第一篇：2014年高考數學空間向量證明平行問題

4.2 直線的方向向量、平面的法向量及其應用

一、直線的方向向量及其應用

1、直線的方向向量

直線的方向向量就是指和這條直線所對應向量平行（或共線）的向量，顯然一條直線的方向向量可以有無數個．

2、直線方向向量的應用

利用直線的方向向量，可以確定空間中的直線和平面．

?（1）若有直線l, 點A是直線l上一點，向量a是l的方向向量，在直線l

?????????????上取AB?a，則對于直線l上任意一點P，一定存在實數t，使得AP?tAB，這

?樣，點A和向量a不僅可以確定l的位置，還可具體表示出l上的任意點．

（2）空間中平面α的位置可以由α上兩條相交直線確定，若設這兩條直線

??交于點O,它們的方向向量分別是a和b，P為平面α上任意一點，由平面向量基

??????本定理可知，存在有序實數對（x，y），使得OP?xa?yb，這樣，點O與方向

??向量a、b不僅可以確定平面α的位置，還可以具體表示出α上的任意點．

1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為()

A．(1,2,3)B．(1,3,2)

C．(2,1,3)D．(3,2,1)

2.從點A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取線段長AB＝34，則B點的坐標為()

A．(－9，－7,7)B．(18,17，－17)

C．(9,7，－7)D．(－14，－19,31)

二、平面的法向量

1、所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個平面的法向量也有無數個，它們是共線向量．

??

2、在空間中，給定一個點A和一個向量a，那么以向量a為法向量且經過點

A的平面是唯一確定的．

三、直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關系中的應用

????????????

1、若兩直線l1、l2的方向向量分別是u1、u2，則有l1// l2?u1//u2，l1⊥l2?u1???

⊥u2．

????????????

2、若兩平面α、β的法向量分別是v1、v2，則有α//β?v1//v2，α⊥β?v1???

⊥v2．

????若直線l的方向向量是u，平面的法向量是v，則有l//α?u⊥v，l⊥α

???u//v

b分別是直線l1、l2的方向向量，根據下列條件判斷l1與l2的位置關系。1.設a、?

?

（1）a=（2，3，－1），b=（－6，－9，3）；（2）a=（5，0，2），b=（0，4，0）；（3）a=（－2，1，4），b=（6，3，3）

?

?

?

?

??

四、平面法向量的求法

若要求出一個平面的法向量的坐標，一般要建立空間直角坐標系，然后用待定系數法求解，一般步驟如下：

?

1、設出平面的法向量為n?(x,y,z)．

??

2、找出（求出）平面內的兩個不共線的向量的坐標a?(a1,b1,c1),b?(a2,b2,c2)

????n?a?0????n?b?0

3、根據法向量的定義建立關于x，y，z的方程組?

4、解方程組，取其中一個解，即得法向量

v分別是平面α、β的法向量，根據下列條件判斷α、β的位置關系： 1.設u、?

?

??

（1）u=（1，－1，2），v=（3，2，?

?

?

2）；

（2）u=（0，3，0），v=（0，－5，0）；（3）u=（2，－3，4），v=（4，－2，1）。

?

?

2.已知點A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），求平面ABC的一個單位法向量。

??

3.若直線l的方向向量是a=（1，2，2），平面α的法向量是n=（－1，3，0），試求直線l與平面α所成角的余弦值。

4．若n＝(2，－3,1)是平面α的一個法向量，則下列向量能作為平面α的一個法向量的是()

A．(0，－3,1)B．(2,0,1)

C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)

5．已知平面α上的兩個向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，則平面α的一個法向量為()

A．(1，－1,1)B．(2，－1,1)C．(－2,1,1)D．(－1,1，－1)

五、用向量方法證明空間中的平行關系和垂直關系

（一）用向量方法證明空間中的平行關系

空間中的平行關系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．

1、線線平行

設直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，則

l∥m??_?_______.1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點，O為底面正方形ABCD的中心，M，N分別為AB，BC的中點，點Q為平面ABCD內

??????????

一點，線段D1Q與OP互相平分，則滿足MQ＝λMN的實數λ的值有()

A．0個C．2個

B．1個 D．3個

2、線面平行

設直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則

l∥α??_______?1??

1．已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為?1，2，2?，且l∥α，??

則m＝________.2．已知線段AB的兩端點的坐標為A(9，－3,4)，B(9,2,1)，則與線段AB平行的坐標平面是()

A．xOyB．xOz

C．yOzD．xOy或yOz

3．如圖所示，在空間圖形P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求證：CM∥平面PAD

.4.如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，點E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．

5.如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點D是AB的中點，（I）求證：AC⊥BC1；（II）求證：AC 1//平面CDB1；

3、面面平行(3)面面平行 設平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?

abc?__?________a＝bc(a2b2c2≠0)_______.22

21．如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分別為棱AB、CD、BC的中點，若平行六面體的各棱長均相等，則 ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q；

③A1M∥面DCC1D1；

④A1M∥面D1PQB1.以上結論中正確的是________．(填寫正確的序號)

2.如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點。

求證：（1）MN//平面A1BD；（2）平面A1BD//平面B1D1C。

第二篇：向量空間證明

向量空間證明解題的基本方法：

1)在立體幾何圖形中，選擇適當的點和直線方向建立空間直角坐標系 中 2)若問題中沒有給出坐標計算單位，可選擇合適的線段設置長度單位;3)計算有關點的坐標值，求出相關向量的坐標;4)求解給定問題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個向量，分別與已知直線向量求數積，只要分別為零，即可說明結論。

證明直線與平面平行的關鍵是在平面中尋找一個與直線向量平行的向量。這樣就轉化為證明二個向量平行的問題，只要說明一個向量是另一向量的m(實數)倍，即可 只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會從中悟出經驗和方法 2 解：

因為x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z為任意實數

則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數為2(不用寫為什么是2)步驟1 記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c ∴a+b+c=0 則i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 接著得到正弦定理 其他 步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。

第三篇：向量空間證明

向量空間證明

解題的基本方法：

1)在立體幾何圖形中，選擇適當的點和直線方向建立空間直角坐標系中

2)若問題中沒有給出坐標計算單位，可選擇合適的線段設置長度單位;

3)計算有關點的坐標值，求出相關向量的坐標;

4)求解給定問題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個向量，分別與已知直線向量求數積，只要分別為零，即可說明結論。

證明直線與平面平行的關鍵是在平面中尋找一個與直線向量平行的向量。這樣就轉化為證明二個向量平行的問題，只要說明一個向量是另一向量的m(實數)倍，即可

只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會從中悟出經驗和方法

解：

因為x+y+z=0

x=-y-z

y=y+0*z

z=0*y+z

(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z

y,z為任意實數

則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數為2(不用寫為什么是2)

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

設向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過A做AG‖DC交EF于p點

由三角形中位線定理有：

向量Ep=?向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質)

∴向量pF=?(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=?(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

先假設兩條中線AD,BE交與p點

連接Cp,取AB中點F連接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共線，pF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點p

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一問結論

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

第四篇：數學空間向量

一.空間向量的基本概念、運算、定理

1.空間向量的基本概念

由于我們所講的向量可以自由移動，是自由向量，因此對于一個向量、兩個向量都是共面的，他們的基本概念與平面向量完全一樣。包括：向量的定義、向量的表示方法、向量的模、零向量、單位向量、向量的平行與共線、相等向量與相反向量等等

2.空間向量的加法、減法與數乘運算

兩個空間向量的加法、減法與數乘運算法則及其運算律都與平面向量的知識相同。但空間不共面的三個向量的和應該滿足“平行六面體”法則。

即：平行六面體ABCD-A＇B＇C＇D

＇中，3.空間向量的數量積

空間兩個向量的數量積與平面兩個向量的數量積的概念及法則都是一致的。

定義

：

性質與運算律：

①

4.空間向量中的基本定理

共線向量定理：對于

作用：證明直線與直線平行。

推論：P、A、B

三點共線的充要條件：

實數。

作用：證明三點共線。

共面向量定理（平面向量的基本定理）：兩個向量的充要條件是存在實數對x、y

使

作用：證明直線與平面平行。

推論：P、A、B、C四點共面的充要條件：

x、y、z為實數，且x+y+z=1。

作用：證明四點共面。

空間向量的基本定理：如果三個向量

不共面，那么對于空間任意向量，存在一，其中O為任意一點。不共線，向量共面，其中O為任意一點，t為任意空間向

量;

②;

③;

④;

⑤的夾角（起點重合），規

定。

個唯一的有序實數組x、y、z

使做空間的一組基底。

作用：空間向量坐標表示的理論依據。

二.空間向量的坐標運算

1.空間直角坐標系。、、叫做基向量，叫

我們在平面直角坐標系的基礎上增加一個與平面垂直的方向，構成右手直角坐標系，即：伸出右手使拇指、食指、中指兩兩垂直，拇指、食指、中指分別指向x、y、z軸的正方向，空間任意一點可用一組有序實數確定，即：A（x，y，z）。

2.向量的直角坐標運算

．

二、空間向量的加減與數乘運算

（1）空間向量的加法、減法、數乘向量的定義與

平面向量的運算一樣：

（2）、空間向量的加、減與數乘運算律：

=（指向被減向量），加法交換律：

加法結合律：

數乘分配律：

注：空間向量加法的運算律要注意以下幾點：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向

量，即：

⑵首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：

⑶兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立．

因此，求始點相同的兩個向量之和時，可以考慮用平行四邊形法則．

三、共線向量與共面向量

1、共線向量定理：對空間任意兩個向量

（1）推論：

如圖所示，如果l為經過已知點A

且平行于已知向量 的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，滿足等式

量)．直線l上的點和實數t是一一對應關系.（2）空間直線的向量參數方程：

在l

上取 則（其中 是直線l的方向向,存在唯一實數 ；因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量；

特別地，當

點）

時，得線段AB中點坐標公式：（其中P是AB中

2、共面向量定理：如果兩個向

量, 使

.不共線，則向

量 與向

量 共

面

推論：空間一點P位于平面MAB內的充分必要條件是存在唯一的有序實數對x、y，使；

進而對空間任一定點O，有

實數對(x,y)是唯一的，①式叫做平面MAB的向量表達式.四、空間向量基本定理、若

其中

2、將上述唯一分解定理換成以任一點O為起點：O、A、B、C不共面，則對空間任意一點P，存在唯一的三個有序實數x,y,z∈R，使

五、兩個空間向量的數量積、向量

2、向量的數量積的性質：

(1)

(2)

(3)

性質(2)可證明線線垂直；

性質(3)可用來求線段長.3、向量的數量積滿足如下運算律：

（1）

（2）

（3）（交換律）（分配律）。為單位向量)的數量積：

不共面，則對任意向量 稱空間的一個基底，, 存在唯一x,y,z∈R，使①，在平面MAB內，點P對應的 都叫基向量。空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.性質(1)可用來求角；

第五篇：高三數學《第82課 利用空間向量證明平行與垂直問題》基礎教案

大家網高考論壇

第82課時利用空間向量證明平行與垂直問題

考點解說

利用直線的方向向量和平面的法向量判定直線與直線,直線與平面,平面與平面的位置關系,掌握用向量方法處理空間中的平行與垂直問題.一、基礎自測

1.已知向量a?(2,4,5),b?(3,x,y)分別是直線l1,l2的方向向量,若l1∥l2,則x?y?2.已知m?(8,3,a),n?(2b,6,5),若m//n ,則a?b?.?????3.已知a,b,c分別為直線a,b,c的方向向量且a??b(??0),b?c?0,則a與c的位置關系是.4.在空間四邊形ABCD中,E、F是分別是AB、AD上的點,且AE:EB=AF:FD=1:4,又H,G分別是BC、CD的中點,則EFGH是形.5.正三棱柱ABC?A1B1C1中,底面邊長AB=1,且AB1?BC1,則側棱AA1的長為.06.已知平行六面體ABCD?A1BC11D1底面為菱形,?C1CB?60,BD?CA1,則?C1CD的大小為.7.正方體ABCD?A1BC11D1中,M、N、P分別是棱CC1、BC、CD的中點,則直線A1P與平面MND所成角為.8.空間四邊形ABCD中,AB?CD,BC?AD,則AC與BD的位置關系為.二、例題講解

例1.如圖,正方體ABCD－A1B1C1D1中,O是AC和BD的交點,M是CC1的中點,求證:A1O⊥平面

MBD.例2.正方體ABCD－A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點,求證:平面AED⊥平面A1FD

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例3.如圖正方體ABCD－A1B1C1D1中,M,N,E,F分別是所在棱的中點,求證:平面AMN∥平面

EFBD.例4.在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中,點E是棱BC的中點,點F是棱CD上的動點,試確定點F的位置,使得D1E?平面AB1

F.板書設計

教后感

三、課后作業

1.在直二面角??MN??中,AB??,CD??,AB?MN,CD?MN,B、C為垂足,AD?2,BC?1,求AD與BC所成的角.2.已知M為長方體AC1的棱BC的中點,則點P在長方體AC1的面CC1D1D內,且PM//面BB1D1D,則點P的位置應落在003.直三棱柱ABC?A,AA1B1C1中,?ACB?90,?BAC?30,BC?11M是CC

1的中點,則AB1與A1M所成的角為4.正方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分別是正方體六個面得中心,則平面EFGB與平面平行.AED與面.5.正方體ABCD?A1BC11D1中,E,F分別是BB1,CD的中點,則面6.已知ABCD是平行四邊形,若A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3, 7,-5),則頂點D的坐標為___________.7.已知a?(8,?1,4),b?(2,2,1),則以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為.8.過三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意兩條棱的中點作直線,其中與平面ABB1A1平行的直線共 有條.9.若三個平面?,?,?兩兩垂直,它們的法向量分別為?(1,?2,z),?(x,2,?4),?(?1,y,3),則x?y?z?

11.如圖在正方體ABCD－A1B1C1D1中,PQ與AC、C1D都垂直,試確定P在AC,Q在C1D上的位置

.12.已知空間四邊形OABC中,AB=OC,M為BC的中點,N為AC的中點,P為OA的中點,Q為OB的中點,求證:PM?

QN.13.如圖長方體ABCD－A1B1C1D1中,AD=AA1,AB=2AD,點E是線段C1D1的中點,求證:DE?面EBC.14.(選做題)如圖甲,在直角梯形PBCD中,PB//CD,CD?BC,BC?PB?2CD,A

是PB的中點.現沿AD把平面PAD折起,使得PA?AB(如圖乙所示),E、F分別為BC、AB邊的中點.(1)求證PA?平面ABCD;(2)求證平面PAE?平面PDE;(3)在PA上找一點G,使得FG//平面PDE.附件1：律師事務所反盜版維權聲明

附件2：獨家資源交換簽約學校名錄（放大查看）

學校名錄參見：