第一篇：長春寬城區2018-2019學年高中數學平面向量單元測試題

長春寬城區2018-2019學年高中數學平面向量單元測試題

數學（理）2018.7

本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

注意事項：

1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息 2．請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、選擇題 共12小題，每小題5分，共60分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()

A． 銳角三角形

B． 直角三角形 C． 鈍角三角形

D． 不確定

2．在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則

=()

A．

B．

C．

D．

3．設a,b為非零向量,|b|=2|a|,兩組向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2個a和2個b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為()

A．

B．

C．

D． 0

=

2,那么動點M的軌跡必通過△ABC的（）4．在△ABC中,設A． 垂心

B． 內心

C． 外心

D． 重心 5．已知△ABC是正三角形,若a=是()

-λ

與向量的夾角大于90°,則實數λ的取值范圍A． λ<

B． λ<2

C． λ>

D． λ>2

6．已知△ABD是邊長為2的等邊三角形,且,則||等于()

A．

B．

C．

D． 2

7．已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°,則a+b在a上的投影為()

試卷第1頁，總5頁 A．

1B． 2

C．

D．

8．已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},則M∩N等于（）A． {(1,1)}

B． {(1,1),(-2,-2)} C． {(-2,-2)}

D． ?

9．已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=（）A．

4B．

3C． 2

D． 0

10．如圖所示,A,B,C是圓O上的三點,且三等分圓周,若

=x

+y,則

()

A． x=y=-1

B． x=y=1

C． x=y=

D． x=y=-11．如右圖:在平行六面體=.則下列向量中與

中，為AC與BD的交點，若

相等的向量是()

=，=，A．

B．

C．

D．

12．如圖，已知圓M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四邊形ABCD為圓M的內接正方形，E，F分別為邊AB，AD的中點，當正方形ABCD繞圓心M轉動時，（）的取值范圍是

試卷第2頁，總5頁

A．

B．

C． [﹣6，6]

D． [﹣4，4]

試卷第3頁，總5頁

第II卷（非選擇題）

二、填空題 共4小題，每小題5分，共20分。

13．在四邊形ABCD中,積為_____.=(1,1)，則四邊形ABCD的面14．已知菱形ABCD的邊長為a,∠DAB=60°,=2,則的值為________.15．已知向量a=(1,m),b=(3,),若向量a,b的夾角為,則實數m的值為_____.16．已知向量a=(1,2),b=(2,0),c=(1,-2),若向量λa+b與c共線,則實數λ的值為_____.三、解答題 共6小題，17題10分，18-22題12分，共70分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

17．如圖所示,在平面斜坐標系xOy中,∠xOy=60°,平面上任意一點P關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的:若的斜坐標為(x,y).=xe1+ye2(其中e1,e2分別為x軸、y軸同方向的單位向量),則點P

(1)若點P在斜坐標系xOy中的斜坐標為(2,-2),求點P到原點O的距離.(2)求以原點O為圓心,1為半徑的圓在斜坐標系xOy中的方程.18．已知正方形ABCD,E,F分別是CD,AD的中點,BE,CF交于點P.求證:

(1)BE⊥CF;(2)AP=AB．

19．如圖,M是矩形ABCD的邊CD上的一點,AC與BM交于點N,BN=BM.(1)求證:M是CD的中點;

試卷第4頁，總5頁(2)若AB=2,BC=1,H是BM上異于點B的一動點,求20．設向量a,b滿足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=(1)求a與b的夾角;(2)求|2a+3b|的大小.21．如圖,在△OAB中,已知P為線段AB上的一點,.的最小值.=x·+y·.(1)若(2)若=3,求x,y的值;,||=4,|

|=2,且的夾角為60°時,求的值.22．已知向量=（sinx，cosx），=（sin（x﹣），sinx），函數f（x）=2?，g（x）=f（）．

（1）求f（x）在[，π]上的最值，并求出相應的x的值；（2）計算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）的值；（3）已知t∈R，討論g（x）在[t，t+2]上零點的個數．

試卷第5頁，總5頁

參考答案

1．B 【解析】 【分析】

由正弦定理化邊為角，再根據兩角和正弦公式以及誘導公式化簡得A為直角，即得選項.【詳解】

∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA>0，∴sinA＝1，∴A＝，故△ABC為直角三角形． 【點睛】

判斷三角形形狀的方法

①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．

②化角：通過三角恒等變形，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀，此時要注意應用這個結論．

2．A 【解析】 【分析】

利用向量的線性運算法則化簡求解.【詳解】

如圖,=-=-)==)=.故答案為：A

【點睛】

(1)本題主要考查向量的線性運算法則，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)平面向量的加法、減法和平行四邊形法則，是平面向量線性運算的重要考點，要理解掌握并靈活運用.3．B 【解析】 【分析】

答案第1頁，總15頁

先設S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,再討論S中含有的的個數，若S的表達式中有0個a·b,則S=2a2+2b2,記為S1;若S的表達式中有2個a·b,則S=a2+b2+2a·b,記為S2;若S的表達式中有4個a·b,則S=4a·b,記為S3.再作差比較數量積公式求a與b的夾角.【詳解】

設S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,若S的表達式中有0個a·b,則S=2a2+2b2,記為S1;若S的表達式中有2個a·b,則S=a2+b2+2a·b,記為S2;若S的表達式中有4個a·b,則S=4a·b,記為S3.又|b|=2|a|，所以S1-S3=2a2+2b2-4a·b=2(a-b)2>0,S1-S2=a2+b2-2a·b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S3

(1)本題主要考查平面向量的數量積和模，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵有兩點，其一是先要討論S中含有的是要利用作差法得到Smin=S3=4a·b.4．C 【解析】 【分析】

假設BC的中點是O,先化簡已知得

2=2,即（）·

=0, 所以的個數得到，其二, 所以動點M的軌跡必通過△ABC的外心.【詳解】

假設BC的中點是O,則即(所以)·=0，=（）·（）=2

=2, ,所以動點M在線段BC的中垂線上,所以動點M的軌跡必通過△ABC的外心.答案第2頁，總15頁

故答案為：C 【點睛】

（1）本題主要考查平面向量的數量積運算和向量的減法法則，考查向量垂直的表示，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是在于熟練掌握向量的運算法則.5．D 【解析】 【分析】

設正三角形的邊長為m,由題得得a·<0,再利用已知和數量積公式化簡即得m2-m2λ<0,解不等式得解.【詳解】

由已知可得a·<0,即（-λ)·<0,因此|

|2-λ

<0,若設正三角形ABC邊長為m,則有m2-m2λ<0,解得λ>2.故答案為：D 【點睛】

（1）本題主要考查平面向量的夾角公式和數量積的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)6．B 【解析】 【分析】

設AD的中點為E,證明四邊形ABCE是平行四邊形，再證明|【詳解】

設AD的中點為E,則ABCE是平行四邊形,連接BE,因為△ABD是邊長為2的等邊三角形,所以

|=|

|，求|

|即得解.的夾角大于90°，即；的夾角小于90°，即

.||=||=×2=，故答案為：B.【點睛】

答案第3頁，總15頁

(1)本題主要考查平面向量的平行四邊形法則和共線向量，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是取AD的中點E,因為7．B 【解析】 【分析】

直接利用向量的投影公式求解.【詳解】

中有.a+b在a上的投影為故答案為：B 【點睛】

=2.(1)本題主要考查向量的投影和數量積的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)在方向上的投影為8．C 【解析】 【分析】

.先設解.【詳解】，再化簡集合M得到，再化簡集合N得到，解方程組即得設a=(x,y),對于M,(x,y)=(1,2)+λ(3,4),(x-1,y-2)=λ(3,4),.①

對于N,(x,y)=(-2,-2)+λ(4,5),(x+2,y+2)=λ(4,5),由①②解得x=-2,y=-2,故M∩N={(-2,-2)}.故答案為：C 【點睛】

.②

(1)本題主要考查向量的坐標運算和集合的交集運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平

答案第4頁，總15頁

和分析推理能力.(2)本題解題的關鍵有兩點，其一是設，因為向量是運動變化的,其二是化簡集合M和N，分別得到9．B 【解析】 【分析】

直接利用向量的數量積公式化簡求解.【詳解】

a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.故答案為：B 【點睛】

和.(1)本題主要考查平面向量的數量積和模的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)10．A 【解析】 【分析】 以為鄰邊作平行四邊形OBDA,根據平行四邊形法則即得x,y的值.,這些公式要理解掌握并靈活運用.【詳解】 以

故答案為：A 【點睛】

本題主要考查平面向量平行四邊形法則和共線向量，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.11．A 【解析】 【分析】 為鄰邊作平行四邊形OBDA,已知

=0,所以

=-,因此x=y=-1.答案第5頁，總15頁

由題意可得

化簡得到結果．

【詳解】

由題意可得

故答案為：A 【點睛】

本題主要考查向量的加法減法法則,意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.12．C 【解析】 【分析】

根據圓的方程，求出【詳解】

因為圓M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，圓心的坐標（3，3）半徑為2，所以|ME|=∴=，|OM|=

3，=

=，∵的取值范圍是[﹣6，6]．，的模長關系與夾角，利用向量數量積求得取值范圍。

=6cos（π﹣∠OME）∈[﹣6，6]，【點睛】

本題考查了向量數量積的簡單應用，根據向量的模長求得數量積的取值范圍，屬于基礎題。13．

【解析】 【分析】

先推理得到四邊形ABCD為平行四邊形,且|

|=|

|=,再根據已知得到四邊形ABCD為菱形,再求出三角形BCD的面積，最后計算出四邊形ABCD的面積.【詳解】

答案第6頁，總15頁

由=(1,1),可知四邊形ABCD為平行四邊形,且||=||=,因為,所以可知平行四邊形ABCD的角平分線BD平分∠ABC,四邊形ABCD為菱形,其邊長為,且對角線BD長等于邊長的倍,即BD=,則CE2=()2-,即CE=,所以三角形BCD的面積為,所以四邊形ABCD的面積為2×故答案為：【點睛】.(1)本題主要考查共線向量和向量的線性運算，考查三角形的面積的求法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)表示與向量方向相同的單位向量.14．

【解析】 【分析】

先計算出【詳解】 =-a2，再計算出

=()·()=-.∵=2,∴.∵菱形ABCD的邊長為a,∠DAB=60°, ∴||=||=a，=|∵∴|||cos 120°=-a2., =()·()

答案第7頁，總15頁

=·()

=-

=-a2+a2+a2=-.故答案為：【點睛】

(1)本題主要考查向量的線性運算法則，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)平面向量的加法、減法和平行四邊形法則，是平面向量線性運算的重要考點，要理解掌握并靈活運用.15．

【解析】 【分析】

先利用坐標運算求出a·b=3+(3+m)2=[

m,再利用向量的數量積公式得a·b=,再解方程]2即得實數m的值.【詳解】 因為a·b=3+m，且a·b=2所以(3+m)2=[cos

]2, ，解得m=-.故答案為：-【點睛】

答案第8頁，總15頁

（1）本題主要考查向量的數量積計算，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力。（2）向量16． 【解析】 【分析】

先求出λa+b的坐標，再根據向量λa+b與c共線得到-2(λ+2)-2λ=0,即得λ的值.【詳解】

由題可知λa+b=(λ+2,2λ),又λa+b與c共線,所以-2(λ+2)-2λ=0,所以λ=-1.故答案為：-1 【點睛】

（1）本題主要考查向量的坐標運算和向量共線的坐標表示，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)向量17．（1）2；（2）【解析】 【分析】

(1)先根據點P的斜坐標得到設圓上動點M的斜坐標為(x,y),【詳解】

(1)因為點P的斜坐標為(2,-2), 所以所以|

=2e1-2e2，|=2,即點P到原點O

=2e1-2e2, 再平方求出|

|2=4，即點P到原點O的距離為2（.2）

與向量

共線，則

.，則

.=xe1+ye2,再平方化簡得所求圓的方程為x2+y2+xy=1.|2=(2e1-2e2)2=4-8e1·e2+4=8-8×1×1×cos 60°=8-4=4,所以|的距離為2.(2)設圓上動點M的斜坐標為(x,y), 則=xe1+ye2,所以(xe1+ye2)2=1，則x2+2xye1·e2+y2=1,即x2+y2+xy=1, 故所求圓的方程為x2+y2+xy=1.【點睛】

答案第9頁，總15頁

（1）本題主要考查新定義和向量的數量積運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)對于新定義要先理解清楚它的內涵外延，再利用它來解題.18．（1）見解析；（2）見解析 【解析】 【分析】

(1)如圖建立平面直角坐標系xOy,其中A為原點,不妨設AB=2,則 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1)，再求出

和的坐標，再計算得

=0即證

BE⊥CF.(2)設P(x,y),再根據已知求出P【詳解】，再求=4=，即證明AP=AB.如圖建立平面直角坐標系xOy,其中A為原點,不妨設AB=2，則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2), =(0,1)-(2,2)=(-2,-1)，∵∴=(-1)×(-2)+2×(-1)=0, ,即BE⊥CF.(2)設P(x,y),則=(x,y-1),=(-2,-1).∵同理由,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.,得y=-2x+4,代入x=2y-2，解得x=,∴y=,即P.∴=4=，答案第10頁，總15頁

∴||=||,即AP=AB.【點睛】

（1）本題主要考查向量的坐標表示和坐標運算，考查向量垂直和平行的坐標表示，考查模的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力（.2）向量則19．（1）見解析；（2）0 【解析】 【分析】

.，(1)設=m=n,再根據向量的線性運算化簡=,再求出=(1-n)+n,解方程組所以=m,即M是CD的中點.（2）先利用向量的數量積和向量的線性運算求得數求出函數的最小值.【詳解】(1)設=m=n，==-,再利用二次函由題意知)

=又+m)=+n，+n()

=(1-n)+n，∴

答案第11頁，總15頁

∴=m,即M是CD的中點.(2)∵AB=2,BC=1,M是CD的中點, ∴MB=∴=-|=|||||,∠ABM=45°, =()·=-（|2)·=--|

|2

|cos(180°-∠ABH)-||cos 45°-||2

=又0<||-||≤|2=-,∴當||=, ,即H與M重合時,取得最小值,且最小值為0.【點睛】

(1)本題主要考查向量的線性運算和基底法，考查向量的數量積計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)對于平面內的不共線的向量量總可以表示成，其中

是基底.，則平面的任意一個向20．（1）；（2）【解析】 【分析】

(1)設a與b的夾角為θ,化簡|3a-2b|=公式求|2a+3b|=【詳解】

=

.得θ=,即a與b的夾角為.（2）利用向量模的計算(1)設a與b的夾角為θ.由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,因此9+4-12cos θ=7,于是cos θ=,故 θ=,即a與b的夾角為.(2)|2a+3b|==

答案第12頁，總15頁

=.【點睛】

（1）本題主要考查向量的模和數量積的運算，考查向量模的求法，意在考察學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2),則

.21．（1）【解析】 【分析】 ；（2）

(1)利用向量的線性運算化簡得,即x=,y=.（2）先求出再計算【詳解】(1)∵∴, ,即2，·()=.∴(2)∵=3,∴,即x=,y=.=3

+3,即4

+3，∴.∴x=,y=.·()

=

=×22-×42+×4×2×=-9.【點睛】

(1)本題主要考查向量的線性運算和基底法，考查向量的數量積計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)對于平面內的不共線的向量

答案第13頁，總15頁，則平面的任意一個向

量總可以表示成22．(1).，其中是基底.(2).(3)g（x）2個零點.【解析】 【分析】

（1）根據向量的坐標運算，求出f（x）的表達式，再根據定義域求出最值及相應的自變量。（2）根據三角函數表達式，求出三角函數的變化周期及函數值，代入求解。（3）跟雷討論在t取不同范圍時，交點的個數問題?！驹斀狻?/p>

（1）f（x）=2?=2sinxsin（x﹣）+2sinxcosx=

sin2x+sin2x

=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，∵x∈[，π]，∴≤2x﹣≤，∴﹣1≤sin（2x﹣）≤，f（x）最小值為 ﹣1，f（x）最大值為 ．

（2）由（1）得，f（x）=sin（2x﹣）+．∴g（x）=f（）=sin（x﹣）+．T=4，∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=…=g（2009）+g（2010）+g（2011）+g（2012）．g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=，g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）=503×+g（1）+g（2）=1006+=.（3）g（x）在[t，t+2]上零點的個數等價于y=sin（x﹣）與y=﹣同一直角坐標系內作出這兩個數的圖象．

兩圖象交點個數．在答案第14頁，總15頁

當4k＜t＜+4k，k∈Z時，由圖象可知，y=sin（x﹣）與y=﹣零點

兩圖象無交點，g（x）無當+4k≤t＜2+4k或1個零點 +4k＜t≤4+4k時，y=sin（x﹣）與y=﹣兩圖象1個交點，g（x）當2+4k≤t≤【點睛】 +4k時，y=sin（x﹣）與y=﹣兩圖象2個交點，g（x）2個零點.本題考查了向量與三角函數的綜合應用，注意分類討論時t的不同取值情況，屬于難題。

答案第15頁，總15頁

第二篇：長春寬城區2018-2019學年高中數學不等式單元測試題

長春寬城區2018-2019學年高中數學不等式單元測試題

數學（理）2018.7

本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。

注意事項：

1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息 2．請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、選擇題 共12小題，每小題5分，共60分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1．下列命題中，為真命題的是

()

A． 若ac>bc，則a>b

B． 若a>b，c>d，則ac>bd

C． 若a>b，則<

D． 若ac2>bc2，則a>b 2．下列命題的逆命題為真命題的是

()

A． 若x>2，則(x-2)(x+1)>0

B． 若x2+y2≥4，則xy=2 C． 若x+y=2，則xy≤

1D． 若a≥b，則ac2≥bc2

3．若a＞0，b＞0，則p＝與q＝a·b的大小關系是()

baA． p≥q

B． p≤q

C． p＞q

D． p＜q

4．在R上定義運算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1對任意實數x成立，則（）

A． ﹣1＜a＜1

B． 0＜a＜

2C． ﹣5．若實數A． C． 滿足

B．

D．

D． ﹣ ,則下列不等式一定成立的是()

6．設均為正數,且,則的最小值為()

A． 1

B．

3C． 6

D． 9

7．在△ABC中，E，F分別為AB，AC的中點，P為EF上的任一點，實數x，y滿足

試卷第1頁，總5頁，設△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記，則λ2?λ3取到最大值時，2x+y的值為（）

A． ﹣1

B． 1

C．-

D．

8．函數y＝f(x)的圖象是以原點為圓心、1為半徑的兩段圓弧，如圖所示．則不等式f(x)>f(－x)＋x的解集為()

A． ∪(0,1]

B． [－1,0)∪

C． ∪

D． ∪

9．(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面區域為()

A．

B．

C．

D．

10．當x≥0時，不等式(5－a)x2－6x＋a＋5>0恒成立，則實數a的取值范圍是()A．(－∞，4)

B．(－4,4)C． [10，＋∞)

D．(1,10]

試卷第2頁，總5頁 11．若0＜α＜β＜，sin α＋cos α＝a，sin β＋cos β＝b，則()A． a＜b

B． a＞b C． ab＜

1D． ab＞2

12．函數y＝(x＜0)的值域是()

A．(－1,0)

B． [－3,0)C． [－3,1]

D．(－∞，0)試卷第3頁，總5頁

第II卷（非選擇題）

二、填空題 共4小題，每小題5分，共20分。

13．建造一個容積為8 m3，深為2 m的長方體無蓋水池，若池底每平方米120元，池壁的造價為每平方米80元，這個水池的最低造價為________元．

14．不等式＜2的解集為________．

15．已知x,y,z∈R,有下列不等式: ①x2+y2+z2+3≥2(x+y+z);，③|x+y|≤|x-2|+|y+2|;④x2+y2+z2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序號是_____ 16．已知x，則函數的最大值為_______

三、解答題 共6小題，17題10分，18-22題12分，共70分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

17．設p：實數x滿足x2-4ax+3a2<0(a>0)，q：實數x滿足≤0．(1)若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；(2)若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

18．設 p：2x2-3x+1≤0，q：x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0，若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．

19．已知函數f(x)=ax2+bx+1(a,b為實數),設，(1)若f(-1)=0,且對任意實數x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表達式;

(2)在(1)的條件下,當x∈[-2,2]時,g(x)=f(x)-kx是單調函數,求實數k的取值范圍;(3)設mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)滿足f(-x)=f(x),試比較F(m)+F(n)的值與0的大小.20．已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)滿足：對任意實數x，都有f(x)≥x，且當x∈(1,3)時，有f(x)≤(x＋2)2成立．

試卷第4頁，總5頁(1)證明：f(2)＝2；

(2)若f(－2)＝0，求f(x)的表達式；

(3)設g(x)＝f(x)－x，x∈[0，＋∞)，若g(x)圖象上的點都位于直線y＝的上方，求實數m的取值范圍．

21．某化工廠生產甲、乙兩種肥料，生產1車皮甲種肥料能獲得利潤10000元，需要的主要原料是磷酸鹽4噸，硝酸鹽8噸；生產1車皮乙種肥料能獲得利潤5000元，需要的主要原料是磷酸鹽1噸，硝酸鹽15噸．現庫存有磷酸鹽10噸，硝酸鹽66噸，在此基礎上生產這兩種肥料．問分別生產甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產生最大的利潤？ 22．整改校園內一塊長為15 m，寬為11 m的長方形草地(如圖A)，將長減少1 m，寬增加1 m(如圖B)．問草地面積是增加了還是減少了？假設長減少x m，寬增加x m(x>0)，試研究以下問題：

x取什么值時，草地面積減少？ x取什么值時，草地面積增加？

試卷第5頁，總5頁

參考答案

1．D 【解析】 【分析】

對每一個選項逐一判斷真假.【詳解】

當c<0時，若ac>bc，則aa>b，0>c>d時，ac

若a>b>0或0>a>b，則，但當a>0>b時，故C為假命題；

若ac2>bc2，則故答案為：D.【點睛】，則a>b，故D為真命題．

本題主要考查不等式的性質，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.2．B 【解析】 【分析】

先寫出每一個選項的逆命題，再判斷命題的真假.【詳解】

A中，“若x>2，則(x-2)(x+1)>0”的逆命題為“若(x-2)(x+1)>0，則x>2”，為假命題； B中，“若x2+y2≥4，則xy=2”的逆命題為“若xy=2，則x2+y2≥4”，為真命題；

C中，“若x+y=2，則xy≤1” 的逆命題為“若xy≤1，則x+y=2”，如x=-1，y=-1，滿足xy≤1，但x+y≠2，為假命題；

D中，“若a≥b，則ac2≥bc2”的逆命題為“若ac2≥bc2，則a≥b”，如c=0時，ac2≥bc2，但a≥b不一定成立，為假命題． 故答案為：B.【點睛】

本題主要考查逆命題和其真假的判斷，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.答案第1頁，總16頁

3．A 【解析】 【分析】

利用作商法結合指數函數圖像與性質比較大小.【詳解】 ，若則，；

若則，∴

若∴p≥q 故選：A 則

【點睛】

本題考查比較大小問題，考查了作商法及指數函數的圖像與性質，考查了分類討論的思想，屬于中等題.4．C 【解析】 【分析】

根據新定義化簡不等式，得到a2﹣a﹣1＜x2﹣x因為不等式恒成立，即要a2﹣a﹣1小于x2﹣x的最小值，先求出x2﹣x的最小值，列出關于a的一元二次不等式，求出解集即可得到a的范圍． 【詳解】

由已知：（x﹣a）?（x+a）＜1，∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即a2﹣a﹣1＜x2﹣x．

令t=x2﹣x，只要a2﹣a﹣1＜tmin．

答案第2頁，總16頁

t=x2﹣x=，當x∈R，t≥﹣．

∴a2﹣a﹣1＜﹣，即4a2﹣4a﹣3＜0，解得：﹣故選：C． 【點睛】 ．

考查學生理解新定義并會根據新定義化簡求值，會求一元二次不等式的解集，掌握不等式恒成立時所取的條件． 5．B 【解析】 【分析】

由題意給出反例說明不等式的結論不成立，結合不等式的性質證明不等式成立即可確定正確選項.【詳解】 取取取，滿足，滿足，滿足，而，而，而，選項A錯誤；，選項C錯誤；，選項D錯誤； , 對于選項B，由絕對值不等式的性質可知由題意可知,，即由不等式的傳遞性可知本題選擇B選項.【點睛】，選項B的說法正確.本題主要考查絕對值不等式的性質及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.6．D 【解析】 【分析】

答案第3頁，總16頁

由題意結合均值不等式的結論得到關于的不等式，求解不等式即可確定的最小值.【詳解】

均為正數,且由基本不等式可得解得據此可得或,所以,整理可得(舍去).,整理得, ,，當且僅當時等號成立.即的最小值為9.本題選擇D選項.【點睛】

在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤． 7．D 【解析】 【分析】

根據三角形中位線定理及基本不等式，求得λ2?λ3的最大值，并求得此時P的位置。由向量加法法則，判斷出x與y的關系，進而求出2x+y的值。【詳解】

由題意，可得∵EF是△ABC的中位線，∴P到BC的距離等于△ABC的BC邊上高的一半，可得S1=S=S2+S3，由此可得λ2?λ3

=由向量的加法的四邊形法

當且僅當S2=S3時，即P為EF的中點時，等號成立．∴則可得，∴兩式相加，得∵由已知得∴根據平面向量基本定理，得x=y=，從而得到2x+y=.綜上所述，可得當λ2?λ3取到最大值時，2x+y的值為

答案第4頁，總16頁

【點睛】

本題考查了平面向量基本定理的簡單應用，由基本不等式確定最值，屬于難題。8．C 【解析】 【分析】

由函數的圖象可知，函數y=f（x）是奇函數，則不等式f（x）＞f（﹣x）+x等價為f（x）＞﹣f（x）+x，即2f（x）＞x成立．解不等式即可． 【詳解】

函數的圖象可知，函數y=f（x）是奇函數，則f（﹣x）=﹣f（x），所以不等式f（x）＞f（﹣x）+x等價為f（x）＞﹣f（x）+x，即f（x）．

對應圓的方程為x2+y2=1，聯立直線y=得，x=，所以由圖象可知不等式f（x）＞f（﹣x）+x的解集為[﹣1，﹣故答案為：C 【點睛】）∪（0，）．

(1)本題主要考查函數奇偶性的應用，考查直線和圓的位置關系，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理數形結合能力（.2利用圖象的對稱性判斷函數是奇函數是解決本題的關鍵，然后利用直線與圓的方程解方程即可． 9．B 【解析】 【分析】 先化簡不等式得到【詳解】 由題得先作出不等式再作出

或，再分別作出它們對應的可行域即得解.或

.對應的可行域，是選項B中上面的一部分，對應的可行域，是選項B中下面的一部分，答案第5頁，總16頁

故答案為：B 【點睛】

(1)本題主要考查不等式對應的可行域，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2)解題的關鍵是由已知的不等式得到10．B 【解析】 【分析】

一般選擇特殊值驗證法，取a=10,排除C,D,取a=-4,排除A,故選擇B.【詳解】

用特殊值檢驗法，取a＝10，則不等式為－5x－6x＋15＞0，即5x＋6x－15＜0，當x≥0取x=2時，17＞0，所以不等式(5－a)x2－6x＋a＋5>0不恒成立，排除C，D，取a＝-4，不

2或

.等式為9x－6x＋1>0，當x≥0取x=時，0＞0不恒成立，所以排除A.故答案為：B 【點睛】

(1)本題主要考查不等式的恒成立問題，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.（2）本題可以選擇直接法解答，但是比較復雜，由于是一個選擇題，所以可以選擇特殊值驗證法比較簡潔.11．A 【解析】 【分析】 先利用作差法比較【詳解】 的大小，再比較a,b的大小關系.2∵0＜α＜β＜，∴0＜2α＜2β＜且0＜sin 2α＜sin 2β，∴a2＝(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α，b2＝(sinβ＋cosβ)2＝1＋sin2β，答案第6頁，總16頁

∴a－b＝(1＋sin2α)－(1＋sin2β)，＝sin2α－sin2β＜0，∴a＜b.又∵a＝sinα＋cosα＞0，b＝sinβ＋cosβ＞0，∴a＜b.【點睛】

(1)本題主要考查實數大小的比較，考查三角函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)比較實數大小，常用的有作差法和作商法，本題的關鍵是首先要想到比較12．B 【解析】 【分析】 的大小.2222先把函數變形得y＝【詳解】，再利用基本不等式求函數的最值即得函數的值域.y＝，∵x＜0，∴－x＞0且y＜0，∴x＋＝－(－x＋)≤－2，∴y＝≥－3，當且僅當x＝－1時等號成立．

所以函數的值域為[－3,0).故答案為：B

【點睛】

（1）本題主要考查基本不等式，意在考查學生對該基礎知識的掌握水平和分析推理能力.(2)使用基本不等式求最值時，要注意觀察收集題目中的數學信息（正數、定值等），然后變形，答案第7頁，總16頁

配湊出基本不等式的條件.解答本題的關鍵是先變形y＝13．1760 【解析】 【分析】

.設池底長為x，根據條件建立水池的總造價，再根據基本不等式求最值.【詳解】

設池底長為x，則寬為因此水池的總造價為，當且僅當【點睛】

在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤.14．(－∞，－7)∪(－2，＋∞)【解析】 【分析】

先移項通分，再根據符號確定不等式解集.【詳解】 時取等號，即這個水池的最低造價為1760元.，即解集為(－∞，－7)∪(－2，＋∞).【點睛】

本題考查分式不等式解法，考查基本求解能力.15．①③④ 【解析】

答案第8頁，總16頁

【分析】

由題意逐一考查所給的四個說法的正誤即可.【詳解】

逐一考查所給的四個說法：，則，說法①正確；

當時，不成立，說法②錯誤；

由絕對值三角不等式的性質可得：|x?2|+|y+2|?|(x?2)+(y+2)|=|x+y|，說法③正確；，則，說法④正確.綜上可得，一定成立的不等式的序號是①③④.【點睛】

本題主要考查不等式的性質，利用不等式求最值，均值不等式成立的條件等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.16．1 【解析】 【分析】 由題意可知【詳解】，結合均值不等式的結論求解函數的最大值即可.∵x

又∵y=4x-2

=≤-2+3=1，答案第9頁，總16頁

當且僅當5-4xx=1時等號成立，∴ymax=1.【點睛】

條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值．

17．（1）x的取值范圍為(2，3)；（2）a的取值范圍為(1，2]． 【解析】 【分析】

（1）先化簡命題p和q,再根據p∧q為真得到x的取值范圍.(2)先寫出命題p和q，再根據p是q的充分不必要條件得到a的取值范圍.【詳解】

(1)由x2-4x+3<0，得1

由≤0，得2

∵p∧q為真，∴p真，q真，∴,解得2

q：實數x滿足x≤2或x>3；

p：實數x滿足x2-4ax+3a2≥0，由x2-4ax+3a2≥0，得x≤a或x≥3a． ∵p是q的充分不必要條件，所以a≤2且3a>3，解得1

(1)本題主要考查不等式的解法，考查復合命題的真假，考查充要條件的運用，意在考查學

答案第10頁，總16頁

生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)利用集合法判斷充要條件，首先分清條件和結論；然后化簡每一個命題，建立命題

和集合的對應關系.,則是的充分條件，若，則；最后利用下面的結論判斷：①若是的充分非必要條件；②若③若且，即,則是的必要條件，若，則是的必要非充分條件；

時，則是的充要條件.18．

【解析】 【分析】

先化簡命題p和q,再根據p是q的充分不必要條件分析推理得到a的取值范圍.【詳解】

由題意得，p：≤x≤1，q：a≤x≤a+1．

∵p是q的必要不充分條件，∴p是q的充分不必要條件，∴a+1≥1且a≤(等號不能同時取得)，∴0≤a≤．

故實數a的取值范圍為【點睛】

．

(1)本題主要考查解不等式，考查充要條件的應用，意在考察學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)利用集合法判斷充要條件，首先分清條件和結論；然后化簡每一個命題，建立命題和集合的對應關系.,則是的充分條件，若，；最后利用下面,時，的結論判斷：①若，則是的充分非必要條件；②若

且，即則是的必要條件，若，則是的必要非充分條件；③若

答案第11頁，總16頁

則是的充要條件.19．(1)【解析】 【分析】（1）由可得

.(2).(3)F(m)+F(n)>0.；然后再根據f(x)≥0恒成立并結合判別式可得a=1，進而可得，根據函數有單調性可得對稱軸與所給

為奇函數且在R上為增函函數的解析式．（2）由題意可得區間的關系，從而可得k的取值范圍．（3）結合題意可得函數數，再根據條件mn<0,m+n>0可得F(m)+F(n)>0． 【詳解】(1)∵∴b=a+1.∵f(x)≥0對任意實數x恒成立，∴解得a=1． ∴f(x)=x2+2x+1.，故．

(2)由(1)知f(x)=x2+2x+1，∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1．

由g(x)在區間[-2,2]上是單調函數可得解得k≤-2或k≥6． 故k的取值范圍為(3)∵f(-x)=f(x)，∴f(x)為偶函數，∴b=0．

．

或，答案第12頁，總16頁

又a>0，∴f(x)在區間[0,+∞)為增函數． 對于F(x),當x>0時，當x<0時,∴∴在，,且F(x)在區間[0,+∞)上為增函數，上為增函數．

；

由mn<0,知m,n異號,不妨設m>0,n<0, 則有m>-n>0，∴，． ∴【點睛】

（1）已知函數的單調性求參數的取值范圍時，要結合拋物線的開口方向和對稱軸與區間的關系進行求解，進而得到關于參數的不等式即可．

（2）分段函數的奇偶性的判定要分段進行，在得到每一段上的函數的奇偶性后可得結論．

20．（1）見解析（2）f(x)＝x2＋x＋.（3）m∈(－∞，1＋【解析】 【分析】（1）由題得)．，所以f(2)=2.（2）由f(2)=2，f(－2)＝0得到a,b,c的方程組，再根據f(x)≥x恒成立得到ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立，即a>0.Δ＝(－1)2－4a(1－4a)≤0，解出a,b,c的值即得f(x)的表達式.(3)先轉化為x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈[0，＋∞)恒成立，再利用二次函數的圖像數形結合分析得到m的取值范圍.【詳解】

(1)證明：由條件知： f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立．

答案第13頁，總16頁

又因取x＝2時，f(2)＝4a＋2b＋c≤(2＋2)2＝2恒成立，∴f(2)＝2.(2)因∴4a＋c＝2b＝1.，∴b＝，c＝1－4a.又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立．

∴a>0.Δ＝(－1)2－4a(1－4a)≤0，解出：a＝，b＝，c＝.∴f(x)＝x2＋x＋.(3)g(x)＝x2＋(－)x＋>在x∈[0，＋∞)必須恒成立． 即x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈[0，＋∞)恒成立，①Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0.解得：1－

(1)本題主要考查二次不等式的恒成立問題，考查二次函數的解析式的求法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數形結合分析推理能力.(2)解答第3問的關鍵是通過數形結合分析得到Δ<0或.21．生產甲種、乙種肥料各2車皮，能夠產生最大利潤，最大利潤為3萬元．

答案第14頁，總16頁

【解析】 【分析】

設生產甲種肥料x車皮、乙種肥料y車皮能夠產生利潤z萬元，列出線性約束條件，再利用線性規劃求解.【詳解】

設生產甲種肥料x車皮、乙種肥料y車皮能夠產生利潤z萬元． 目標函數為z＝x＋0.5y，約束條件為：，可行域如圖中陰影部分的整點．

當直線y＝－2x＋2z經過可行域上的點M時，截距2z最大，即z最大． 解方程組所以zmax＝x＋0.5y＝3.所以生產甲種、乙種肥料各2車皮，能夠產生最大利潤，最大利潤為3萬元． 【點睛】

(1)本題主要考查線性規劃的應用，意在考查學生對該知識的掌握水平和應用能力.(2)線性規劃問題步驟如下：①根據題意，設出變量數行直線系

；②列出線性約束條件；③確定線性目標函

得：M點坐標為(2,2)．

；④畫出可行域（即各約束條件所示區域的公共區域）；⑤利用線性目標函數作平

；⑥觀察圖形，找到直線

在可行域上使取得欲求最值的位置，以確定最優解，給出答案.22．見解析

答案第15頁，總16頁

【解析】 【分析】

先計算原草地的面積和整改后的草地面積，即得草地面積增加了.設減少x m，寬增加x m后，計算出新草地的面積，再比較和原草地面積的大小，即得x取什么值時，草地面積減少, x取什么值時，草地面積增加.【詳解】

原草地面積S1＝11×15＝165(m2)，整改后草地面積為：S＝14×12＝168(m2)，∵S>S1，∴整改后草地面積增加了．

研究：長減少x m，寬增加x m后，草地面積為：

S2＝(11＋x)(15－x)，∵S1－S2＝165－(11＋x)(15－x)＝x2－4x，∴當04時，x2－4x>0，∴S1>S2.綜上所述，當04時，草地面積減少． 【點睛】

本題主要考查實數大小的比較，考查一元二次不等式的解法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.答案第16頁，總16頁

第三篇：長春寬城區2018-2019學年初中數學勾股定理單元測試題-專題

長春寬城區2018-2019學年初中數學勾股定理單元測試題

數學 2018.7

本試卷共7頁，120分?？荚嚂r長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題 共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1．如圖，AD是Rt△ABC斜邊BC上的高，將△ACD沿AD所在的直線折疊，點C恰好落在BC的中點E處，則∠B等于

（）

A． 25°

B． 30°

C． 45°

D． 60°

2．如圖，是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，如果正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩條邊是分別是a，b，則a+b和的平方的值（）

A． 1

3B． 19

C． 2

5D． 169

3．如圖所示，一個圓柱高為8cm，底面圓的半徑為5cm，則從圓柱左下角A點出發．沿圓柱體表面到右上角B點的最短路程為（）

A． cm

B．

cm

C．

cm

D． 以上都不對，那么AB的長度是（）4．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=

A．

B． 27

C． 3

D． 25

試卷第1頁，總7頁 5．如圖是由5個正方形和5個等腰直角三角形組成的圖形，已知③號正方形的面積是1，那么①號正方形的面積是（）

A．

4B． 8

C． 16

D． 32

6．如圖，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹干底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是（）

A． 8米

B． 12米

C． 5米

D． 5或7米

7．在以下列三個數為邊長的三角形中，不能組成直角三角形的是（）A． 4、7、9

B． 5、12、1

3C． 6、8、10

D． 7、24、25

8．如圖，在5×5的正方形網格中，以AB為邊畫直角△ABC，使點C在格點上，滿足這樣條件的點C的個數（）

A． 6

B． 7

C． 8

D． 9

9．直角三角形兩條直角邊的長分別為3和4，則斜邊長為（）A．

4B．

5C． 6

D． 10 10．如圖矩形ABCD中，AB=3，BC=

3，點P是BC邊上的動點，現將△PCD沿直線

PD折疊，使點C落在點C1處，則點B到點C1的最短距離為（）

A． 5

B． 4

C． 3

D． 2

二、填空題 共10小題，每小題3分，共30分。

11．如圖所示的圖形由4個等腰直角形組成，其中直角三角形（1）的腰長為1cm，則直角三角形（4）的斜邊長為__．

試卷第2頁，總7頁

12．如圖，分別以直角三角形三邊向外作三個半圓，若S1=30，S2=40，則S3=_____．

13．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD=9，AE⊥BC于E，AE=8，則CD的長為_____．

14．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C所對的邊長．如果∠A=105°，∠B=45°，b=

2，那么c=_____．

15．把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上．若AB=，則CD=_____．

16．勾股定理a2+b2=c2本身就是一個關于a，b，c的方程，滿足這個方程的正整數解（a，b，c）通常叫做勾股數組．畢達哥拉斯學派提出了一個構造勾股數組的公式，根據該公式

可

以

構

造

出

如

下

勾

股

數

組

：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股數組可以發現，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面規律，第5個勾股數組為_____．

17．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC+BC=6，△ABC的面積為cm2，則斜邊AB的長

試卷第3頁，總7頁 是_____cm．

18．已知三角形三邊長分別為5，12，13，則此三角形的最大邊上的高等于_____． 19．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，點D是邊AB上的動點，將△ACD沿CD所在的直線折疊至△CDA的位置，CA'交AB于點E．若△A'ED為直角三角形，則AD的長為______．

20．如圖，△ABO的邊OB在數軸上，AB⊥OB，且OB=2，AB=1，OA=OC，那么數軸上點C所表示的數是_____．

三、解答題 共10小題，每小題6分，共60分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

21．如圖，5×5的正方形網格中隱去了一些網格線，AB，CD間的距離是2個單位，CD，EF間的距離是3個單位，格點O在CD上（網格線的交點叫格點）．請分別在圖①、②中作格點三角形OPQ，使得∠POQ=90°，其中點P在AB上，點Q在EF上，且它們不全等．

22．如圖，在長方體上有一只螞蟻從項點A出發，要爬行到頂點B去找食物，一只長方體的長、寬、高分別為4、1、2，如果螞蟻走的是最短路徑，你能畫出螞蟻走的路線嗎？

試卷第4頁，總7頁

23．一駕2.5米長的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部離建筑物0.7米，如果梯子的頂部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多遠（其中梯子從AB位置滑到CD位置）？

24．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=2cm，以AC的中點O為旋轉中心，把這個三角形旋轉180°，點B旋轉至B′處，求B′與B之間的距離．

25．如圖，一圓柱高8cm，底面半徑為cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程是多少？

26．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，四邊形ABCD的周長為32．

（1）求∠BDC的度數；（2）四邊形ABCD的面積．

27．已知△ABC，請用無刻度直尺畫圖．

（1）在圖1中，畫一個與△ABC面積相等，且以BC為邊的平行四邊形；（2）在圖2中，畫一個與△ABC面積相等，且以點C為一頂點的正方形．

試卷第5頁，總7頁

28．已知：如圖等腰△ABC中，AB=AC，BC=10，BD⊥AC于D，且BD=8．求△ABC的面積S△ABC．

29．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°．請完成以下任務．（1）尺規作圖：①作∠A的平分線，交CB于點D；

②過點D作AB的垂線，垂足為點E．請保留作圖痕跡，不寫作法，并標明字母．（2）若AC=3，BC=4，求CD的長．

30．（1）如上圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1，任意連接這些小正方形的頂點，可得到一些線段；請在圖中畫出AB=，CD=，EF=

這樣的線段；

（2）如圖所示，在邊長為1的網格中作出△ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°后的圖形△A1B1C1；并計算對應點B和B1之間的距離？

（3）如圖是由5個邊長為1的小正方形拼成的．

試卷第6頁，總7頁

①將該圖形分成三塊（在圖中畫出），使由這三塊可拼成一個正方形； ②求出所拼成的正方形的面積S．

試卷第7頁，總7頁

參考答案

1．B 【解析】 【分析】

利用隱含條件90°及等邊三角形的性質求解即可.【詳解】

因為E是直角三角形ABC的中點，所以AE=BE=EC，又因為∠AEC=∠ACE，所以AE=AC=EC，所以，∠C=60°，∠B=30°.【點睛】

利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵.2．C 【解析】 【分析】

根據正方形的面積公式以及勾股定理，結合圖形進行分析發現：大正方形的面積即直角三角形斜邊的平方13，也就是兩條直角邊的平方和是13，四個直角三角形的面積和是大正方形的面積減去小正方形的面積即2ab=12．根據完全平方公式即可求解． 【詳解】

根據題意，結合勾股定理a2+b2=13，四個三角形的面積=4×ab=13?1，∴2ab=12，聯立解得：(a+b)2=13+12=25． 故選C． 【點睛】

本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是注意完全平方公式的展開：(a+b)2=a2+b2+2ab，還要注意圖形的面積和a，b之間的關系． 3．B 【解析】 【分析】

沿過A的圓柱的高AD剪開，展開得出平面，連接AB，根據勾股定理求出AB的長即可．

答案第1頁，總19頁

【詳解】

沿過 A 的圓柱的高 AD 剪開，展開得出平面，如圖

連接 AB，則 AB 的長就是從圓柱左下角 A 點出發.沿圓柱體表面到右上角 B 點的最短路程，由題意知： ∠BCA=90°，AC=×2×5cm×π=5πcm，BC=8cm，由勾股定理得： AB=故選B.【點睛】

本題考查了平面展開-最短路線問題及勾股定理的應用，解此題的關鍵是知道求出哪一條線段的長，題目比較好，但是一道比較容易出錯的題目． 4．C 【解析】 【分析】

根據AC，DC解直角△ACD，可以求得AD，根據求得的AD和BD解直角△ABD，可以計算AB． 【詳解】

∵△ACD為直角三角形，∴AC2=AD2+DC2，∴AD=2，∵△ABD為直角三角形，∴AB2=AD2+BD2，∴AB=3，故選 C． 【點睛】

答案第2頁，總19頁

(cm).本題考查了直角三角形中勾股定理的靈活運用，根據兩直角邊求斜邊，根據斜邊和一條直角邊求另一條直角邊． 5．C 【解析】 【分析】

等腰直角三角形中，直角邊長和斜邊長的比值為1：，正方形面積為邊長的平方；所以要求①號正方形的面積，求出①號正方形的邊長即可． 【詳解】

要求①號正方形的面積，求①號正方形的邊長即可，題目中給出③號正方形的面積為1，即③號正方形的邊長為1，根據勾股定理4號正方形的邊長為求得①號正方形邊長為4，所以①號正方形面積為4×4=16． 故選C． 【點睛】

本題考查的是在等腰直角三角形中勾股定理的運用，已知直角邊求斜邊邊長，解本題的關鍵是正確的運用勾股定理． 6．A 【解析】 【分析】

先根據勾股定理求出折斷部分的長，再加上沒折斷的部分即可.【詳解】

米，3+5=8米.故選A.【點睛】

本題考查了勾股定理的應用，在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.也就是說，直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.7．A 【解析】 【分析】

答案第3頁，總19頁

，以此類推，可以

根據勾股定理逆定理逐項分析即可.【詳解】

A.∵42+72≠92，∴4、7、9不能組成直角三角形；

B.∵52+122=132，∴ 5、12、13能組成直角三角形；

C.∵62+82=102，∴6、8、10能組成直角三角形；

D.∵72+242=252，∴7、24、25能組成直角三角形； 故選A.【點睛】

本題考查了勾股定理逆定理,如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形,在一個三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三條邊，如果a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.8．C 【解析】 【分析】

如圖，在5×5的正方形網格中，以AB為邊畫直角△ABC，使點C在格點上，滿足這樣條件的點C的個數． 【詳解】

根據題意可得以AB為邊畫直角△ABC，使點C在格點上，滿足這樣條件的點C共 8個．

故選C． 【點睛】

本題主要考查了直角三角形的性質，解題時要注意找出所有符合條件的點． 9．B 【解析】 【分析】

利用勾股定理即可求出斜邊長． 【詳解】

答案第4頁，總19頁

由勾股定理得：斜邊長為：故選B． 【點睛】

=5．

本題考查了勾股定理；熟練掌握勾股定理，理解勾股定理的內容是解題的關鍵． 10．C 【解析】 【分析】

連接BD，BC1，利用三角形三邊關系得出BC1+DC1＞BD，得到當C1在線段BD上時，點B到點C1的距離最短，然后根據勾股定理計算即可.【詳解】 連接BD，BC1，在△C′BD中，BC1+DC1＞BD，由折疊的性質可知，C1D=CD=3，∴當C1在線段BD上時，點B到點C1的距離最短，在Rt△BCD中，BD=此時BC1=6﹣3=3，故選：C．

=6，【點睛】

本題考查了翻轉變換的性質，解題的關鍵是熟練掌握：折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應邊和對應角相等.11．4 【解析】 【分析】

根據勾股定理先求出①的斜邊，再逐步求出各三角形的斜邊即可． 【詳解】

根據勾股定理，①的斜邊=③的斜邊=；④的斜邊=

；②的斜邊=

；

．故答案為4．

答案第5頁，總19頁

【點睛】

本題主要考查了等腰直角三角形的性質，屬于基礎題型．利用勾股定理是解題的基本思路． 12．70 【解析】 【分析】

根據勾股定理以及圓面積公式，可以證明：S1+S2=S3．故S3=70． 【詳解】

設直角三角形三邊分別為a、b、c，如圖所示：

則∵a2+b2=c2，，.∴即S1+S2=S3． ∴S3=70． 故答案為：70.【點睛】 ．

本題考查了圓的面積公式和勾股定理的應用，注意發現此圖中的結論：S1+S2=S3． 13．8﹣【解析】 【分析】

作DF⊥AE于F，則四邊形DCEF為矩形，即DC=EF，要求CD的長度，求出AF即可．再根據△ABE≌△ADF，要求AF求出BE即可． 【詳解】 如圖，答案第6頁，總19頁

作DF⊥AE于F，則DCEF為矩形，DC=EF，又∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADF，∴AF=BE，在Rt△ABE中，BE=，.∴DC=EF=AE-AF=8-故答案為：8﹣.點睛】本題考查了在直角三角形中勾股定理的合理運用和全等三角形的構建及證明．解本題關鍵是求證全等三角形，和已知2邊求直角三角形的第3邊． 14．c=2 【解析】 【分析】

已知∠A，∠B根據內角和為180°，可以求出∠C，在直角△ACD中求得AD，在直角△ABD中求AD，根據AD=AD作為相等關系計算c． 【詳解】

作AD⊥BC于點D，在直角△ACD中，∠C=180°-105°-45°=30°，答案第7頁，總19頁

AD=（直角三角形中30°角所對直角邊為斜邊的一半）；

在直角△ABD中，AD=BD，且AD2+BD2=AB2，AD=

c，∴=∵b=2c，∴c=2． 故答案為：c=2． 【點睛】

本題考查了直角三角形中勾股定理的運用，本題中在直角△ACD和直角△ABD中求AD是解題的關鍵． 15．

【解析】 【分析】

先利用等腰直角三角形的性質求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出結論． 【詳解】

如圖，過點A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B=45°，∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，∵兩個同樣大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt△ADF中，根據勾股定理得，DF=

=

答案第8頁，總19頁

∴CD=BF+DF-BC=1+故答案為：【點睛】-1．-2=-1，此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，正確作出輔助線是解本題的關鍵． 16．（11，60，61）【解析】 【分析】

由勾股數組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5組勾股數中間的數為：5×（11+1）=60，進而得出（11，60，61）． 【詳解】

由勾股數組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得

第4組勾股數中間的數為4×（9+1）=40，即勾股數為（9，40，41）； 第5組勾股數中間的數為：5×（11+1）=60，即（11，60，61）． 故答案為：（11，60，61）． 【點睛】

本題主要考查了勾股數，關鍵是找出數據之間的關系，掌握勾股定理． 17．5 【解析】 【分析】

根據題意得到AC2+2AC?BC+BC2=36，根據三角形的面積公式得到AC?BC=理計算即可． 【詳解】

∵AC+BC=6，∴（AC+BC）2=AC2+2AC?BC+BC2=36．，根據勾股定∵△ABC的面積為，∴AC?BC=故答案為：5． 【點睛】，∴2AC?BC=11，∴AC2+BC2=25，∴AB=

=5．

答案第9頁，總19頁

本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．

18．【解析】 【分析】

根據勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面積：斜邊×高÷2=直角邊×直角邊÷2，就可以求出最長邊的高． 【詳解】

∵52+122=132，∴根據勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最長邊是13，設斜邊上的高為h，則S△ABC=×5×12=×13h，解得：h=．

故答案為：． 【點睛】

本題考查了勾股定理的逆定理和利用三角形的面積公式求高． 19．3﹣【解析】 【分析】

分兩種情況:情況一：如圖一所示，當∠A'DE=90°時； 情況二：如圖二所示，當∠A'ED=90°時.【詳解】

解：如圖，當∠A'DE=90°時，△A'ED為直角三角形，或2

∵∠A'=∠A=30°，∴∠A'ED=60°=∠BEC=∠B，答案第10頁，總19頁

∴△BEC是等邊三角形，∴BE=BC=2，又∵Rt△ABC中，AB=2BC=4，∴AE=2，設AD=A'D=x，則DE=2﹣x，∵Rt△A'DE中，A'D=∴x=（2﹣x），； DE，解得x=3﹣即AD的長為3﹣如圖，當∠A'ED=90°時，△A'ED為直角三角形，此時∠BEC=90°，∠B=60°，∴∠BCE=30°，∴BE=BC=1，又∵Rt△ABC中，AB=2BC=4，∴AE=4﹣1=3，∴DE=3﹣x，設AD=A'D=x，則

Rt△A'DE中，A'D=2DE，即x=2（3﹣x），解得x=2，即AD的長為2；

綜上所述，即AD的長為3﹣

或2．

答案第11頁，總19頁

故答案為：3﹣【點睛】 或2．

本題考查了翻折變換，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質等知識，添加輔助線，構造直角三角形，學會運用分類討論是解題的關鍵.20．﹣．

【解析】 【分析】

先根據勾股定理求出OA的長度【詳解】，，，OA＝OC＝，再由OC位于負半軸上，即可求出答案.∴根據勾股定理，得，點C在負半軸上，∴答案為【點睛】

本題主要考查勾股定理和無理數的應用.21．見解析 【解析】 【分析】.先將AE、BF上的網格線補齊，因為∠POQ＝90°，則P和Q都在O點的右側，且PQ在格點上，當P點在靠近A的第二個格點處，利用旋轉的方法，將OP旋轉90°，然后判斷EF上是否存在點Q使得∠POQ＝90°,同理判斷當P在第三個格點、第四個格點、第五個格點時EF上是否存在點Q使得∠POQ＝90°.答案第12頁，總19頁

【詳解】

解：△POQ如圖所示；

【點睛】

熟練掌握網格中直角三角形的作圖技巧是本題的解題關鍵.22．見解析 【解析】 【分析】

分為兩種情況：如圖1根據勾股定理求出AB長，如圖2根據勾股定理求出AB長，得出圖1時最短，畫出即可． 【詳解】 解：能；

線段AB的長就是螞蟻走的最短距離，分為兩種情況：如圖1：AC=4，BC=2+1=3，∠C=90°，由勾股定理得：AB=5；

如圖2：AC=4+1=5，BC=2，∠C=90°，在△ABC中，由勾股定理得：AB=∴沿圖1路線走時最短，＞5，；

如圖3：

答案第13頁，總19頁

即能畫出螞蟻走的最短路線：如圖從A到C′再到B或先沿底面走到C''然后走到B．

【點睛】

本題考查了勾股定理，最短路線問題的應用，關鍵是能求出符合條件的最短路線的長，題目比較好，但是一道比較容易出錯的題目． 23．0.8米 【解析】 【分析】

要求梯子的底部滑出多遠，就要求梯子原先頂部的高度AO，且△AOB，△COD均為直角三角形，可以運用勾股定理求解． 【詳解】

解：在直角三角形AOB中，根據勾股定理AB=AO+OB，可以求得： OA==2.4米，2

22現梯子的頂部滑下0.4米，即OC=2.4﹣0.4=2米，且CD=AB=2.5米，所以在直角三角形COD中DO=CD﹣CO，即DO==1.5米，22

2所以梯子的底部向外滑出的距離為1.5米﹣0.7米=0.8米． 答：梯子的底部向外滑出的距離為0.8米． 【點睛】

本題考查的是勾股定理的實際應用，找出題目中隱含的直角三角形是解題的關鍵． 24．BB′=2【解析】 【分析】

由以AC的中點O為旋轉中心，把這個三角形旋轉180°，點B旋轉至B'處，根據旋轉的性

答案第14頁，總19頁 cm．

質得OB′=OB，在Rt△BOC中，AC=BC=2cm，可得OC=1cm，根據勾股定理可計算出OB,即可得到BB′.【詳解】 如答圖所示．

因為AC=BC=2cm，所以OC=1cm． 在Rt△BOC中，OB=又因為OB′=OB=【點睛】

本題考查了旋轉的性質:旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等.也考查了等腰三角形的性質和勾股定理.25．從點A爬到點B的最短路程是10厘米． 【解析】 【分析】

根據題意畫出圓柱的側面展開圖，利用勾股定理求解即可． 【詳解】

圓柱的側面展開圖如圖所示．

=

=

（cm），cm，所以BB′=2cm．

∵圓柱的底面半徑為cm，高為8cm，∴AD=6cm，BD=8cm，∴AB==10（cm）．

答：從點A爬到點B的最短路程是10厘米． 【點睛】

本題考查的是平面展開﹣最短路徑問題，此類問題應先根據題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構造直角

答案第15頁，總19頁

三角形解決問題．

26．（1）∠BDC=90°；（2）四邊形ABCD的面積為24+16【解析】 【分析】

（1）先根據題意得出△ABD是等邊三角形，△BCD是直角三角形，進而可求出∠BDC的度數；

（2）根據四邊形周長計算BC，CD，即可求△BCD的面積，正△ABD的面積根據計算公式計算，即可求得四邊形ABCD的面積為兩個三角形的面積的和． 【詳解】

（1）∵AB=AD=8cm，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形． ∵∠ADC=150°，∴∠BDC=150°﹣60°=90°；

．

（2）∵△ABD為正三角形，AB=8cm，∴其面積為××AB×AD=16．

∵BC+CD=32﹣8﹣8=16，且BD=8，BD2+CD2=BC2，解得：BC=10，CD=6，∴直角△BCD的面積=×6×8=24，故四邊形ABCD的面積為24+16【點睛】

．

本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵． 27．(1)見解析;(2)見解析.【解析】 【分析】

（1）利用平行四邊形的性質以及其面積求法進而得出答案；（2）利用正方形的性質以及勾股定理進而得出答案． 【詳解】

（1）如圖1所示：平行四邊形BCDE即為所求；（2）如圖2所示：正方形CDEF即為所求．

答案第16頁，總19頁

【點睛】

此題主要考查了復雜作圖以及平行四邊形、正方形的性質，正確應用網格是解題關鍵．

28．【解析】 【分析】

根據勾股定理求出CD的長，再設AD為未知數x，則AB＝CD＋x，在Rt△BDA中，BD2＋AD2＝AB2,列一元二次方程求解得到AD.則S△ABC＝AC×BD＝（AD＋CD）×BD.【詳解】 ：∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，BD＝8，BC＝10，∴CD＝6，設AB＝AC＝x，則AD＝x﹣6，在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∴（x﹣6）2＋82＝x2，∴x＝，∴S△ABC＝AC?BD＝【點睛】

本題主要考查了勾股定理以及一元二次方程的應用，熟練掌握這些知識是解答此類問題的關鍵.．

29．（1）①作圖見解析；②作圖見解析；（2）CD=． 【解析】 【分析】

（1）①按作角平分線的步驟（以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，與角的兩邊各有一個

答案第17頁，總19頁

交點，分別以這兩個交點為圓心，以大于這兩點距離的一半為半徑畫弧，兩弧在角內交于一點，過點A以及這個交點作射線即可）進行作圖即可得；

②根據過直線外一點作直線的垂線的方法（以點D為圓心，以大于點D到直線AB的距離為半徑畫弧，與AB交于兩點，分別以這兩點為圓心，以大于這兩點的距離的一半畫弧，兩弧交于一點，過點D以及這個交點畫直線即可）進行作圖即可得；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AB的長，根據作圖可知DE=DC，∠AED=∠C=90°，再根據S△ACD+S△ABD=S△ABC，列式計算即可得答案.【詳解】

（1）如圖所示：①AD是∠A的平分線； ②DE是AB的垂線；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得： AB=

=5，由作圖過程可知：DE=DC，∠AED=∠C=90°，∵S△ACD+S△ABD=S△ABC，∴AC?CD+AB?DE=AC?BC，∴×3×CD+×5×CD=×3×4，解得：CD=． 【點睛】

本題考查了作圖——復雜作圖，勾股定理、三角形的面積等知識，熟練掌握角平分線的作法、垂線的作法是解題的關鍵.30．見解析 【解析】

答案第18頁，總19頁

【分析】（1）為直角邊長為1，1的直角三角形的斜邊長；

為直角邊長為1，2的直角三角形的斜邊長；為直角邊長為2，3的直角三角形的斜邊長；

（2）在AB的左邊做AB′⊥AB，AC′⊥AC，且AB′=AB，AC′=AC，連接B′C′即可；把BB′放在直角邊長為2，4的直角三角形的斜邊上，利用勾股定理即可求得BB′長；（3）有5個正方形，那么新正方形的面積為5，邊長為，分成3塊，應有兩條剪切線，那么應沿左邊第一列兩個正方形組成的長方形和下邊第一行右邊兩個正方形組成的長方形的對角線剪切，注意應分割為3塊． 【詳解】

（1）

（2）B和B1之間的距離為（3）①

；

；

②正方形的面積S=5． 【點睛】

無理數通常轉換為直角邊長為有理數的直角三角形的斜邊的長；正方形的面積的算術平方根為正方形的邊長．

答案第19頁，總19頁

第四篇：高中數學競賽講義(八)平面向量

高中數學競賽講義

（八）──平面向量

一、基礎知識

定義1 既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時用有向線段來表示，線段的長度表示向量的模。向量的符號用兩個大寫字母上面加箭頭，或一個小寫字母上面加箭頭表示。書中用黑體表示向量，如a.|a|表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量。

定義2 方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量），規定零向量與任意一個非零向量平行和結合律。

定理1 向量的運算，加法滿足平行四邊形法規，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結合律。

定理2 非零向量a, b共線的充要條件是存在實數

0，使得a=

f

定理3平面向量的基本定理，若平面內的向量a, b不共線，則對同一平面內任意向是c，存在唯一一對實數x, y，使得c=xa+yb，其中a, b稱為一組基底。

定義3 向量的坐標，在直角坐標系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i, j作為基底，任取一個向量c，由定理3可知存在唯一一組實數x, y，使得c=xi+yi，則（x, y）叫做c坐標。

定義4 向量的數量積，若非零向量a, b的夾角為，則a, b的數量積記作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos，也稱內積，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能為負值）。定理4平面向量的坐標運算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=4.a//bx1y2=x2y1, a

b

x1x2+y1y2=0.(a, b0)，定義5 若點P是直線P1P2上異于p1，p2的一點，則存在唯一實數λ，使，λ叫P分所成的比，若O為平面內任意一點，則。由此可得若P1，P，P2的坐標分別為(x1, y1),(x, y),(x2, y2)，則

講義八

/ 8

定義6 設F是坐標平面內的一個圖形，將F上所有的點按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=個單位得到圖形，這一過程叫做平移。設p(x, y)是F上任意一點，平移到上對應的點為，則稱為平移公式。

定理5 對于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.【證明】 因為|a|2·|b|2-|a·b|2=

-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的兩個結論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|a·b|≤|a|·|b|，化簡即為柯西不等式：

(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的兩個結論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|a·b|≤|a|·|b|，化簡即為柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。

2）對于任意n個向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。

二、方向與例題

1．向量定義和運算法則的運用。

例1 設O是正n邊形A1A2…An的中心，求證：

【證明】 記后與原正n邊形重合，所以，若

不變，這不可能，所以，則將正n邊形繞中心O旋轉

例2 給定△ABC，求證：G是△ABC重心的充要條件是【證明】必要性。如圖所示，設各邊中點分別為D，E，F，延長AD至P，使DP=GD，則

又因為BC與GP互相平分，所以BPCG為平行四邊形，所以BG所以

PC，所以

講義八

/ 8

充分性。若因為，延長AG交BC于D，使GP=AG，連結CP，則，則，所以GB

CP，所以AG平分BC。

同理BG平分CA。

所以G為重心。

例3 在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對角線BD和AC的中點，求證：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。

【證明】 如圖所示，結結BQ，QD。

因為所以==又因為同理，②，③

由①，②，③可得

。得證。

2．證利用定理2證明共線。

例4 △ABC外心為O，垂心為H，重心為G。求證：O，G，H為共線，且OG：GH=1：2。，·

①

【證明】 首先

=

其次設BO交外接圓于另一點E，則連結CE后得CE又AH又EABC，所以AH//CE。AB，CH

AB，所以AHCE為平行四邊形。

講義八

/ 8

所以所以所以所以與，共線，所以O，G，H共線。

所以OG：GH=1：2。

3．利用數量積證明垂直。

例5 給定非零向量a, b.求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是a【證明】|a+b|=|a-b|

(a+b)2=(a-b)

2b.a·b=0

a

b.a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2例6 已知△ABC內接于⊙O，AB=AC，D為AB中點，E為△ACD重心。求證：OECD。

【證明】 設，則，又，所以

a·(b-c).（因為|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）

又因為AB=AC，OB=OC，所以OA為BC的中垂線。所以a·(b-c)=0.所以OE

CD。

4．向量的坐標運算。

例7 已知四邊形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點F，求證：AF=AE。

講義八/ 8

【證明】 如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點建立直角坐標系，設正方形邊長為1，則A，B坐標分別為（-1，1）和（0，1），設E點的坐標為（x, y），則y-1), 又因為，因為，所以-x-(y-1)=0.=(x,，所以x2+y2=2.由①，②解得

所以

設所以所以，則，即F=4+

。由和，共線得，所以AF=AE。

三、基礎訓練題

1．以下命題中正確的是__________.①a=b的充要條件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，則b=c；④若a, b不共線，則xa+yb=ma+nb的充要條件是x=m, y=n；⑤若在b=(-3, 4)上的投影為-4。

2．已知正六邊形ABCDEF，在下列表達式中：①③ ；④

與，相等的有__________.；②；，且a, b共線，則A，B，C，D共線；⑥a=(8, 1)3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，則|x|+|y|=__________.4．設s, t為非零實數，a, b為單位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，則a和b的夾角為__________.5．已知a, b不共線，條件.6．在△ABC中，M是AC中點，N是AB的三等分點，且于D，若7．已知__________.8．已知

=b, a·b=|a-b|=2，當△AOB面積最大時，a與b的夾角為__________.講義八

/ 8

=a+kb, =la+b，則“kl-1=0”是“M，N，P共線”的__________，BM與CN交，則λ=__________.不共線，點C分

所成的比為2，則9．把函數y=2x2-4x+5的圖象按向量a平移后得到y=2x2的圖象，c=(1,-1), 若c·b=4，則b的坐標為__________.，10．將向量a=(2, 1)繞原點按逆時針方向旋轉得到向量b，則b的坐標為__________.與11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，試問的夾角取何值時的值最大？并求出這個最大值。

12．在四邊形ABCD中，如果a·b=b·c=c·d=d·a，試判斷四邊形ABCD的形狀。

四、高考水平訓練題

1．點O是平面上一定點，A，B，C是此平面上不共線的三個點，動點P滿足

則點P的軌跡一定通過△ABC的________心。

2．在△ABC中，3．非零向量=__________.4．若O為△ABC 的內心，且為__________.5．設O點在△ABC 內部，且__________.6．P是△ABC所在平面上一點，若__________心.7．已知，則|

|的取值范，則P是△ABC 的，則△AOB與△AOC的面積比為，則△ABC 的形狀，且a·b<0，則△ABC的形狀是__________.，若點B關于

所在直線對稱的點為B1，則圍是__________.8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是__________.9．在△ABC中，O為中線AM上的一個動點，若AM=2，則值為__________.10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2,-2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.講義八

/ 8 的最小11．設G為△ABO的重心，過G的直線與邊OA和OB分別交于P和Q，已知，△OAB與△OPQ的面積分別為S和T，（1）求y=f(x)的解析式及定義域；（2）求的取值范圍。

12．已知兩點M（-1，0），N（1，0），有一點P使得成公差小于零的等差數列。

（1）試問點P的軌跡是什么？（2）若點P坐標為(x0, y0), 求tan.五、聯賽一試水平訓練題

1．在直角坐標系內，O為原點，點A，B坐標分別為（1，0），（0，2），當實數p, q

為

與的夾角，滿足時，若點C，D分別在x軸，y軸上，且，則直線CD恒過一個定點，這個定點的坐標為___________.2．p為△ABC內心，角A，B，C所對邊長分別為a, b, c.O為平面內任意一點，則

=___________（用a, b, c, x, y, z表示）.3．已知平面上三個向量a, b, c均為單位向量，且兩兩的夾角均為1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，則k的取值范圍是___________.4．平面內四點A，B，C，D滿足，則的取值有___________個.5．已知A1A2A3A4A5是半徑為r的⊙O內接正五邊形，P為⊙O上任意一點，則

取值的集合是___________.6．O為△ABC所在平面內一點，A，B，C為△ABC 的角，若sinA·+sinC·，則點O為△ABC 的___________心.(a-b)”的___________條件.，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，則△ABC

+sinB·7．對于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)8．在△ABC 中，三邊長之比|a|：|b|：|c|=____________.9．已知P為△ABC內一點，且，CP交AB于D，求證：

講義八

/ 8

10．已知△ABC的垂心為H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分別為O1，O2，O3，令，求證：（1）2p=b+c-a；（2）H為△O1O2O3的外心。

11．設坐標平面上全部向量的集合為V，a=(a1, a2)為V中的一個單位向量，已知從V到的變換T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)確定，（1）對于V的任意兩個向量x, y, 求證：T(x)·T(y)=x·y；

（2）對于V的任意向量x，計算T[T(x)]-x；（3）設u=(1, 0)；，若，求a.六、聯賽二試水平訓練題

1．已知A，B為兩條定直線AX，BY上的定點，P和R為射線AX上兩點，Q和S為射線BY上的兩點，為定比，M，N，T分別為線段AB，PQ，RS上的點，為另一定比，試問M，N，T三點的位置關系如何？證明你的結論。

2．已知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對角線，點M，N分別內分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三點共線，求r.3．在矩形ABCD的外接圓的弧AB上取一個不同于頂點A，B的點M，點P，Q，R，S是M分別在直線AD，AB，BC，CD上的射影，求證：直線PQ與RS互相垂直。

4．在△ABC內，設D及E是BC的三等分點，D在B和F之間，F是AC的中點，G是AB的中點，又設H是線段EG和DF的交點，求比值EH：HG。

5．是否存在四個平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個向量之和均與其余兩個向量之和垂直？

6．已知點O在凸多邊形A1A2…An內，考慮所有的AiOAj，這里的i, j為1至n中不同的自然數，求證：其中至少有n-1個不是銳角。

7．如圖，在△ABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF交于點H，直線ED和AB交于點M，FD和AC交于點N，求證：（1）OB

DF，OC

DE，（2）OH

MN。

8．平面上兩個正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列順序一致，過平面上一點O作，求證△ABC為正三角形。

9．在平面上給出和為 的向量a, b, c, d，任何兩個不共線，求證：

|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.講義八/ 8

第五篇：高中數學平面向量的公式知識點

【摘要】“高中數學平面向量的公式知識點”數學公式講解是這門學科的要點，套用公式是最終的題解方法，希望本文可以為大家帶來幫助：

定比分點

定比分點公式(向量P1P=λ?向量PP2)設P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實數 λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點坐標公式)我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式

三點共線定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線

三角形重心判斷式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心

[編輯本段]向量共線的重要條件

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數λ，使a=λb。

a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

[編輯本段]向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是 a?b=0。

a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.設a=(x，y)，b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。

向量加法的運算律：

交換律：a+b=b+a;結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0 AB-AC=CB.即“共同起點，指向被減”

a=(x,y)b=(x',y')則 a-b=(x-x',y-y').4、數乘向量

實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

當λ>0時，λa與a同方向;當λ<0時，λa與a反方向;當λ=0時，λa=0，方向任意。

當a=0時，對于任意實數λ，都有λa=0。注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實數λ叫做向量a的系數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當∣λ∣>1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;當∣λ∣<1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。

數與向量的乘法滿足下面的運算律

結合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

向量對于數的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.數對于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的數量積

定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規定0≤〈a,b〉≤π 定義：兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量，記作a?b。若a、b不共線，則a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉;若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。

向量的數量積的坐標表示：a?b=x?x'+y?y'。

向量的數量積的運算律

a?b=b?a(交換律);(λa)?b=λ(a?b)(關于數乘法的結合律);(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);向量的數量積的性質

a?a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a?b=0。

|a?b|≤|a|?|b|。

向量的數量積與實數運算的主要不同點

1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c);例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。

2、向量的數量積不滿足消去律，即：由 a?b=a?c(a≠0)，推不出 b=c。

3、|a?b|≠|a|?|b|

4、由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量積

定義：兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

向量的向量積性質：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量積運算律

a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 當且僅當a、b反向時，左邊取等號;② 當且僅當a、b同向時，右邊取等號。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 當且僅當a、b同向時，左邊取等號;② 當且僅當a、b反向時，右邊取等號。