第一篇：平面向量共線問(wèn)題的深入研究

庫(kù)爾勒市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)組編寫人：史蕾

平面向量共線問(wèn)題的深入研究

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、掌握三點(diǎn)共線的證明方法。

2、兩向量共線時(shí)，能根據(jù)題意選擇合適的方法解決問(wèn)題。

【前置研究】

1探究

一、假設(shè)A（1,5），B（，4），C（0,3），你能想出幾種方法能證明它們?nèi)?

點(diǎn)共線？哪種方法最簡(jiǎn)便？

探究

二、只讀題，不做題。看看下面兩題三問(wèn)各有幾種方法解答。

1、已知a=(1,2),b=(-3,2),① 當(dāng)k為何值時(shí)，ka+b與a-3b平行？

②平行時(shí)它們是同向還是反向？

2、已知a=(3,2-m)與b=(m,-m)平行，求m的值。

【我的例題】請(qǐng)根據(jù)以上兩個(gè)探究的發(fā)現(xiàn)，自擬一道類似的題目并解答。

第二篇：平面向量復(fù)習(xí)題

平面 向 量

向量思想方法和平面向量問(wèn)題是新考試大綱考查的重要部分，是新高考的熱點(diǎn)問(wèn)題。題型多為選擇或填空題，數(shù)量為1-2題，均屬容易題，但是向量作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要工具在三角、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解幾、立幾等問(wèn)題解決中處處閃光。最近幾年的考試中向量均出現(xiàn)在解析幾何題中，在解析幾何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的運(yùn)算性質(zhì)、考查向量幾何意義的應(yīng)用，并直接與距離問(wèn)題、角度問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等相聯(lián)系。近年考綱又新增“平面向量在幾何中的應(yīng)用”試題進(jìn)一步要求我們具備多角度、多方向地分析，去探索、去發(fā)現(xiàn)、去研究、去創(chuàng)新，而不是去做大量的模仿式的解題。一個(gè)問(wèn)題解決后，不能匆匆而過(guò)，回顧與反思是非常有必要的，以充分發(fā)揮每一道題目的價(jià)值。除了要重視一題多解外，更要重視一題多變，主動(dòng)探索：條件和結(jié)論換一種說(shuō)法如何？變換一個(gè)條件如何？反過(guò)來(lái)又會(huì)怎么樣？等等。只有這樣才能做到舉一反三，以不變應(yīng)萬(wàn)變。

一、高考考綱要求

1．理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．

2．掌握向量的加法與減法．

3．掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件．

4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．

5．掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件．

6．掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)公式，并且能熟練運(yùn)用；掌握平移公式．

二、高考熱點(diǎn)分析

在高考試題中，對(duì)平面向量的考查主要有三個(gè)方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則，理解和運(yùn)用其直觀的幾何意義，并能正確地進(jìn)行計(jì)算。其二考查向量坐標(biāo)表示，向量的線性運(yùn)算。

其三是和其他知識(shí)結(jié)合在一起，在知識(shí)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，考查向量與學(xué)科知識(shí)間綜合運(yùn)用能力。

數(shù)學(xué)高考命題注重知識(shí)的整體性和綜合性，重視知識(shí)的交互滲透，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題．由于向量具有代數(shù)和幾何的雙重身份，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)知識(shí)的媒介．因此，平面向量與其他知識(shí)的結(jié)合特別是與解析幾何的交匯、融合仍將是高考命題的一大趨勢(shì)，同時(shí)它仍將是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容．

附Ⅰ、平面向量知識(shí)結(jié)構(gòu)表

1.考查平面向量的基本概念和運(yùn)算律

1此類題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，主要考查平面向量的有關(guān)概念與性質(zhì)，要求考生深刻理解平面向量的相關(guān)概念，能熟練進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，熟悉常用公式及結(jié)論，理解并掌握兩向量共線、垂直的充要條件。1．(北京卷)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

（）

2．(江西卷)已知向量

A．30°

?(1,2),(?2,?4),||?

B．60°,若(?)??

C．120°,則與的夾角為

2（）

D．150°

3．(重慶卷)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D為線段BC的中點(diǎn)，則

A．

與的夾角為（）

444

4B．a(chǎn)rccos C．a(chǎn)rccos(?)D．－arccos(?)

2555

5???????

4．(浙江卷)已知向量a≠e，|e|＝1，對(duì)任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則

?arccos

?

（）

??A．a(chǎn)⊥e ???B．a(chǎn)⊥(a－e)

?

???C．e⊥(a－e)????D．(a＋e)⊥(a－e)

????????．(上海卷)在△ABC中，若?C?90，AC?BC?4，則BA?BC? 2.考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1．(湖北卷)已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超過(guò)5，則k的取值范圍是

A．[－4，6]

2．(重慶卷)設(shè)向量a=（－1，2），b=（2，－1），則（a·b）（a+b）等于

A．（1，1）

B．（－4，－4）

C．－4

D．（－2，－2）

()

（）

B．[－6，4]

C．[－6，2]

D．[－2，6]

（）

????

3．(浙江卷)已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構(gòu)成的集合是

A．{2，3}

B．{－1，6}

C．{2}

D．{6}

例4．(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(－3,4)，若點(diǎn)C在∠AOB的平分線上且||=2,則OC=。

????????????

5．(全國(guó)卷)已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A、B、C三點(diǎn)共線，則k=.6．(湖北卷)已知向量a7．(廣東卷)已知向量a

?(?2,2),b?(5,k).若|a?b|不超過(guò)5，則k的取值范圍是

?(2,3),b?(x,6),且a//b,則x.3.平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

????????

????????ABAC

?),??[0,??),則1.O是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP?OA??(|AB||AC|

P的軌跡一定通過(guò)△ABC

A．外心的（）B．內(nèi)心

C．重心

D．垂心

????

2．（遼寧卷）已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn)A,C），則AP等于（）

????????????????A．?(AB?AD),??(0,1)

B.?(AB?BC),??(0,????????????????C.?(AB?AD),??(0,1)

D.?(AB?BC),??(0,??????

3．已知有公共端點(diǎn)的向量a，b不共線，|a|＝1，|b|=2,則與向量a，b的夾角平分線平行的單位向量是.????????????????

4．已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個(gè)定點(diǎn)A(?2,?1)、B(0,10)、C(8,0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP?OA?t(AB?AC),t?R，則點(diǎn)P的軌跡方程。

4.平面向量與三角函數(shù)、函數(shù)等知識(shí)的結(jié)合當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時(shí)，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式。在此基礎(chǔ)上，可以設(shè)計(jì)出有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問(wèn)題。此類題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：

①利用向量平行或垂直的充要條件，②利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).1．(江西卷)已知向量?(2cos

xx?x?x?,tan(?)),?(2sin(?),tan(?)),令f(x)??.224242

4求函數(shù)f(x)的最大值，最小正周期，并寫出f(x)在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間.2．(山東卷)已知向量

??

m?(cos?,sin?)

和

?n?

sin?,cos?,????,2??

?，且

???m?n?求

????

cos???的值.?28?

3．(上海卷)已知函數(shù)

f(x)?kx?b的圖象與x,y軸分別相交于點(diǎn)

A、B，?2?2（,分別是與x,y軸正半

軸同方向的單位向量），函數(shù)g(x)

?x2?x?6.f(x)?g(x)時(shí)，求函數(shù)

（1）求k,b的值；（2）當(dāng)x滿足

g(x)?

1的最小值.f(x)

【反思】這類問(wèn)題主要是以平面向量的模、數(shù)量積、夾角等公式和相互知識(shí)為紐帶，促成與不等式知識(shí)的相互遷移，有效地考查平面向量有關(guān)知識(shí)、不等式的性質(zhì)、不等式的解法、不等式的應(yīng)用及綜合解題能力。

5.平面向量與解析幾何的交匯與融合由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運(yùn)算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和紐帶。而解析幾何也具有數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的特征，所以在向量與解析幾何知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)試題，已逐漸成為高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)。

平面幾何與解析幾何的結(jié)合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問(wèn)題的處理，解決此類問(wèn)題基本思路是將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算；或者考慮向量運(yùn)算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問(wèn)題。主要包括以下三種題型：

1、運(yùn)用向量共線的充要條件處理解幾中有關(guān)平行、共線等問(wèn)題

運(yùn)用向量共線的充要條件來(lái)處理解幾中有關(guān)平行、共線等問(wèn)題思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分點(diǎn)公式研究這類問(wèn)

題要簡(jiǎn)捷的多。

2、運(yùn)用向量的數(shù)量積處理解幾中有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直等問(wèn)題

運(yùn)用向量的數(shù)量積，可以把有關(guān)的長(zhǎng)度、角度、垂直等幾何關(guān)系迅速轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而“計(jì)算”出所要求的結(jié)果。

3、運(yùn)用平面向量綜合知識(shí)，探求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，還可再進(jìn)一步探求曲線的性質(zhì)。

1．(江西卷)以下同個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中 ①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA|?|PB|?k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；

?

(?),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓； 2

②設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若③方程2x

?5x?2?0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

x2y2x2

??1與橢圓?y2?1有相同的焦點(diǎn).④雙曲線

25935

其中真命題的序號(hào)為（寫出所有真命題的序號(hào)）

???????????

2．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A(3,1),B(?1,3)，若點(diǎn)C滿足OC??0A??OB，其中?,??R，且?

???1，則點(diǎn)C的軌跡方程為()

A.C.3x?2y?11?0B.(x?1)2?(y?2)2?5 2x?y?0D.x?2y?5?0

2．已知平面上一個(gè)定點(diǎn)C（－1，0）和一條定直線l：x＝－4，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，????????????????

（PQ＋2PC）?（PQ－2PC）＝0.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；

????????

PC的取值范圍．（2）求PQ·

第三篇：平面向量中三點(diǎn)共線定理的應(yīng)用與推廣

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平面向量中三點(diǎn)共線定理的應(yīng)用與推廣 作者：蘇慶飛

來(lái)源：《數(shù)理化學(xué)習(xí)·高三版》2013年第04期

應(yīng)該說(shuō)，平面向量中三點(diǎn)共線定理在高中階段的應(yīng)用還是比較廣泛的，如果我們能夠熟練掌握并能靈活運(yùn)用這個(gè)定理來(lái)解題，往往能夠起到事半功倍的效果.下面試舉幾例來(lái)說(shuō)明一下平面向量中三點(diǎn)共線定理的應(yīng)用.反思：本題解法較多，相對(duì)其它解法，運(yùn)用三點(diǎn)共線定理來(lái)解決最為簡(jiǎn)潔，且思路直觀，條理清晰，容易下手.當(dāng)然，這就要求我們?cè)趯忣}時(shí)能夠注意觀察、聯(lián)想，再靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解題.同樣，在本例中，如果點(diǎn)E、F的位置發(fā)生改變，但是只要能夠知道AE與AB的比例關(guān)系和AF與AC的比例關(guān)系，我們同樣可以求出x，y的值.反思：解法一把問(wèn)題化歸了例3這類題型，化未知為已知，化不熟悉為熟悉，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的一種重要思想——化歸思想；解法二是通過(guò)△ABC面積這個(gè)橋梁，溝通R與H之間的關(guān)系，從而為建立x與x′之間的關(guān)系打下基礎(chǔ).總的來(lái)說(shuō)，這兩種解法都是緊緊抓住了“三點(diǎn)共線”這個(gè)中心，解法新穎，構(gòu)思巧妙，不禁能讓人感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.平面向量共線定理的推廣：

推廣1：確定平面向量基底前的系數(shù)范圍

推廣2：空間向量四點(diǎn)共面定理

[江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)（222200）]

第四篇：平面向量圖形結(jié)合問(wèn)題

高中復(fù)習(xí)-平面向量

1．（2016?濰坊一模）在△ABC中，PQ分別是AB，BC的三等分點(diǎn)，且AP=AB，BQ=BC，若則A．

2．（2016?朔州模擬）點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足則=（），設(shè)△OBC與△ABC的面積分別為S1、S2，=（）+ B．﹣+ C．

﹣

D．﹣

﹣

=，=，A． B． C． D．

按向量=（2009，4，27）平移，3．（2009春?成都期中）已知點(diǎn)A（2008，5，12），B（14，2，8），將向量所得到的向量坐標(biāo)是（）A．（1994，3，4）B．（﹣1994，﹣3，﹣4）C．（15，1，23）D．（4003，7，31）

4．（2013秋?和平區(qū)期末）已知向量則向量為（）A．（﹣3，2）B．（4，3）C．（3，﹣2）

D．（2，﹣5）

（1＜x＜4）的圖象如圖所示，A為圖象與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A+）?

=（），若存在向量，使得，5．（2016?吉林三模）函數(shù)的直線l與函數(shù)的圖象交于B，C兩點(diǎn)，則（A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 6．（2016?商洛模擬）在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，則A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8

=（）

7．（2015?房山區(qū)一模）向量=（2，0），=（x，y），若與﹣的夾角等于，則||的最大值為（）

A．4 B．2 C．2 D．

8．（2016?合肥二模）點(diǎn)G為△ABC的重心，設(shè)A．

9．（2016?眉山模擬）如圖，在△OAB中，點(diǎn)P在邊AB上，且AP：PB=3：2．則

=（）﹣B．C．﹣2D．=，=，則

=（）

A． B．C．

D．

10．（2016春?東營(yíng)校級(jí)期中）點(diǎn)O是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

11．（2016?河南模擬）如圖，在△ABC中，已知，則

++=，則點(diǎn)O為△ABC的（）

=（）

A． B．C．

D．，P是BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值12．（2016?衡水模擬）如圖，在△ABC中，為（）

A．B．C．1 D．3

13．（2016?焦作二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量=（1，2），﹣∥，則x=（）

=（3，1），=（x，3），若（2+）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1

14．（2016?嘉峪關(guān)校級(jí)模擬）已知向量A．

15．（2016?南昌校級(jí)模擬）△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則?B．C．D．

為非零向量，則

夾角為（）的取值范圍是（）

A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]

16．（2016?潮南區(qū)模擬）已知平面向量與的夾角為，且||=1，|+2|=2，則||=（A．1 B．C．3 D．2

17．（2016?西寧校級(jí)模擬）已知||=1，||=，且⊥（﹣），則向量與向量的夾角為（A．B．C．D．

鞏固與練習(xí)：

1．（2011?豐臺(tái)區(qū)一模）已知平面向量，的夾角為60°，||=4，||=3，則|+|等于（）A．37 B． C．13 D．

2．（2016?河南模擬）如圖，在△ABC中，已知，則

=（）））

A． B． C．

D．

3．（2016春?成都校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，線段BE，CF交于點(diǎn)P，設(shè)向量，則向量可以表示為（）

A． B． C．

D．

4．（2016?撫順一模）已知向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，則向量與向量的夾角θ的值為（A． B． C． D．

5．（2015春?臨沂期末）如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A．+=B．﹣=C．

+

=

D．

﹣

=

6．（2015?婁星區(qū)模擬）如圖，正方形中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)．那么

=（A．B．

C．

D．，））

7．（2016?湖南模擬）已知，，點(diǎn)C在AB上，∠AOC=30°．則向量

等于（）

A．B．C．

D．

8．（2016?重慶校級(jí)模擬）若||=2，||=4且（+）⊥，則與的夾角是（）A．

9．（2015春?昆明校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)M是△ABC的重心，則

為（）B．C．D．﹣

A．B．4B．

10．（2015秋?廈門校級(jí)期中）已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線分別為AC，BD，且D的四等分點(diǎn)，則（）

=2，點(diǎn)F是BD上靠近C．4D．4

A．C．

11．（2015?廈門校級(jí)模擬）如圖，，，若m=，那么n=（）=﹣=﹣﹣B．D．==﹣

﹣﹣

A． B．C．D．

12．（2016?嘉興一模）如圖，B、D是以AC為直徑的圓上的兩點(diǎn)，其中AB=，AD=，則

=（）

A．1 B．2 C．t D．2t

答案：

1．（2016?濰坊一模）在△ABC中，PQ分別是AB，BC的三等分點(diǎn)，且AP=AB，BQ=BC，若則A．=（）+ B．﹣+ =C．．

﹣

D．﹣

﹣

=，=，【解答】解：

∵AP=AB，BQ=BC，∴∴故選：A．

2．（2016?朔州模擬）點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足則=（），設(shè)△OBC與△ABC的面積分別為S1、S2，=． =

=，=

=

．

A． B． C． D．

【解答】解：延長(zhǎng)OC到D，使OD=4OC，延長(zhǎng)CO交AB與E，∵O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∴=，∴O為△DABC重心，E為AB中點(diǎn)，∴OD：OE=2：1，∴OC：OE=1：2，∴CE：OE=3：2，∴S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC，∵△OBC與△ABC的面積分別為S1、S2，∴=．

故選：B．

3．（2009春?成都期中）已知點(diǎn)A（2008，5，12），B（14，2，8），將向量

按向量=（2009，4，27）平移，所得到的向量坐標(biāo)是（）A．（1994，3，4）B．（﹣1994，﹣3，﹣4）C．（15，1，23）D．（4003，7，31）【解答】解：∵A（2008，5，12），B（14，2，8），∴又∵=（﹣1994，﹣3，﹣4），按向量平移后不發(fā)生變化

=（﹣1994，﹣3，﹣4），∴平移后故選B

4．（2013秋?和平區(qū)期末）已知向量則向量為（）A．（﹣3，2）【解答】解：設(shè)∵B．（4，3）C．（3，﹣2），，D．（2，﹣5），若存在向量，使得，∴，解得x=3，y=﹣2，∴=（3，﹣2）． 故選：C．

5．（2016?吉林三模）函數(shù)的直線l與函數(shù)的圖象交于B，C兩點(diǎn)，則（（1＜x＜4）的圖象如圖所示，A為圖象與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A+）?

=（）

A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 【解答】解：由題意可知 B、C兩點(diǎn)的中點(diǎn)為點(diǎn)A（2，0），設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則x1+x2=4，y1+y2=0 ∴（+）?=（（x1，y1）+（x2，y2））?（2，0）=（x1+x2，y1+y2）?（2，0）=（4，0）?（2，0）=8 故選D．

6．（2016?商洛模擬）在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，則A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8

=

cosB=|BC|=8．

2=（）

【解答】解：在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，則故選：D．

7．（2015?房山區(qū)一模）向量=（2，0），=（x，y），若與﹣的夾角等于A．4 B．2 C．2 D．，則||的最大值為（）

【解答】解：由向量加減法的幾何意義可得，（如圖），=，=∠OBA 故點(diǎn)B始終在以O(shè)A為弦，∠OBA=為圓周角的圓弧上運(yùn)動(dòng)，且等于弦OB的長(zhǎng)，由于在圓中弦長(zhǎng)的最大值為該圓的直徑2R，在三角形AOB中，OA==2，∠OBA=

由正弦定理得，解得2R=4，即||的最大值為4 故選A

8．（2016?合肥二模）點(diǎn)G為△ABC的重心，設(shè)=，=，則

=（A．﹣B．C．﹣2D．【解答】解：由題意知，+=，即+=，故=﹣2=﹣2，故選C．）

9．（2016?眉山模擬）如圖，在△OAB中，點(diǎn)P在邊AB上，且AP：PB=3：2．則

=（）

A．B．C．，D．

【解答】解：∵AP：PB=3：2，∴又∴===+，=，+

故選：B．

10．（2016春?東營(yíng)校級(jí)期中）點(diǎn)O是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足

+

+

=，則點(diǎn)O為△ABC的（）

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

【解答】解：作BD∥OC，CD∥OB，連結(jié)OD，OD與BC相交于G，則BG=CG，（平行四邊形對(duì)角線互相平分），∴又∵∴++=﹣=+，=，可得：+

=﹣，∴A，O，G在一條直線上，可得AG是BC邊上的中線，同理：BO，CO的延長(zhǎng)線也為△ABC的中線． ∴O為三角形ABC的重心．

故選：C．

11．（2016?河南模擬）如圖，在△ABC中，已知，則

=（）

A．B．=，得+，=3（C．）D．

【解答】解：∵∴由已知化簡(jiǎn)=故選：C

12．（2016?衡水模擬）如圖，在△ABC中，為（），P是BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值

A．B．C．1 D．3 【解答】解：∵∴設(shè)=λ，（λ＞0）得且==

+

，∴m=故選：A，解之得λ=8，m=

13．（2016?焦作二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量=（1，2），﹣∥，則x=（）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1 【解答】解：由=（1，2），﹣

=（3，1），得

=（3，1），=（x，3），若（2+）=（1，2）﹣（3，1）=（﹣2，1），則，∴2+=（2，4）+（﹣4，2）=（﹣2，6），又（2+）∥，∴6x+6=0，得x=﹣1． 故選：D．

14．（2016?嘉峪關(guān)校級(jí)模擬）已知向量A．B．C．D．

；，；

； ；

=

；

；

為非零向量，則

夾角為（）

【解答】解：∴∴∴∴∴∴夾角為．

故選：B．

15．（2016?南昌校級(jí)模擬）△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的取值范圍是（）

A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]

【解答】解：∵D是邊BC上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），∴可設(shè)∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴∴=?=[+﹣+]?

=

+

（0≤λ≤1）．

=2×1×cos120°=﹣1．

=﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ =﹣7λ+2． ∵0≤λ≤1，∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]． ∴?的取值范圍是[﹣5，2]．

故選：D．

16．（2016?潮南區(qū)模擬）已知平面向量與的夾角為A．1 B．C．3 D．2 2，且||=1，|+2|=2，則||=（）

【解答】解：由已知，|+2|=12，即故選D．

17．（2016?西寧校級(jí)模擬）已知||=1，||=A．B．C．D． ；，所以||+4||||×+4=12，所以||=2；

2，且⊥（﹣），則向量與向量的夾角為（）

【解答】解：∵；

∴∴∴向量與的夾角為故選B． ； ． ；

鞏固與練習(xí)：

1．（2011?豐臺(tái)區(qū)一模）已知平面向量，的夾角為60°，||=4，||=3，則|+|等于（）A．37 B． C．13 D．

【解答】解：由題意得 ?=||?||cos60°=4×3×=6，∴||==

=

=，故選B．

2．（2016?河南模擬）如圖，在△ABC中，已知，則

=（）

A． B．=，得+，=3（C．）

D．

【解答】解：∵∴由已知化簡(jiǎn)=故選：C

3．（2016春?成都校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，線段BE，CF交于點(diǎn)P，設(shè)向量，則向量可以表示為（），A． B． C．

D．

【解答】解：因?yàn)镕，P，C三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使由已知同理，=，所以=，，∴解得

所以故選C．

；

4．（2016?撫順一模）已知向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，則向量與向量的夾角θ的值為（）A． B． C． D．

【解答】解：向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，∴﹣2+?=4，即16﹣2×9+4×3×cosθ=4，解得cosθ=； 又θ∈[0，π]，∴θ=；

即向量與向量的夾角θ的值為．

故選：B．

5．（2015春?臨沂期末）如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A．+=B．﹣=C．

+

=

D．

﹣

=

【解答】解：由已知及圖形得到，故A錯(cuò)誤；

；故B錯(cuò)誤；

；故C 正確；

故D 錯(cuò)誤；

故選C．

6．（2015?婁星區(qū)模擬）如圖，正方形中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)．那么=（）

A．B．

C．

D．

【解答】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴==，∵=，∵，∴=

． 故選D．

7．（2016?湖南模擬）已知，，點(diǎn)C在AB上，∠AOC=30°．則向量

等于（A．B．C．

D．

【解答】解：過(guò)點(diǎn)c做CE∥OA CF∥OB 設(shè)OC長(zhǎng)度為a 有△CEB∽△AFC ∴（1）

∵∠AOC=30° 則CF==OE OF=CE=）

∴BE=2﹣AF=2﹣

=OB，代入（1）中化簡(jiǎn)整理可解：a=OF=∴故選B．

==OA

OE=8．（2016?重慶校級(jí)模擬）若||=2，||=4且（+）⊥，則與的夾角是（）A．B．C．D．﹣

【解答】解：設(shè)與的夾角是θ． ∵||=2，||=4且（+）⊥，∴（+）?=∴cosθ=．

． =2+2×4cosθ=0，2∵θ∈[0，π]，∴故選：A．

9．（2015春?昆明校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)M是△ABC的重心，則為（）

A．B．4C．4D．4

【解答】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為F ∵點(diǎn)M是△ABC的重心 ∴故為C

10．（2015秋?廈門校級(jí)期中）已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線分別為AC，BD，且D的四等分點(diǎn)，則（）

=2，點(diǎn)F是BD上靠近

．

A．=﹣﹣B．=﹣ C．=﹣D．=﹣

﹣

【解答】解：∵=2，點(diǎn)F是BD上靠近D的四等分點(diǎn)，∴=，=，∴==+，∵，∴=+

=﹣．

故選：C．

11．（2015?廈門校級(jí)模擬）如圖，，，若m=，那么n=（A．B．C．D． 【解答】解：∵，故C為線段AB的中點(diǎn)，故==2，∴=，由，∴，∴=，∵M(jìn)，P，N三點(diǎn)共線，故=1，當(dāng)m=時(shí)，n=，故選：C）

12．（2016?嘉興一模）如圖，B、D是以AC為直徑的圓上的兩點(diǎn)，其中AB=，AD=，則

=（）

A．1 B．2 C．t D．2t 【解答】解：連結(jié)BC，CD．則AD⊥CD，AB⊥BC． ∴=AB×AC×cos∠BAC=AB=t+1． =AD×AC×cos∠CAD=AD=t+2．

∵∴?=，=

=1． 22故選：A．

第五篇：平面向量說(shuō)課稿

平面向量說(shuō)課稿

我說(shuō)課的內(nèi)容是《平面向量的實(shí)際背景及基本概念》的教學(xué),所用的教材是人民教育出版社出版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修四,教學(xué)內(nèi)容為第74頁(yè)至76頁(yè).下面我從教材分析, 重點(diǎn)難點(diǎn)突破,教學(xué)方法和教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)四個(gè)方面來(lái)說(shuō)明我對(duì)這節(jié)課的教學(xué)設(shè)想.一 教材分析

1地位和作用

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一,有著深刻的幾何背景,是解決幾何問(wèn)題的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移),相似,垂直,勾股定理等就可以轉(zhuǎn)化為向量的加(減)法,數(shù)乘向量,數(shù)量積運(yùn)算(運(yùn)算率),從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系.向量是溝通代數(shù),幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實(shí)際背景,在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用.平面向量的基本概念是在學(xué)生了解了物理學(xué)中的有關(guān)力,位移等矢量的概念的基礎(chǔ)上進(jìn)一步對(duì)向量的深入學(xué)習(xí).為學(xué)習(xí)向量的知識(shí)體系奠定了知識(shí)和方法基礎(chǔ).2教學(xué)結(jié)構(gòu)

課本在這一部分內(nèi)容的教學(xué)為一課時(shí),首先從實(shí)際例子出發(fā),抽象出向量的概念,并重點(diǎn)說(shuō)明了向量與數(shù)量的區(qū)別.然后介紹了向量的幾何表示,向量的長(zhǎng)度,零向量,單位向量,平行向量,共線向量,相

等向量等基本概念.為使學(xué)生更好地掌握這些基本概念,同時(shí)深化其認(rèn)知過(guò)程和探究過(guò)程.在教學(xué)中我將這樣安排教學(xué):將本節(jié)教學(xué)中認(rèn)知過(guò)程的教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)集中,以突出這節(jié)課的主題;例題,習(xí)題部分主要由學(xué)生依照概念自行分析,獨(dú)立完成.3教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)本課教材的特點(diǎn),新大綱對(duì)本節(jié)課的教學(xué)要求,學(xué)生身心發(fā)展的合理需要,我從三個(gè)方面確定了以下教學(xué)目標(biāo):(1)基礎(chǔ)知識(shí)目標(biāo):理解向量,零向量,單位向量,共線向量,平行向量,相等向量的概念,會(huì)用字母表示向量,能讀寫已知圖中的向量.會(huì)根據(jù)圖形判定向量是否平行,共線,相等.(2)能力訓(xùn)練目標(biāo)： 培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、類比、聯(lián)想等發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題,分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力。(3)情感目標(biāo)：讓學(xué)生在民主、和諧的共同活動(dòng)中感受學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

二

重點(diǎn)難點(diǎn)突破

由于本節(jié)課是本章內(nèi)容的第一節(jié)課，是學(xué)生學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ).為了本章后面知識(shí)的學(xué)習(xí)，首先必須掌握向量的概念，要抓住向量的本質(zhì):大小與方向.所以向量,相等向量的概念,向量的幾何表示是這節(jié)課的重點(diǎn).本節(jié)課是為高一后半學(xué)期學(xué)生設(shè)計(jì)的,盡管此時(shí)的學(xué)生已經(jīng)有了一定的學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣,但根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),多數(shù)學(xué)生對(duì)向量的認(rèn)識(shí)還比較單一,僅僅考慮其大小,忽略其方向,這對(duì)學(xué)生的理解能力要求比較高,所以我認(rèn)為向量概念也是這節(jié)課的難點(diǎn).而解決這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是多用復(fù)雜的幾何圖形中相等的有向線段讓學(xué)生進(jìn)

行辨認(rèn),加深對(duì)向量的理解.三 教學(xué)方法

本節(jié)課我采用了“啟發(fā)探究式”的教學(xué)方法,根據(jù)本課教材的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際情況在教學(xué)中突出以下兩點(diǎn):(1)由教材的特點(diǎn)確立類比思維為教學(xué)的主線.從教材內(nèi)容看平面向量無(wú)論從形式還是內(nèi)容都與物理學(xué)中的有向線段,矢量的概念類似.因此在教學(xué)中運(yùn)用類比作為思維的主線進(jìn)行教學(xué).讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系以及發(fā)生與發(fā)展的過(guò)程.(2)由學(xué)生的特點(diǎn)確立自主探索式的學(xué)習(xí)方法

通常學(xué)生對(duì)于概念課學(xué)起來(lái)很枯燥,不感興趣,因此要考慮學(xué)生的情感需要,找一些學(xué)生感興趣的題材來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,另外,學(xué)生都有表現(xiàn)自己的欲望,希望得到老師和其他同學(xué)的認(rèn)可,要多表?yè)P(yáng),多肯定來(lái)激勵(lì)他們的學(xué)習(xí)熱情.考慮到學(xué)生思維較為活躍,對(duì)自主探索式的學(xué)習(xí)方法也有一定的認(rèn)識(shí),所以在教學(xué)中我通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用科學(xué)的思維方法進(jìn)行自主探究.將學(xué)生的獨(dú)立思考,自主探究,交流討論等探索活動(dòng)貫穿于課堂教學(xué)的全過(guò)程,突出學(xué)生的主體作用.四 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

Ⅰ知識(shí)引入階段---提出學(xué)習(xí)課題,明確學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)創(chuàng)設(shè)情境——引入概念

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該與學(xué)生的生活融合起來(lái)，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的

知識(shí)背景出發(fā)，讓他們?cè)谏钪腥グl(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)并掌握數(shù)學(xué)。

由生活中具體的向量的實(shí)例引入:大海中船只的航線,中國(guó)象棋中”馬”,”象”的走法等.這些符合高中學(xué)生思維活躍,想象力豐富的特點(diǎn),有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.(2)觀察歸納——形成概念

由實(shí)例得出有向線段的概念,有向線段的三個(gè)要素:起點(diǎn),方向,長(zhǎng)度.明確知道了有向線段的起點(diǎn),方向和長(zhǎng)度,它的終點(diǎn)就唯一確定.再有目的的進(jìn)行設(shè)計(jì),引導(dǎo)學(xué)生概括總結(jié)出本課新的知識(shí)點(diǎn)：向量的概念及其幾何表示。(3)討論研究——深化概念

在得到概念后進(jìn)行歸納,深化,之后向?qū)W生提出以下三個(gè)問(wèn)題: ①向量的要素是什么? ②向量之間能否比較大小? ③向量與數(shù)量的區(qū)別是什么? 同時(shí)指出這就是本節(jié)課我們要研究和學(xué)習(xí)的主題.Ⅱ知識(shí)探索階段---探索平面向量的平行向量.相等向量等概念(1)總結(jié)反思——提高認(rèn)識(shí)

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共線向量，并且規(guī)定0與任一向量平行．長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量，規(guī)定零向量與零向量相等．平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要條件.(2)即時(shí)訓(xùn)練—鞏固新知

為了使學(xué)生達(dá)到對(duì)知識(shí)的深化理解，從而達(dá)到鞏固提高的效果，我特地設(shè)計(jì)了一道即時(shí)訓(xùn)練題，通過(guò)學(xué)生的觀察嘗試，討論研究，教師引導(dǎo)來(lái)鞏固新知識(shí)。下列命題正確的是()

A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c也共線

B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)

C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量

D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行 III 知識(shí)應(yīng)用階段---分析解決問(wèn)題，歸納解題方法（1）分析解決問(wèn)題

先引導(dǎo)學(xué)生分析解決問(wèn)題.包括向量的概念,:向量相等的概念.抓住相等向量概念的實(shí)質(zhì):兩個(gè)向量只有當(dāng)它們的模相等,同時(shí)方向又相同時(shí),才能稱它們相等.進(jìn)而進(jìn)行正確的辨認(rèn),直至最終解決問(wèn)題.（2）歸納解題方法

主要引導(dǎo)學(xué)生歸納以下兩個(gè)問(wèn)題:①零向量的方向是任意的,它只與零向量相等;②兩個(gè)向量只要它們的模相等,方向相同就是相等向量.一個(gè)向量只要不改變它的大小和方向,是可以任意平行移動(dòng)的,即向量是自由的.Ⅳ 學(xué)習(xí),小結(jié)階段---歸納知識(shí)方法,布置課后作業(yè)

本階段通過(guò)學(xué)習(xí)小結(jié)進(jìn)行課堂教學(xué)的反饋,組織和指導(dǎo)學(xué)生歸納知識(shí),技能,方法的一般規(guī)律,為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).(1)知識(shí)方法小結(jié) 在知識(shí)層面上我首先引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容,提醒學(xué)生要抓住向量的本質(zhì):大小與方向,對(duì)它們進(jìn)行類比,加深對(duì)每個(gè)概念的理解.在方法層面上我將帶領(lǐng)學(xué)生回顧探索過(guò)程中用到的思維方法和數(shù)學(xué)方法如:類比,數(shù)形結(jié)合,等價(jià)轉(zhuǎn)化等.(2)布置課后作業(yè)

整理課堂筆記,習(xí)題2.1第1,2,3題.