第一篇：空間向量在幾何中的應用

空間向量在立體幾何中的應用

一.平行問題

（一）證明兩直線平行

A,B?a;C,D?b,???a|| b

????????若知AB?(x1,y1),CD?(x2,y2),則有x1y2?x2y1?a||b

方法思路：在兩直線上分別取不同的兩點，得到兩向量，轉化為證明兩向量平行。

(二)證明線面平行

???????????線 a?面?,A,B?a,面? 的法向 n，若AB?n?0?AB?n?AB ??.方法思路：求面的法向量，在直線找不同兩點得一

向量，證明這一向量與法向量垂直(即證

明數量積為0)，則可得線面平行。

(三)面面平行

不重合的兩平面? 與? 的法向量分別是 ?????? m 和 n，m??n??||?

方法思路：求兩平面的法向量，轉化為證明

兩法向量平行,則兩平面平行。

二.垂直問題

(一)證明兩直線垂直

????不重合的直線 a 和直線 b 的方向向量分別為 a 和 b，則有a?b?0?a?b

方法思路：找兩直線的方向向量(分別在兩直線上各取兩點得兩向量)，證明兩向量的數量積為0,則可證兩直線垂直。

(二)證明線面垂直 ?????? 直線 l的方向向量為 a，e1,e2是平面? 的一組基底（不共線的向量）, ???????則有 a?e1?0且a?e2?0?a??

方法思路：證明直線的方向向量(在兩直線上取兩點得一向量)與

平面內兩不共線向量的數量積都為0（即都垂直），則可證線面垂直。

(三)證明面面垂直 ???不重合的平面? 和? 的法向量分別為m 和 n，???則有 m?n?0????

方法思路：找兩平面的法向量，只需證明兩向量

數量積為為0,則可證明兩平面垂直。

三.處理角的問題

(一)求異面所成的角

a,b是兩異面直線,A,B?a,C,D?b,????????a,b所成的角為?,則有cos??|cos?AB,CD?| ????????AB?CD?|AB|?|CD|

方法思路：找兩異面直線的方向向量,轉化為向量的夾角問題,套公式。

(但要理解異面直線所成的角與向量的夾角相等或互補)。

(二)求線面角

??設平面? 的斜線 l 與面?所成的角為?，若A,B?l,m是面?的法向量，???????m?AB 則有sin??.mAB

方法思路：找直線的方向向量與平面的法向量，轉化為

向量的夾角問題,再套公式。(注意線面角與兩

向量所在直線夾角互余）

(三)求二面角

???方法1.設二面角??l?? 的大小為 ?，若面?，? 的法向量分別為 m 與 n.????m?n?(1)若二面角為銳二面角，即??(0,)則有cos??.2mn

(2)若二面角為鈍二面角，即??(,?)2???? m?n則有cos???.mn

?

四.處理距離問題

(一)點到面的距離d ??????任取一點Q?? 得 PQ, m是平面? 的法向量，則有：點P到???????????????? PQ?m面? 的距離d=PQ?cos??(向量PQ在法向量m 的投影的長度)|m|

(二)求兩異面直線的距離d

知a,b是兩異面直線，A,B?a,C,D?b，???找一向量與兩異面直線都垂直的向量m，???????????AC?m則兩異面直線的距離 d?AC?cos?＝|m|

方法思路：求異面直線的距離，先找一向量與兩異面直線都垂直的???向量m,然后分別在兩異面直線上各任取一點A,C,則其距 ??????????????AC?m離 d 就是AB在向量m上的投影的長度,距離d?|m|

????Ps：向量 m 與異面直線a、b 都垂直，可用方程組求出 m 的坐標.五.如何建立適當的坐標系

1.有公共頂點的不共面的三線兩兩互相垂直

例如正方體、長方體、底面是矩形的直棱柱、底面是直角三角形且過直角頂點的側棱垂直于底面的三棱錐等等。

2.有一側棱垂直底面

OC?底面OAB

（）1?OAB是等邊三角形

（2）?OAB是以OB為斜邊的直角三角形

(1)(2)

(3)PA?底面ABCD，且四邊形ABCD是菱形

(4)PA?底面ABCD，且四邊形ABCD是?ABC＝60?的菱形

(3)

3.有一側面垂直于底面

(4)

(1)在三棱錐S－ABC中,?ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC?底面ABC,且SA?SC?(2)四棱錐P－ABCD中，側面PCD是邊長為 2 的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是?ADC?60?的菱形

.(1)(2)

兩平面垂直的性質定理:若兩面垂直,則在其中一面內垂直于它們的交線的直線垂直于另一平面,轉化為有一線垂直于底面的問題.4.直棱柱的底面是菱形正四棱錐正三棱錐

第二篇：淺談向量在幾何中的應用

淺談向量在幾何中的應用

寧陽四中 271400 呂厚杰

解決立體幾何問題“平移是手段，垂直是關鍵”，空間向量的方法是使用向量的代數方法去解決立體幾何問題。兩向量共線易解決平行，兩向量的數量積則易解決垂直、兩向量所成的角、線段的長度問題。合理地運用向量解決立體幾何問題，在很大程度上避開了思維的高強度轉換，避開了添加輔助線，代之以向量計算，使立體幾何問題變得思路順暢、運算簡單。

1.證平行、證垂直

具體方法利用共線向量基本定理證明向量平行，再證線線、線面平行是證明平行問題的常用手段，由共面向量基本定理先證直線的方向向量與平面內不共線的兩向量共面，再證方向向量上存在一點不屬于平面，從而得到線面平行。證明線線、線面垂直則可通過向量垂直來實現。

例1 如圖1，E、F分別為空間四邊形ABCD中AB、CD的中點，證明AD、EF、BC平行于同一平面。

圖1 證明：又

所以，且即

可知，與 共面，所以EF與AD、BC平行于同一平面。

例2.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），則ΔABC是___________。分析：顯見：

（3，4，－8），（5，1，－7），（2，－3，1），故ΔABC為直角三角形。

2.求角、求距離

如果要想解決線面角、二面角以及距離問題就要增加平面法向量的知識。定義：如果n⊥α，那么向量n就叫平面α的法向量。

求解方法：

（1）異面直線所成的角α，利用它們所對應的向量轉化為向量的夾角θ問題，但，所以

（2）直線與平面所成的角，利用直線的方向向量與平面的法向量夾角的余角（或補角的余角）。如圖2：。

圖

2（3）求二面角，轉化為兩平面法向量的夾角或夾角的補角，顯見上述求法都避開了找角的繁瑣，直接計算就可以了。

求點面距離，轉化為此點與面內一點連線對應向量在法向量上投影的絕對值。例3.（2005年高考題）如圖3，已知長方體ABCD�A1B1C1D1中，AB＝2，AA

1＝1，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，AE垂直BD于E，F為A1B1的中點。（1）求異面直線AE與BF所成的角。

（2）求平面BDF與平面AA1B所成二面角（銳角）的大小。（3）求點A到平面BDF的距離。

圖

3解：在長方體ABCD�A1B1C1D1中，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系如圖3，所以A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1），因為直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，所以∠DBA＝30°

又AB＝2，AE⊥BD，所以AE＝1，AD＝0），因為E（，0），D（0，（1）因為

所以

即異面直線AE、BF所成的角為

（2）易知平面AA1B的一個法向量m＝（0，1，0），設n＝（x，y，z）是平面BDF的一個法向量，由

所以取

所以

（3）點A到平面BDF的距離即

在平面BDF的法向量n上的投影的絕對值。

所以

例4.如圖4，已知正四棱錐R�ABCD的底面邊長為4，高為6，點P是高的中點，點Q是側面RBC的重心。求直線PQ與底面ABCD所成的角。

圖

4解：以O為原點，以OR所在直線為z軸，以過O與AB垂直的直線為x軸，與AB平行的直線為y軸建立空間直角坐標系。

因為底面邊長為6，高為4，所以B（2，2，0），C（－2，2，0），R（0，0，6），所以Q（0，2），P（0，0，3），（0，－1），面ABCD的一個法向量為n＝（0，0，1），設PQ與底面ABCD所成的角為α，則。

空間向量在立體幾何中的應用體現了數形結合的思想，培養了學生使用向量代數方法解決立體幾何問題的能力。目的是將空間元素的位置關系轉化為數量關系，將形式邏輯證明轉化為數值計算，用數的規范性代替形的直觀性、可操作性強，解決問題的方法具有普遍性，大大降低了立體幾何對空間想象能力要求的難度。

第三篇：空間向量在立體幾何中的應用

【利用空間向量證明平行、垂直問題】

例.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F。

（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。

如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點。設DC=a。

（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG。依題意得。

∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故點G的坐標為，∴則而，∴PA//平面EDB。

（2）依題意得B（a，a，0），∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且

（3）解析：設點F的坐標為又，故，所以PB⊥平面EFD。，則

從而所以

由條件EF⊥PB知，即，解得

∴點F的坐標為，且∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

∵，且

∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小為60°。

點評：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．

（2）證明線面平行的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明能夠在平面內找到一個向量與已知直線的方向向量共線；③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內的兩個不共線向量是共面向量．

（3）證明面面平行的方法：①轉化為線線平行、線面平行處理；②證明這兩個平面的法向量是共線向量．（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．

（5）證明線面垂直的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；②證明直線與平面內的兩個不共線的向量互相垂直．

（6）證明面面垂直的方法：①轉化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個平面的法向量互相垂直．【用空間向量求空間角】例.正方形ABCD—

中，E、F分別是，的中點，求：

（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

解析：不妨設正方體棱長為2，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則 A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）（1）由，得

又，∴，即所求值為。

（2）∵

∴

∴，過C作CM⊥AE于M，則二面角C—AE—F的大小等于，∵M在AE上，∴設則，∵

∴

又∴

∴二面角C—AE—F的余弦值的大小為點評：（1）兩條異面直線所成的角（2）直線與平面所成的角

求得，即

求得，即。

或

可以借助這兩條直線的方向向量的夾角

主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角

（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補角。【用空間向量求距離】例.長方體ABCD—求：

（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。解析：（1）方法一：

如圖，建立空間直角坐標系B—xyz，則A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點，故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為

方法二：，∴

故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為

（2）∵，∴上的射影的模

故M到PQ的距離為（3）設

是平面的某一法向量，則，∵因此可取，由于

∴，那么點M到平面的距離為，故M到平面的距離為。

點評：本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標系，運用向量坐標法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現，但是利用向量的數量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個新的熱點。現列出幾類問題的解決方法，供大家參考。

（1）平面的法向量的求法：設聯立后取其一組解。，利用n與平面內的兩個向量a，b垂直，其數量積為零，列出兩個三元一次方程，（2）線面角的求法：設n是平面的法向量，是直線l的方向向量，則直線l與平面所成角的正弦值為。

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角的兩個面內與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。

②設或其補角。

分別是二面角的兩個平面的法向量，則就是二面角的平面角

（4）異面直線間距離的求法：

是兩條異面直線，n是的公垂線段AB的方向向量，又C、D分別是

上的任意

兩點，則。

（5）點面距離的求法：設n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則點B到平面的距離為。

（6）線面距、面面距均可轉化為點面距離再用（5）中方法求解。

第四篇：28.空間向量在立體幾何中的應用

高三數學一輪復習材料命題：王曉于杰審題：劉臻祥2007-8-2

2§5.3空間向量在立體幾何中的應用

NO.28

【基礎知識梳理】

1.直線的方向向量與直線的向量方程

⑴ 用向量表示直線或點在直線上的位置

① 給定一個定點A和一個向量a，再任給一個實數t，以A為起點作向量AP=_________（Ⅰ），這時點P的位置被完全確定.向量方程通常稱作直線l的____________，向量a稱為該直線的____________.② 對空間任一個確定的點O，點P在直線l上的充要條件是存在惟一的實數t，滿足等式，如果在l上取?，則（Ⅱ）式可化為 O=_________（Ⅱ）

OP?OA?tAB?OA?t(OB?OA)，即O=_________（Ⅲ）.（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）都叫做空間直線的向量參數方程，它們都與平面的直線向量參數方程相同.③ 設點M是線段AB的中點，則O=_________.⑵ 用向量方法證明直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行

① 設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2或l1和l2重合?__________.② 已知兩個非零向量v1，v2與平面α共面，一條直線l的一個方向向量為v，則l∥α或 l在α內?存在兩個實數x，y，使v=__________.⑶ 用向量運算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角

設直線l1和l2成的角為θ（銳角），方向向量分別為v1和v2，則有l1⊥l2?__________，cosθ=__________.2.平面的法向量與平面的向量表示

⑴ 已知平面α，如果向量n的基線與平面α垂直，則向量n叫做平面α的________或說向量n與平面α________.⑵設A是空間任一點，n為空間任一非零向量，適合條件AM?n?0----①的點M的集合構成的圖形是________.如果任取兩點M1、M2（M1、M2和A三點不共線），且AM1??0，AM2??0，則n⊥平面AM1M2.在平面AM1M2內的任一點M都滿足條件①式.滿足條件①的所有

點M都在平面AM1M2內.①式稱為一個平面的_____________.⑶ 共面向量定理的推論：如果A、B、C三點_____________，則點M在平面ABC內的充要條件是，存在一對實數x，y，使向量表達式=_________.⑷ 設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β或α，β重合?_____，α⊥β?_____?_________

⑸ 三垂線定理：如果在平面___的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，則它也和____________垂直.三垂線定理的逆定理：如果在平面___的一條直線與平面的一條斜線垂直，則它也和

____________垂直.【基礎知識檢測】

1.兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1=（1，0，-1），v2=（-2，0，2），則l1與l2的位置關系是（）

A.平行B.相交C.垂直D.不確定

2.在下列四個正方體中，能得出AB⊥CD的是（）

ABCD

3.已知l∥α，且l的方向向量為（2，m，1），平面α的法向量為（1，-1m，2），則m=______.24.已知平面α和β的法向量分別為u1=（-1，x，4）和u2=（y，1，-2），若α∥β，則x+y=______.5.已知正方體ABCD－A1B1C1D1，則直線AC1與直線BC所成的角為_______.【典型例題探究】

題型1.（異面直線所成的角）在棱長均為a的正四面體ABCD中，M、N分別為邊AB、CD的中點，求異面直線AN、CM所成的角的余弦值.D

變式訓練：已知直三棱柱ABD-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1和A1A的中點,（1）求異面直線BA1和CB1所成的角；（2）求證：A1B⊥C1M.題型2.（利用空間向量證明平行、垂直問題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M、N

分別是對角線A1B與面對角線A1C1的中點.求證：MN∥側面AD1.變式訓練：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a，M、N分別為A1B和AC上的點，A1M=AN=2a，則MN與平面BB1C1C的位置關系是（）

3A.相交B.平行C.垂直D.不能確定

題型3（空間中點共線、點共面問題）已知平行四邊形ABCD，從平面ABCD外一點O引射線OA，OB，OC，OD，在其上分別取E，F，G，H，并且使OEOFOGOH????k（k OAOBOCOD

為常數）.求證：E，F，G，H四點共面.變式訓練：求證：四點A（3，0，5），B（2，3，0），C（0，5，0），D（1，2，5）共面.【限時過關檢測】班級學號姓名分數

選擇、填空題每小題10分

1.對空間任意一點O，若?311??，則A、B、C、P四點（）488

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.無法判斷

2.設P是△ABC所在平面外一點，且PA⊥BC,PB⊥AC,則 P在該平面內的射影是△ABC的（）

A.內心B.外心C.垂心D.重心

3.設l1的方向向量為=（1，2，-2），l2的方向向量為=（-2，3，m），若l1⊥l2，則m= ____.4.已知=（2，2，1），=（4，5，3），則平面ABC的單位法向量是_________.5.（20分）已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1AB=1，2

M是PB的中點.（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC與PB所成的角.6.（20分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D為A1C1的中點，E為B1C的中點，⑴ 求直線BE與A1C所成的角；⑵ 在線段AA1上是否存在點F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF；若不存在，說明理由.【體驗高考】(每小題10分)

1．（2007全國Ⅰ）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為

（）

A．1234B．C．D． 5555

2.（2007四川）ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結論錯誤的是（）．．

A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．異面直線AD與CB1角為60°

第五篇：空間向量的應用[定稿]

1． 理解直線的方向向量與平面的法向量的意義；會用待定系數法求平面的法向量。2． 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直和平行關系。

3． 能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）；能用向量方法判斷一些簡單的空間線面的平行和垂直關系。

1.a，b是兩個非零的向量，?，?是兩個平面，下列命題正確的是（）

A.a∥b的必要條件是a,b是共面向量 B.a,b是共面向量，則a∥b C.a∥?，b∥?，則?∥?

D.a∥?，b∥?，則a,b不是共面向量）

2.關于直線m、n與平面?、?，有下列四個命題：其中真命題的序號是（①m//?,n//?且?//?，則m//n；

②m??,n??且???，則m?n；

③m??,n//?且?//?，則m?n； ④m//?,n??且???，則m//n.3.設A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足??????0，則△BCD是（）三角形

4.空間中兩個有一條公共邊AD的正方形ABCD與ADEF，設M，N分別是BD和AE的中點，給出如下命題：則所有的正確命題為。①AD⊥MN； ②MN∥面CDE； ③MN∥CE； ④MN，CE異面 5． 已知四邊形ABCD滿足，AB?BC?0，BC?CD?0，CD?DA?0，DA?AB?0，則該四邊形

ABCD為

A．平行四邊形

B．空間四邊形

C．平面四邊形

（D．梯形）

6． 已知非零向量a,b及平面?，若向量a是平面?的法向量，則a?b?0是向量b所在直線平行于平面?或在平面?內的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件

7． 已知四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩互相垂直，給出下列兩個命題：

①AB?CD?AC?BD?AD?BC；②|AB?AC?AD|2=|AB|2?|AC|2?|AD|2． 則下列關于以上兩個命題的真假性判斷正確的為 A．①真、②真 B．①真、②假 C．①假、②假

（D．①假、②真）

B?AC8． 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，．有下列條件：①AB?AC?BC；②ABC1?AC1

B?AC；③A．其

中能成為BC1?AB1的充要條件的是（填上該條件的序號）_________．

9．在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作

EF⊥PB交PB于點F．

（1）證明PA//平面EDB；（2）證明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小． A

第9題

B