第一篇：用好法向量,巧解高考題

用好法向量，巧解高考題

為了和國際數學接軌，全日制普通高級中學教科書中增加了向量的內容，隨著課程改革的進行，向 量的應用將會更加廣泛，這在2004年高考數學試題中得到了充分的體現。向量在研究空間幾何問題中為學生提供了新的視角，但在教學中，我們的應用還不夠，特別是法向量的應用，教科書中只給了一個概念：如果非零向量，那么 叫做平面 的法向量，實質上，法向量的靈活應用，將使得原本很繁瑣的推理，變得思路清晰且規范。本文將介紹法向量在空間幾何證明、計算中的應用。

（一）直線 的方向向量和平面 的法向量分別為 面 所成的角 等于向量，則直線 和平

所成的銳角（若所成的角為鈍角，則為其補角）的余角，即。

中，底面是等腰直角 與的中點，點

在平(2003全國（理）18題)如圖，直三棱柱三角形,，側棱面上的射影是的重心（Ⅰ）求（Ⅱ）求點與平面到平面，分別是

所成角的大小（結果 用反三角函數值表示）； 的距離。

（Ⅰ）解：以設，則為坐標原點，建立如 圖所示的坐標系，，，，∴ ,，∴，由 ∴為，則，得，，由

，設平面，的法向量 得，令∴平面

得，，的一個法向量為∴ 與的夾角的余弦值是，∴ 與平面所成角為。

當直線與平面平行時，直線與平面所成的角為，此時直線的方向向 量與平面的法向量垂直，我們可利用這一特征來證明直線與平面平行。

（二）如果不在平面內一條直線與平面的一個法向量垂直，那么這條直線和這個平面平行。

（2004年高考湖南（理）19題）如圖，在底面是菱形的中，,，，點

在上，且

四棱錐（I）證明：（II）求以（Ⅲ）在棱為棱，； 與

為面的二面角的大小；，使

？證明你的結論。上是否存在一點

（Ⅲ）解：以為坐標原點，直線分別為軸、軸，過點垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐 標系（如圖），由題設條件，相關各點的坐標分別為，∴ 設平面的法向量為，則由題意可知，，由 得，∴ 令得，∴平面的一個法向量為

設點是棱上的點，則，由 得，∴，∴當是棱的中點時。

同樣，當直線與平面垂直時，直線與平面所成的角為，此時直線的方向向 量與平面的法向量平行，我們可利用這一特征來證明直線與平面垂直。

（三）設二面角角的兩個半平面和的法向量分別為，設二面的大小為，則二面角的平面角 與兩法向量所成的角相等或互補，當二面角的銳角時，；當二面角為鈍角時。

我們再來看2004年高考湖南（理）19題：

（Ⅱ）解：由題意可知，∵ 設平面

∴ 的法向量為

為平面的一個法向量，則由題意可知，, ，, 由 得，∴ 令 得，∴平面的一個法向量為，∴向量與夾角的余弦值是

為棱。

與，∴

為面的二面角是銳角，由題意可知，以∴所求二面角的大小為我們知道當兩個平面的法向量互相垂直時，兩個平面所成的二面角為直角，此時兩個平面垂直，我 們可用這一特征來證明兩個平面垂直。

（四）設兩個平面和直。的法向量分別為，若，則這兩個平面垂

（1996年全國（文）23題）在正三棱柱分別是。上的點，且

中，求證：平面

平面

，證明：以為坐標原點，建立如 圖所示的坐標系，則，，，∴，設平面的法向量為，則由題意可知，由 得，∴∴平面

令的一個法向量為

得，，由題意可知，平面∴ 的一個法向量為

平面

∴平面

（五）設平面的法向量為，則點到平面的距離等于

是平面外一點，是平面內一點，在法向量上的投影的絕對值，即。

我們再來看2003年全國（理）18題：（Ⅱ）解：設 ∴ 設平面 由，的法向量為，得，則

，，則

，，，令

∴平面

得，，而

，的一個法向量為∴點 到平面的距離。我們知道直線與平面、兩個平面的距離都歸結為點到平面的距離，故此法同樣可以解決直線與平面、兩個平行平面的距離。

（六）設向量與兩異面直線的法向量），都垂直（我們也把向 量稱為兩異面直線

上的點，則兩異面直 線的距離

分別為異面直線等于法向量上的投影的絕對值，即。

中，點

所成的角為

，（1999年全國（理）21題）如圖，已知正四棱柱在棱上，截面，求異面直線

與，且面

與底面

之間的距離。

解：以連結面 為坐標原點，建立如 圖所示的坐標系交于

，連結

，則

就是

，與底面所成的角的平面角，∴又∵截面∴ 則 為=，∴

，的中點，∴，為的中點，，∴ 設向量得，，都垂直，由，與兩異面直線∴，∴，∴異面直線與之間的距離

前面介紹了利用法向量解決空間幾何的證明與計算問題，實現了幾何問題的代數化，將復雜的幾何 證明轉化為代數運算，從而避免了幾何作圖，減少了邏輯推理，降低了難度。但公式的應用也有一定的局限性，一般地，在能建立空間直角坐標系的情況下，利用法 向量較為有效。

第二篇：構造向量巧解不等式問題

構造向量巧解有關不等式問題

新教材中新增了向量的內容，其中兩個向量的數量積有一個性質：a?b??|a||b|cos?（其中θ為向量a與b的夾角），則|，又?，則易得到以1?cos?1a?b|??||a|||bcos|

下推論：

（1）ab??|ab|?||；

（2）|ab?|?|a|?|b|；

（3）當a與b同向時，ab??|ab|?||；當a與b反向時，a?b???|a||b|；

（4）當a與b共線時，|ab?|?|a|?|b|。

下面例析以上推論在解不等式問題中的應用。

一、證明不等式

例1已知a。、b?R，a?b?12證明：設m=（1，1），n，則 2a?2b?1)???

?ab?

1||2||a?1?2b?1?

2ab?12由性質m ?n?|m|?|n|，得?y?z?1，求證：x?y?z例2已知x。

證明：設m=（1，1，1），n=（x，y，z），則 2221

3m?n????xyz1

||3，|n|x?y?z

222222 m?nm|?||||n，得x?y?z由性質|

?22213a2b2c2a?b?cR，求證：???例3已知a，b，c?。b?cc?aa?b2

222abc)證明：設m，??a?b)bc?ca?ab?

則m ??na?b?c

222abc||||2(a?b?c)b?ca?ca?b

第1頁（共4頁）

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a2b2c2a?b?c由性質| ???m?n|?|m||n|，得b?cc?aa?b2222例4已知a,b為正數，求證：(。a?b)(a?b)?(a?b)

證明：設m ?(a，b)，n?(a，b)，則

33m?n?a?b

224442233222||a?b，|n|a?b

由性質|m?n|?|m||n|，得 222

44422332(a?b)(a?b)?(a?b)

d?a?cd?。,b,c,d?R例5設a，求證：a

證明：設m=（a,b），n=（c,d），則

m?n??adbc

2222 ||a?b||c?d222

由性質ab??|ab|?||，得

222ad?a?cd?

二、比較大小

Rda?例6已知m,n,a,b,c,d?

p，q的大小關系為（）

A.p?qB.p?qC.p

hk?abcd

bd |h|ma?nc，|k|mn

hk?|??|hk|||得 由性質|

bcdman?即p?q，故選（A）

bd mn

三、求最值

例7已知m,n,x,y?，且m，那么mx+ny的最大值為??na，x??ybR

（）A.2222abB.a?b

2C.a2?b2

2D.a2?b2

解：設p=（m,n），q=（x,y），則

由數量積的坐標運算，得p ?q?mx?ny

而|| m?n||x?y

從而有m xnmx?y

當p與q同向時，mx+ny取最大值m，故選（A）。?nx?yb

例8求函數的最大值。x??)

解：設，則 x?2x)，n?(1，1)***2

m?n2x?1?2x

|m|?2，|n|2

由性質m?n?|m|?|n|，得

x?2x2

當

四、求參數的取值范圍 113 時時，y?2max22x??2x

y?y例9設x,y為正數，不等式x恒成立，求a的取值范圍。

yn)，?（1，1）解：設，則

||x?y||2

由性質m?n?|m|?|n|，得

xyx?y y?y又不等式x恒成立

故有a?2

黑龍江省大慶市66中學（163000）

第三篇：法向量在立體幾何解題中的應用

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法向量在立體幾何解題中的應用

作者：魏慶鼎

來源：《理科考試研究·高中》2013年第08期

高中數學教材引進了向量知識以后，為我們解決數學問題提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解決求立幾中的角和距離兩大問題中，是行之有效的方法，它解決了以前舊版教材立幾中的這兩個難點.在舊版教材中，運用幾何法解決這兩類問題，要通過“作”、“證”、“求”，既要有較強的空間想象能力，又要求學生對空間中，線、面之間的判定、性質等定理非常熟悉并能熟練應用，對學生，特別是中下水平的學生是一大難點.而現在向量法則很好解決了這個難點，所以它對人們研究立幾問題有著普及的意義.同時向量法對立幾中的線面平行和線面垂直、面面垂直和面面平行等位置關系的證明，也非常簡便.空間向量的引入使立體幾何的解題變得直觀、易懂.而“法向量”的靈活應用，給解決空間問題提供了一個很方便、實用的工具，會使我們在高考中快捷地解決立體幾何問題.以下是本人在教學過程中總結出來的關于“法向量”在立體幾何中的一些應用.現把教學中得到的這些方法進行歸類，供同行參考.4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出兩個平面的法向量；則兩法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補.此時，觀察二面角的平面角為銳角還是鈍角，視情況而定.（注：在證明面面平行或面面垂直時，也可采用此法.如兩面的法向量共線，即兩平面平行；如兩平面的法向量垂直，即兩平面垂直）從以上的一些例題中，我們不難看出“法向量”這一特殊工具在立體幾何的解題中的優越性.但在具體做題中，我們還應對不同的題型選擇更便捷的方法去做，視自己對知識掌握的情況而定.

第四篇：向量法證明不等式

向量法證明不等式

高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數乘運算都沒有發生改變.若在歐式空間中規定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數量積的運算，則高中階段的向量即為n=2，3時的情況.設a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

規定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可記為(a，b)，表示兩向量的內積)，有

由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數量積的不等式建立一系列n元不等式，進而構造n維向量來證明其他不等式.一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

例1設a，b，c∈R+，求證：(a+b+c)≤++≤.證明：先證左邊，設m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，則由

綜上，原不等式成立.點評：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數量積建立不等式證明右邊.作單位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余邊同理

在三角形ABC平面上做一單位向量i,i⊥BC,因為BA+AC+CB=0恒成立，兩邊乘以i得i*BA+i*AC=0①根據向量內積定義，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得csinB-bsinC=0所以b/sinB=c/sinC類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sinA=b/sinB,所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

第五篇：用向量法證明

用向量法證明

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

設向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過A做AG‖DC交EF于p點

由三角形中位線定理有：

向量Ep=?向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質)

∴向量pF=?(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=?(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

先假設兩條中線AD,BE交與p點

連接Cp,取AB中點F連接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共線，pF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點p

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一問結論

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)