第一篇：壓軸題型訓練6-構造向量證明不等式

構造向量證明不等式

教材中有關向量的內容，其中兩個向量的數量積有一個性質：a?b?|a||?b|cos?（其中θ為向量a與b的夾角），則|a?b|?||a||?b|cos?|，又?1?cos??1，則易得到以下推論：

（1）a?b?|a||?b|；（2）|a?b|?|a||?b|；

（3）當a與b同向時，a?b?|a||?b|；當a與b反向時，a?b??|a||?b|；（4）當a與b共線時，|a?b|?|a||?b|。以上推論在證明不等式問題中有重要應用。

一、證明不等式

例

1已知a、b?R，a?b?1，求證：2a?1?2b?1?22。證明：設m=（1，1），n?(2a?1，2b?1)，則

?m?n?2a?1?2b?1，|m|?2，|n|?2a?1?2b?1?2

由性質m?n?|m||?n|，得2a?1?2b?1?22

練習1.若a，b?R，a?b?2，求證：2a?1?2b?1?23 例2 已知x?y?z?1，求證：x?y?z?證明：設m=（1，1，1），n=（x，y，z），則

222*1。3m?n?x?y?z?1|m|?3，|n|?2x?y?z22222

由性質|m?n|?|m||n|，得x?y?z??2221 3a2b2c2a?b?c???例3 已知a，b，c?R，求證：。b?cc?aa?b2證明：設m?(abc，)，n?(b?c，a?c，a?b)，b?cc?aa?ba2b2c2??，|n|?2(a?b?c)b?ca?ca?b則m?n?a?b?c，|m|?222a2b2c2a?b?c???由性質|m?n|?|m||n|，得 b?cc?aa?b2 1

a2b2c2練習2.設a，b，c?R，且a?b?c?2，求證：???1

b?cc?aa?b*???abc??，提示：構造m???，n??b?cc?aa?b?4422?b?c,c?a,a?b

332?例4 已知a,b為正數，求證：(a?b)(a?b)?(a?b)。證明：設m?(a，b)，n?(a，b)，則22244222m?n?a3?b3|m|?a?b，|n|?a?b23322244

由性質|m?n|?|m||n|，得(a?b)(a?b)?(a?b)例5 設a,b,c,d?R，求證：ad?bc?a2?b2?c2?d2。

證明：設m=（a,b），n=（c,d），則m?n?ad?bc

|m|?a2?b2，|n|?c2?d2

由性質a?b?|a||?b|，得ad?bc?

二、比較大小

例6 已知m,n,a,b,c,d?R，且p?p，q的大小關系為（）

A.p?q

B.p?q

C.p

D.p,q大小不能確定

?a2?b2?c2?d2

ab?cd，q?ma?nc?bd?，那么mn解：設h?(ma，nc)，k?(bd，)，則 mnh?k?ab?cd|h|?ma?nc，|k|?bd

?mn由性質|h?k|?|h||?k|得ab?cd?即p?q，故選（A）

三、求最值

ma?nc?bd? mn例7 已知m,n,x,y?R，且m?n?a，x?y?b，那么mx+ny的最大值為（）

A.2222ab a?bB.C.2a2?bD.2a2?b2 2 2 解：設p=（m,n），q=（x,y），則 由數量積的坐標運算，得p?q?mx?ny 而|p|?m2?n2，|q|?x2?y2

從而有mx?ny?m2?n2?x2?y2

ab，故選（A）。

2222當p與q同向時，mx+ny取最大值m?n?x?y?例8

求函數y?152x?1?5?2x(?x?)的最大值。

22解：設m?(2x?1，5?2x)，n?(1，1)，則

m?n?2x?1?5?2x|m|?2，|n|?2

由性質m?n?|m||?n|，得y?當

2x?1?5?2x?22

12x?1?15?2x時，即x?3時，ymax?2 2

四、求參數的取值范圍

例9 設x,y為正數，不等式x?y?ax?y恒成立，求a的取值范圍。

解：設m?(x，y)，n?（1，1），則

m?n?x?y，|m|?x?y，|n|?2

y?2?x?y 由性質m?n?|m||?n|，得x?又不等式x?y?ax?y恒成立，故有a?2

第二篇：壓軸題型訓練5-構造函數證明不等式

構造函數證明不等式

函數是高中數學的基礎，是聯系各個數學分支的橋梁和紐帶.在不等式的證明中，我們可根據不等式的結構特點，建立起適當的函數模型，利用函數的單調性、凸性等性質，靈活、巧妙地證明不等式.一、二次函數型：

1.作差構造法.例1.求證:a?b?c?ab?bc?ca.分析:將a視為變量,考察函數f?a??a??b?c?a?b?bc?c.由于該二次函數的圖象開口向上,22222

2且???3?b?c??0,故f?a??0.結論獲證.例2.設a,b,c為?ABC的三條邊,求證:a2?b2?c2＜2?ab?bc?ca?.分析:構造函數f?x??x?2?b?c?x??b?c?.∵f?x?圖象開口向上,對稱軸x?b?c.∴f?x?222

在???,b?c?上單調遞減.∵a,b,c為?ABC的三條邊,∴b?c＜a＜b?c(不妨設b?c)∴f?a??f?b?c?.∵f?b?c???b?c??2?b?c??b?c???b?c???4c?b?c??0.∴f?a??0.即結論成立.2.判別式構造法.2222例3.已知a,b,c,d都是實數,且a?b?1,c?d?1.求證:ac?bd?1.222ac?bd?4a?b?分析：所證結論即是?????222???c2?d2??0.故可構造函數

f?x???a2?b2?x2?2?ac?bd?x?c2?d2.由于f?x??ax?2acx?c22?2???bx22?2bdx?d2???ax?c???bx?d??0.22

當且僅當x?cd?時取“=”號.又因為f?x?的圖象開口向上,故必有??0.結論成立.ab

2練習1.求證:?ac?bd??a?b2?2??c2?d2?.點撥:證法同例3.該題是柯西不等式的特殊情形.其一般形式是:

nnnn?n??n2?222x??bi2證之.??aibi???ai??bi.可構造函數f?x????ai?x?2?aibi?

i?1i?1?i?1?i?1i?1?i?1?2

練習2.已知a,b是不相等的兩個正數,求證:

?a?b??a3?b3???a2?b2?2.2點撥:構造函數f?x???a?b?x?2a?b2?2?x?a3?b3?a?x?a??b?x?b?證之.22

練習3.已知a,b都是正數,x,y?R,且a?b?1,求證:

ax2?by??ax?by?.222

點撥:構造函數f?z???a?b?z?2?ax?by?z?ax?by?a?z?x??b?z?y?證之.242

練習4.求證:31?a?a?1?a?a

???

?

.點撥:構造函數f?x??3x?21?a?a

二、分式函數型:

??x?1?a

?a4??x?1???x?a???x?a2?證之.例4.已知a,b,m都是正數,并且a?b,求證:

分析:構造函數f?x??

a?ma

?.b?mb

b?ax?a

?0.故f?x?在x??0,???.由于當x??0,???時，f??x??

2x?b?x?b?

?0,???上是增函數.∵f?x?在x?0處右連續，∴f?x?在?0,???上是增函數.∵m?0 ∴

f?m??f?0? 即

a?ma?.b?mb

a?b

?1.1?ab

例5.已知a?1,b?1,求證:

1?a2a?x

?0.分析:構造函數f?x??x???1,1?.由于當x???1,1?時，f??x??2

1?ax?1?ax?

故f?x?在??1,1?上是增函數.∵f?x?在x??1處右連續，在x?1處左連續.∴f?x?在??1,1?上是增函數.∵?1?b?1 ∴f??1??f?b??f?1? ,即?1?

a?b

?1, 即1?ab

a?b

?1.1?ab

練習5.已知c?a?b?0,求證:

點撥:構造函數f?x??

ab?.c?ac?b

x

x??0,c?

c?x

abc

??.a?mb?mc?m

練習6.已知?ABC的三邊長分別是a,b,c.且m為正數.求證:

點撥:構造函數f?x??

x,x??0,???.易證f?x?為增函數.由于a?b?c, x?ma?bcababa?b

故f?a?b??f?c?.即?.而????.a?b?mc?ma?mb?ma?b?ma?b?ma?b?m

abc故有??.a?mb?mc?m

練習7.求證:

a?b1?a?b

?

a?b1?a?b

.分析:構造函數f?x??

三、冪函數型：

x,x??0,???證之.1?x

3223

例6.如果a,b都是正數，且a?b,求證：a?b?ab?ab.分析：a?b?ab?ab?a?b

n

*

553223

?

??a

?b2?.考察函數f?x??x,(n?N)在?0,???上的單調性，顯然f?x?在?0,???上為增函數.3322

若a?b,則a?b, a?b,所以a?b

??

??a??a

?b2??0； ?b2??0。

3322

若a?b,則a?b, a?b,所以a?b

332

所以a?b?ab?ab.利用函數的單調性證法可以將上述結論推廣為: 若a、b是正數且a?b,求證：a四、一次函數型：

例7.設a,b,c??0,1?,求證:a?b?c?ab?bc?ca?1.分析:構造函數f?a???1?b?c?a?b?c?bc?1,a??0,1?.∵f?0??b?c?bc?1??1?c??b?1??0,f?1??1?b?c?b?c?bc?1??bc?0.∴對任意a??0,1?,恒有f?a??0.故原不等式成立.五、三角函數型：

222

2例8.已知a,b,c,d都是實數,且a?b?1,c?d?1.求證:ac?bd?1.55322

3m?n

?bm?n?ambn?anbm.(m,n?N*)

cos??sin??sin? 分析:設a?cos?,b?sin?, c?cos?,d?sin?.則ac?bd?cos???cos??????1.練習8.設x,y?R,且x?y?1,求證

:?x?2xy?y?點撥:設x?rcos?,y?rsin?.其中r?1.以下略.六、構造函數,利用函數圖象的凸性： 例9.求證3+7<2

5分析:考察函數f(x)=x的圖象,特征是上凸函數.對任意x1,x2??0,???,且x1?x2,都有：

?f(x1)?f(x2)?

2f?3??f?7??所以,???f?5?.2?

1即（+7）<.2

兩條結論:

（1

值之和越大.(2)下凸函數,區間中點相同時,兩端“距離”區間中點越近,兩端點函數值之和越小.練習9.已知:f?x??tanx,x??0,1??????

x,xx?x, 若 且,試判斷0,??1212????f?x1??f?x2???與222????

?x?x?

f?12?的大小.?2?

練習10.已知:f?x??lgx

?x?1?,若0?x1?x2,試比較

?

lgA?lgB

?f?x1??f?x2???與2?

?x?x?

f?12?的大小 ?2?

練習11.求證:lg

A?B2

?AB?0?.以上表明,若能清楚不等式所反映的圖象意義，就會給證明提供思路.七、構造連續函數，應對含離散型變量的不等式問題： 例10．已知m,n是正整數，且1﹤m＜n.證明?1?m?＞?1?n?.n

m

分析：不等式?1?m?＞?1?n?兩邊取對數，得：ln?1?m?＞ln?1?n?.n

m

n

m

整理，得：

ln?1?m?ln?1?n?＞.mn

構造函數g?x??

ln?1?x?

x

?x?2?.x

?ln?1?x?

求導，得：g??x??1?x.2x

當x?2時,可得：0＜

x

＜1，ln?1?x??ln3＞1.1?x

故g??x?＜0.所以g?x?在?2,???上是減函數.∵g?x?在x?2處右連續.∴g?x?在?2,???上是減函數.∵m＜n，∴ g?m?＞g?n?.即

n

m

ln?1?m?ln?1?n?＞.mn

整理，得：?1?m?＞?1?n?.注：不等式?1?m?＞?1?n?也可化為：?1?m?

n

m

m

＞?1?n?

1n

.這時，可研究函數

h?x???1?x??e

1x

ln?1?x?x的單調性證之.n?

1練習12.已知n是正整數且n≥3.求證：n

點撥：不等式n

n?1

n

＞?n?1?.n

＞?n?1?兩邊取自然對數，整理得：

lnnln?n?1?＞.n?1n

構造函數f?x??

lnx

可證之.x

lnf?x?

說明:根據所構造函數的結構特點,我們將函數轉化為lnf?x?型或e

型,方便了對函數的求導運算.不等式證明的數學模型，除本文介紹的函數模型外，還可建立向量模型、解析幾何模型、方程模型等.

第三篇：向量法證明不等式

向量法證明不等式

高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數乘運算都沒有發生改變.若在歐式空間中規定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數量積的運算，則高中階段的向量即為n=2，3時的情況.設a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

規定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可記為(a，b)，表示兩向量的內積)，有

由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數量積的不等式建立一系列n元不等式，進而構造n維向量來證明其他不等式.一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

例1設a，b，c∈R+，求證：(a+b+c)≤++≤.證明：先證左邊，設m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，則由

綜上，原不等式成立.點評：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數量積建立不等式證明右邊.作單位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余邊同理

在三角形ABC平面上做一單位向量i,i⊥BC,因為BA+AC+CB=0恒成立，兩邊乘以i得i*BA+i*AC=0①根據向量內積定義，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得csinB-bsinC=0所以b/sinB=c/sinC類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sinA=b/sinB,所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

第四篇：構造向量巧解不等式問題

構造向量巧解有關不等式問題

新教材中新增了向量的內容，其中兩個向量的數量積有一個性質：a?b??|a||b|cos?（其中θ為向量a與b的夾角），則|，又?，則易得到以1?cos?1a?b|??||a|||bcos|

下推論：

（1）ab??|ab|?||；

（2）|ab?|?|a|?|b|；

（3）當a與b同向時，ab??|ab|?||；當a與b反向時，a?b???|a||b|；

（4）當a與b共線時，|ab?|?|a|?|b|。

下面例析以上推論在解不等式問題中的應用。

一、證明不等式

例1已知a。、b?R，a?b?12證明：設m=（1，1），n，則 2a?2b?1)???

?ab?

1||2||a?1?2b?1?

2ab?12由性質m ?n?|m|?|n|，得?y?z?1，求證：x?y?z例2已知x。

證明：設m=（1，1，1），n=（x，y，z），則 2221

3m?n????xyz1

||3，|n|x?y?z

222222 m?nm|?||||n，得x?y?z由性質|

?22213a2b2c2a?b?cR，求證：???例3已知a，b，c?。b?cc?aa?b2

222abc)證明：設m，??a?b)bc?ca?ab?

則m ??na?b?c

222abc||||2(a?b?c)b?ca?ca?b

第1頁（共4頁）

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a2b2c2a?b?c由性質| ???m?n|?|m||n|，得b?cc?aa?b2222例4已知a,b為正數，求證：(。a?b)(a?b)?(a?b)

證明：設m ?(a，b)，n?(a，b)，則

33m?n?a?b

224442233222||a?b，|n|a?b

由性質|m?n|?|m||n|，得 222

44422332(a?b)(a?b)?(a?b)

d?a?cd?。,b,c,d?R例5設a，求證：a

證明：設m=（a,b），n=（c,d），則

m?n??adbc

2222 ||a?b||c?d222

由性質ab??|ab|?||，得

222ad?a?cd?

二、比較大小

Rda?例6已知m,n,a,b,c,d?

p，q的大小關系為（）

A.p?qB.p?qC.p

hk?abcd

bd |h|ma?nc，|k|mn

hk?|??|hk|||得 由性質|

bcdman?即p?q，故選（A）

bd mn

三、求最值

例7已知m,n,x,y?，且m，那么mx+ny的最大值為??na，x??ybR

（）A.2222abB.a?b

2C.a2?b2

2D.a2?b2

解：設p=（m,n），q=（x,y），則

由數量積的坐標運算，得p ?q?mx?ny

而|| m?n||x?y

從而有m xnmx?y

當p與q同向時，mx+ny取最大值m，故選（A）。?nx?yb

例8求函數的最大值。x??)

解：設，則 x?2x)，n?(1，1)***2

m?n2x?1?2x

|m|?2，|n|2

由性質m?n?|m|?|n|，得

x?2x2

當

四、求參數的取值范圍 113 時時，y?2max22x??2x

y?y例9設x,y為正數，不等式x恒成立，求a的取值范圍。

yn)，?（1，1）解：設，則

||x?y||2

由性質m?n?|m|?|n|，得

xyx?y y?y又不等式x恒成立

故有a?2

黑龍江省大慶市66中學（163000）

第五篇：構造函數證明不等式

在含有兩個或兩個以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個字母的二次式，這時可考慮用判別式法。一般對與一元二次函數有關或能通過等價轉化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時要注意根的取值范圍和題目本身條件的限制。

例1.設：a、b、c∈R，證明：a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0成立，并指出等號何時成立。

解析：令f(a)?a2?(3b?c)a?c2?3b2?3bc

⊿＝(3b?c)2?4(c2?3b2?3bc)??3(b?c)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)?0，∴a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0恒成立。

當⊿＝0時，b?c?0，此時，f(a)?a2?ac?c2?3ab?(a?c)2?0，∴a??b?c時，不等式取等號。

?4?例2.已知：a,b,c?R且a?b?c?2,a2?b2?c2?2，求證： a,b,c??0,?。

?3??a?b?c?222解析：?2 消去c得：此方程恒成立，a?(b?2)a?b?2b?1?0，22?a?b?c?2∴⊿＝(b?2)2?4(b2?2b?1)??3b2?4b?0，即：0?b??4?同理可求得a,c??0,?

?3?4。3② 構造函數逆用判別式證明不等式

對某些不等式證明，若能根據其條件和結論，結合判別式的結構特征，通過構造二項平方和函數：f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2

由f(x)?0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題，獲得簡捷明快的證明。

例3.設a,b,c,d?R?且a?b?c?d?1，求證：4a?1?4b?1?4c?1?4d?1﹤6。解析：構造函數：

f(x)?(4a?1x?1)2?(4b?1x?1)2?(4c?1x?1)2?(4d?1x?1)

2＝8x2?2(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)x?4.(?a?b?c?d?1)由f(x)?0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)2?128?0.∴4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?42﹤6.例4.設a,b,c,d?R?且a?b?c?1，求解析：構造函數f(x)?(＝(1ax?a)2?(149??的最小值。abc2bx?b)2?(3cx?c)2

1492??)x?12x?1,(?a?b?c?1)abc111由f(x)?0（當且僅當a?,b?,c?時取等號），632149得⊿≤0,即⊿＝144-4（??）≤0

abc111149

∴當a?,b?,c?時，(??)min?36 632abc

構造函數證明不等式

1、利用函數的單調性

+例

5、巳知a、b、c∈R，且a b?mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。若采用函數思想，構造出與所證不等式密切相關的函數，利用函數的單調性來比較函數值而證之，思路則更為清新。

a?x+，其中x∈R，0

b?xb?x證明：令 f（x）= ∵b-a>0 b?a+ 在R上為減函數 b?xb?a+從而f（x）= 在R上為增函數

b?x∴y= ∵m>0 ∴f（m）> f（0）

∴a?ma> b?mb例

6、求證：a?b1?a?b≤

a?b1?a?b（a、b∈R）

[分析]本題若直接運用比較法或放縮法，很難尋其線索。若考慮構造函數，運用函數的單調性證明，問題將迎刃而解。

[證明]令 f（x）=

x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數（證略）1?x 而 0<∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）

即： a?b1?a?b≤

a?b1?a?b

[說明]要證明函數f(x)是增函數還是減函數，若用定義來證明，則證明過程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關系；反過來，證明不等式又可以利用函數的單調性。

2、利用函數的值域

例

7、若x為任意實數，求證：—

x11≤≤ 221?x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。聯想到函數的值域，于是構造函數f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域為[—，]即可。

1?x222x2證明：設 y=，則yx-x+y=0 21?x ∵x為任意實數 ∴上式中Δ≥0，即（-1）-4y≥0 1 411得：—≤y≤

22x11 ∴—≤≤

21?x22 ∴y≤2[說明]應用判別式說明不等式，應特別注意函數的定義域。

另證：類比萬能公式中的正弦公式構造三角函數更簡單。

例

8、求證：必存在常數a，使得Lg（xy）≤ Lga.lg2x?lg2y

對大于1的任意x與y恒成立。

[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數，視參數為變元的函數，然后根據變元函數的值域來求解a，從而說明常數a的存在性。若s≥f(t)恒成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，則s的最大值為f(t)的最小值。

22證明：∵lgx?lgy > 0(x>1,y>1)∴原不等式可變形為：Lga≥

lgx?lgylgx?lgy22

2（lgx?lgy）2lgxlgy 令 f(x)= == 1?222222lgx?lgylgx?lgylgx?lgylgx?lgy 而 lgx>0,lgy>0, ∴lgx+lgy ≥ 2lgxlgy > 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgx?lgy ∴ 1

從而要使原不等式對于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥10

2即可。

故必存在常數a，使原不等式對大于1的任意x、y恒成立。

3、運用函數的奇偶性

xx<(x≠0)1?2x2xx 證明：設f（x）=-(x≠0)x1?22 例

9、證明不等式：

?x?x?x2xx ∵f（-x）=-= x+ ?x1?222?12xxx

[1-(1-2)]+ 1?2x2xx =-x+= f(x)x1?22 = ∴f(x)的圖象關于y軸對稱

x ∵當x>0時，1-2<0，故f(x)<0 當x<0時，根據圖象的對稱性知f(x)<0 故當 x≠0時,恒有f(x)<0 即：xx<(x≠0)x1?22 [小結]本題運用了比較法，實質是根據函數的奇偶性來證明的，本題也可以運用分類討論思想。但利用偶函數的軸對稱性和奇函數的中心對稱性，常能使所求解的問題避免復雜的討論。