第一篇：向量在解析幾何中的應(yīng)用

向量在解析幾何中的應(yīng)用

嵩明縣第一中學(xué)：吳學(xué)偉

2006年12月5日星期二

解析幾何是歷年數(shù)學(xué)高考舞臺上必唱“主角”之一。近年來命題人往往以解析幾何的傳統(tǒng)內(nèi)容為載體，融合向量等其它相關(guān)知識，設(shè)計(jì)出與軌跡問題的交匯與整合、向量與二次曲線方程問題的交匯與整合、向量與有關(guān)證明或范圍問題的交匯與整合。

一、向量基礎(chǔ)知識

（1）、向量的數(shù)量積定義：ab?|a||b|cos?

（2）、向量夾角公式：a與b的夾角為?，則cos??ab |a||b|

（3）、向量共線的充要條件：b與非零向量a共線?存在惟一的??R，使b??a。

（4）、兩向量平行的充要條件：向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)平行?x1y2?x2y1?0

（5）、兩向量垂直的充要條件：向量a?b?ab?0?x1x2?y1y2?0

（6）、向量不等式：|a|?|b|?|a?b|，|a||b|?|ab|

（7）、向量的坐標(biāo)運(yùn)算：向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，則ab?x1x2?y1y

2二、向量的應(yīng)用

1、利用向量證明等式

材料一：已知?、?是任意角，求證：cos(???)?cos?cos??sin?sin?。

證明：在單位圓上，以x軸為始邊作角?，終邊交單位圓于A，以x軸為始邊作角?，終邊交單位圓于B，有OA?(cos?,sin?),OB?(cos?,sin?)，所以有：

OAOB?cos?cos??sin?sin?

又OAOB?|OA||OB|cos?AOB?cos(???)

即cos(???)?cos?cos??sin?sin?

點(diǎn)評：對于某些恒等式證明，形式中含有cos(???)或符合向量的坐標(biāo)運(yùn)算形式，可運(yùn)用向量的數(shù)量積定義和向量坐標(biāo)運(yùn)算來證明。

2、利用向量證明不等式

材料二：m,n,a,b,c,d

?

證明：設(shè)h?

k

?

?|h|?k|?

由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得：hk

?

又因?yàn)閨hk|?|h||k|，成立。點(diǎn)評：當(dāng)求解問題（式子）中含有乘積或乘方時(shí)，可巧妙地利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表達(dá)式：ab?x1x2?y1y2，|a||b|?|ab|，構(gòu)造向量解之。

3、利用向量求值

3，求銳角?,?。

23解析：由條件得(1?cos?)cos??sin?sin???cos? 2

設(shè)m?(1?cos?,sin?)，n?(cos?,sin?)，3則mn?

?

cos?，|m|??|n|?1，2

312由mn?|

m||n|，得?cos??(cos??)?0，22

1??則cos??，即??，同理??（因?yàn)?、?為銳角）233材料三：已知cos??cos??cos(???)?

點(diǎn)評：對于求值問題，巧妙地運(yùn)用向量的數(shù)量積定義構(gòu)造等量關(guān)系求值。變式：已知Ａ、Ｂ、Ｃ的坐標(biāo)分別為A(3,0)、B(0,3)，C(cos?,sin?)，??(（１）、若|AC|?|BC|，求角?的值； ?3?2,2)。

2sin2??sin2?（２）、若ACBC??1，求的值。1?tan?解析：（１）AC?(cos??3,sin?)，BC?(cos?,sin??3)

?|AC|

????3?5?)，???由|AC|?|BC|得sin??cos?，又??(, 22

4（２）、由ACBC??1得(cos??3)cos??sin?(sin??3)??

12?sin??cos??……………………………………（１）

32sin2??sin2?2sin2??2sin?cos??2sin?cos? 又?sin1?tan?1?cos?

4由（１）式兩邊平方得1

?2sin?cos?

? 9

552sin2??

sin2??? ?2sin?cos???，?991

?tan? |BC|?

4、利用向量求函數(shù)值域 ?5，求x?y的最小值。

解析：構(gòu)造向量

m?，n?(1,1)由mn?

|m

||n|?

??

x?y? 227?x?y有最小值

2變式：設(shè)x的最小值。

解析：

?

?

故可設(shè)a?

(x?1,1)，b?(5?x,3)?|a?b|?

?|a|?|b|?

x?11?，即x?2時(shí)等號成立。當(dāng)5?x

3所以當(dāng)x?2時(shí), 取最小值點(diǎn)評：巧妙構(gòu)造向量，可以解決條件最值問題，特別是某些含有乘方之和或乘積之和式子的條件最值問題，用向量證明更有獨(dú)特之處。

5、利用向量解決析幾何問題

材料六：過點(diǎn)M(?2,0)，作直線l交雙曲線x2?y2?1于A、B不同兩點(diǎn)，已知OP?OA?OB。

（1）、求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

（2）、是否存在這樣的直線，使|OP|?|AB|?若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。解析：（1）、設(shè)直線l的方程為y?k(x?2)，代入x2?y2?1得(1?k2)x2?4k2x?4k2?1?0，4k24k2?1當(dāng)k??1時(shí)，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1?x2?，x1x2?2 21?kk?

1k4k24ky1?y2?k(x1?2)?k(x2?2)??4k? 221?k1?k

設(shè)P(x,y)，由OP?OA?OB，則

4k24k(x,y)?(x1?x2,y1?y2)?(,)1?k21?k

2?4k2

x??x???1?k，解之得?k(k?0)y?y?4k

?1?k2?

4kx22再將?k代入y?得(x?2)?y?4……………………（1）21

?ky

當(dāng)k?0時(shí)，滿足（1）式；

當(dāng)斜率不存在是，易知P(?4,0)滿足（1）式，故所求軌跡方程為(x?

2)2?y2?4，其軌跡為雙曲線；

當(dāng)k??

1時(shí)，l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意。

（2）|OP|?|AB|，所以平行四邊形OAPB為矩形，OAPB為矩形的充要條件是OAOB?0，即x1x2?y1y2?0。

當(dāng)k不存在時(shí)，A、B坐標(biāo)分別為(?，(?2,，不滿足上式。

(k2?1)(4k2?1)2k24k

22??4k?0 又x1x2?y1y2?x1x2?k(x1?2)(x2?)?22k?1k?

1k2?1?0，此方程無實(shí)數(shù)解，故不存直線l使OAPB為矩形。化簡得：2k?12點(diǎn)評：平面向量和平面解析幾何是新老教材的結(jié)合點(diǎn)，也是近幾年高考常考查的熱點(diǎn)，解此類題應(yīng)注重從向量積的定義和向量的加減法的運(yùn)算入手，還應(yīng)該盡量聯(lián)系向量與解析幾何的共同點(diǎn)，綜合運(yùn)用解析幾何知識和技巧，使問題有效解決。

x2y2

變式：已知雙曲線Ｃ：2?2?1(a?0,b?0)，Ｂ是右頂點(diǎn)，Ｆ是右焦點(diǎn)，點(diǎn)Ａ在x軸ab

正半軸上，且滿足|OA|、|OB|、|OF|成等比數(shù)列，過Ｆ作雙曲線Ｃ在第一象限的漸近線的垂線l，垂足為Ｐ，如圖所示。

（１）求證：PAOP?PAFP；

（２）若l與雙曲線Ｃ的左、右兩支分別交于點(diǎn)Ｄ、Ｅ，求雙曲線Ｃ的離心率e的范圍。

a?y??(x?c)?aa2ab?b解析：（１）直線l的方程為：y??(x?c)，由?解得P(,)ccc?y?bx?a?|OA|、|OB|、|OF|成等比數(shù)列，a

2?A(,0)，故PA?x軸，如圖所示。c

從而PAOP?PAFP?PAOF?0

?PAOP?PAFP

a?a4?y??(x?c)22(2)、由??得bx?2(x?c)2?a2b2，bb?b2x2?a2y2?a2b2?

a

422a4a4

2即(b?2)x?2cx?2(x?c)?

0 bbb

a4c

2?(2?a2b2)x1x2??0，?b4?a4，即b2?a2，c2?a2?

a2?e2?2?e? 4ab2?2b2

點(diǎn)評：本題是平面向量的數(shù)量積、二次曲線、等比數(shù)列等知識的交匯與整合，近幾年的高考解析幾何題中，多次考到了證明題或范圍問題，因而在復(fù)習(xí)中對這類題要給予一定的重視。隨著復(fù)習(xí)的繼續(xù)與深入，我們還可以看到平面向量與概率、導(dǎo)數(shù)、復(fù)數(shù)等知識的交匯與整合，為命題者施展了優(yōu)化創(chuàng)新試題的陳地，也為我們分析、解決問題的切入點(diǎn)開辟了新的視角。

注：解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容： ??（1）給出直線的方向向量u??1,k?或u??m,n?，要會(huì)求出直線的斜率；

（2）給出OA?OB與AB相交,等于已知?過AB的中點(diǎn);?（3）給出??0,等于已知P是MN的中點(diǎn);

（4）給出AP?AQ??BP?BQ,等于已知P,Q與AB的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;?

（5）給出以下情形之一：①//；②存在實(shí)數(shù)?,使??AC；③若存在實(shí)數(shù)?,?,且????1,使OC??OA??OB,等于已知A,B,C三點(diǎn)共線.OA??OB，等于已知P是的定比分點(diǎn)，?為定比，即AP??PB 1??

（7）給出??0,等于已知MA?MB,即?AMB是直角,給出（6）給出?MA?MB?m?0,等于已知?AMB

是銳角。是鈍角, 給出MA?MB?m?0,等于已知?AMB

????（8）

給出???MP,等于已知MP是?AMB的平分線/（9）在平行四邊形ABCD中，給出(AB?AD)?(AB?AD)?0，等于已知ABCD是菱形;

（10）在平行四邊形ABCD中，給出|AB?AD|?|AB?AD|，等于已知ABCD是矩形;

（11）在?ABC中，給出??，等于已知O是?ABC的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）；

（12）在?ABC中，給出??的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）； 222?，等于已知O是?ABC的重心（三角形

?OC?OA，等于已知O是?ABC的垂（13）在?ABC中，給出OA?OB?OB?OC

心（三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）；

（14）在?ABC中，給出???(ABAC?)(??R?)等于已知AP通過|AB||AC|

?ABC的內(nèi)心；

（15）在?ABC中，給出a??b??c??等于已知O是?ABC的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)）；

（16）在?ABC中，給出AD?1AB?AC,等于已知AD是?ABC中BC邊的中線。2??

第二篇：向量在解析幾何中的應(yīng)用

向量在解析幾何中的應(yīng)用

第一章

引言

1.1

研究背景

向量（或矢量）,最初被應(yīng)用于物理學(xué)．很多物理量如力、速度、位移以及電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量.大約公元前350年前,古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量,兩個(gè)力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到.“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段．最先使用有向線段表示向量的是英國大科學(xué)家牛頓.向量在解析幾何整個(gè)知識體系中占有非常重要的地位,向量是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念.它可以使圖形量化,使圖形間關(guān)系代數(shù)化.向量是研究圖形問題的有力工具.向量是一個(gè)具有幾何和代數(shù)雙重身份的概念,同時(shí)向量代數(shù)所依附的線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)完整的體系,具有良好的分析方法和完整結(jié)構(gòu),通過向量的運(yùn)用對傳統(tǒng)問題的分析,可以幫助學(xué)生更好地建立代數(shù)與幾何的聯(lián)系,也為中學(xué)數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過渡奠定了一個(gè)直觀的基礎(chǔ)．這方面的案例包括平面幾何、立體幾何和解析幾何．

1.2

本課題的研究內(nèi)容

本課題主要是對向量法在有關(guān)平面問題中的應(yīng)用的進(jìn)一步探討.具體從以下幾個(gè)方面進(jìn)行探討：

1、向量在建立平面方程中的應(yīng)用.2、向量在討論平面與平面、平面與直線的位置關(guān)系中的應(yīng)用.3、向量在推導(dǎo)點(diǎn)到平面的距離公式中的應(yīng)用.4、向量在推導(dǎo)兩平面的夾角公式中的應(yīng)用.5、向量在平面其它方面的應(yīng)用.第二章

向量法在有關(guān)平面問題中的應(yīng)用

2.1

向量的基礎(chǔ)知識

1.向量分解定理

定理1

如果向量,那么向量與向量共線的充分條件是可以用向量線性表示,或者說是的線性組合,即,并且系數(shù)被,唯一確定.定理2

如果向量,不共線,那么向量與向量,共面的充要條件是可以用向量,線性表示,或者說可以分解成,的線性組合,即,并且系數(shù)，被，唯一確定.這時(shí),叫做平面上向量的基底.2.向量平行、垂直的條件及夾角公式

設(shè)空間中兩個(gè)非零向量為和

則(1)

(2)

∥

(3)即

3.向量乘法運(yùn)算的有關(guān)內(nèi)容:

設(shè)則

(1)數(shù)量積：1)

2)

3)

4)

即

(2)向量積：1)

2)若不平行,則

圖1

3)若∥即

(3)混合積：1)

2)若不共面,則

2.2向量在建立平面方程中的應(yīng)用

2.2.1

平面的點(diǎn)法式方程

如果一非零向量垂直于一平面,這向量就叫做該平面的法向量.法向量的特征：垂直于平面的任一非零向量.已知平面上一點(diǎn)和該平面的法向量.設(shè)平面上的任一點(diǎn)

則有

=

圖2

平面的點(diǎn)法式方程為

由點(diǎn)法式得到平面的一般是方程其中例1:

一平面過點(diǎn)和且垂直于平面,求此平面的方程.解:

平面的法向量

設(shè)所求平面的法向量

∵在所求平面上

∴

從而有

∵,圖3

∴即

(1)

又∵所求平面垂直于平面,從而有

即

即

(2)

由(1)(2)解得：∴

∴所求平面的方程為即

另解：∵且

∴該平面的法向量為

圖4

∴所求平面的方程為

即

從以上兩例可以看出,在用向量建立平面方程時(shí),首先要確定平面的法向量,熟記平面的幾種特殊位置的方程,且需注意兩平面的位置特征.2.2.2平面的參數(shù)式方程

圖5

在空間,取仿射坐標(biāo)系,并設(shè)點(diǎn)的向徑,平面π上的任意一點(diǎn)的向徑為(圖4),顯然點(diǎn)在平面π上的充要條件為向量與共面,因?yàn)椴还簿€,所以這個(gè)共面的條件可以寫成,又因?yàn)?所以有

其中為參數(shù).即

則此方程叫做平面π的向量式參數(shù)方程,如果設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為那么

;

令,那么由平面π的向量式參數(shù)方程得,則此方程組叫做平面π的坐標(biāo)式參數(shù)方程.2.3討論平面與平面、平面與直線的位置關(guān)系中的應(yīng)用

2.3.1平面與平面的位置關(guān)系

空間兩個(gè)平面的位相關(guān)位置有三種情形,即相交、平行和重合,而且當(dāng)且僅當(dāng)兩平面有一部分公共點(diǎn)時(shí)它們相交,當(dāng)且僅當(dāng)兩平面無公共點(diǎn)時(shí)它們相互平行,當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)平面上的所有點(diǎn)就是另一個(gè)平面的點(diǎn)時(shí),這兩平面重合.因此如果設(shè)兩平面方程為,（1）,（2）

那么兩平面與是相交還是平行或是重合,就決定于由方程(1)與(2)構(gòu)成的方程組是有解還是無解,或是方程(1)與（2）僅相差一個(gè)不為零的數(shù)因子,因此我們就得到了下面的定理.定理2.3.1.1:

平面（1）與（2）相交的充要條件是,平行的充要條件是,重合的充要條件是

定理2.3.1.2:兩平面（1）與（2）相互垂直的充要條件是

;

證：設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為

而與的位置關(guān)系直接影響與的位置關(guān)系.下面分幾種情況來討論.(如圖2.3.1)

1.∥∥

特例：與重合（1）,（2）兩方程同解

∥且

顯然,∥,且與不重合2..將上面結(jié)果歸納起來可以得到2.3.1.1和2.3.1.2

2.3.2平面與直線的位置關(guān)系

空間直與平面的相關(guān)位置有直線與平面相交,直線與平面平行和直線在平面上的三種情況.下面給出直線與平面位置成立的條件：

設(shè)直線平面的方程分別為,（1）,（2）

則由定理2.3.2.1

直線（1）與平面（2）的相互位置關(guān)系有下面的充要條件:

1.相交：；

2.平行：

;；

3.直線在平面上：

;;

由于直線的方向向量為,而在直線坐標(biāo)系下,平面的法向量為,因此在直角坐標(biāo)系下,直線與平面的相互位置關(guān)系,從幾何上看,直線與平面的相交條件

就是不垂直于；

直線與平面平行的條件

;

就是,且直線上的點(diǎn)不在平面上；

直線在平面上的條件

;

就是,且直線上的點(diǎn)在平面上.2.4向量在推導(dǎo)點(diǎn)到平面的距離公式中的應(yīng)用

空間解析幾何在空間點(diǎn)、直線與平面間相關(guān)位置的討論中有一個(gè)重要問題是求這些圖形間的距離,其中點(diǎn)到平面的距離尤為重要．本節(jié)將利用向量探討點(diǎn)到平面的距離公式的推導(dǎo)．

文獻(xiàn)[1,2]利用點(diǎn)與平面間離差的幾何意義給出了點(diǎn)與平面：

（1）

之間的距離公式：

（2）

平面的點(diǎn)法式向量方程為,（3）

平面的向量式參數(shù)方程

（4）

其中是平面的法向量,、為參數(shù)，是平面的方位向量,是平面上定點(diǎn)的徑矢,（5）

設(shè)

（6）

（7）,（8）

則平面的點(diǎn)法式向量方程（3）和平面的向量式參數(shù)方程（4）都可以轉(zhuǎn)化為平面的一般式方程（1）,所以以下推導(dǎo)中,只要得到由向量表示的距離公式,那么將（6—8）代入,就可得距離公式（2）.證：1.與之間的距離是與上定點(diǎn)構(gòu)成向量在平面的法向量上的射影的絕對值.設(shè)平面的點(diǎn)法式方程如（3）式,則

將（5）（6）（8）（9）式代入,即可得距離公式（2）

已知與之間的距離是以平面的方位向量,和為棱的平行六面體中,所在平面上的高

證：1.設(shè)平面的方程如（4）式,將,的始點(diǎn)移到點(diǎn),則，不面.與之間的距離正好是以向量,和為棱的平行六面體中,所在面上的高如圖6.平行六面體的體積,底面的面積

圖6

所以,將（5）,（7）,（8）,（9）式代入,即可得距離公式（2）

評析：點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)有很多方法,本節(jié)利用向量法推導(dǎo)出了點(diǎn)到直線的距離公式,這種思路能更好的將向量與幾何問題結(jié)合起來,展現(xiàn)了向量在解決幾何問題中的重要作用.2.5

向量在推導(dǎo)兩平面的夾角公式中的應(yīng)用

現(xiàn)在讓我們在直角坐標(biāo)系下來研究兩平面的交角.設(shè)兩平面與間的二面角用來表示,而兩平面的法向量與的夾角記為,那么顯然有（圖7）

或.因此我們得到

圖7

例2:

如圖8,在底面是直角梯形的四棱錐中,//，，,.求側(cè)面與面所成的二面角的大小.解：以為原點(diǎn)如圖8建立空間直角坐標(biāo)系,A

z

y

x

D

C

B

S

圖8

則，，∴,顯然平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則

∴

則

評析：因?yàn)樗蟮亩娼堑慕痪€在圖中較難作出,所以用傳統(tǒng)的方法求二面角比較困難,向量法在這里就體現(xiàn)出它特有的優(yōu)勢.2.6向量在平面其它方面的應(yīng)用

1．求點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).例3.求點(diǎn)關(guān)于平面π:的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于平面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是平面π的法向量為.則有∥且點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等,即.得

解得,則點(diǎn)的對稱點(diǎn).2.求平面與坐標(biāo)平面圍成的四面體體積.例4.求平面與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的四面體體積.解：如圖9,則平面與坐標(biāo)系的交點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成的向量為，圖9

則四面體體積為即四面體體積

評析：向量除了本文所羅列出來的相關(guān)問題之外,還有很多的解析幾何問題可以利用向量來解決,所以向量在解決平面的相關(guān)問題中有著不可忽視的作用,值得我們認(rèn)真學(xué)習(xí)和研究.2.7本章小結(jié)

總之,向量在整個(gè)解析幾何中占有非常重要的地位,因此它的應(yīng)用在解決幾何問題時(shí)是最基礎(chǔ)最普遍的方法,尤其是在幾何的證明問題中,使用向量的分解定理和向量的基礎(chǔ)知識以及向量的一些定理可以起到事半功倍的效果.除此之外,用向量可以將一些代數(shù)問題幾何化,這樣借助向量的性質(zhì)可以快速明了的解決一些難題.另外,向量在推導(dǎo)一些幾何公式時(shí),使得問題簡化了很多.參考文獻(xiàn)

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[3]鄭榮等.向量在幾何中的應(yīng)用舉例[J].成都教育學(xué)院學(xué)報(bào),2003,17

65~66.[4]李健群.談向量方法在有關(guān)直線問題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通,2004,6~17.致謝

走的最快的總是時(shí)間,來不及感嘆,大學(xué)生活已近尾聲,四年多的努力與付出,隨著本次論文的完成,將要?jiǎng)澫峦昝赖木?從課題選擇到具體的寫作過程,無不凝聚著老師的心血和汗水.老師要指導(dǎo)很多同學(xué)的論文,加上本來就有的教學(xué)任務(wù)和科研項(xiàng)目,工作量之大可想而知,她還在百忙之中抽出大量的時(shí)間來指導(dǎo)我們.她的循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪,她的淵博的專業(yè)知識,精益求精的工作作風(fēng),嚴(yán)以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范,將一直是我工作、學(xué)習(xí)中的榜樣.在我的畢業(yè)論文寫作期間,老師為我提供了種種專業(yè)知識上的指導(dǎo)和一些富于創(chuàng)造性的建議,沒有這樣的幫助和關(guān)懷,我不會(huì)這么順利的完成畢業(yè)論文.在此向李明老師表示深深的感謝和崇高的敬意.同時(shí),論文的順利完成,離不開其它各位老師、同學(xué)和朋友的關(guān)心和幫助.在整個(gè)的論文寫作中,各位老師、同學(xué)和朋友積極的幫助我查資料和提供有利于論文寫作的建議和意見,在他們的幫助下,論文得以不斷的完善,最終幫助我完整的寫完了整個(gè)論文.最后,也是最重要的,我要感謝我的父母,因?yàn)闆]有他們,就沒有現(xiàn)在站在這里的我,是他們給以我生命,給以我大學(xué)的機(jī)會(huì),是他們造就了今天的我.對于你們,我充滿無限的感激.

第三篇：向量在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

向量在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

一、向量知識

設(shè)a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

向量的加法

OB+OA=OC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a；

結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0

AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn)，指向被

向量的減法

減”

a=(x,y)b=(x',y')則a-b=(x-x',y-y').3、數(shù)乘向量

實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a同方向

當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a反方向；

向量的數(shù)乘

當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。

當(dāng)a=0時(shí)，對于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。

注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當(dāng)λ>1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸長為原來的∣λ∣倍

當(dāng)λ<1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上縮短為原來的∣λ∣倍。

數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律

結(jié)合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量對于數(shù)的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.數(shù)對于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量，記作a·b。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共線，則a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

a·b=b·a（交換律）

(λa)·b=λ(a·b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因?yàn)?≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

1．向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

2．向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a·b=a·c(a≠0)，推不出 b=c。

3．|a·b|≠|(zhì)a|·|b|

4．由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。

5、向量的向量積

定義：兩個(gè)向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個(gè)向量，記作a×b（這里并不是乘號，只是一種表示方法，與“·”不同，也可記做“∧”）。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。

向量的向量積運(yùn)算律

a×b=-b×a

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）

a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

6、三向量的混合積

定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數(shù)量積(a×b)·c，向量的混合積

所得的數(shù)叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

混合積具有下列性質(zhì)：

1．三個(gè)不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等于以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，并且當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時(shí)混合積是正數(shù)；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時(shí)，混合積是負(fù)數(shù)，即(abc)=εV（當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時(shí)ε=1；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時(shí)ε=-1）

2．上性質(zhì)的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=0

3．(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

4．(a×b)·c=a·(b×c)

7、三向量的二重向量積

由于二重向量叉乘的計(jì)算較為復(fù)雜，于是直接給出了下列化簡公式以及證明過程：

二重向量叉乘化簡公式及證明

三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號

② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號。

2．∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號

② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號。定比分點(diǎn)

定比分點(diǎn)公式（向量P1P=λ·向量PP2）

設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)任意實(shí)數(shù) λ且λ不等于-1，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)；（定比分點(diǎn)向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式

三點(diǎn)共線定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線

三角形重心判斷式

在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心 向量共線的條件

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb。

若設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則有x1y2=x2y1。

零向量0平行于任何向量。向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是 a·b=0，即x1x2+y1y2=0。

零向量0垂直于任何向量。

平面向量的分解定理

平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2我們把不平行向量e1、e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一基底．

二、應(yīng)用(一)向量在函數(shù)中的應(yīng)用 例1：求函數(shù)的值域。

解：函數(shù)的解析式可化為：，，說明：碰到此類問題，我們必須先模擬、聯(lián)想、構(gòu)造兩個(gè)向量，然后利用向量的平等關(guān)系得出函數(shù)的值域或其最值。

(二)、向量在不等式問題中的應(yīng)用

(三)、向量在三角問題中的應(yīng)用

(四)、向量在平面幾何問題中的應(yīng)用

例4：用向量證明：三角形中位線平行于底邊，且長度是底邊長度的一半。

說明：向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)使得，這是證明平行、共點(diǎn)、共線、共面的有力工具。

(五)、向量在解析幾何問題中的應(yīng)用

說明：在教材中增加向量內(nèi)容之前，本題可用兩種方法求解：一是利用余弦定理結(jié)合橢圓焦半徑公式求解；二是利用直線的到角公式求解，但必須注意斜率是否存在的問題，應(yīng)驗(yàn)證斜率不存在的情況。

(六)、向量在立體幾何問題中的應(yīng)用

第四篇：淺談向量在幾何中的應(yīng)用

淺談向量在幾何中的應(yīng)用

寧陽四中 271400 呂厚杰

解決立體幾何問題“平移是手段，垂直是關(guān)鍵”，空間向量的方法是使用向量的代數(shù)方法去解決立體幾何問題。兩向量共線易解決平行，兩向量的數(shù)量積則易解決垂直、兩向量所成的角、線段的長度問題。合理地運(yùn)用向量解決立體幾何問題，在很大程度上避開了思維的高強(qiáng)度轉(zhuǎn)換，避開了添加輔助線，代之以向量計(jì)算，使立體幾何問題變得思路順暢、運(yùn)算簡單。

1.證平行、證垂直

具體方法利用共線向量基本定理證明向量平行，再證線線、線面平行是證明平行問題的常用手段，由共面向量基本定理先證直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩向量共面，再證方向向量上存在一點(diǎn)不屬于平面，從而得到線面平行。證明線線、線面垂直則可通過向量垂直來實(shí)現(xiàn)。

例1 如圖1，E、F分別為空間四邊形ABCD中AB、CD的中點(diǎn)，證明AD、EF、BC平行于同一平面。

圖1 證明：又

所以，且即

可知，與 共面，所以EF與AD、BC平行于同一平面。

例2.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），則ΔABC是___________。分析：顯見：

（3，4，－8），（5，1，－7），（2，－3，1），故ΔABC為直角三角形。

2.求角、求距離

如果要想解決線面角、二面角以及距離問題就要增加平面法向量的知識。定義：如果n⊥α，那么向量n就叫平面α的法向量。

求解方法：

（1）異面直線所成的角α，利用它們所對應(yīng)的向量轉(zhuǎn)化為向量的夾角θ問題，但，所以

（2）直線與平面所成的角，利用直線的方向向量與平面的法向量夾角的余角（或補(bǔ)角的余角）。如圖2：。

圖

2（3）求二面角，轉(zhuǎn)化為兩平面法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角，顯見上述求法都避開了找角的繁瑣，直接計(jì)算就可以了。

求點(diǎn)面距離，轉(zhuǎn)化為此點(diǎn)與面內(nèi)一點(diǎn)連線對應(yīng)向量在法向量上投影的絕對值。例3.（2005年高考題）如圖3，已知長方體ABCD�A1B1C1D1中，AB＝2，AA

1＝1，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，AE垂直BD于E，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn)。（1）求異面直線AE與BF所成的角。

（2）求平面BDF與平面AA1B所成二面角（銳角）的大小。（3）求點(diǎn)A到平面BDF的距離。

圖

3解：在長方體ABCD�A1B1C1D1中，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖3，所以A（0，0，0），B（2，0，0），F(xiàn)（1，0，1），因?yàn)橹本€BD與平面AA1B1B所成的角為30°，所以∠DBA＝30°

又AB＝2，AE⊥BD，所以AE＝1，AD＝0），因?yàn)镋（，0），D（0，（1）因?yàn)?/p>

所以

即異面直線AE、BF所成的角為

（2）易知平面AA1B的一個(gè)法向量m＝（0，1，0），設(shè)n＝（x，y，z）是平面BDF的一個(gè)法向量，由

所以取

所以

（3）點(diǎn)A到平面BDF的距離即

在平面BDF的法向量n上的投影的絕對值。

所以

例4.如圖4，已知正四棱錐R�ABCD的底面邊長為4，高為6，點(diǎn)P是高的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是側(cè)面RBC的重心。求直線PQ與底面ABCD所成的角。

圖

4解：以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)R所在直線為z軸，以過O與AB垂直的直線為x軸，與AB平行的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系。

因?yàn)榈酌孢呴L為6，高為4，所以B（2，2，0），C（－2，2，0），R（0，0，6），所以Q（0，2），P（0，0，3），（0，－1），面ABCD的一個(gè)法向量為n＝（0，0，1），設(shè)PQ與底面ABCD所成的角為α，則。

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)了學(xué)生使用向量代數(shù)方法解決立體幾何問題的能力。目的是將空間元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，將形式邏輯證明轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算，用數(shù)的規(guī)范性代替形的直觀性、可操作性強(qiáng)，解決問題的方法具有普遍性，大大降低了立體幾何對空間想象能力要求的難度。

第五篇：向量代數(shù)與空間解析幾何

1．向量代數(shù)與空間解析幾何

向量代數(shù)：向量的線性運(yùn)算，向量的坐標(biāo)，向量的數(shù)量積，向量積，兩向量平行與垂直的條件。平面與直線：會(huì)利用已知條件求平面的方程、直線的方程。

曲面與空間曲線：了解曲面的概念，如坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面，母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，會(huì)求空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。

2．多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)：會(huì)求簡單的二元函數(shù)的極限與判斷二元函數(shù)的連續(xù)性。

偏導(dǎo)數(shù)與全微分：偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，復(fù)合函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的求法、隱函數(shù)的求偏導(dǎo)；會(huì)求全微分； 偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：方向?qū)?shù)和梯度；空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線；最大值、最小值問題，條件極值，拉格朗日乘數(shù)法。

3．多元函數(shù)積分學(xué)

二重積分：化二重積分為二次積分、交換二次積分的次序；二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；利用二重積分求曲面面積、立體體積。

三重積分：三重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）；

曲線積分：兩類曲線積分的計(jì)算方法；格林公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

曲面積分：兩類曲面積分的計(jì)算方法；高斯公式。

4．無窮級數(shù)

常數(shù)項(xiàng)級數(shù)：級數(shù)收斂的判定，幾何級數(shù)和P—級數(shù)的斂散性；正項(xiàng)級數(shù)的比較、比值及根值審斂法，交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲定理，絕對收斂與條件收斂的概念及其關(guān)系。

冪級數(shù)：較簡單的冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域的求法，冪級數(shù)求和函數(shù)；函數(shù)展開成冪級數(shù)。傅里葉級數(shù)：函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，函數(shù)與和函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。

5．常微分方程

可分離變量微分方程，齊次方程，一階線性微分方程。可降階的高階微分方程。二階常系數(shù)齊次線性微分方程。利用切線斜率建立簡單的微分方程并求解。

牢固掌握下列公式：

1、向量的數(shù)量積、向量積計(jì)算公式；

2、全微分公式；

3、方向?qū)?shù)公式；

4、拉格朗日乘數(shù)法；

5、格林公式、高斯公式；

6、函數(shù)的麥克勞林展開公式。

7、一階線性方程的通解公式；