第一篇：法向量的求法和其應用

平面法向量的求法及其應用

引言：本節課介紹平面法向量的三種求法,并對平面法向量在高中立體幾何中的應用作歸納和總結。其中重點介紹外積法求平面法向量的方法，因為此方法比內積法更具有優越性,特別是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，將對高考立體幾何中求空間角、求空間距離、證明垂直、證明平行等問題的解答變得快速而準確，那么每年高考中那道12分的立體幾何題將會變得更加輕松。

一、平面的法向量

?

?

1、定義：如果a

??，那么向量a叫做平面?的法向量。平面?的法向量共有兩大類（從方向上分），無數條。

2、平面法向量的求法

???

方法一(內積法):在給定的空間直角坐標系中，設平面?的法向量n?(x,y,1)[或n?(x,1,z)，或n?(1,y,z)]，在平

???????

面?內任找兩個不共線的向量a,b。由n??，得n?a?0且n?b?0，由此得到關于x,y的方程組，解此方程組即可?得到n。

方法二：任何一個x,y,z的一次方程的圖形是平面；反之，任何一個平面的方程是x,y,z的一次方程。

?

Ax?By?Cz?D?0(A,B,C不同時為0)，稱為平面的一般方程。其法向量n?(A,B,C);若平面與3個坐標軸的交點為P1(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0,0,c),如圖所示,則平面方程為:為一般式即可求出它的法向量。

xa

?

yb

?

zc

?1,稱此方程為平面的截距式方程，把它化

方法三(外積法): 設 , 為空間中兩個不平行的非零向量，其外積a?b為一長度等于|a||b|sin?，（θ

????

為,兩者交角，且0????），而與 , 皆垂直的向量。通常我們采取「右手定則」，也就是右手四指由

?的方向轉為

?的方向時，大拇指所指的方向規定為a?b的方向,a?b??b?a。

?

?

??????

x1z1x1y1??y1z

1?,?,設a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2),則:a?b??

?yx2z2x2y2??2z2?

（注：

1、二階行列式:M?

?

?

ac

bd

?ad?cb；

2、適合右手定則。）例

1、已知，a?(2,1,0),b?(?1,2,1)，?

?

?

?

試求（1）：a?b;（2）：b?a.?

?

?

?

Key:(1)a?b?(1,?2,5);(2)b?a?(?1,2,5)

例

2、如圖1-1,在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，????

key求平面AEF的一個法向量n。:法向量n?AF?AE?(1,2,2)

二、平面法向量的應用

1、求空間角

?

(1)、求線面角：如圖2-1，設n是平面?的法向量，AB是平面?的一條斜線，A??，則AB與平面? 所成的角為：

?

?

圖2-1-1:

??

?

??

??n,AB??

?

??

?

??|cos?n,AB?|

??

圖2-1-2:???n,AB??

?

?

?arccos

?

(2)、求面面角:設向量m，n分別是平面?、?的法向量，則二面角??l??的平面角為：

?

?

?

?

圖2-

3???m,n??arccos

m?n

?

?

（圖2-2）;

?

|m|?|n|

?

?

?

???m,n????arccos

m?n

?

?

(圖2-3)

?

|m|?|n|

兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等于二面角的平面角。約定，在圖2-2中，m的方向對平面?而

?

??

言向外，n的方向對平面?而言向內；在圖2-3中，m的方向對平面?而言向內，n的方向對平面?而言向內。我們只要用兩個向量的向量積（簡稱“外積”，滿足“右手定則”）使得兩個半平面的法向量一個向內一個向外，則這兩個半平面的法向量的夾角即為二面角??l??的平面角。

2、求空間距離

（1）、異面直線之間距離:

?

?

方法指導：如圖2-4,①作直線a、b的方向向量a、b，?

求a、b的法向量n，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；

?

②在直線a、b上各取一點A、B，作向量AB；

??

③求向量AB在n上的射影d，則異面直線a、b間的距離為

?

?

d?

|AB?n|

???,其中n?a,n?b,A?a,B?b

|n|

（2）、點到平面的距離:

方法指導：如圖2-5,若點B為平面α外一點，點A 為平面α內任一點，平面的法向量為n，則點P到

?

?

n

平面α的距離公式為d?

|AB?n|

?

|n|

（3）、直線與平面間的距離:

方法指導：如圖2-6,直線a與平面?之間的距離：

????AB?n?，其中d?A??,B?a。n?

是平面?的法向量 |n|

（4）、平面與平面間的距離:

方法指導：如圖2-7,兩平行平面?,?之間的距離：

?

?

d?

|AB?n|

?，其中A??,B??。n?

是平面?、?的|n|

3、證明

?

?

（1）、證明線面垂直：在圖2-8中,m向是平面?的法向量，a是

?

?

直線

a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（m??a）。

?

?

（2）、證明線面平行：在圖2-9中,m向是平面?的法向量，a是直線a

?

?的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（m?a?0）。

?

?

（3）、證明面面垂直：在圖2-10中，m是平面?的法向量，n是平面?

?

?的法向量，證明兩平面的法向量垂直（m?n?0）

?

?

（4）、證明面面平行：在圖2-11中, m向是平面?的法向量，n是平

?

?

面?的法向量，證明兩平面的法向量共線（m??n）。

三、高考真題新解

1、（2005全國I，18）（本大題滿分12分）

已知如圖3-1,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA=AD=DC=1

2AB=1，M是PB（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC與PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC與面BMC解:以A點為原點,以分別以AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz如圖所示.?????

(I).?AP?(0,0,1)，AD?(1,0,0)，設平面PAD的法向量為m?AP?AD?(0,?1,0)

?

?

?

?

?

又?DC?(0,1,0)，DP?(?1,0,1)，設平面PCD的法向量為n?DC?DP?(1,0,1)

?

?

??

?m?n?0，?m?n，即平面PAD?平面PCD。

?

?

????

(II).?AC?(1,1,0)，PB?(0,2,?1)，??AC,PB??arccos

AC?PB

?

?

?arccos

AC|?|PB|

|?

?

?

(III).?CM?(?1,0,1?

?

2)，CA?(?1,?1,0)，設平在AMC的法向量為m?CM?CA?(11

2,?2,1).?

?

?

?

又?CB?(?1,1,0),設平面PCD的法向量為n?CM?CB?(?

12,?

12,?1).?

?

?

?

??m,n??arccos

m?n

?

?

?arccos(?

2|m|?|n|).?面AMC與面BMC所成二面角的大小為arccos(?2

3).[或??arccos23

]

2、(2006年云南省第一次統測19題)(本題滿分12分)如圖3-2，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中點。(Ⅰ)求證：AD∥平面A1BC；(Ⅱ)求證：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求點A到平面A1MC的距離。

圖

解:以D點為原點,分別以DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系3-

2D-xyz如圖所示.?

?

?

?

?

(I).?BC?(?2a,0,0),BA1?(0,?a,a),設平面A1BC的法向量為n?BC?BA1?(0,2a2,2a2)

?????

又?AD?(?2a,0,0),?n?AD?0,?AD?n,即AD//平面A1BC.?

(II).?MC?（?

?

a,0,a),MA1?(?

?

a,a,0),設平面A1MC的法向量為: m?MC?MA1?(a,???

a,?

a),又?BD1?(?2a,?a,a),BA1?(0,?a,a),設平面A1BD1的法向量為: n?BD1?BA1?(0,2a2,2a2),?

?

???

??

?m?n?0,?m?n,即平面A1MC?平面A1BD1.(III).設點A到平面A1MC的距離為d,?

?

?

?m?MC?MA1?(a,?

a,?

a)是平面A1MC的法向量,?

?

又?MA?（22

a,0,0),?A點到平面A1MC的距離為:d?

|m?MA|

?

?

a.|m|

四、用空間向量解決立體幾何的“三步曲”

(1)、建立空間直角坐標系(利用現有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件,相關幾何知識的綜合運用，建立右手系)，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（化為向量問題）（2）、通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）（3）、把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義。（回到圖形問題）

第二篇：法向量的求法及其空間幾何題的解答

XX一對一個性化輔導教案

教師

科目

數

學

時間

2013

年

X

月

X日

學生

年級

高二

學校

XX校區

授課內容

空間法向量求法及其應用

立體幾何知識點與例題講解

難度星級

★★★★

教學內容

上堂課知識回顧（教師安排）：

1.平面向量的基本性質及計算方法

2.空間向量的基本性質及計算方法

本堂課教學重點：

1.掌握空間法向量的求法及其應用

2.掌握用空間向量求線線角，線面角，面面角及點面距

3.熟練靈活運用空間向量解決問題

得分：

平面法向量的求法及其應用

一、平面的法向量

1、定義：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類（從方向上分），無數條。

2、平面法向量的求法

方法一(內積法):在給定的空間直角坐標系中，設平面的法向量[或，或]，在平面內任找兩個不共線的向量。由，得且，由此得到關于的方程組，解此方程組即可得到。

二、平面法向量的應用

1、求空間角

(1)、求線面角：如圖2-1，設是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則AB與平面所成的角為：

圖2-1-1:

圖2-1-2:

圖2-1-1

α

B

A

C

A

B

α

圖2-1-2

C

α

圖2-3

β

β

α

圖2-2

(2)、求面面角:設向量，分別是平面、的法向量，則二面角的平面角為：

（圖2-2）;

(圖2-3)

兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等于二面角的平面角。約定，在圖2-2中，的方向對平面而言向外，的方向對平面而言向內；在圖2-3中，的方向對平面而言向內，的方向對平面而言向內。我們只要用兩個向量的向量積（簡稱“外積”，滿足“右手定則”）使得兩個半平面的法向量一個向內一個向外，則這兩個半平面的法向量的夾角即為二面角的平面角。

2、求空間距離

圖2-4

n

a

b

A

B

（1）、異面直線之間距離:

方法指導：如圖2-4,①作直線a、b的方向向量、，求a、b的法向量，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；

②在直線a、b上各取一點A、B，作向量；

圖2-5

A

α

M

B

N

O

③求向量在上的射影d，則異面直線a、b間的距離為,其中

A

a

B

α

圖2-6

（2）、點到平面的距離:

方法指導：如圖2-5,若點B為平面α外一點，點A

為平面α內任一點，平面的法向量為，則點P到

平面α的距離公式為

圖2-7

α

β

A

B

（3）、直線與平面間的距離:

方法指導：如圖2-6,直線與平面之間的距離：，其中。是平面的法向量

（4）、平面與平面間的距離:

方法指導：如圖2-7,兩平行平面之間的距離：

圖2-8

α

a，其中。是平面、的法向量。

3、證明

圖2-9

α

a

（1）、證明線面垂直：在圖2-8中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（）。

（2）、證明線面平行：在圖2-9中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（）。

圖2-10

β

α

（3）、證明面面垂直：在圖2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量垂直（）

圖2-11

α

β

（4）、證明面面平行：在圖2-11中,向是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量共線（）。

圖3-1

C

D

M

A

P

B

三、高考真題新解

1、（2005全國I，18）（本大題滿分12分）

已知如圖3-1,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點

（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC與PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小

解:以A點為原點,以分別以AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz如圖所示.，設平面PAD的法向量為，設平面PCD的法向量為，即平面PAD平面PCD。，，設平在AMC的法向量為.又,設平面PCD的法向量為..面AMC與面BMC所成二面角的大小為.2、(2006年云南省第一次統測19題)

(本題滿分12分)

圖3-2

如圖3-2，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC＝a，M是AD的中點。

(Ⅰ)求證：AD∥平面A1BC；

(Ⅱ)求證：平面A1MC⊥平面A1BD1；

(Ⅲ)求點A到平面A1MC的距離。

解:以D點為原點,分別以DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示.，設平面A1BC的法向量為

又，,即AD//平面A1BC.，設平面A1MC的法向量為:,又，設平面A1BD1的法向量為:，,即平面A1MC平面A1BD1.設點A到平面A1MC的距離為d,是平面A1MC的法向量,又,A點到平面A1MC的距離為:.四、用空間向量解決立體幾何的“三步曲”

(1)、建立空間直角坐標系(利用現有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件,相關幾何知識的綜合運用，建立右手系)，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（化為向量問題）

（2）、通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）

（3）、把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義。（回到圖形問題）

立體幾何知識點和例題講解

一、知識點

<一>常用結論

1．證明直線與直線的平行的思考途徑：（1）轉化為判定共面二直線無交點；（2）轉化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉化為線面平行；（4）轉化為線面垂直；（5）轉化為面面平行.2．證明直線與平面的平行的思考途徑：（1）轉化為直線與平面無公共點；（2）轉化為線線平行；（3）轉化為面面平行.3．證明平面與平面平行的思考途徑：（1）轉化為判定二平面無公共點；（2）轉化為線面平行；（3）轉化為線面垂直.4．證明直線與直線的垂直的思考途徑：（1）轉化為相交垂直；（2）轉化為線面垂直；（3）轉化為線與另一線的射影垂直；（4）轉化為線與形成射影的斜線垂直.5．證明直線與平面垂直的思考途徑：（1）轉化為該直線與平面內任一直線垂直；（2）轉化為該直線與平面內相交二直線垂直；（3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉化為該直線垂直于另一個平行平面；（5）轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.6．證明平面與平面的垂直的思考途徑：（1）轉化為判斷二面角是直二面角；（2）轉化為線面垂直.7.夾角公式

：設a＝，b＝，則cos〈a，b〉=.8．異面直線所成角：=

（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）

9.直線與平面所成角：(為平面的法向量).10、空間四點A、B、C、P共面，且

x

+

y

+

z

=

11.二面角的平面角

或（，為平面，的法向量）.12.三余弦定理：設AC是α內的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則.13.空間兩點間的距離公式

若A，B，則=.14.異面直線間的距離：

(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).15.點到平面的距離：（為平面的法向量，是經過面的一條斜線，）.16.三個向量和的平方公式：

17.長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.18.面積射影定理

.(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的).19.球的組合體(1)球與長方體的組合體:

長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體:正方體的內切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)

球與正四面體的組合體:

棱長為的正四面體的內切球的半徑為,外接球的半徑為.20.求點到面的距離的常規方法是什么？（直接法、體積法）

21.求多面體體積的常規方法是什么？（割補法、等積變換法）

〈二〉溫馨提示：

1.在用反三角函數表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時，你是否注意到它們各自的取值范圍及義？

①

異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次.②

直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是．

③

反正弦、反余弦、反正切函數的取值范圍分別是．

二、題型與方法

【例題解析】

考點1

點到平面的距離

求點到平面的距離就是求點到平面的垂線段的長度，其關鍵在于確定點在平面內的垂足，當然別忘了轉化法與等體積法的應用.例1如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點．

A

B

C

D

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求點到平面的距離．

考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維

能力和運算能力．

解答過程：解法二：（Ⅰ）取中點，連結．

為正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，平面．

x

z

A

B

C

D

O

F

y

取中點，以為原點，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，．，，．

平面．

（Ⅱ）設平面的法向量為．，．，令得為平面的一個法向量．

由（Ⅰ）知平面，為平面的法向量．，．

二面角的大小為．

（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，．

點到平面的距離．

小結：本例中（Ⅲ）采用了兩種方法求點到平面的距離.解法二采用了平面向量的計算方法，把不易直接求的B點到平面的距離轉化為容易求的點K到平面的距離的計算方法，這是數學解題中常用的方法；解法一采用了等體積法，這種方法可以避免復雜的幾何作圖，顯得更簡單些，因此可優先考慮使用這一種方法.考點2

異面直線的距離

此類題目主要考查異面直線的距離的概念及其求法，考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的距離.例2已知三棱錐，底面是邊長為的正三角形，棱的長為2，且垂直于底面.分別為的中點，求CD與SE間的距離.思路啟迪：由于異面直線CD與SE的公垂線不易尋找，所以設法將所求異面直線的距離，轉化成求直線與平面的距離，再進一步轉化成求點到平面的距離.解答過程：

如圖所示，取BD的中點F，連結EF，SF，CF，為的中位線，∥∥面,到平面的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉化為線上一點C到平面的距離，設其為h，由題意知，,D、E、F分別是

AB、BC、BD的中點，在Rt中，在Rt中，又

由于，即，解得

故CD與SE間的距離為.小結：通過本例我們可以看到求空間距離的過程，就是一個不斷轉化的過程.考點3

直線到平面的距離

此類題目再加上平行平面間的距離，主要考查點面、線面、面面距離間的轉化.例3．

如圖，在棱長為2的正方體中，G是的中點，求BD到平面的距離.B

A

C

D

O

G

H

思路啟迪：把線面距離轉化為點面距離，再用點到平面距離的方法求解.解答過程：

解析一

∥平面，上任意一點到平面的距離皆為所求，以下求

點O平面的距離,，平面,又平面

平面，兩個平面的交線是,作于H，則有平面，即OH是O點到平面的距離.在中，.又.即BD到平面的距離等于.解析二

∥平面，上任意一點到平面的距離皆為所求，以下求點B平面的距離.設點B到平面的距離為h，將它視為三棱錐的高，則,即BD到平面的距離等于.小結：當直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關鍵是選準恰當的點，轉化為點面距離.本例解析一是根據選出的點直接作出距離；解析二是等體積法求出點面距離.考點4

異面直線所成的角

此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形來求角.異面直線所成的角是高考考查的重點.例

4、如圖，在中，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角的直二面角．是的中點．

（I）求證：平面平面；

（II）求異面直線與所成角的大小．

思路啟迪：（II）的關鍵是通過平移把異面直線轉化到一個三角形內.解答過程：解法1：（I）由題意，，是二面角是直二面角，又，平面，又平面．

平面平面．

（II）作，垂足為，連結（如圖），則，是異面直線與所成的角．

在中，，．

又．

在中，．

異面直線與所成角的大小為．

解法2：（I）同解法1．

（II）建立空間直角坐標系，如圖，則，，，．

異面直線與所成角的大小為．

小結：

求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：①平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；②補形法：把空間圖形補成熟悉的幾何體，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系，如解析三.一般來說，平移法是最常用的，應作為求異面直線所成的角的首選方法.同時要特別注意異面直線所成的角的范圍：.考點5

直線和平面所成的角

此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計算.線面角在空間角中占有重要地位，是高考的常考內容.例5.四棱錐中，底面為平行四邊形，側面底面．已知，，．

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小．

考查目的：本小題主要考查直線與直線,直線與平面的位置關系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．

解答過程：

D

B

C

A

S

解法二：

（Ⅰ）作，垂足為，連結，由側面底面，得平面．

因為，所以．

又，為等腰直角三角形，．

如圖，以為坐標原點，為軸正向，建立直角坐標系，，，D

B

C

A

S，所以．

（Ⅱ）取中點，連結，取中點，連結，．，．，與平面內兩條相交直線，垂直．

所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余．，．，所以，直線與平面所成的角為．

小結：求直線與平面所成的角時，應注意的問題是（1）先判斷直線和平面的位置關系；（2）當直線和平面斜交時，常用以下步驟：①構造——作出斜線與射影所成的角，②證明——論證作出的角為所求的角，③計算——常用解三角形的方法求角，④結論——點明直線和平面所成的角的值.考點6

二面角

此類題主要是如何確定二面角的平面角，并將二面角的平面角轉化為線線角放到一個合適的三角形中進行求解.二面角是高考的熱點，應重視.例6．如圖，已知直二面角，，，直線和平面所成的角為．

（I）證明；

A

B

C

Q

P

（II）求二面角的大小．

命題目的：本題主要考查直線與平面垂直、二面角等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.A

B

C

Q

P

O

H

過程指引：（I）在平面內過點作于點，連結．

因為，所以，又因為，所以．

而，所以，從而，又，所以平面．因為平面，故．

（II）解法一：由（I）知，又，，所以．

過點作于點，連結，由三垂線定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，所以是和平面所成的角，則，不妨設，則，．

在中，所以，于是在中，．

故二面角的大小為．

A

B

C

Q

P

O

x

y

z

解法二：由（I）知，，故可以為原點，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖）．

因為，所以是和平面所成的角，則．

不妨設，則，．

在中，所以．

則相關各點的坐標分別是，，．

所以，．

設是平面的一個法向量，由得

取，得．

易知是平面的一個法向量．

設二面角的平面角為，由圖可知，．

所以．

故二面角的大小為．

小結：本題是一個無棱二面角的求解問題.解法一是確定二面角的棱，進而找出二面角的平面角.無棱二面角棱的確定有以下三種途徑：①由二面角兩個面內的兩條相交直線確定棱，②由二面角兩個平面內的兩條平行直線找出棱，③補形構造幾何體發現棱；解法二則是利用平面向量計算的方法，這也是解決無棱二面角的一種常用方法，即當二面角的平面角不易作出時，可由平面向量計算的方法求出二面角的大小.考點7

利用空間向量求空間距離和角

眾所周知，利用空間向量求空間距離和角的套路與格式固定.當掌握了用向量的方法解決立體幾何問題這套強有力的工具時，不僅會降低題目的難度，而且使得作題具有很強的操作性.例7．如圖，已知是棱長為的正方體，點在上，點在上，且．

（1）求證：四點共面；

（2）若點在上，點在上，垂足為，求證：平面；

（3）用表示截面和側面所成的銳二面角的大小，求．

命題意圖：本小題主要考查平面的基本性質、線線平行、線面垂直、二面角等基礎知識和基本運算，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力．

過程指引：

解法二：

（1）

建立如圖所示的坐標系，則，，所以，故，共面．

又它們有公共點，所以四點共面．

（2）如圖，設，則，而，由題設得，得．

因為，有，又，所以，從而，．

故平面．

（3）設向量截面，于是，．

而，得，解得，所以．

又平面，所以和的夾角等于或（為銳角）．

于是．

故．

小結：向量法求二面角的大小關鍵是確定兩個平面的法向量的坐標，再用公式求夾角；點面距離一般轉化為在面BDF的法向量上的投影的絕對值.考點9.簡單多面體的側面積及體積和球的計算

棱柱側面積轉化成求矩形或平行四邊形面積，棱柱側面積轉化成求三角形的面積.直棱柱體積V等于底面積與高的乘積.棱錐體積V等于Sh其中S是底面積，h是棱錐的高.課后練習題

15.【2012高考四川文14】如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成的角的大小是____________。

28.【2012高考四川文19】(本小題滿分12分)

如圖，在三棱錐中，，點在平面內的射影在上。

（Ⅰ）求直線與平面所成的角的大小；

（Ⅱ）求二面角的大小。

29.【2012高考重慶文20】（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問4分，（Ⅱ）小問8分）

已知直三棱柱中，，為的中點。

（Ⅰ）求異面直線和的距離；

（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。

43．【2012高考上海文19】本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分

如圖，在三棱錐中，⊥底面，是的中點，已知∠＝，，求：（1）三棱錐的體積

（2）異面直線與所成的角的大小（結果用反三角函數值表示）

第三篇：法向量在立體幾何解題中的應用

龍源期刊網 http://.cn

法向量在立體幾何解題中的應用

作者：魏慶鼎

來源：《理科考試研究·高中》2013年第08期

高中數學教材引進了向量知識以后，為我們解決數學問題提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解決求立幾中的角和距離兩大問題中，是行之有效的方法，它解決了以前舊版教材立幾中的這兩個難點.在舊版教材中，運用幾何法解決這兩類問題，要通過“作”、“證”、“求”，既要有較強的空間想象能力，又要求學生對空間中，線、面之間的判定、性質等定理非常熟悉并能熟練應用，對學生，特別是中下水平的學生是一大難點.而現在向量法則很好解決了這個難點，所以它對人們研究立幾問題有著普及的意義.同時向量法對立幾中的線面平行和線面垂直、面面垂直和面面平行等位置關系的證明，也非常簡便.空間向量的引入使立體幾何的解題變得直觀、易懂.而“法向量”的靈活應用，給解決空間問題提供了一個很方便、實用的工具，會使我們在高考中快捷地解決立體幾何問題.以下是本人在教學過程中總結出來的關于“法向量”在立體幾何中的一些應用.現把教學中得到的這些方法進行歸類，供同行參考.4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出兩個平面的法向量；則兩法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補.此時，觀察二面角的平面角為銳角還是鈍角，視情況而定.（注：在證明面面平行或面面垂直時，也可采用此法.如兩面的法向量共線，即兩平面平行；如兩平面的法向量垂直，即兩平面垂直）從以上的一些例題中，我們不難看出“法向量”這一特殊工具在立體幾何的解題中的優越性.但在具體做題中，我們還應對不同的題型選擇更便捷的方法去做，視自己對知識掌握的情況而定.

第四篇：向量法證明不等式

向量法證明不等式

高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數乘運算都沒有發生改變.若在歐式空間中規定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數量積的運算，則高中階段的向量即為n=2，3時的情況.設a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

規定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可記為(a，b)，表示兩向量的內積)，有

由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數量積的不等式建立一系列n元不等式，進而構造n維向量來證明其他不等式.一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

例1設a，b，c∈R+，求證：(a+b+c)≤++≤.證明：先證左邊，設m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，則由

綜上，原不等式成立.點評：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數量積建立不等式證明右邊.作單位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余邊同理

在三角形ABC平面上做一單位向量i,i⊥BC,因為BA+AC+CB=0恒成立，兩邊乘以i得i*BA+i*AC=0①根據向量內積定義，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得csinB-bsinC=0所以b/sinB=c/sinC類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sinA=b/sinB,所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

第五篇：用向量法證明

用向量法證明

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

設向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過A做AG‖DC交EF于p點

由三角形中位線定理有：

向量Ep=?向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質)

∴向量pF=?(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=?(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

先假設兩條中線AD,BE交與p點

連接Cp,取AB中點F連接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共線，pF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點p

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一問結論

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)