第一篇：用向量法證明平行關系

2010 山東省昌樂二中 高二數學選修2-1導學案時間：2010-12-21班級：姓名：小組：教師評價：

課題: 3.2.1用向量法證明平行關系

編制人：劉本松、張文武、王偉潔審核人：領導簽字： 【使用說明】1.用20分鐘仔細研讀課本P95-P98,認真限時完成問題導學預習自測；

2.具體要求：

三、練一練：

????3????

1、已知點A(3,4,0),B(2,5,5),而且BC?OA，其中O為坐標原點，點C的坐標為

5?????

2、l1的方向向量為v1?(1,2,3)，l2的方向向量為v2?(?,4,6)，若l1//l2，則?等于

3、已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外任一點O，滿足下面條件的點M是否一定在平面

（1）用向量表示直線或點在直線上的位置；

（2）用向量方法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行；

【學習目標】 1.掌握用向量法證明平行關系，提高概念理解和應用能力；

2.獨立思考，合作學習，探究向量法研究空間平行問題的規律方法； 3.激情投入，形成扎實嚴謹的數學思維品質.【課前預習】

一、重點：用向量證明空間的平行關系；難點：空間向量在證明平行關系中的應用.二、問題導學

1.類比平面內直線的向量參數方程，寫出空間直線的向量參數方程.思考：當t?

1時，線段AB中點M的向量表達式是2.設?v????

21和v2分別是直線l1和l2的方向向量，則由向量共線的條件，得l1//l2或l1和l2重合的充要條件是什么？

l//?或l在?內的充要條件是什么？

?//?或?與?重合的充要條件是什么？

ABC內？ ????OM??2???OA?????OB?????OC?

(四)我的疑問：

【課內探究】

一、討論、展示、點評、質疑

探究一：用向量表示直線或點在直線上的位置

已知點A(?2,3,0),B(1,3,2)，以???AB?的方向為正向，在直線AB上建立一條數軸，P,Q為軸上的兩

點，且滿足條件：（1）AQ:QB??2；（2）AP:PB?2:3.求點P和點Q的坐標.拓展1：已知點A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5),且ABCD是平行四邊形，則頂點D的坐標

2010 山東省昌樂二中 高二數學選修2-1導學案時間：2010-12-21班級：姓名：小組：教師評價：

拓展2：已知O為坐標原點，四面體OABC的頂點A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0)，直線BD//CA，并且與坐標平面xOz相交于點D，求點D的坐標.拓展1（AB）已知矩形ABCD和矩形ADEF，AD為公共邊，但是它們不在同一個平面上，點M,N分別在對角線BD,AE上，且BM?1

1BD,AN?AE.證明：直線MN//平面CDE.3

3E

【規律方法總結】探究二：用向量法證明空間中的平行關系

如圖，已知正方體ABCD?A'B'

C'

D'，點M,N分別是面對角線A'B與面對角線AC''的中點.求證：MN//側面AD'

；MN//AD'，并且MN?1'

AD.A'

D'

B'N

C'

A

B

D

C

D

N

C

MA

B

拓展2（A）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD?底面ABCD，PD?DC, E是PC的中點.用向量法證明PA//平面EDB.E

C

B

【規律方法總結】

二、課堂小結：

1.知識與方法方面：2.數學思想方法方面：

第二篇：用向量法證明直線與直線平行

用向量法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行導學案

一、知識梳理

???????

1、設直線l1和l2的方向向量分別是為v1和v2，由向量共線條件得l1∥l2或l1與l2重合?v1???∥v2。

2、直線與平面平行的條件 ?????已知兩個不共線向量v1、v2與平面a共面（圖（2）），??一條直線l的一個方向向量為v1，則由共面向量定理，可得l∥a或l在平面a內?存在兩個實數x、y，使

???????v1＝xv1＋yv2。

3、平面與平面平行的條件 ?????已知兩個不共線的向量v1、v2與平面a共面，則由兩個平面平行的判定定理與性質得 ?????a∥?或a與?重合?v1∥?且v2∥?

4、點M在平面ABC內的充要條件

由共面向量定理，我們還可得到：如果A、B、C三點不共線，則點M在平面ABC內的充分

?????????????必要條件是，存在一對實數x、y，使向量表達式AM?xAB?yAC成立。

?????????????????對于空間任意一點O，由上式可得OM?(1?x?y)OA?xOB?yOC，這也是點M位于平

面ABC面內的充要條件。

知識點睛用向量法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行時要注意：

（1）若l1、l2的方向向量平行，則包括l1與l2平行和l1與l2重合兩種情況。

（2）證明直線與平面平行、平面與平面平行時要說明它們沒有公共點。

例1：如圖3－28，已知正方體ABCD－A′B′C′D′，點M，N

分別是面對角線A′B與面對角線A′C′的中點。

求證：MN∥側面AD′；MN∥AD′，并且MN＝12AD′。

已知正方體ABCD－A′B′C′D′中，點M，N分別是棱BB′與對角線CA′的中點。求證：MN∥BD，MN＝

[例2] 在長方體OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，點P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，點S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，點Q、R分別是O1B1、AE的中點，求證：PQ∥RS 12BD。

在正方體AC1中，O，M分別為BD1，D1C1的中點．證明：OM∥BC1.例3] 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD.變式應用

3如圖所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，點M，N分別在AE，BD上，且AM＝DN.求證：MN∥平面BCE.堂鞏固訓練

→＝AB→，則點B應為1．設M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若OM

()

A．(－1,3，－3)B．(9,1,1)C．(1，－3,3)D．(－9，－1，－1)

→2→，則C的坐標是2．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若OC3

1410A．(2，－，331410B．(－2，－)33

14101410C．(2，－，－)D．(－2，－)3333

3．已知A、B、C三點的坐標分別為A(4,1,3)B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，→⊥AC→，則λ等于()若AB

A．λ＝28B．λ＝－28

C．λ＝14D．λ＝－14

4．已知a＝(2，－2,3)，b＝(4,2，x)，且a⊥b，則x＝____.

第三篇：用向量法證明

用向量法證明

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

設向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過A做AG‖DC交EF于p點

由三角形中位線定理有：

向量Ep=?向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質)

∴向量pF=?(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=?(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

先假設兩條中線AD,BE交與p點

連接Cp,取AB中點F連接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共線，pF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點p

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一問結論

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

第四篇：3.2.用向量方法證明平行關系(小卷)

高二當堂檢測卷（數學3試卷）

命題人：備課組長簽字：試卷總分20分

班級學生姓名檢測時間：月日 星期第節 課題：3.2.1用向量方法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行 檢測重點：直線與平面平行的證明

1、（5分）空間直角坐標系中，A(1，2，3),B(?1，0，5),C(3，0，4),D(4，1，3),則直線AB與CD的位置關系是（）

A.平行B.垂直C.相交不垂直D.無法判定

2、（10分）已知矩形ABCD和矩形ADEF,AD為公共邊，但它們不在同一平面上，點M,N分別在對角線BD,AE上，且BM?證明：直線MN//平面CDE.3、（5分）（選做）已知A,B,C三點不共線，對平面ABC外任一點O，點M滿足11BD,AN?AE.33

111填“共面”或“不共面”）.???,則點M與點A,B,C333

聰明出于勤奮，天才在于積累 －－華羅庚

第五篇：用向量證明線面平行（共）

用向量證明線面平行面垂直就是說直線是面的法向量。單位法向量當然平行這條直線，不過要排除與0向量的討論。0向量與任何向量都平行。但0向量不垂直與面。比如單位法向量是(x,y,z)直線的方向向量是m=(a,b,c)那么m=a(x,y,z)這不完全對。

比如單位法向量是(0,1,0)，難道m=0嗎? 只能是a≠0是可以這樣。

面面平行：可以證明兩個平面的法向量平行。

不過不一定是單位法向量，單位法向量是模等于1的法向量，其實只需證明兩平面的法向量垂直就可以了。

當然你要證明分別平行于兩平面的直線平行，或平行一平面的直線與另一平面的法向量垂直也未嘗不可。2 三維空間上一平面上一活動點鐘(x,y, z)而(m,n,p)是在原點與平面的垂線的交點, 我們得 [(x,y,z)-(m,n,p)] *(m,n,p)= 0 m(x-m)+n(y-n)+p(z-p)=0 mx+ny+pz=m^2+n^2+p^2 所以 ax+by+cz=d 中的a=m, b= n, c=p , d=m^2+n^2+p^2= 原點與平面的垂直距離 x+y+z=1是一個面它垂直和相交(1,1,1)這支向量 [1,8,-3]×[4,-5,9]≠[0,0,0] 所以兩直線的方向向量不平行 即兩直線不平行

但是書后的答案說兩直線是平行的。。你確定題沒有寫錯嗎? 其實直線很簡單

[x,y,z]=[4,-3,2]+ t[1,8,-3] 表示通過點[4,-3,2]，沿著方向[1,8,-3]延伸 而[1,8,-3]跟[4,-5,9]方向不一樣，兩直線不平行平行向量

平行向量(也叫共線向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a∥b，規定零向量和任何向量平行。加法運算

AB+BC=AC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。

已知兩個從同一點O出發的兩個向量OA、OB，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。對于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法滿足所有的加法運算定律。減法運算

與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。以減向量的終點為起點,被減向量的終點為終點(三角形法則)數乘運算

實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，|λa|=|λ||a|，當λ > 0時，λa的方向和a的方向相同，當λ < 0時，λa的方向和a的方向相反，當λ = 0時，λa = 0。

設λ、μ是實數，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λ + μ)a = λa + μa(3)λ(a ± b)= λa ± λb(4)(-λ)a =-(λa)= λ(-a)。