第一篇：向量法證明三點共線的又一方法及應用

向量法證明三點共線的又一方法及應用

平面向量既具有數(shù)量特征，又具有圖形特征,學習向量的應用，可以啟發(fā)同學們從新的視角去分析、解決問題，有益于培養(yǎng)創(chuàng)新能力.下面就一道習題的應用探究為例進行說明.????????????原題 已知OB?λOA?μOC，其中λ?μ?1.求證：A、B、C三點共線

????????思路：通過向量共線(如AB?kAC)得三點共線.證明：如圖,由λ?μ?1得λ?1?μ,則 ????????????????????OB?λOA?μOC?(1?μ)OA?μOC

?????????????????OB?OA?μ(OC?OA)

?????????AB?μAC ?A、B、C三點共線.思考：1.此題揭示了證明三點共線的又一向量方法,點O具有靈活性；

2.反之也成立（證明略）：若A、B、C三點共線，則存在唯一實數(shù)對λ、μ，滿 ????????????足OB?λOA?μOC,且λ?μ?1.揭示了三點貢獻的又一個性質；

????1????????????13.特別地，λ?μ?時，OB?(OA?OC)，點B為AC的中點，揭示了2

2中線OB的一個向量公式，應用廣泛.應用舉例

例1 如圖，平行四邊形ABCD中，點M是AB的中點，點N在BD上，且BN?

用向量法證明：M、N、C三點共線.?OAC 1BD.利

3C?????????????思路分析：選擇點B，只須證明BN?λBM?μBC,且λ?μ?1.A????????????證明：由已知BD?BA?BC，又點N在BD上，1BD，得 3????1????1????????1????1????BN?BD?(BA?BC)?BA?BC 3333

又點M是AB的中點，?????1?????????????

?BM?BA，即BA?2BM 2且BN?B

????2?????1?????BN?BM?BC 33

21而??1 33

?M、N、C三點共線.??????????點評：證明過程比證明MN?mMC簡潔.BD?例2如圖，平行四邊形OACB中，11OD與AB相交于E，BC，求證：.BE?BA.3

4思路分析：可以借助向量知識，只須證明：

????1????????????????BE?BA，而BA?BO?BC，又O、D、E三

4點共線，存在唯一實數(shù)對λ、μ，且λ?μ?1，使C????????????????????BE?λBO?μBD，從而得到BE與BA的關系.O????????????????????證明：由已知條件，BA?BO?BC，又B、E、A三點共線，可設BE?kBA，則

????????????BE?kBO?kBC①

????????????又O、E、D三點共線，則存在唯一實數(shù)對λ、μ，使BE?λBO?μBD，且λ?μ?1.????1????又BD?BC 3????????1?????BE?λBO?μBC

3根據(jù)①、②得 ②

1?k???k?λ4??11??λ?，解得 k?μ??43??3???λ?μ?1μ??4?????1?????BE?BA

41?BE?BA 4

點評：借助向量知識，充分運用三點共線的向量性質解決問題，巧妙、簡潔.2

第二篇：三點共線的證明方法

三點共線的證明方法

袁競成題目 已知點A（1，2）、B（2，4）、C（3，6），求證：A、B、C三點共線。方法1：利用定比分點坐標公式證明三點共線

設P（1。）分AC所成的比為，則=

方法2：利用向量平行的充分條件來證明三點共線，向量

方法3：其中一個點到另外兩個點所在直線的距離為0

由兩點式求得直線AB的方程為

方法4：的面積為0證明三點共線

方法5：直線夾角為0來證明三點共線

注意梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：設X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1

方法五：利用幾何中的公理“如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。”可知：如果三點同屬于兩個相交的平面則三點共線。

方法六：運用公（定）理 “過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行（垂直）”。其實就是同一法。

方法七：證明其夾角為180°

方法八：設A B C，證明△ABC面積為0

方法九：帕普斯定理

注意帕普斯(Pappus)定理:如圖，直線l1上依次有點A,B,C，直線l2上依次有點D,E,F，設AE,BD交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，則P,Q,R共線。

帕普斯定理

[

第三篇：三點共線與三線共點的證明方法

三點共線與三線共點的證明方法

公理1.若一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。公理2.過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論1.經(jīng)過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面； 推論2.經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面； 推論3.經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面。

公理3.若兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。例1.如圖，在四面體ABCD中作截圖PQR，PQ、CB的延長線交于M，RQ、DB的延長線交于N，RP、DC的延長線交于K．求證M、N、K三點共線．

由題意可知，M、N、K分別在直線PQ、RQ、RP上，根據(jù)公理1可知M、N、K在平面PQR上，同理，M、N、K分別在直線CB、DB、DC上，可知M、N、K在平面BCD上，根據(jù)公理3可知M、N、K在平面PQR與平面BCD的公共直線上，所以M、N、K三點共線．

D1M、例2.已知長方體ABCD?A1B1C1D1中，求證：M、N分別為AA1與AB的中點，DA、CN三線共點．

由M、N分別為AA1與AB的中點知MN//A1B且MN?行且相等，所以MN//D1C且MN?1A1B，又A1B與D1C平21D1C，根據(jù)推論3可知M、N、C、D1四點共面，2且D1M與CN相交，若D1M與CN的交點為K，則點K既在平面ADD1A1上又在平面ABCD上，所以點K在平面ADD1A1與平面ABCD的交線DA上，故D1M、DA、CN三線交于點K，即三線共點．

從上面例子可以看出，證明三線共點的步驟就是，先說明兩線交于一點，再證明此交點在另一線上，把三線共點的證明轉化為三點共線的證明，而證明三點共線只需要證明三點均在兩個相交的平面上，也就是在兩個平面的交線上。

第四篇：向量法證明不等式

向量法證明不等式

高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數(shù)乘運算都沒有發(fā)生改變.若在歐式空間中規(guī)定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數(shù)量積的運算，則高中階段的向量即為n=2，3時的情況.設a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

規(guī)定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可記為(a，b)，表示兩向量的內(nèi)積)，有

由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數(shù)量積的不等式建立一系列n元不等式，進而構造n維向量來證明其他不等式.一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

例1設a，b，c∈R+，求證：(a+b+c)≤++≤.證明：先證左邊，設m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，則由

綜上，原不等式成立.點評：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數(shù)量積建立不等式證明右邊.作單位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余邊同理

在三角形ABC平面上做一單位向量i,i⊥BC,因為BA+AC+CB=0恒成立，兩邊乘以i得i*BA+i*AC=0①根據(jù)向量內(nèi)積定義，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得csinB-bsinC=0所以b/sinB=c/sinC類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sinA=b/sinB,所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

第五篇：用向量法證明

用向量法證明

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

設向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過A做AG‖DC交EF于p點

由三角形中位線定理有：

向量Ep=?向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質)

∴向量pF=?(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=?(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

先假設兩條中線AD,BE交與p點

連接Cp,取AB中點F連接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共線，pF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點p

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一問結論

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)