第一篇：平面向量的應(yīng)用

平面向量的應(yīng)用

平面向量是一個解決數(shù)學(xué)問題的很好工具，它具有良好的運(yùn)算和清晰的幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。下面舉例說明。

一、用向量證明平面幾何定理

例1.用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。

已知：如圖1，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O上任一點(diǎn)（不與A、B重合），求證：∠APB＝90°。

??????證明：聯(lián)結(jié)OP，設(shè)向量OA?a，OP?b，則OB??a且PA?OA?OP?a?b，???PB?OB?OP?a?b ???PA?PB?b2?a2?|b|2?|a|2?0

???PA?PB，即∠APB＝90°。

二、用向量求三角函數(shù)值

例2.求值：cos圖

1?解：如圖2，將邊長為1的正七邊形ABCDEFO放進(jìn)直角坐標(biāo)系中，則OA?(1，0)，?

??2?2?4?4?6?6?AB?(cos，sin)，BC?(cos，sin)，CD?(cos，sin)，777777 ???8?8?10?10?12?12?DE?(cos，sin)，EF?(cos，sin)，F(xiàn)O?(cos，sin)7777772?4?6??cos?cos 777

???????又OA?AB?BC?CD?DE?EF?FO?0

圖

2?1?cos2?4?6?8?10?12??cos?cos?cos?cos?cos?0 777777

8?6?10?4?12?2??cos，cos?cos，cos?cos又cos 777777

2?4?6??1?2(cos?cos?cos)?0777 2?4?6?1?cos?cos?cos??7772

三、用向量證明不等式

222例3.證明不等式(a1b1?a2b2)2?(a1?a2)(b?b212)

證明：設(shè)向量a?(a1，a2)，b?(b1，b2)，則|a|?

與b的夾角為θ，cos??

又|cos?|?

1222則(a1b1?a2b2)2?(a1?a

22)(b1?b2)22a1?a2|b|?b1?b22，2，設(shè)aa?b?|a||b|a1b1?a2b2a?a2122b?b2122

當(dāng)且僅當(dāng)a、b共線時取等號。

四、用向量解物理題 ?????例4.如圖3所示，正六邊形PABCDE的邊長為b，有五個力PA、PB、PC、PD、PE作用于同一點(diǎn)P，求五個力的合力。

?????解：所求五個力的合力為PA?PB?PC?PD?PE，如圖3所示，以PA、PE為邊作平?????行四邊形PAOE，則PO?PA?PE，由正六邊形的性質(zhì)可知|PO|?|PA|?b，且O點(diǎn)在???PC上，以PB、PD為邊作平行四邊形PBFD，則PF?PB?PD，由正六邊形的性質(zhì)可知?|PF|?3b，且F點(diǎn)在PC的延長線上。

?由正六邊形的性質(zhì)還可求得|PC|?2b

?故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為b?2b?3b?6b，方向與PC的方向

相同。

圖3

第二篇：平面向量復(fù)習(xí)題

平面 向 量

向量思想方法和平面向量問題是新考試大綱考查的重要部分，是新高考的熱點(diǎn)問題。題型多為選擇或填空題，數(shù)量為1-2題，均屬容易題，但是向量作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要工具在三角、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解幾、立幾等問題解決中處處閃光。最近幾年的考試中向量均出現(xiàn)在解析幾何題中，在解析幾何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的運(yùn)算性質(zhì)、考查向量幾何意義的應(yīng)用，并直接與距離問題、角度問題、軌跡問題等相聯(lián)系。近年考綱又新增“平面向量在幾何中的應(yīng)用”試題進(jìn)一步要求我們具備多角度、多方向地分析，去探索、去發(fā)現(xiàn)、去研究、去創(chuàng)新，而不是去做大量的模仿式的解題。一個問題解決后，不能匆匆而過，回顧與反思是非常有必要的，以充分發(fā)揮每一道題目的價值。除了要重視一題多解外，更要重視一題多變，主動探索：條件和結(jié)論換一種說法如何？變換一個條件如何？反過來又會怎么樣？等等。只有這樣才能做到舉一反三，以不變應(yīng)萬變。

一、高考考綱要求

1．理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．

2．掌握向量的加法與減法．

3．掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．

4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．

5．掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

6．掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)公式，并且能熟練運(yùn)用；掌握平移公式．

二、高考熱點(diǎn)分析

在高考試題中，對平面向量的考查主要有三個方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則，理解和運(yùn)用其直觀的幾何意義，并能正確地進(jìn)行計算。其二考查向量坐標(biāo)表示，向量的線性運(yùn)算。

其三是和其他知識結(jié)合在一起，在知識的交匯點(diǎn)設(shè)計試題，考查向量與學(xué)科知識間綜合運(yùn)用能力。

數(shù)學(xué)高考命題注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交互滲透，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)設(shè)計試題．由于向量具有代數(shù)和幾何的雙重身份，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)知識的媒介．因此，平面向量與其他知識的結(jié)合特別是與解析幾何的交匯、融合仍將是高考命題的一大趨勢，同時它仍將是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容．

附Ⅰ、平面向量知識結(jié)構(gòu)表

1.考查平面向量的基本概念和運(yùn)算律

1此類題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，主要考查平面向量的有關(guān)概念與性質(zhì)，要求考生深刻理解平面向量的相關(guān)概念，能熟練進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，熟悉常用公式及結(jié)論，理解并掌握兩向量共線、垂直的充要條件。1．(北京卷)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

（）

2．(江西卷)已知向量

A．30°

?(1,2),(?2,?4),||?

B．60°,若(?)??

C．120°,則與的夾角為

2（）

D．150°

3．(重慶卷)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D為線段BC的中點(diǎn)，則

A．

與的夾角為（）

444

4B．a(chǎn)rccos C．a(chǎn)rccos(?)D．－arccos(?)

2555

5???????

4．(浙江卷)已知向量a≠e，|e|＝1，對任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則

?arccos

?

（）

??A．a(chǎn)⊥e ???B．a(chǎn)⊥(a－e)

?

???C．e⊥(a－e)????D．(a＋e)⊥(a－e)

????????．(上海卷)在△ABC中，若?C?90，AC?BC?4，則BA?BC? 2.考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1．(湖北卷)已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超過5，則k的取值范圍是

A．[－4，6]

2．(重慶卷)設(shè)向量a=（－1，2），b=（2，－1），則（a·b）（a+b）等于

A．（1，1）

B．（－4，－4）

C．－4

D．（－2，－2）

()

（）

B．[－6，4]

C．[－6，2]

D．[－2，6]

（）

????

3．(浙江卷)已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構(gòu)成的集合是

A．{2，3}

B．{－1，6}

C．{2}

D．{6}

例4．(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(－3,4)，若點(diǎn)C在∠AOB的平分線上且||=2,則OC=。

????????????

5．(全國卷)已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A、B、C三點(diǎn)共線，則k=.6．(湖北卷)已知向量a7．(廣東卷)已知向量a

?(?2,2),b?(5,k).若|a?b|不超過5，則k的取值范圍是

?(2,3),b?(x,6),且a//b,則x.3.平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

????????

????????ABAC

?),??[0,??),則1.O是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足OP?OA??(|AB||AC|

P的軌跡一定通過△ABC

A．外心的（）B．內(nèi)心

C．重心

D．垂心

????

2．（遼寧卷）已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對角線AC上（不包括端點(diǎn)A,C），則AP等于（）

????????????????A．?(AB?AD),??(0,1)

B.?(AB?BC),??(0,????????????????C.?(AB?AD),??(0,1)

D.?(AB?BC),??(0,??????

3．已知有公共端點(diǎn)的向量a，b不共線，|a|＝1，|b|=2,則與向量a，b的夾角平分線平行的單位向量是.????????????????

4．已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個定點(diǎn)A(?2,?1)、B(0,10)、C(8,0)，若動點(diǎn)P滿足：OP?OA?t(AB?AC),t?R，則點(diǎn)P的軌跡方程。

4.平面向量與三角函數(shù)、函數(shù)等知識的結(jié)合當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式。在此基礎(chǔ)上，可以設(shè)計出有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題。此類題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：

①利用向量平行或垂直的充要條件，②利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).1．(江西卷)已知向量?(2cos

xx?x?x?,tan(?)),?(2sin(?),tan(?)),令f(x)??.224242

4求函數(shù)f(x)的最大值，最小正周期，并寫出f(x)在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間.2．(山東卷)已知向量

??

m?(cos?,sin?)

和

?n?

sin?,cos?,????,2??

?，且

???m?n?求

????

cos???的值.?28?

3．(上海卷)已知函數(shù)

f(x)?kx?b的圖象與x,y軸分別相交于點(diǎn)

A、B，?2?2（,分別是與x,y軸正半

軸同方向的單位向量），函數(shù)g(x)

?x2?x?6.f(x)?g(x)時，求函數(shù)

（1）求k,b的值；（2）當(dāng)x滿足

g(x)?

1的最小值.f(x)

【反思】這類問題主要是以平面向量的模、數(shù)量積、夾角等公式和相互知識為紐帶，促成與不等式知識的相互遷移，有效地考查平面向量有關(guān)知識、不等式的性質(zhì)、不等式的解法、不等式的應(yīng)用及綜合解題能力。

5.平面向量與解析幾何的交匯與融合由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運(yùn)算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和紐帶。而解析幾何也具有數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的特征，所以在向量與解析幾何知識的交匯處設(shè)計試題，已逐漸成為高考命題的一個新的亮點(diǎn)。

平面幾何與解析幾何的結(jié)合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，解決此類問題基本思路是將幾何問題坐標(biāo)化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算；或者考慮向量運(yùn)算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問題。主要包括以下三種題型：

1、運(yùn)用向量共線的充要條件處理解幾中有關(guān)平行、共線等問題

運(yùn)用向量共線的充要條件來處理解幾中有關(guān)平行、共線等問題思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分點(diǎn)公式研究這類問

題要簡捷的多。

2、運(yùn)用向量的數(shù)量積處理解幾中有關(guān)長度、角度、垂直等問題

運(yùn)用向量的數(shù)量積，可以把有關(guān)的長度、角度、垂直等幾何關(guān)系迅速轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而“計算”出所要求的結(jié)果。

3、運(yùn)用平面向量綜合知識，探求動點(diǎn)軌跡方程，還可再進(jìn)一步探求曲線的性質(zhì)。

1．(江西卷)以下同個關(guān)于圓錐曲線的命題中 ①設(shè)A、B為兩個定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA|?|PB|?k，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；

?

(?),則動點(diǎn)P的軌跡為橢圓； 2

②設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若③方程2x

?5x?2?0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

x2y2x2

??1與橢圓?y2?1有相同的焦點(diǎn).④雙曲線

25935

其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）

???????????

2．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A(3,1),B(?1,3)，若點(diǎn)C滿足OC??0A??OB，其中?,??R，且?

???1，則點(diǎn)C的軌跡方程為()

A.C.3x?2y?11?0B.(x?1)2?(y?2)2?5 2x?y?0D.x?2y?5?0

2．已知平面上一個定點(diǎn)C（－1，0）和一條定直線l：x＝－4，P為該平面上一動點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，????????????????

（PQ＋2PC）?（PQ－2PC）＝0.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；

????????

PC的取值范圍．（2）求PQ·

第三篇：平面向量說課稿

平面向量說課稿

我說課的內(nèi)容是《平面向量的實(shí)際背景及基本概念》的教學(xué),所用的教材是人民教育出版社出版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修四,教學(xué)內(nèi)容為第74頁至76頁.下面我從教材分析, 重點(diǎn)難點(diǎn)突破,教學(xué)方法和教學(xué)過程設(shè)計四個方面來說明我對這節(jié)課的教學(xué)設(shè)想.一 教材分析

1地位和作用

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一,有著深刻的幾何背景,是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移),相似,垂直,勾股定理等就可以轉(zhuǎn)化為向量的加(減)法,數(shù)乘向量,數(shù)量積運(yùn)算(運(yùn)算率),從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系.向量是溝通代數(shù),幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實(shí)際背景,在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用.平面向量的基本概念是在學(xué)生了解了物理學(xué)中的有關(guān)力,位移等矢量的概念的基礎(chǔ)上進(jìn)一步對向量的深入學(xué)習(xí).為學(xué)習(xí)向量的知識體系奠定了知識和方法基礎(chǔ).2教學(xué)結(jié)構(gòu)

課本在這一部分內(nèi)容的教學(xué)為一課時,首先從實(shí)際例子出發(fā),抽象出向量的概念,并重點(diǎn)說明了向量與數(shù)量的區(qū)別.然后介紹了向量的幾何表示,向量的長度,零向量,單位向量,平行向量,共線向量,相

等向量等基本概念.為使學(xué)生更好地掌握這些基本概念,同時深化其認(rèn)知過程和探究過程.在教學(xué)中我將這樣安排教學(xué):將本節(jié)教學(xué)中認(rèn)知過程的教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)集中,以突出這節(jié)課的主題;例題,習(xí)題部分主要由學(xué)生依照概念自行分析,獨(dú)立完成.3教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)本課教材的特點(diǎn),新大綱對本節(jié)課的教學(xué)要求,學(xué)生身心發(fā)展的合理需要,我從三個方面確定了以下教學(xué)目標(biāo):(1)基礎(chǔ)知識目標(biāo):理解向量,零向量,單位向量,共線向量,平行向量,相等向量的概念,會用字母表示向量,能讀寫已知圖中的向量.會根據(jù)圖形判定向量是否平行,共線,相等.(2)能力訓(xùn)練目標(biāo)： 培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、類比、聯(lián)想等發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察問題,分析問題,解決問題的能力。(3)情感目標(biāo)：讓學(xué)生在民主、和諧的共同活動中感受學(xué)習(xí)的樂趣。

二

重點(diǎn)難點(diǎn)突破

由于本節(jié)課是本章內(nèi)容的第一節(jié)課，是學(xué)生學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ).為了本章后面知識的學(xué)習(xí)，首先必須掌握向量的概念，要抓住向量的本質(zhì):大小與方向.所以向量,相等向量的概念,向量的幾何表示是這節(jié)課的重點(diǎn).本節(jié)課是為高一后半學(xué)期學(xué)生設(shè)計的,盡管此時的學(xué)生已經(jīng)有了一定的學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣,但根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),多數(shù)學(xué)生對向量的認(rèn)識還比較單一,僅僅考慮其大小,忽略其方向,這對學(xué)生的理解能力要求比較高,所以我認(rèn)為向量概念也是這節(jié)課的難點(diǎn).而解決這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是多用復(fù)雜的幾何圖形中相等的有向線段讓學(xué)生進(jìn)

行辨認(rèn),加深對向量的理解.三 教學(xué)方法

本節(jié)課我采用了“啟發(fā)探究式”的教學(xué)方法,根據(jù)本課教材的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際情況在教學(xué)中突出以下兩點(diǎn):(1)由教材的特點(diǎn)確立類比思維為教學(xué)的主線.從教材內(nèi)容看平面向量無論從形式還是內(nèi)容都與物理學(xué)中的有向線段,矢量的概念類似.因此在教學(xué)中運(yùn)用類比作為思維的主線進(jìn)行教學(xué).讓學(xué)生充分體會數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科之間的聯(lián)系以及發(fā)生與發(fā)展的過程.(2)由學(xué)生的特點(diǎn)確立自主探索式的學(xué)習(xí)方法

通常學(xué)生對于概念課學(xué)起來很枯燥,不感興趣,因此要考慮學(xué)生的情感需要,找一些學(xué)生感興趣的題材來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,另外,學(xué)生都有表現(xiàn)自己的欲望,希望得到老師和其他同學(xué)的認(rèn)可,要多表揚(yáng),多肯定來激勵他們的學(xué)習(xí)熱情.考慮到學(xué)生思維較為活躍,對自主探索式的學(xué)習(xí)方法也有一定的認(rèn)識,所以在教學(xué)中我通過創(chuàng)設(shè)問題情境,啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用科學(xué)的思維方法進(jìn)行自主探究.將學(xué)生的獨(dú)立思考,自主探究,交流討論等探索活動貫穿于課堂教學(xué)的全過程,突出學(xué)生的主體作用.四 教學(xué)過程設(shè)計

Ⅰ知識引入階段---提出學(xué)習(xí)課題,明確學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)創(chuàng)設(shè)情境——引入概念

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該與學(xué)生的生活融合起來，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的

知識背景出發(fā)，讓他們在生活中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、認(rèn)識并掌握數(shù)學(xué)。

由生活中具體的向量的實(shí)例引入:大海中船只的航線,中國象棋中”馬”,”象”的走法等.這些符合高中學(xué)生思維活躍,想象力豐富的特點(diǎn),有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.(2)觀察歸納——形成概念

由實(shí)例得出有向線段的概念,有向線段的三個要素:起點(diǎn),方向,長度.明確知道了有向線段的起點(diǎn),方向和長度,它的終點(diǎn)就唯一確定.再有目的的進(jìn)行設(shè)計,引導(dǎo)學(xué)生概括總結(jié)出本課新的知識點(diǎn)：向量的概念及其幾何表示。(3)討論研究——深化概念

在得到概念后進(jìn)行歸納,深化,之后向?qū)W生提出以下三個問題: ①向量的要素是什么? ②向量之間能否比較大小? ③向量與數(shù)量的區(qū)別是什么? 同時指出這就是本節(jié)課我們要研究和學(xué)習(xí)的主題.Ⅱ知識探索階段---探索平面向量的平行向量.相等向量等概念(1)總結(jié)反思——提高認(rèn)識

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共線向量，并且規(guī)定0與任一向量平行．長度相等且方向相同的向量叫相等向量，規(guī)定零向量與零向量相等．平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要條件.(2)即時訓(xùn)練—鞏固新知

為了使學(xué)生達(dá)到對知識的深化理解，從而達(dá)到鞏固提高的效果，我特地設(shè)計了一道即時訓(xùn)練題，通過學(xué)生的觀察嘗試，討論研究，教師引導(dǎo)來鞏固新知識。下列命題正確的是()

A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c也共線

B．任意兩個相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)

C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量

D．有相同起點(diǎn)的兩個非零向量不平行 III 知識應(yīng)用階段---分析解決問題，歸納解題方法（1）分析解決問題

先引導(dǎo)學(xué)生分析解決問題.包括向量的概念,:向量相等的概念.抓住相等向量概念的實(shí)質(zhì):兩個向量只有當(dāng)它們的模相等,同時方向又相同時,才能稱它們相等.進(jìn)而進(jìn)行正確的辨認(rèn),直至最終解決問題.（2）歸納解題方法

主要引導(dǎo)學(xué)生歸納以下兩個問題:①零向量的方向是任意的,它只與零向量相等;②兩個向量只要它們的模相等,方向相同就是相等向量.一個向量只要不改變它的大小和方向,是可以任意平行移動的,即向量是自由的.Ⅳ 學(xué)習(xí),小結(jié)階段---歸納知識方法,布置課后作業(yè)

本階段通過學(xué)習(xí)小結(jié)進(jìn)行課堂教學(xué)的反饋,組織和指導(dǎo)學(xué)生歸納知識,技能,方法的一般規(guī)律,為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).(1)知識方法小結(jié) 在知識層面上我首先引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容,提醒學(xué)生要抓住向量的本質(zhì):大小與方向,對它們進(jìn)行類比,加深對每個概念的理解.在方法層面上我將帶領(lǐng)學(xué)生回顧探索過程中用到的思維方法和數(shù)學(xué)方法如:類比,數(shù)形結(jié)合,等價轉(zhuǎn)化等.(2)布置課后作業(yè)

整理課堂筆記,習(xí)題2.1第1,2,3題.

第四篇：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．課題：平面向量概念

二、教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生了解向量的物理實(shí)際背景，理解平面向量的一些基本概念，能正確進(jìn)行平面向量的幾何表示。

2、讓學(xué)生經(jīng)歷類比方法學(xué)習(xí)向量及其幾何表示的過程，體驗(yàn)對比理解向量基本概念的簡易性，從而養(yǎng)成科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。

3、通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受向量的概念方法源于現(xiàn)實(shí)世界，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

三．教學(xué)類型：新知課

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1、重點(diǎn)：向量及其幾何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、難點(diǎn)：向量的概念及對平行向量的理解。

五、教學(xué)過程

（一）、問題引入

1、在物理中，位移與距離是同一個概念嗎？為什么？

2、在物理中，我們學(xué)到位移是既有大小、又有方向的量，你還能舉出一些這樣的量嗎？

3、在物理中，像這種既有大小、又有方向的量叫做矢量。在數(shù)學(xué)中，我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，沒有方向的量叫數(shù)量。

（二）講授新課

1、向量的概念

練習(xí)1 對于下列各量：

①質(zhì)量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨體積 ⑩溫度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的幾何表示

請表示一個豎直向下、大小為5N的力，和一個水平向左、大小為8N的力（1厘米表示1N）。思考一下物理學(xué)科中是如何表示力這一向量的？

（1）有向線段及有向線段的三要素（2）向量的模

（4）零向量，記作＿＿＿＿；（5）單位向量

練習(xí)2 邊長為6的等邊△ABC中，＝＿＿，與 相等的還有哪些？

總結(jié)向量的表示方法： 1）、用有向線段表示。

2）、用字母表示。

3、相等向量與共線向量（1）相等向量的定義（2）共線向量的定義

六．教具：黑板 七．作業(yè) 八．教學(xué)后記

第五篇：平面向量教案

平面向量教案

課

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二、復(fù)習(xí)要求

、向量的概念;

2、向量的線性運(yùn)算:即向量的加減法,實(shí)數(shù)與向量的乘積,兩個向量的數(shù)量積等的定義,運(yùn)算律;

3、向量運(yùn)算的運(yùn)用

三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)、向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過程中,借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋,有時甚至更簡捷。

向量運(yùn)算中的基本圖形:①向量加減法則:三角形或平行四邊形;②實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義--共線;③定比分點(diǎn)基本圖形--起點(diǎn)相同的三個向量終點(diǎn)共線等。

2、向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。

向量的加減法,實(shí)數(shù)與向量的乘積,兩個向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算,前兩者的結(jié)果是向量,兩個向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式:圖形、符號、坐標(biāo)語言。

主要內(nèi)容列表如下:

運(yùn)算圖形語言符號語言坐標(biāo)語言

加法與減法

=

-=

記=,=

則=

-==

實(shí)數(shù)與向量

的乘積

=λ

λ∈R記=

則λ=兩個向量

的數(shù)量積

·=||||

cos<,>

記=,=

則·=x1x2y1y2

3、運(yùn)算律

加法:=,=

實(shí)數(shù)與向量的乘積:λ=λλ;=λμ,λ=

兩個向量的數(shù)量積:·=·;·=·=λ,·=··

說明:根據(jù)向量運(yùn)算律可知,兩個向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則,正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡化向量的運(yùn)算,例如2=

4、重要定理、公式

平面向量基本定理;如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于該平面內(nèi)任一向量,有且只有一對數(shù)數(shù)λ1,λ2,滿足=λ1λ2,稱λ1λλ2為,的線性組合。

根據(jù)平面向量基本定理,任一向量與有序數(shù)對一一對應(yīng),稱為在基底{,}下的坐標(biāo),當(dāng)取{,}為單位正交基底{,}時定義為向量的平面直角坐標(biāo)。

向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系:當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時,定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo),即若A,則=;當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時,向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo),即若A,B,則=

兩個向量平行的充要條件

符號語言:若∥,≠,則=λ

坐標(biāo)語言為:設(shè)=,=,則∥=λ,即,或x1y2-x2y1=0

在這里,實(shí)數(shù)λ是唯一存在的,當(dāng)與同向時,λ>0;當(dāng)與異向時,λ<0。

|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當(dāng),確定時,λ的符號與大小就確定了。這就是實(shí)數(shù)乘向量中λ的幾何意義。

兩個向量垂直的充要條件

符號語言:⊥·=0

坐標(biāo)語言:設(shè)=,=,則⊥x1x2y1y2=0

線段定比分點(diǎn)公式

如圖,設(shè)

則定比分點(diǎn)向量式:

定比分點(diǎn)坐標(biāo)式:設(shè)P,P1,P2

則

特例:當(dāng)λ=1時,就得到中點(diǎn)公式: ，實(shí)際上,對于起點(diǎn)相同,終點(diǎn)共線三個向量，,總有=uv,uv=1,即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量,且系數(shù)和為1。

平移公式:

①點(diǎn)平移公式,如果點(diǎn)P按=平移至P',則

分別稱,為舊、新坐標(biāo),為平移法則

在點(diǎn)P新、舊坐標(biāo)及平移法則三組坐標(biāo)中,已知兩組坐標(biāo),一定可以求第三組坐標(biāo)

②圖形平移:設(shè)曲線c:y=f按=平移,則平移后曲線c'對應(yīng)的解析式為y-k=f

當(dāng)h,k中有一個為零時,就是前面已經(jīng)研究過的左右及上下移

利用平移變換可以化簡函數(shù)解析式,從而便于研究曲線的幾何性質(zhì)

正弦定理,余弦定理

正弦定理:

余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA

b2=c2a2-2cacosB

c2=a2b2-2abcosc

定理變形:cosA=,cosB=,cosc=

正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過閱讀課本,理解用向量法推導(dǎo)正、余弦定理的重要思想方法。

5、向量既是重要的數(shù)學(xué)概念,也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直,線線平行,求夾角等,特別是直角坐標(biāo)系的引入,體現(xiàn)了向量解決問題的“程序性”特點(diǎn)。

四、典型例題

例

1、如圖，為單位向量,與夾角為1200,與的夾角為450,||=5,用,表示。

分析:

以,為鄰邊,為對角線構(gòu)造平行四邊形

把向量在,方向上進(jìn)行分解,如圖,設(shè)=λ,=μ,λ>0,μ>0

則=λμ

∵||=||=1

∴λ=||,μ=||

△oEc中,∠E=600,∠ocE=750,由得:

∴

∴

說明:用若干個向量的線性組合表示一個向量,是向量中的基本而又重要的問題,通常通過構(gòu)造平行四邊形來處理

例

2、已知△ABc中,A,B,c,Bc邊上的高為AD,求點(diǎn)D和向量坐標(biāo)。

分析:

用解方程組思想

設(shè)D,則=

∵=,·=0

∴-6-3=0,即2xy-3=0①

∵=,∥

∴-6=-3,即x-2y1=0②

由①②得:

∴D,=

例

3、求與向量=,-1)和=夾角相等,且模為的向量的坐標(biāo)。

分析:

用解方程組思想

法一:設(shè)=,則·=x-y,·=xy

∵<,>=<,>

∴&nb ∴

即①

又||=

∴x2y2=2②

由①②得或

∴=

法二:從分析形的特征著手

∵||=||=2

·=0

∴△AoB為等腰直角三角形,如圖

∵||=,∠Aoc=∠Boc

∴c為AB中點(diǎn)

∴c

說明:數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要思想方法,分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡化計算。

例

4、在△oAB的邊oA、oB上分別取點(diǎn)m、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,設(shè)線段AN與Bm交于點(diǎn)P,記=,=,用,表示向量。

分析:

∵B、P、m共線

∴記=s

∴①

同理,記

∴=②

∵,不共線

∴由①②得解之得:

∴

說明:從點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線,進(jìn)而引入?yún)?shù)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關(guān)于s,t的方程。

例

5、已知長方形ABcD,AB=3,Bc=2,E為Bc中點(diǎn),P為AB上一點(diǎn)

利用向量知識判定點(diǎn)P在什么位置時,∠PED=450;

若∠PED=450,求證:P、D、c、E四點(diǎn)共圓。

分析:

利用坐標(biāo)系可以確定點(diǎn)P位置

如圖,建立平面直角坐標(biāo)系

則c,D,E

設(shè)P

∴=,=

∴

·=3y-1

代入cos450=

解之得,或y=2

∴點(diǎn)P為靠近點(diǎn)A的AB三等分處

當(dāng)∠PED=450時,由知P

∴=,=

∴·=0

∴∠DPE=900

又∠DcE=900

∴D、P、E、c四點(diǎn)共圓

說明:利用向量處理幾何問題一步要驟為:①建立平面直角坐標(biāo)系;②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo);③求出有關(guān)向量的坐標(biāo);④利用向量的運(yùn)算計算結(jié)果;⑤得到結(jié)論。

同步練習(xí)

選擇題、平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,c,若∥,則x的值為:

A、-5B、-1c、1D、5

2、平面上A,B,D,c點(diǎn)滿足,連Dc并延長至E,使||=||,則點(diǎn)E坐標(biāo)為:

A、B、c、D、或

2、點(diǎn)沿向量平移到,則點(diǎn)沿平移到:

3、A、B、c、D、4、△ABc中,2cosB·sinc=sinA,則此三角形是:

A、直角三角形B、等腰三角形c、等邊三角形D、以上均有可能

5、設(shè)，是任意的非零平面向量,且相互不共線,則:

①-=0

②||-||<|-|

③-不與垂直

④·=9||2-4|2中，真命題是:

A、①②B、②③c、③④D、②④

6、△ABc中,若a4b4c4=2c2,則∠c度數(shù)是:

A、600B、450或1350c、1200D、300

7、△oAB中,=,=,=,若=,t∈R,則點(diǎn)P在

A、∠AoB平分線所在直線上B、線段AB中垂線上

c、AB邊所在直線上D、AB邊的中線上

8、正方形PQRS對角線交點(diǎn)為m,坐標(biāo)原點(diǎn)o不在正方形內(nèi)部,且=,=,則=

A、B、c、D、填空題

9、已知{,|是平面上一個基底,若=λ,=-2λ-,若,共線,則λ=__________。

0、已知||=,||=1,·=-9,則與的夾角是________。

1、設(shè),是兩個單位向量,它們夾角為600，則·=____________。

2、把函數(shù)y=cosx圖象沿平移,得到函數(shù)___________的圖象。

解答題

3、設(shè)=,=,⊥,∥,試求滿足=的的坐

14、若=,-=,求、及與夾角θ的余弦值。

5、已知||=,||=3,和夾角為450,求當(dāng)向量λ與λ夾角為銳角時,λ的取值范圍。

參考答案

1、c2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、9、10、11、12、y=sinx1 13、4、=,=，5、λ<,或λ>且λ≠ 課

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