第一篇：用向量可以證明不等式

運用向量可以證明不等式

向量一章中有兩處涉及到不等式，其一，?a?a+???b?a?b或-???b?a?b；其二，??a?b??a?b。前者的幾何意義是三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，后者是數量積的性質，這兩個結論用于證明不等式，可以使證明思路清晰明快，過程簡單明了之功效。

????

一、利用a-b?a?b證明不等式

例

1、函數f(x)?，a?b，求證：

f(a)?f(b)?a?b

解析：f(a)?f(b)?a?b

即??a?b

??

構造兩個向量 a?(1,a),b?(1,b)，?可??以理解為兩個向量的模的差a?b，那么a?b表示向量???c?(0,a?b)的模，其中a?b?(1,a)?(1,b)?(0,a?b)。????

因此，原不等式等價于證明a?b?a?b，其中a?b，向量 ??a和b不可能同向，不取等號。

????

二 利用a?b?ab證明不等式

2222例2、已知實數mnxy滿足m?n?a,x?y?b

（a?b），求mx?ny得最大值

???解析：構造向量a?(m,n),b?(x,y)，則a?? ??a?b?mx?ny????，因為a?b?ab，所以mx?ny

?

?my

?nx取最大值。?例

3、已知a?b?

1,解析： 構造向

量???a?b?1m?，n??

12?2 ???n?(1,1),m?。???

。m?n?????因為m?n???

m?n

所以，??????n??n?2。

第二篇：向量法證明不等式

向量法證明不等式

高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數乘運算都沒有發生改變.若在歐式空間中規定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數量積的運算，則高中階段的向量即為n=2，3時的情況.設a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

規定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可記為(a，b)，表示兩向量的內積)，有

由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數量積的不等式建立一系列n元不等式，進而構造n維向量來證明其他不等式.一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

例1設a，b，c∈R+，求證：(a+b+c)≤++≤.證明：先證左邊，設m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，則由

綜上，原不等式成立.點評：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數量積建立不等式證明右邊.作單位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余邊同理

在三角形ABC平面上做一單位向量i,i⊥BC,因為BA+AC+CB=0恒成立，兩邊乘以i得i*BA+i*AC=0①根據向量內積定義，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得csinB-bsinC=0所以b/sinB=c/sinC類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sinA=b/sinB,所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

第三篇：用向量法證明

用向量法證明

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

設向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過A做AG‖DC交EF于p點

由三角形中位線定理有：

向量Ep=?向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質)

∴向量pF=?(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=?(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

先假設兩條中線AD,BE交與p點

連接Cp,取AB中點F連接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共線，pF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點p

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一問結論

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

第四篇：用均值不等式證明不等式

用均值不等式證明不等式

【摘要】：不等式的證明在競賽數學中占有重要地位．本文介紹了用均值不等式證明幾個不等式，我們在證明不等式時，常用到均值不等式。要求我們要認真分析題目，本文通過幾個國內外競賽數學的試題，介紹用均值不等式證明初等不等式的基本方法及技巧。

【關鍵詞】：均值不等式；不等式；方法；技巧

均值不等式

設 a1、a2、?、an 是 n 個 正數，則不等式H(a)?G(a)?A(a)?Q(a)稱為均值不等式[1]．其中

H(a)?

n

1a

1?1a

2???

1an，G(a)?

a1a2a1a?an，A(n)?

a1?a2???an

n

22，2

Q(n)?

a1?a2???an

n

?、an 的調和不等式，幾何平均值，算術平均值，均方根平均分別稱為 a1、a2、值．

例1設a1、a2、…、an均為正，記

?(n)?n（a1?a2???an

n

?

a1a2?an)

試證：?(n)??(n?1)，并求等號成立的條件．

證明由所設條件，得

?(n)??(n?1)

=n（a1?a2???an

n

?

n

a1a2?an)?(n?1)（a1?a2??an?

1n?1

?

n?1

a1a2?an?1)

=a1?a2???an?nna1a2?an?(a1?a2???an?1)?(n?1)n?1a1a2?an?1

=an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1?n(a1a2?an)n，n?1

???(a1a2?an?1)n?1，有 將G(a)?A(a)應用于n個正數：an，（a1a2?an?1）

?????????????????

n?1個

an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1

n

?(a1a2?an)n，即

an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1?n(a1a2?an)n．

所以?(n)??(n?1)，當且僅當an?(a1a2?an?1)立．

n?1，即ann?1?a1a2?an?時等號成1

此題不只是公式的直接應用．代表了均值不等式中需要挖掘信

?、an 的一類題． 息找a1、a2、例2設x?y?z?0，求證：6(x3?y3?z3)2?(x2?y2?z2)3． 證明當x?y?z?0時不等式顯然成立．

除此情況外，x、y、z中至少有一正一負．不妨設xy?0，因為

z??(x?y)，所以

I?6(x?y?z)?6[x?y?(x?y)]?6[?3xy(x?y)]?54xyz

．

若由此直接用G(a)?A(a)(n?3)，只能得到較粗糙的不等式

I?54xyz?54（x?y?z

2)?2(x?y?z)，3222

3如果改用下面的方法，用G(a)?A(a)，便得

I?54xyz

222

?216

xy2

?

xy2

?z

?xy?xy2???z?

??(2z2?2xy)3，?216???3????

再注意到x2?y2?(x?y)2?2xy?z2?2xy，因而2z2?2xy?x2?y2?z2，于是即得欲證的不等式．

此題解題的關鍵在于構造a1、a2、?、an通常需要拓寬思路多次嘗試，此類也屬均值不等式的常考類題． 例3設x?0，證明：2

x

?2

x

?2?2

x

．(第16屆全蘇數學競賽試題[2])

證明此不等式的外形有點像均值不等式． 由G(a)?A(a)，得

x?2

x

x

?2

x

?2?2

x

?2

x

?2?2，又

x?2

x

1111

?(x12x4)2?x6，即得要證的不等式．

結語

有些不等式則可以利用某個已經證明成立的不等式來證明(因此多熟悉幾個比較常見的不等式是有好處的)；有些不等式還要用數學歸納法來證明等等．而且在一個題目的證明過程中，也往往不止應用一種方法，而需要靈活運用各種方法．因此，要培養和提高自己的證題能力。

參考文獻

[1]陳傳理等編．數學競賽教程 [M]．北京：高等教育出版設，1996，(10)：

133-134．

[2]常庚哲等編．高中數學競賽輔導講座[M]．上海：上海科學技術出版社，1987．38-49

第五篇：不等式·用綜合法證明不等式

不等式·用綜合法證明不等式

教學目標

1．掌握兩個或三個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數這一重要定理，并能運用它們證明一些不等式．

2．了解綜合法的意義．

3．通過對定理及其推論的推導、證明、應用，培養學生運用綜合法進行推理論證的能力．

教學重點和難點

用綜合法證明定理及推論的教學． 教學過程設計

（一）新課引入

師：我們已學過用比較法（求差、求商）證明不等式，它是一種最基本、最常用的方法．請完成以下練習．

1．證明：x2＋2＞2x（x為實數）．

2．請問：x2＋1與2x的大小關系是什么？并證明你的結論．（教師巡視學生的解題情況，請學生將不同的解法板演到黑板上）1．證法1：由（x2+2）-2x=（x-1）2+1≥1＞0，知x2＋2＞2x．

證法2：由（x-1）2≥0，知（x-1）2+1≥1＞0，即x2-2x＋2＞0，則x2＋2＞2x．

師：兩位同學的證明都正確，他們都是根據a2≥0（a≥R）．在證法上有區別嗎？請大家思考．

2．答：x2＋1≥2x．

證法1：由（x2＋1）-2x=x2-2x＋1=（x-1）2≥0，知x2+1≥2x． 證法2：由（x-1）2≥0，① 知x2-2x＋1≥0，則x2+1≥2x． ② 師：同學們得到的結論幾乎是一致的，是x2+1≥2x．主要證法已列在黑板上，請大家思考：這些證明是否正確？所采用的方法是什么？

生：都正確．證法一是求差比較法，證法二是??

師：一時答不出也沒關系，證法一用的是求差比較法，至于證法二，我們不妨先問問寫出證法二的同學是怎么想出來的．

生：我一看到是兩個“平方項”與它們的兩倍“交叉項”比大小，就首先想到了平方公式，這個完全平方一定是非負的；然后再根據不等式性質，就得到了結論；最后就按這個思路進行的證明．

師：他是從已經成立的事實出發，經過正確推理，得到要證的結論．也就是說他是以公式①為基礎，運用不等式的性質推出②式，這種利用某些已經證明過的不等式作為基礎，再運用不等式的性質推導出所要求證的不等式的方法通常叫做綜合法．

對于綜合法大家并不陌生，初中的平面幾何題大多是用綜合法加以證明的． 今天我們一起研究如何用綜合法證明不等式（板書課題）．

（二）用綜合法證明不等式 1．綜合法

師：我們已經知道用綜合法證明需要一些已經證明過的不等式作為基礎，因此我們應先證明出一些最重要、最基本的不等式．

2．定理推導

師：通過剛才的兩道小題，我們不難得出：如果a，b∈R，那么有（a-b）2≥0．把左邊展開，得a2-2ab＋b2≥0，則a2＋b2≥2ab．這就是課本P8中介紹的定理1．我們采用的是綜合法，課本中是用求差比較法加以證明的．

（把課前準備好的課本中的這段證明投出來供大家一起閱讀．此處需實物投影儀）

證明：a2＋b2-2ab=（a-b）2．

當a≠b時，（a-b）2＞0；當a=b時，（a-b）2=0． 所以（a-b）2≥0，即a2＋b2-2ab≥0．因此a2＋b2≥2ab．

師：值得我們注意的是這是帶有“=”的不等式，取“=”這種特殊情況應予以重視．不等式a2＋b2≥2ab中“=”成立的充要條件是什么？ 生：是a=b．

師：充要條件通常用“當且僅當”來表達，“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的．所以定理1表述為：

定理1 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（當且僅當a=b時取“=”號）．（板書）

師：這個定理的功能是什么？功能往往源于它的結構．

生：公式a2＋b2≥2ab的一邊是和的形式，另一邊是積的形式．我想功能大概是：和可以縮小變成積，積可以放大變成和．

師：雖然語言欠準確，但其含意是對的．這個定理非常重要，且用途廣泛，但由于各項都是二次的，使用時不太方便，誰有辦法將它們的次數降下來？

師：大家都同意他的作法嗎？有什么不同意見嗎？

師：同學們思考問題已越來越嚴謹了，的確，從學生甲的方法應得到學生乙的結論，學生丙提到的條件是不可缺少的．由于有這個條件，的情況單獨提出來，做為定理1的推論．

“＝”號）．（板書）

生丁：我與學生甲的想法不同．既然定理1的a2＋b2≥2ab對任意

師：學生丁的想法更自然，他直接利用定理得到推論，這個推論十 的算術平均數不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數． 3．定理的初步應用

師：看到這個問題，你的第一想法是什么？ 生：使用定理加以證明．

師：若想定理幫忙，首先要看是否符合定理的條件．

師：再看是否符合定理的結構．

師：實際上，我們是用定理1的推論進行證明的．

（教師把證明過程板演到黑板上）師：使用定理時，應特別注意：等號何時成立，不過這只要看定理是怎么形成的就可以了．

4．定理的推廣

師：我們已研究得到兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．這個結論可以推廣到3，4，?，n（n∈N+）個正數，在中學只要掌握到三個正數的相應結論．請問應是什么？

生：應該是：三個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數． 師：用符號語言應如何表述？請寫到黑板上．（學生書寫在黑板上）

師：如何證明呢？ 生：??

使式子看起來較為復雜，能否做適當變形使之簡化呢？

師：想得好，它有條件嗎？ 生：有．同樣是a，b，c∈R+．

師：這個命題大家能證明出來嗎？一時不能完全證出來也沒關系，想出多少說多少．

生甲：我覺得證a3＋b3＋c3≥3abc更容易點．它能拆成a3≥abc，b3≥abc，c3≥abc，由條件只要證出a2≥bc，b2≥ac，c2≥ab即可．

生乙：這三個分著不可能證出來，不過合起來的2a2＋2b2＋2c2≥2bc＋2ac＋2ab很容易證出．

師：雖然他們還沒能把命題證出，但從他們的發言中我們得到了一點啟發：三次的問題轉化為二次的解決． 生丁：我證出來了．（學生口述，教師板書）

證明：由于a，b，c∈R+，由定理1，得a2＋b2≥2ab，則a2-ab＋b2≥ab． 所以a3＋b3=（a＋b）（a2-ab＋b2）≥（a＋b）ab=a2b＋ab2，即a3＋b3≥a2b＋ab2．

同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，c3+a3≥a2c＋ac2． 三式相加，得

2a3＋2b3＋2c3≥a2b+ab2+b2c＋bc2+a2c+ac2 =b（a2＋c2）+a（b2＋c2）＋c（a2+b2）≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab =2abc+2abc+2abc ＝6abc．

故a3+b3＋c3≥3abc．

師：證得漂亮，你是怎么想出來的？

生丁：我覺得證這個題目只能根據已知條件和定理1及推論．證題時我又借鑒了他們倆的經驗，對a3，b3，c3的降次轉化工作不是一個、成．

師：他還有兩處處理得很好．一處是：a2-ab＋b2≥ab；另一處是對三式相加后的式子的重組．很明顯，他是在努力創設條件、充分利用定理證題．這個問題是用什么方法加以證明的？

生：綜合法．

師：剛才的證明過程不僅幫我們把問題得以解決，而且還幫助我們加深了對綜合法的認識，從中可體會到應如何使用綜合法證題． 證明此題還有其它辦法嗎？ 生：我是用求差比較法證的．（學生口述，教師板書）證明：由于a3+b3+c3-3abc =（a＋3）3+c3-3a2b-3ab2-3abc =（a＋b＋c）[（a＋b）2-（a＋b）c＋c2]-3ab（a＋b＋c）=（a＋b＋c）[a2＋2ab+b2-ac-bc＋c2-3ab] =（a＋b＋c）（a2+b2＋c2-ab-ac-bc）

又a，b，c∈R＋，則a＋b＋c＞0．

由（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（c-a）2≥0，知（a-b）2+（b-c）2＋（c-a）2≥0．

進而a3＋b3＋c3-3abc≥0．即a3＋b3＋c3≥3abc．

師：正確，而且思路很清晰．這個思路你是怎么想出來的？

生：我是一看到這個題目就想用比較法的．我本以為作差后，能因式分解，再用條件或定理1，就可斷定式子的符號，題目也就證出來了，但我第一次兩兩分組就不成功，沒分解出來．再試時，我看a3，b3，c3，3abc這四項都是3次的，就先湊出與之齊次的（a＋b）3再配平，結果就出來了．

師：數學中很多時候也是需要試一試、拼拼湊湊的． 其實，課本中采用的就是這種證法．

這同樣是帶有“=”的不等式，我們仍需研究其“=”成立的充要條件．從剛才的證明過程看，“=”出現在（a-b）2＋（b-c）2＋（c-a）2≥0中，這是顯然有：當且僅當a=b，b=c，c=a同時成立，即a=b=c時等號成立． 至此，我們已得到了定理2及其推論．（教師板書）

定理2 如果a，b，c∈R+，那么a3＋b3＋c3≥3abc（當且僅當a=b=c時取“=”號）．

時取“=”號）．

師：這個定理及推論同樣是非常重要而且廣泛的．它的證明方法遠不只上述這些，推論也可直接證得，同學們不妨課下試一試．

（三）小結

（引導學生歸納總結）

1．已學過的不等式證明方法：比較法、綜合法． 2．用綜合法證明不等式的依據是什么？（1）已知條件和不等式性質；（2）基本不等式：

“＝”號）．

3．綜合法與比較法的內在聯系．

本節課的課前兩個練習與兩個定理的證明都是既用了比較法，又用了綜合法，這引起了我們對二者內在聯系的思考． 由于作為綜合法證明依據的不等式本身是可以根據不等式的意義、性質或比較法證出的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據不等式的意義、性質或比較法來證明．

擺在我們面前的問題恐怕是方法的選擇．方法選擇不當，不是證不出來就是難度加大；方法合理使用，會使題目難度大大下降．因此我們不要學過某種方法就抱定不放，要善于觀察，根據題目的特征選擇證題方法．

顯然，對于需用基本不等式證明的問題，直接用結論要比再從頭證一遍容易很多．

4．注意：

（1）定理使用的條件．

只有a2＋b2≥2ab是對任意實數a，b都成立，其余都要求在正數范圍內．（2）定理中“=”號成立的條件．

（四）布置作業

《高級中學課本·代數·下冊（必修）》（人教社90年版98年印刷）P11練習1，2．

補充題：

（1）已知：a，b∈R，求證：a2＋b2＋1≥a＋b＋ab．

課堂教學設計說明

這節課是本章（第五章、不等式）的重點．在這堂課中不僅要講授證明不等式的一種方法——綜合法，而且還要介紹兩個基本而又重要的不等式定理及推論．在這二者關系的處理上，我們發現：要使用綜合法證明不等式就需要一些最重要、最基本的不等式作為基礎，而證明得到它們時又可采用綜合法．因此，我們在課前設計了兩個練習題，尤其是稍放開一點的第2題，如果學生能自覺不自覺地用初中已很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會很自然，即使生沒有想到，教師點撥起來也并不困難．而后順著學生用綜合法的需要，介紹了4個基本不等式，在它們的證明過程中，使用綜合法，幫助學生掌握如何用綜合法證明不等式．

從教學設計上，我們力圖從學生的需要出發，適時地設計一系列問題，幫助學生抓住知識的內在聯系，使學到的公式、方法能用、會用，而不是只支離破碎地記住了一些名詞和公式． 表面上看，本節練習不夠，但實際上，定理2及推論的證明正是最好的練習．構思這個證明，起點要高、思維跨度要大．這正是鍛煉學生思維，培養學生推理論證能力的絕對機會．我們認為：最好的習題就是定理本身的推證過程．這里又是本節的一個難點，在此花點功夫、適當展開是應當的；同時學生對用綜合法證明不等式會有更深刻的體驗．因此講透它比做幾個練習更有意義． 對于幾何證法、三角證法等基本不等式的證明方法，由于擔心會沖淡學生對綜合法的認識，在本節中并未提及．

在課堂教學過程中，學生有可能直接證出定理2的推論，這也無妨．一般來講，它同樣是要用到兩項的結論（定理1或其推論）去證的．課上應就學生的實際，順其自然．