第一篇：空間向量的應(yīng)用[定稿]

1． 理解直線的方向向量與平面的法向量的意義；會(huì)用待定系數(shù)法求平面的法向量。2． 能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直和平行關(guān)系。

3． 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）；能用向量方法判斷一些簡(jiǎn)單的空間線面的平行和垂直關(guān)系。

1.a，b是兩個(gè)非零的向量，?，?是兩個(gè)平面，下列命題正確的是（）

A.a∥b的必要條件是a,b是共面向量 B.a,b是共面向量，則a∥b C.a∥?，b∥?，則?∥?

D.a∥?，b∥?，則a,b不是共面向量）

2.關(guān)于直線m、n與平面?、?，有下列四個(gè)命題：其中真命題的序號(hào)是（①m//?,n//?且?//?，則m//n；

②m??,n??且???，則m?n；

③m??,n//?且?//?，則m?n； ④m//?,n??且???，則m//n.3.設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足??????0，則△BCD是（）三角形

4.空間中兩個(gè)有一條公共邊AD的正方形ABCD與ADEF，設(shè)M，N分別是BD和AE的中點(diǎn)，給出如下命題：則所有的正確命題為。①AD⊥MN； ②MN∥面CDE； ③MN∥CE； ④MN，CE異面 5． 已知四邊形ABCD滿足，AB?BC?0，BC?CD?0，CD?DA?0，DA?AB?0，則該四邊形

ABCD為

A．平行四邊形

B．空間四邊形

C．平面四邊形

（D．梯形）

6． 已知非零向量a,b及平面?，若向量a是平面?的法向量，則a?b?0是向量b所在直線平行于平面?或在平面?內(nèi)的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件

7． 已知四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩互相垂直，給出下列兩個(gè)命題：

①AB?CD?AC?BD?AD?BC；②|AB?AC?AD|2=|AB|2?|AC|2?|AD|2． 則下列關(guān)于以上兩個(gè)命題的真假性判斷正確的為 A．①真、②真 B．①真、②假 C．①假、②假

（D．①假、②真）

B?AC8． 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，．有下列條件：①AB?AC?BC；②ABC1?AC1

B?AC；③A．其

中能成為BC1?AB1的充要條件的是（填上該條件的序號(hào)）_________．

9．在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作

EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．

（1）證明PA//平面EDB；（2）證明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小． A

第9題

B

第二篇：空間向量共面充要條件的應(yīng)用（定稿）

空間向量共面充要條件的應(yīng)用

共面向量定理涉及三個(gè)向量→p、→a、→b共面問(wèn)題，它們之間的充要條件關(guān)系為：如果兩個(gè)向量→a、→b不共線，那么向量→p與向量→a、→b共面的充要條件是：存在有序?qū)崝?shù)組(x,y)，→→→使得p＝xa＋yb.共面向量定理在立體幾何中證明中有關(guān)有著廣泛的運(yùn)用，如在點(diǎn)線共面、線面平行等問(wèn)題中，都有很好的體現(xiàn).由于向量本身具有的位置不定性，使得共面向量可理解為能夠平移到同一平面內(nèi)的向量，或者理解為平行于同一平面的向量.下面就空間向量共面充要條件的應(yīng)用分類解析，體會(huì)應(yīng)用的方法與技巧.一、判斷點(diǎn)與平面的關(guān)系

例1 已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外一點(diǎn)O，若OM＝2OA－OB－OC，判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).分析：點(diǎn)M與A、B、C不共面，即點(diǎn)M不在平面ABC內(nèi)，即不存在x，y使→AM＝x→AB＋y→AC，可用反證法證明判斷.→→→→

→→→解：假設(shè)M在平面ABC內(nèi)，則存在實(shí)數(shù)x,y，使AM＝xAB＋yAC，于是對(duì)空間任意一點(diǎn)O，O在平面ABC外，→OM＝(1－x－y)→OA＋x→OB＋y→OC，?? 1－x－y＝

2比較原式可得? x＝－1，此方程組無(wú)解，與假設(shè)不成立，?? y＝－

1→→→∴不存在實(shí)數(shù)x,y，使AM＝xAB＋yAC，∴M與A、B、C不共面.點(diǎn)評(píng)：本題采用反證法來(lái)證明點(diǎn)M不在平面ABC內(nèi)，因?yàn)榉醋C法就是從正面進(jìn)行解答比較困難，從對(duì)立面進(jìn)行證明的一種思想方法.二、用于證明四點(diǎn)共面

例2 如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，N在AC上，且AN﹕NC＝2﹕1，求證：A1、B、N、M四點(diǎn)共面.→→分析：利用空間向量共面的充要條件，通過(guò)證明向量→A1N、A1B、A1M共面，即可證明

→→→存在唯一實(shí)數(shù)λ、μ，使A1N＝λA1B＋μA1M成立.→→→→→→→→→→ 證明：如圖，→AA1＝a，AB＝b，AD＝c，則A1B＝AB－AA1＝b－a，→1→→1→∵M(jìn)為DD1的中點(diǎn)，→A1M＝AD－AA1＝c－a，2

222→→2→→∵AN﹕NC＝2﹕1，∴→AN＝＝(AB＋AD)＝b＋c)，33

32→1→→2→→→2→→∴→A1N＝AN－AA1＝(b＋c)－a＝b－a)＋(c－a)3332

22→＝→A1B＋A1M，33

∴A1、B、N、M四點(diǎn)共面.點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)空間向量基本定理，充分利用三角法則與平行四邊形法則，通過(guò)不同的→→→→→→→→途徑分別用向量EF﹑EH表示MQ或用向量EG表示MQ，從而建立向量EG與向量EF﹑EH的線性

關(guān)系，進(jìn)而使問(wèn)題得證.這是不用向量坐標(biāo)形式證明幾何問(wèn)題的常用方法.三、證明三線平行同一平面

例3 如圖所示，E、F分別為空間四邊形ABCD中AB、CD的中點(diǎn)，證明AD、EF、BC平行于同一平面

.→→→→分析：證明AD、EF、BC平行于同一平面，即證明向量EF、AD、BC共面，進(jìn)而證明EF、→AD、→BC之間存在線段關(guān)系.證明：→EF＝→EA＋→AD＋→DF，且→EF＝→EB＋→BC＋→CF，又→EA＝－→EB，→DF＝－→CF，→→→→所以EF＋EF＝AD＋BC

111即→EF＋→EF＝(→AD＋→BC)＝→AD＋，22

2可知，→EF、→AD、→BC共面，所以EF與AD、BC平行于同一平面.→點(diǎn)評(píng)：本題在證明過(guò)程中，通過(guò)利用兩種不同的途徑得到向量EF的兩種不同的表達(dá)式，然后兩式相加就可以得到所需要證明的表達(dá)式，當(dāng)然其過(guò)程要用到三角形法則或平行四邊形法則，這是利用加減法處理向量線性線性關(guān)系常用的方法.四、證明線面平行

例4 正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM＝DN，求證：MN∥平面CC1D1D.分析：由于DC與DD1在同一平面上，因此可以先考慮利用空間向量共面的充要條件證→→→明向量NM與DC、DD1共面，然后只須說(shuō)明點(diǎn)M、N不在CC1D1D內(nèi)就可證明MN∥平面CC1D1D.證明：設(shè)CM＝DN＝λDB＝λCB1，則

→→→→→→→→DN＝λDB＝λ(DA＋DC)，CM＝λCB1＝λ(CB＋CC1)，→→→→→→→→→∴NM＝ND＋DC＋CM＝－λ(DA＋DC)＋DC＋λ(CB＋CC1)

→→→→＝(1－λ)→DC＋λ(→DA＋→CB＋→CC1)＝(1－λ)DC＋λ(－DA＋DA＋CC1)

＝(1－λ)→DC＋λ→DD

1∴→NM與→DC、→DD1共面，又M、N不在面DCC1D1內(nèi)，∴MN∥平面CC1D1D.點(diǎn)評(píng)：利用空間證明立體幾何問(wèn)題，減少了利用傳統(tǒng)法證明的繁瑣的思維量，將考查難度要求較高的空間想象力與抽象的邏輯推理能力轉(zhuǎn)化為考查難度要求稍微較低的運(yùn)算能力.

第三篇：向量空間證明

向量空間證明解題的基本方法：

1)在立體幾何圖形中，選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)和直線方向建立空間直角坐標(biāo)系 中 2)若問(wèn)題中沒(méi)有給出坐標(biāo)計(jì)算單位，可選擇合適的線段設(shè)置長(zhǎng)度單位;3)計(jì)算有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)值，求出相關(guān)向量的坐標(biāo);4)求解給定問(wèn)題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個(gè)向量，分別與已知直線向量求數(shù)積，只要分別為零，即可說(shuō)明結(jié)論。

證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面中尋找一個(gè)與直線向量平行的向量。這樣就轉(zhuǎn)化為證明二個(gè)向量平行的問(wèn)題，只要說(shuō)明一個(gè)向量是另一向量的m(實(shí)數(shù))倍，即可 只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會(huì)從中悟出經(jīng)驗(yàn)和方法 2 解：

因?yàn)閤+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z為任意實(shí)數(shù)

則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數(shù)為2(不用寫(xiě)為什么是2)步驟1 記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c ∴a+b+c=0 則i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 接著得到正弦定理 其他 步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。

第四篇：向量空間證明

向量空間證明

解題的基本方法：

1)在立體幾何圖形中，選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)和直線方向建立空間直角坐標(biāo)系中

2)若問(wèn)題中沒(méi)有給出坐標(biāo)計(jì)算單位，可選擇合適的線段設(shè)置長(zhǎng)度單位;

3)計(jì)算有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)值，求出相關(guān)向量的坐標(biāo);

4)求解給定問(wèn)題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個(gè)向量，分別與已知直線向量求數(shù)積，只要分別為零，即可說(shuō)明結(jié)論。

證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面中尋找一個(gè)與直線向量平行的向量。這樣就轉(zhuǎn)化為證明二個(gè)向量平行的問(wèn)題，只要說(shuō)明一個(gè)向量是另一向量的m(實(shí)數(shù))倍，即可

只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會(huì)從中悟出經(jīng)驗(yàn)和方法

解：

因?yàn)閤+y+z=0

x=-y-z

y=y+0*z

z=0*y+z

(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z

y,z為任意實(shí)數(shù)

則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數(shù)為2(不用寫(xiě)為什么是2)

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個(gè)等式.希望對(duì)你有所幫助!

設(shè)向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長(zhǎng)AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過(guò)A做AG‖DC交EF于p點(diǎn)

由三角形中位線定理有：

向量Ep=?向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質(zhì))

∴向量pF=?(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=?(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

先假設(shè)兩條中線AD,BE交與p點(diǎn)

連接Cp,取AB中點(diǎn)F連接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共線，pF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點(diǎn)p

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一問(wèn)結(jié)論

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以O(shè)A+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

第五篇：空間向量復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)選修2—1空間向量 期末復(fù)習(xí)

（基本知識(shí)點(diǎn)與典型題舉例）

為右手直角坐標(biāo)系（立體幾何中建立的均為右手系）。

2、空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)運(yùn)算：

一、空間向量的線性運(yùn)算：

1、空間向量的概念：

空間向量的概念包括空間向量、相等向量、零向量、向量的長(zhǎng)度（模）、共線向量等．

2、空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算：

平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則同樣適用于空間向量的加（減）法運(yùn)算． 三個(gè)不共面的向量的和等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的對(duì)角線所表示的向量．

3、加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足運(yùn)算律：

①交換律，即a+b=b+a；②結(jié)合律，即(a(a+b)?c?a?(b+c)；

③分配律，即(???)a=?a+?a及?(a+b)??a??b（其中?，?均為實(shí)數(shù)）．

4、空間向量的基本定理：

（1）共線向量定理：對(duì)空間向量a，b(b?0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)?，使a=?b．（2）共面向量定理：如果空間向量a，b不共線，則向量c與向量a,b共面的充要條件是，存在惟一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使c=xa+yb。

推論：①空間一點(diǎn)?位于平面??C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y，使???????x???????y????C?；

②空間一點(diǎn)?位于平面??C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y或?qū)臻g任一定點(diǎn)?，有??????????????x???????y????C?；

③若四點(diǎn)?，?，?，C共面，則???????x???????y???????z????C?

? x?y?z?1?。

（3）空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組

x，y，z，使p=xa+yb+zc．其中{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量，該定理可簡(jiǎn)述為：空間任一向量p都可以用一個(gè)基底{a，b，c}惟一線性表示（線性組合）。

5、兩個(gè)向量的數(shù)量積：

（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是a?

b=abcos?a，b?，數(shù)量積有如下性質(zhì)：①a?e=acos?a，e?（e為單位向量）；②a⊥b?a?b=0；③a?a=a

2；④a?b≤ab。

（2）數(shù)量積運(yùn)算滿足運(yùn)算律：①交換律，即a?b=b?a；②與數(shù)乘的結(jié)合律，即(?a)?

b=?(a?b)；③分配律，即(a+b)?c=a?c+b?c．

二、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：

1、空間直角坐標(biāo)系：

若一個(gè)基底的三個(gè)基向量是互相垂直的單位向量，叫單位正交基底，用{i，jk}表示；在空間

選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，jk}，可建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O?xyz，作空間直角 坐標(biāo)系O?xyz時(shí)，一般使∠x(chóng)Oy=135°（或45°），∠yOz=90°；在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，稱這個(gè)坐標(biāo)系

（1）定義：給定空間直角坐標(biāo)系O－xyz和向量a，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組使a=a1i+a2j+a3k，則(a1，a2，a3)叫作向量a在空間的坐標(biāo)，記作a=(a1，a2，a對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在惟一的???3)。

OA?

?xi+yj+zk，點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，x，y，z 分別叫Ａ的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)。

（2）若A(x????

1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB?(x2?x1，y2?y1，z2?z1)；

（3）空間兩點(diǎn)的距離公式：

d???????

???

3、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：已知a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則：a+b?(a1?b1，a2?b2，a3?b3)，a?b?(a1?b1，a2?b2，a3?b3)；

?a?(?a1，?a2，?a3)，a?b=(a1b1，a2b?

2，?a3b3)；

a∥b?a1??b1，a

2??bcos???a?b

ab2，a3a?,b???b3|a|?|b|?1?212a2b2?a3b3222?0；

空間兩個(gè)向量的夾角公式：

a1?a2?a3?b12?b2?b

3。

4、直線的方向向量與向量方程：

（1）位置向量：已知向量a，在空間固定一個(gè)基點(diǎn)O，作向量???OA?

?a，則點(diǎn)A在空間的位置被a

所

惟一確定，a稱為位置向量。

（2）方向向量與向量方程：給定一個(gè)定點(diǎn)???Ａ和一個(gè)向量a，再任給一個(gè)實(shí)數(shù)t，以A為起點(diǎn)作向量

AP?

?ta，則此方程為直線l上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的向量方程，向量a稱為直線l的方向向量。

5、平面的法向量：

（1）如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面?，則稱這個(gè)向量垂直于平面?

（記作a⊥?），向量a叫做平面?的法向量。法向量有兩個(gè)相反的方向。

三、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：

1、空間向量在位置關(guān)系證明中的具體應(yīng)用：

1）空間的線線、線面、面面垂直關(guān)系，都可以轉(zhuǎn)化為空間兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題來(lái)解決：①設(shè)a、b分別為直線a，b的一個(gè)方向向量，那么a⊥b?a⊥b?a?b=0；②設(shè)a、b分別為平面?，?的一個(gè)法向量，那么?⊥??a⊥b?a?b=0；③設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為b，那么l⊥??a∥b。

2）空間直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行，都可以用向量方法來(lái)研究：①設(shè)a、b是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為a、b，那么a∥b?a∥b；②直線與平面平行可轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量垂直，也可用共面向量定理來(lái)

證明線面平行問(wèn)題；

③平面與平面平行可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量平行。

2、空間向量在立體幾何的計(jì)算問(wèn)題中的應(yīng)用：

1）空間角的計(jì)算：

①線線角：異面直線所成角轉(zhuǎn)化為兩條直線所在向量的夾角；

②線面角：直線AB與平面?所成角為，其中n是平面?的法向量；

③面面角：二面角的大小為，其中m，n是兩個(gè)半平面的法向量。2）距離的計(jì)算：

①點(diǎn)面距：設(shè)n是平面?的法向量，A??，則B到?的距離為；

②線線距：設(shè)n是兩條異面直線l1，l2的公垂線的向量，若A，B分別是在l1，l2上的任意一點(diǎn)，則l1，l2的距離為；

③線面距、面面距，與前面求法相同。

四、例題分析：

例

1、如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD

為正方形，PD=DC，E、F分別是AB，PB的中點(diǎn).（1）求證：EF⊥CD；（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論.（3）求DB與平面DEF所成角的大小。

例

2、如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中

AB?4,BC?2,CC1?3,BE?1，（1）求BF的長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離。

例

3、已知四棱錐P?ABCD的底面為直角梯形，AB//DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA?AD?D

1，AB?1，M是PB的中點(diǎn)。

（1）證明：面PAD?面PCD；（2）求AC與PB所成的角；

（3）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

例

4、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD?底面ABCD，E是AB上

一點(diǎn)，PF?EC.已知PD?

2,CD?2,AE?

2, 求（Ⅰ）異面直線PD與EC的距離；（Ⅱ）二面角E?PC?D的大小。

例

2、如圖4，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，問(wèn)AE等于何值時(shí)，二面角D1?EC?D的大小為

π

4．19．（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD 為正方形，PD=DC，E、F分別 是AB，PB的中點(diǎn).（1）求證：EF⊥CD；

（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論.（3）求DB與平面DEF所成角的大小.19．以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AD=a，則

D(0?,?0?,?0)?,?A(a?,?0?,?0)，B(a?,a?,?0)?,C?

(0?,?a?,?0)?,E?

(a?,a

?,?0)?,F?(a2

2?,a2?,a2)?,P?(0?,?0?,a)

（1）??????a

a?2?,?0?,2??

?,?(0?,?a?,?0)?0?,?

∴EF

?DC?.（2）設(shè)G(x?,?0?,?z)，則G∈平面PAD.FG??

?aaa??

x?2?,??2?,?z?2??，????a?x?2,???a2?,?z?a?2???(a?,?0?,?0)?a??a?a?

x?2???0，則x?2； ???

?a?

x?2?,??a2?,?z?a?2???(0?,??a?,?a)?a2a2?a(z?2)?0，則z=0.∴G是坐標(biāo)為（a，0，0），即G為AD的中點(diǎn).（3）（只理科做）設(shè)平面DEF的法向量為n?(x?,y?,z)?.??由??n??0?,?(x,?y,?z)???a,?a?,a?

??0?,?得??DE?0???222??n.???(x?,y,?z)?(a,?a,??0)?0?.?a

(x?y?z)?即??0?,?2取x=1，則y=-2，z=1, ???ax?a2

y?0?.∴ n=(1，-2，1).cos〈BD?,?n〉a3

?

2a?6

?

?, ∴DB與平面DEF所成角大小為

?2?arccos3

（即arcsin3

6）.19．如圖4，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，問(wèn)AE等于何值時(shí)，二面角D1?EC?D的大小為

π4

． 解：設(shè)AE?x，以D為原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1所在直線

分別為

x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(1，01)，D1(0，01)，E(1，x，0)A(1，0，0)C(0，2，0)． ∴???CE??(1，x?2，0)????D?1)，????DD?1C?(0，2，?1?(0，0，1)．

設(shè)平面D1EC的法向量為n?(a，b，c)，??????·D1C?0，?2b?c?0，?n

??由???? ?

a?b(x?2)?0，·CE?0???n

?????

又CC1?(0，0，3)，設(shè)CC1與n1的夾角為?，?????

CC1·n則cos??． 1?

CC1n

令b?1，∴c?2，a?2?x．

∴n?(2?x，1，2)．

?????n·DD1π依題意cos?．

??

4nDD1．

∴

x?2x?2∴AE?2．

????? ∴C到平面AEC1F的距離d?CC1cos??

20．如圖5所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB?4，BC?2，CC1?3，BE?1．

????

（1）求BF；

（2）求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離．

解：（1）以D為原點(diǎn)，DAF，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，D(0，0，0)B(2，4，0)A(2，0，0)C(0，4，0)E(2，41)，C1(0，4，3)，設(shè)F(0，0，z)． ?????????

由AF?EC1，得(?2，0，z)?(?2，0，2)，∴z?2．

????∴F(0，0，2)BF?(?2，?4，2)．

????

∴BF?

?????·AE?0，?n1

（2）設(shè)n1為平面AEC1F的法向量，n1?(x，y，1)，由?????

·AF?0，??n1，?x?1

?4y?1?0，?得?∴?1

?2x?2?0．y??．???4