課卻忽略了這些.比如，平面向量的實際背景及基本概念就來源于物理學中的一些實例，如果課堂上提到向量在物理方面的應用，這樣就能使知識“前呼后應”、“融會貫通”.本節課還一個不足之處就是發現自己講得比較多，其實關鍵應讓學生去感悟與自己思考.還有，其實我們更應該教導學生怎么懂得去使用向量，尤其在哪些題目中使用向量的方法能使題目快速得以解答.正如課本的章節導言所說的那樣：“向量是溝通與研究解決代數、幾何、三角函數的一種有力工具.”因此引導學生如何去使用向量來解決眾多的問題才是教本節《平面向量的應用舉例》的真正目的！

第二篇：平面向量的應用

平面向量的應用

平面向量是一個解決數學問題的很好工具，它具有良好的運算和清晰的幾何意義。在數學的各個分支和相關學科中有著廣泛的應用。下面舉例說明。

一、用向量證明平面幾何定理

例1.用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。

已知：如圖1，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O上任一點（不與A、B重合），求證：∠APB＝90°。

??????證明：聯結OP，設向量OA?a，OP?b，則OB??a且PA?OA?OP?a?b，???PB?OB?OP?a?b ???PA?PB?b2?a2?|b|2?|a|2?0

???PA?PB，即∠APB＝90°。

二、用向量求三角函數值

例2.求值：cos圖

1?解：如圖2，將邊長為1的正七邊形ABCDEFO放進直角坐標系中，則OA?(1，0)，?

??2?2?4?4?6?6?AB?(cos，sin)，BC?(cos，sin)，CD?(cos，sin)，777777 ???8?8?10?10?12?12?DE?(cos，sin)，EF?(cos，sin)，FO?(cos，sin)7777772?4?6??cos?cos 777

???????又OA?AB?BC?CD?DE?EF?FO?0

圖

2?1?cos2?4?6?8?10?12??cos?cos?cos?cos?cos?0 777777

8?6?10?4?12?2??cos，cos?cos，cos?cos又cos 777777

2?4?6??1?2(cos?cos?cos)?0777 2?4?6?1?cos?cos?cos??7772

三、用向量證明不等式

222例3.證明不等式(a1b1?a2b2)2?(a1?a2)(b?b212)

證明：設向量a?(a1，a2)，b?(b1，b2)，則|a|?

與b的夾角為θ，cos??

又|cos?|?

1222則(a1b1?a2b2)2?(a1?a

22)(b1?b2)22a1?a2|b|?b1?b22，2，設aa?b?|a||b|a1b1?a2b2a?a2122b?b2122

當且僅當a、b共線時取等號。

四、用向量解物理題 ?????例4.如圖3所示，正六邊形PABCDE的邊長為b，有五個力PA、PB、PC、PD、PE作用于同一點P，求五個力的合力。

?????解：所求五個力的合力為PA?PB?PC?PD?PE，如圖3所示，以PA、PE為邊作平?????行四邊形PAOE，則PO?PA?PE，由正六邊形的性質可知|PO|?|PA|?b，且O點在???PC上，以PB、PD為邊作平行四邊形PBFD，則PF?PB?PD，由正六邊形的性質可知?|PF|?3b，且F點在PC的延長線上。

?由正六邊形的性質還可求得|PC|?2b

?故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為b?2b?3b?6b，方向與PC的方向

相同。

圖3

第三篇：高中數學必修4人教A教案第二章平面向量復習

第二章

平面向量復習課

（一）一、教學目標

1.理解向量.零向量.向量的模.單位向量.平行向量.反向量.相等向量.兩向量的夾角等概念。2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四邊形法則（共起點）和三角形法則（首尾相接）。4.了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(試問：取等號的條件是什么?)和向量形式的平行四邊形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5.了解實數與向量的乘法（即數乘的意義）： 6.向量的坐標概念和坐標表示法

7.向量的坐標運算（加.減.實數和向量的乘法.數量積）

8.數量積（點乘或內積）的概念，a·b=|a||b|cos?=x1x2+y1y2注意區別“實數與向量的乘法；向量與向量的乘法”

二、知識與方法

向量知識，向量觀點在數學.物理等學科的很多分支有著廣泛的應用，而它具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”能融數形于一體，能與中學數學教學內容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考中應引起足夠的重視.數量積的主要應用：①求模長；②求夾角；③判垂直

三、教學過程

（一）重點知識：

1.實數與向量的積的運算律：

?????????(1)?(?a)?(??)a(2)(???)a? ?a??a(3)?(a?b)??a??b

2.平面向量數量積的運算律:

?????????????????(1)a?b?b?a

(2)(?a)?b??(a?b)?a?(?b)

(3)(a?b)?c? a?c?b?c

3.向量運算及平行與垂直的判定: 設a?(x1,y1),b?(x2,y2),(b?0).則a?b?(x1?x2,y1?y2)

a?b?(x1?x2,y1?y2)

a?b?x1x2?y1y2

a//b?x1y2?x2y1?0.a?b?x1x2?y1y2?0.4.兩點間的距離:

|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2

5.夾角公式: cos??a?b a ?b?x1x2?y1y2 x1?y1?x2?y22222

6.求模：

a?a?a

a?x2?ya?(x1?x2)2?(y1?y2)2

（二）習題講解：第二章 復習參考題

（三）典型例題

例1． 已知O為△ABC內部一點，∠AOB=150°，∠BOC=90°，設OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a與b表示c

解：如圖建立平面直角坐標系xoy，其中i, j是單位正交基底向量, 則B（0，1），C（-3，0），設A（x，y），則條件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i －3j, b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b

（四）基礎練習：

（五）、小結：掌握向量的相關知識。

（六）、作業：

第二章

平面向量復習課

（二）一、教學過程

（一）習題講解：

（二）典型例題

例1．已知圓C：(x?3)?(y?3)?4及點A（1，1），M是圓上任意一點，點N在線

22??段MA的延長線上，且MA?2AN，求點N的軌跡方程。

練習：1.已知O為坐標原點，OA=（2，1），OB=（1，7），OC=（5，1），OD=xOA,y=DB·DC（x，y∈R）

求點P（x，y）的軌跡方程；

2.已知常數a>0，向量m?(0,a),n?(1,0)，經過定點A（0，－a）以m??n為方向向量的直線與經過定點B（0，a）以n?2?m為方向向量的直線相交于點P，其中??R.求點P的軌跡C的方程；

例2.設平面內的向量OA?(1,7), OB?(5,1), OM?(2,1)，點P是直線OM上的一個動點，求當PA?PB取最小值時，OP的坐標及?APB的余弦值．

解

設OP?(x,y)．∵

點P在直線OM上，∴ OP與OM共線，而OM?(2,1)，∴

x－2y=0即x=2y，有OP?(2y,y)．∵ PA?OA?OP?(1?2y,7?y)，PB?OB?OP?(5?2y,1?y)，∴ PA?PB?(1?2y)(5?2y)?(7?y)(1?y)

= 5y2－20y+12 = 5(y－2)2－8．

從而，當且僅當y=2，x=4時，PA?PB取得最小值－8，此時OP?(4,2)，PA?(?3,5)，PB?(1,?1)．

于是|PA|?34，|PB|?2，PA?PB?(?3)?1?5?(?1)??8，∴ cos?APB?PA?PB|PA|?|PB|??834?2??417 17小結：利用平面向量求點的軌跡及最值。

作業：

第四篇：高中數學必修5高中數學必修5《1.2應用舉例(一)》教案

1.2解三角形應用舉例 第一課時

一、教學目標

1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題，了解常用的測量相關術語

2、激發學生學習數學的興趣,并體會數學的應用價值；同時培養學生運用圖形、數學符號表達題意和應用轉化思想解決數學問題的能力

二、教學重點、難點

教學重點：由實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解 教學難點：根據題意建立數學模型，畫出示意圖

三、教學設想

1、復習舊知 復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、設置情境

請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離。

3、新課講授

（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數學模型來求解

(2)例

1、如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B兩點的距離(精確到0.1m)

提問1：?ABC中，根據已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當？ 提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。

分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據三角形的內角和定理很容易根據兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。解：根據正弦定理，得 AB = AC sin?ACBsin?ABCsin?ABC55sin75? = 55sin75? ≈ 65.7(m)

sin(180??51??75?)sin54? AB = ACsin?ACB= 55sin?ACB= sin?ABC答:A、B兩點間的距離為65.7米

變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30?，燈塔B在觀察站C南偏東60?，則A、B之間的距離為多少？

老師指導學生畫圖，建立數學模型。解略：2a km 例

2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據正弦定理中已知三角形的任意兩個內角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。

解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得?BCA=?，? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，應用正弦定理得

AC = BC =

asin(???)= asin(???)sin[180??(?????)]sin(?????)asin?asin? = sin[180??(?????)]sin(?????)計算出AC和BC后，再在?ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離 AB = AC2?BC2?2AC?BCcos?

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。

變式訓練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得?BCA=60?，=60? ?ACD=30?，?CDB=45?，?BDA 略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206

評注：可見，在研究三角形時，靈活根據兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復，如何找到最優的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選擇最佳的計算方式。

4、學生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應例子。

5、課堂練習：課本第14頁練習第1、2題

6、歸納總結

解斜三角形應用題的一般步驟：

（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

（2）建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數學模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數學模型的解（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解

四、課后作業

1、課本第22頁第1、2、3題

2、思考題：某人在M汽車站的北偏西20?的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40?。開始時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進20千米后，到A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠，才能到達M汽車站？

解：由題設，畫出示意圖，設汽車前進20千米后到達B處。在?ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得

AC2?BC2?AB223cosC==，2AC?BC31432則sin2C =1-cos2C =2，31sinC =

123, 31353 62所以 sin?MAC = sin（120?-C）= sin120?cosC-cos120?sinC =在?MAC中，由正弦定理得 MC =ACsin?MAC31353==35 ?62sin?AMC32從而有MB= MC-BC=15 答：汽車還需要行駛15千米才能到達M汽車站。

作業：《習案》作業三

第五篇：高中數學必修5高中數學必修5《1.2應用舉例(三)》教案

1.2解三角形應用舉例 第三課時

一、教學目標

1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關計算角度的實際問題

2、通過綜合訓練強化學生的相應能力，讓學生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學生自主發現規律，舉一反三。

3、培養學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并激發學生的探索精神。

二、教學重點、難點

重點：能根據正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關系 難點：靈活運用正弦定理和余弦定理解關于角度的問題

三、教學過程 Ⅰ.課題導入 [創設情境] 提問：前面我們學習了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問題。然而在實際的航海生活中,人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問題。Ⅱ.講授新課 [范例講解] 例

1、如圖，一艘海輪從A出發，沿北偏東75?的方向航行67.5 n mile后到達海島B,然后從B出發,沿北偏東32?的方向航行54.0 n mile后達到海島C.如果下次航行直接從A出發到達C,此船應該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1?,距離精確到0.01n mile)

學生看圖思考并講述解題思路

分析：首先根據三角形的內角和定理求出AC邊所對的角?ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角?CAB。

解：在?ABC中，?ABC=180?-75?+ 32?=137?，根據余弦定理，AC=AB2?BC2?2AB?BC?cos?ABC =67.52?54.02?2?67.5?54.0?cos137? ≈113.15 54.0sin137根據正弦定理,BC = AC sin?CAB = BCsin?ABC = ≈0.3255，113.15ACsin?CABsin?ABC?

所以 ?CAB =19.0?, 75?-?CAB =56.0?

答:此船應該沿北偏東56.1?的方向航行,需要航行113.15n mile 例

2、在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為?，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2?，再繼續前進103m至D點，測得頂端A的仰角為4?，求?的大小和建筑物AE的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在?ACD中，AC=BC=30，AD=DC=103，?ADC =180?-4?，?103=sin2?30。因為 sin4?=2sin2?cos2? ?sin(180?4?)cos2?=? 3,得 2?=30? ? ?=15?，?在Rt?ADE中，AE=ADsin60?=15 2答：所求角?為15?，建筑物高度為15m 解法二：（設方程來求解）設DE= x，AE=h 在 Rt?ACE中,(103+ x)2 + h2=302 在 Rt?ADE中,x2+h2=(103)

2兩式相減，得x=53,h=15 ?在 Rt?ACE中,tan2?=

h103?x=3?2?=30?,?=15?

答：所求角?為15?，建筑物高度為15m 解法三：（用倍角公式求解）設建筑物高為AE=8，由題意，得

?BAC=?，?CAD=2?，AC = BC =30m , AD = CD =103m 在Rt?ACE中，sin2?=

x4------① 在Rt?ADE中，sin4?=,----② 301033,2?=30?,?=15?，AE=ADsin60?=15 2 ②?① 得 cos2?=答：所求角?為15?，建筑物高度為15m 例

3、某巡邏艇在A處發現北偏東45?相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75?的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？

師：你能根據題意畫出方位圖？教師啟發學生做圖建立數學模型

分析：這道題的關鍵是計算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參變量。

解：如圖，設該巡邏艇沿AB方向經過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9, ?ACB=75?+45?=120?

?(14x)2= 92+(10x)2-2?9?10xcos120? 39?化簡得32x2-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)

216所以BC = 10x =15,AB =14x =21, BCsin120?15353又因為sin?BAC === ?AB21421，??BAC =38?13?,或?BAC =141?47?（鈍角不合題意，舍去）?38?13?+45?=83?13?

答：巡邏艇應該沿北偏東83?13?方向去追，經過1.4小時才追趕上該走私船.評注：在求解三角形中，我們可以根據正弦函數的定義得到兩個解，但作為有關現實生活的應用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解 Ⅲ.課堂練習

課本第16頁練習Ⅳ.課時小結

解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況：

（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。

（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。

Ⅴ.課后作業

《習案》作業六