第一篇：關(guān)于“對(duì)向量法證明線面垂直一法質(zhì)疑”的回應(yīng)

關(guān)于“對(duì)向量法證明線面垂直一法質(zhì)疑”的回應(yīng)

我在不同的場(chǎng)合提到過”用向量法證明線面垂直“的內(nèi)容，大體思路是：

一個(gè)平面α和三條直線a、m、n，m和n在α上，m和n相交，a⊥m且a⊥n，證明a⊥α。要證明a⊥α，只需要在α里任意取一直線c，只要證明a⊥c就行。根據(jù)平面向量理論，c向量可以用m向量和n向量表示（這里就直接用a和b表示向量了），于是我們?cè)O(shè)c=km+hn，其中k、h為常數(shù)。那么：

a·c=a·(km+hn)=ka·m+ha·n 因?yàn)閍⊥m，所以a·m=0，同理a·n=0，從而a·c=0，所以a⊥c。

這方法一直以來被奉為上賓，不只是學(xué)夫子，很多名師都提倡這方法。不過新疆的一位老師卻提出質(zhì)疑，因?yàn)樵谒磥恚朔椒ǚ噶恕毖h(huán)論證“的錯(cuò)誤。因?yàn)樵谶@樣一個(gè)證明過程里面，用到了”空間向量數(shù)量積的分配率“，這是關(guān)鍵的地方，因?yàn)槲覀冊(cè)谧C明”空間向量數(shù)量積滿足分配率“的問題上，又必須用到線面垂直的內(nèi)容，因此犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，具體可以參考彭翕成老師博客里的配圖，那里有論文全文。

首先我得感謝這位老師，我不得不承認(rèn)，至始至終我都忽略了空間向量分配率的證明，在此對(duì)我是當(dāng)頭棒喝，深感慚愧。當(dāng)一個(gè)人的思想觀念受到質(zhì)疑時(shí)，只有兩條路可走：一是推翻質(zhì)疑，一定要有足夠的理由；二就是承認(rèn)自己的錯(cuò)誤和無知。對(duì)于這一個(gè)問題的解決辦法，有這么一條路可以走，那就是繞過”線面垂直“。

1：一個(gè)比較”耍賴“的辦法就是，我們用”證明線面垂直“的辦法直接證明線線垂直(配圖截取

自原論文)

現(xiàn)在不是要證明OA⊥HF嗎？我們這里就不直接用線面垂直的判定定理，我們直接用證明線面垂直的證明方法來證明OA⊥HF。想想線面垂直不就是證明平面里的任何一條直線都垂直于OA嗎？那我們就直接用這方法證明OA⊥HF得了，很簡(jiǎn)單地繞過”線面垂直“這個(gè)話題。整體說來這個(gè)過程就是：用證明結(jié)論P(yáng)的方法來證明另一個(gè)結(jié)論Q，反過來Q的證明可以大大簡(jiǎn)化P的證明。我覺得這并不算循環(huán)論證。

2：另外一個(gè)稍微有點(diǎn)好的方法就是，完全利用向量數(shù)量積的定義，跨過分配率，直接證明

向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

現(xiàn)在有a，b，c三向量，現(xiàn)在把他們的起點(diǎn)都移動(dòng)到原點(diǎn)，并且設(shè)其坐標(biāo)為

a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).根據(jù)定義a·b=|a|·|b|·cosα。|a|=√x12+y12+z12，|b|=√x22+y22+z22，在a和b構(gòu)成的三角形里，第三條邊的長(zhǎng)度為|c|=√(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2，利用余弦定理：

從而跳過了分配率直接得到數(shù)量積坐標(biāo)公式：a·b=x1x2+y1y2+z1z2.這樣我們就可以通過這個(gè)

公式開始我們的證明了 現(xiàn)在是要證明：a·(b+c)=a·b+a·c 設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).c=(x3,y3,z3)，b+c=(x2+x3,y2+y3,z2+z3).左邊=a·(b+c)=x1(x2+x3)+y1(y2+y3)+z1(z2+z3)

=x1x2+x1x3+y1y2+y1y3+z1z2+z1z3.右邊=a·b+a·c

=x1x2+y1y2+z1z2+x1x3+y1y3+z1z3.左邊=右邊，從而分配率得證。

第二篇：向量法證明不等式

向量法證明不等式

高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算都沒有發(fā)生改變.若在歐式空間中規(guī)定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數(shù)量積的運(yùn)算，則高中階段的向量即為n=2，3時(shí)的情況.設(shè)a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

規(guī)定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可記為(a，b)，表示兩向量的內(nèi)積)，有

由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數(shù)量積的不等式建立一系列n元不等式，進(jìn)而構(gòu)造n維向量來證明其他不等式.一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

例1設(shè)a，b，c∈R+，求證：(a+b+c)≤++≤.證明：先證左邊，設(shè)m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，則由

綜上，原不等式成立.點(diǎn)評(píng)：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數(shù)量積建立不等式證明右邊.作單位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余邊同理

在三角形ABC平面上做一單位向量i,i⊥BC,因?yàn)锽A+AC+CB=0恒成立，兩邊乘以i得i*BA+i*AC=0①根據(jù)向量?jī)?nèi)積定義，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得csinB-bsinC=0所以b/sinB=c/sinC類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sinA=b/sinB,所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個(gè)等式。

第三篇：用向量法證明

用向量法證明

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個(gè)等式.希望對(duì)你有所幫助!

設(shè)向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長(zhǎng)AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過A做AG‖DC交EF于p點(diǎn)

由三角形中位線定理有：

向量Ep=?向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質(zhì))

∴向量pF=?(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=?(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

先假設(shè)兩條中線AD,BE交與p點(diǎn)

連接Cp,取AB中點(diǎn)F連接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共線，pF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點(diǎn)p

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一問結(jié)論

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以O(shè)A+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

第四篇：向量法證明正弦定理

向量法證明正弦定理

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

2如圖1，△ABC為銳角三角形，過點(diǎn)A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

由圖1，AC+CB=AB(向量符號(hào)打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，過點(diǎn)C作與向量CB垂直的單位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步驟

1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個(gè)等式。

3用向量叉乘表示面積則s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(這部可以直接出來哈哈，不過為了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三級(jí)

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4過三角形ABC的頂點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當(dāng)D落在邊BC上時(shí)，向量AB與向量AD的夾角為90°-B，向量AC與向量AD的夾角為90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的絕對(duì)值*向量AD的絕對(duì)值*COS(90°-B)=向量的AC絕對(duì)值*向量AD的絕對(duì)值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當(dāng)D落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣可以證得

第五篇：余弦定理的證明 向量法

∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線代表兩個(gè)鄰邊大小

∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)（以上粗體字符表示向量）又∵cos(π-θ)=-Cosθ

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|cosθ（注意：這里用到了三角函數(shù)公式）再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC 即 cosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b 同理可證其他，而下面的cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab就是將cosC移到左邊表示一下。