第一篇：不等式 向量解三角形復(fù)習(xí)

一、不等式的解法：

1.一元一次不等式：Ⅰ、ax?b(a?0)：⑴若a?0，則；⑵若a?0，則；

Ⅱ、ax?b(a?0)：⑴若a?0，則；⑵若a?0，則；

2.一元二次不等式：a?0時(shí)的解集與?有關(guān)（數(shù)形結(jié)合:二次函數(shù)、方程、不等式聯(lián)系）3.高次不等式：數(shù)軸標(biāo)根步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（奇穿偶不穿），定解.4.分式不等式的解法：通解變形為整式不等式； ⑴f(x)g(x)?0?

；⑵f(x)g(x)?0?

⑶

f(x)g(x)

?0?；⑷

f(x)g(x)

?0?

5.解含有參數(shù)的不等式：

解含參數(shù)的不等式時(shí)，首先應(yīng)注意考察是否需要進(jìn)行分類討論.如果遇到下述情況則一般需要討論： ①不等式兩端乘除一個(gè)含參數(shù)的式子時(shí)，則需討論這個(gè)式子的正、負(fù)、零性.②在求解過程中，需要使用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，則需對它們的底數(shù)進(jìn)行討論.③在解含有字母的一元二次不等式時(shí)，需要考慮相應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向，對應(yīng)的一元二次方程根的狀況（有時(shí)要分析△），比較兩個(gè)根的大小,設(shè)根為x1,x2x1?x2、x1?x2、x1?x2討論。

例：解關(guān)于x的不等式： ax

2?(a?1)x?1?0

（a?R)）

例：實(shí)系數(shù)方程

f(x)?x2

?ax?2b?0的一個(gè)根在（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在（1，2）內(nèi)，則b?2a?

1?；

(a?1)2

?(b?2)

2?a?b?3 ?

二、不等式的性質(zhì)（幾個(gè)重要不等式）（1）若a?R,則|a|?0,a2?0（2）若a、b?R?,則a

2?b

2?2ab(或a

?b

?2|ab|?2ab)（當(dāng)僅當(dāng)

a=b時(shí)取等號）

（3）如果a,b都是正數(shù)，那么

a?b時(shí)取等號）

.（當(dāng)僅當(dāng)

a=b極值定理：若x,y?R?,x?y?S,xy?P,則：

○

1如果P是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最小；②如果S是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大.利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等.常用的方法為：拆、湊、平方；

例1:設(shè)x,a(a

21?a2)1,a2,y成等差數(shù)列，x,b1,b2,y成等比數(shù)列，則b的取值范圍是___。

1b2

例2:若a?b?c，且

1a?b

?

1kb?c

?

a?c

恒成立，k的最大值為。

14.函數(shù)y=log12a(x+3)-1(a＞0,a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，則m

?

n的最小值為______________.例3:已知a?0,b?0且a?b?

4。

例4:已知a?0,b?0且a

2?

b

?

1。

(5)若ab?0,則

ba（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號）

a?b?2

(6)a?0時(shí)，|x|?a?x2

?a2

?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2

??a?x?a

(7)若a、b?R,則||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|(4)幾個(gè)著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么

2?b（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號）即：

1?

a

2?

a?1b平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：特別地，ab?（a?b2

2a?b2

（當(dāng)a = b時(shí)，a2?b2

2)?

（a?b2

2)?

?ab）

二、不等式的證明不等式證明的常用方法

2比較法、綜合法、已知a>0，b>0ba

ab

≥a＋b.平面向量

????㈠向量????

?AB①單位向量：長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量(與AB共線的單位向量是

|AB|)；②平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a∥b，規(guī)定零向量和任何向量平行。

注意:①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；

②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線, 但兩條直線平?????????

行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！（有0)； ④三點(diǎn)A、B、C共線?AB、AC共線 ㈡向量的表示方法坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單

???

位向量i，j

為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為

a?xi?yj??x,y?，稱

?x,y?為向量a的坐標(biāo)，a＝?x,y?叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。

??

?2???2?

????aba?a?a?a,a?①a?b?a?b?0； ②當(dāng)a，b同向時(shí)，a?b＝，特別地，；

㈢．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對該平面內(nèi)的當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b

????

b不同向，a?b?0是?為銳角的必要非充分條件； 當(dāng)?為銳角時(shí)，a?b＞0，且a、任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)?

1、?

2，使a=?1e1＋?2e2。如???

（1）若

a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)

?，則c?______（答：132a?

2b）；

㈣．平面向量的數(shù)量積：

??

⒈平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量a，b，它們的夾角為?，我們把數(shù)量|a||b|cos?

叫做a與b

??的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：a?b，即a?b＝abcos?

。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是

0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。

???

???

???

（1）△ABC中，|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，則AB?BC?_________（答：－9）；

?1?1???????a?(1,),b?(0,?),????

（2）已知22c?a?kb,d?a?b，c與d的夾角為4，則k等于____（答：1）；

（3?2?5,a?b??3?等于____）； ?

???

（4）已知

a,b

???，則a與a?b的夾角為____（答：30?）

⒉．b在a

?，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。

?

?

已知

|a|?3

??，|b|?

5??，且a?b?12，則向量a在向量b上的投影為______（答：

125）

?

⒊．a(chǎn)?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的模|a|

與b在a上的投影的積。

⒋．向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，其夾角為?，則：

????

當(dāng)?為鈍角時(shí)，a?b＜0，且a、b不反向，a?b?0是?為鈍角的必要非充分條件； ???

③非零向量a，b夾角?的計(jì)算公式：cos??

?；④

|a?b|?|a||b|。

?

?

（1）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)??，如果a與b的夾角為銳角，則?的取值范圍是______

（答：?＞—

43或?＞　0且??

13）；

（2）已知?OFQ面積為S，且OF?FQ?1，若

13?

2＜s＜,則OF,FQ夾角的取值范圍是_________

(五)坐標(biāo)運(yùn)算：

??

??

設(shè)

a?(x1,y1),b?(x2,y2)，則：向量的加減法運(yùn)算：a?b?(x1?x2，y1?y2)

實(shí)數(shù)與向量的積：??a???x??1,y1????x1,?y1?。平面向量數(shù)量積：a?b?x1x2?y1y2

??向量的模：|a|?a2?

?|a|2?x2?y。

??

????已知

a,b

均為單位向量，它們的夾角為60?，那么

|a?3b|

＝_____）；

A?x?

兩點(diǎn)間的距離：若

1,y1?,B?x2,y2?，則

|AB|(六)向量的運(yùn)算律：

????交換律：a?b?b?a，?????

?

a?????

a????，a?b?b?a；

???????????????????????????結(jié)合律：a?b?c?a?b?c,a?b?c?a?b?c，?a?b??a?b?a??b

?；

???????分配律：?????????

???a??a??a,??a?b?

??a??b，?

a?b?

?c?a?c?b?c。

?

?

?

??

??

?

??

??

?

?

?

如下列命題中：① a?(b?c)?a?b?a?c；② a?(b?c)?(a?b)?c；③(a?b)?|a|

?

?

?

?

??????||a|?b|?||a|?b?|a|?|b|?(這些和實(shí)數(shù)比較類似).?2|a|?|b|?|b|；④ 若a?b?0，則a?0或b?0；⑤若

????

????

a?b?c?b,???

a

則a?c；⑥

?2?a

；⑦

A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?（3）在?ABC中，①若，則其重心的坐標(biāo)為

???

a?bb

a

2????a?b)?a2??b2???a?b)?a2????2a?b?b2

a；⑧(2；⑨(2

。其中正確的是______（答：①⑥⑨(七)重要結(jié)論

向量平行(共線)的充要條件：

????????a//b?a??b?(a?b)2?(|a||b|)2

?x1y2?y1x2＝0

??

(1)若向量a?(x,1),b?(4,x)

??，當(dāng)x＝_____時(shí)a與b共線且方向相同（答：2）；

??

???

（2）已知a?(1,1),b?(4,x)

?????，u?a?2b，v?2a?b，且u//v，則x＝______（答：4）；

????????????

（3）設(shè)

PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)，則k＝_____時(shí)，A,B,C共線（答：－2或11）

向量垂直的充要條件：

????????

a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|?x1x2?y1y2?0

如：AB?

AC?AB?

AC。

????????

OA?(?1,2),OB?(3,m)

????????

(1)已知，若OA?OB，則m?答：(3）；

（2）以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，?B?90?，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________（答：(1,3)或（3，－1））； ?

??????

??

（3）已知

n?(a,b),向量n?m，且n?m，則m的坐標(biāo)是________（答：(b,?a)或(?b,a)）

向量中其他常用的結(jié)論：

（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用； ??????

（2）

||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|

???

????，特別地，當(dāng)a、b同向或有0?|a?b|?|a|?|b| ????????????||a|?|b||?|a?b|；當(dāng)a、b反向或有0?|a?b|?|a|?|b?|?||?a|??b|?||?a|??

?b；當(dāng)a、b不共線

3G?x1?x?x,y3

?y?21?y2?3

????1?????????????33??。如①PG?3

(PA?PB?PC)

?G為?ABC的重心，特別地?????????????????????????????????????

PA?PB?PC?0?P為?ABC的重心；②PA?PB?PB?PC?PC?PA?P為?ABC的垂心；

③向量?AB?

AC((??0))所在直線過?ABC的內(nèi)心(是?BAC的角平分線所在直線)；

?????????????????????????

④|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的內(nèi)心；

?????

??????????????

MP??MP

（3）若P分有向線段

P1P

2所成的比為?，點(diǎn)

M為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則

MP?

1??，特別地P為

P1P2

??????????????

MP?的中點(diǎn)?MP?

1MP

2；

????????????

????????????（4）向量PA、PB、PC中三終點(diǎn)A、B、C共線?存在實(shí)數(shù)?、?使得PA??PB??PC且????1.???

??????

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(?1,3),若點(diǎn)C滿足OC??1OA??2OB,其中

?1,?2?R且?1??2?1,則點(diǎn)C的軌跡是_______（答：直線AB）

解三角形

1.斜三角形中各元素間的關(guān)系：

在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。（1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。

（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等

asinA

?

bsinB

?

csinC

?2R

。（R為外接圓半徑）

（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

a

?，b2?，c

2?。

cosA?cosB?cosC?。

3．三角形的面積公式：（1）S1absinC?==4R2

sinAsinBsinC=

abc?ABC?2

4R

（2）Ss(s?a)(s?b)(s?c)

?ABC＝

；；

（3）S?ABC＝r·s其中s?

a?b?c

（4）射影定理：在△ABC 中，a?bcosC?ccosB，b?，c?。4．兩內(nèi)角與其正弦值：在△ABC 中，A?B?sinA?sinB，5．解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”。

主要方法：三角形中的三角變換

三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。（1）角的變換

在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。sin

A?BB

2?cos

C2,cos

A?2

?sin

C2；

（2）邊角轉(zhuǎn)化，判定三角形形狀時(shí)，利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)成邊的形式或角的形式 例1（正、余弦定理判斷三角形形狀）

在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是（）A.等腰直角三角形

B.直角三角形C.等腰三角形

D.等邊三角形

例2在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若a?b?，sinC?B，則A=()

（A）300

（B）600

（C）1200（D）1500

例3：在?ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2?c2

?2b，且

sinAcosC?3coAs

sCin 求b

c2

分析：:此題事實(shí)上比較簡單,但考生反應(yīng)不知從何入手.對已知條件(1)a??2b左側(cè)是二次的右

側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件(2)

sinAcosC?3cosAsinC,過多關(guān)

注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分.解法：在?ABC中則

?siAn

cC?os

A3coC由正弦定理及余弦定理

有:a

a?b?c

c2

?a

角化邊）化簡并整理得：2(a2

?c2)?b

2ab

?3c

b?（.又由已知

2bc

a2?c2?2b?4b?b2

.解得b?4或b?0(舍）.

第二篇：構(gòu)造向量巧解不等式問題

構(gòu)造向量巧解有關(guān)不等式問題

新教材中新增了向量的內(nèi)容，其中兩個(gè)向量的數(shù)量積有一個(gè)性質(zhì)：a?b??|a||b|cos?（其中θ為向量a與b的夾角），則|，又?，則易得到以1?cos?1a?b|??||a|||bcos|

下推論：

（1）ab??|ab|?||；

（2）|ab?|?|a|?|b|；

（3）當(dāng)a與b同向時(shí)，ab??|ab|?||；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b???|a||b|；

（4）當(dāng)a與b共線時(shí)，|ab?|?|a|?|b|。

下面例析以上推論在解不等式問題中的應(yīng)用。

一、證明不等式

例1已知a。、b?R，a?b?12證明：設(shè)m=（1，1），n，則 2a?2b?1)???

?ab?

1||2||a?1?2b?1?

2ab?12由性質(zhì)m ?n?|m|?|n|，得?y?z?1，求證：x?y?z例2已知x。

證明：設(shè)m=（1，1，1），n=（x，y，z），則 2221

3m?n????xyz1

||3，|n|x?y?z

222222 m?nm|?||||n，得x?y?z由性質(zhì)|

?22213a2b2c2a?b?cR，求證：???例3已知a，b，c?。b?cc?aa?b2

222abc)證明：設(shè)m，??a?b)bc?ca?ab?

則m ??na?b?c

222abc||||2(a?b?c)b?ca?ca?b

第1頁（共4頁）

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a2b2c2a?b?c由性質(zhì)| ???m?n|?|m||n|，得b?cc?aa?b2222例4已知a,b為正數(shù)，求證：(。a?b)(a?b)?(a?b)

證明：設(shè)m ?(a，b)，n?(a，b)，則

33m?n?a?b

224442233222||a?b，|n|a?b

由性質(zhì)|m?n|?|m||n|，得 222

44422332(a?b)(a?b)?(a?b)

d?a?cd?。,b,c,d?R例5設(shè)a，求證：a

證明：設(shè)m=（a,b），n=（c,d），則

m?n??adbc

2222 ||a?b||c?d222

由性質(zhì)ab??|ab|?||，得

222ad?a?cd?

二、比較大小

Rda?例6已知m,n,a,b,c,d?

p，q的大小關(guān)系為（）

A.p?qB.p?qC.p

hk?abcd

bd |h|ma?nc，|k|mn

hk?|??|hk|||得 由性質(zhì)|

bcdman?即p?q，故選（A）

bd mn

三、求最值

例7已知m,n,x,y?，且m，那么mx+ny的最大值為??na，x??ybR

（）A.2222abB.a?b

2C.a2?b2

2D.a2?b2

解：設(shè)p=（m,n），q=（x,y），則

由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，得p ?q?mx?ny

而|| m?n||x?y

從而有m xnmx?y

當(dāng)p與q同向時(shí)，mx+ny取最大值m，故選（A）。?nx?yb

例8求函數(shù)的最大值。x??)

解：設(shè)，則 x?2x)，n?(1，1)***2

m?n2x?1?2x

|m|?2，|n|2

由性質(zhì)m?n?|m|?|n|，得

x?2x2

當(dāng)

四、求參數(shù)的取值范圍 113 時(shí)時(shí)，y?2max22x??2x

y?y例9設(shè)x,y為正數(shù)，不等式x恒成立，求a的取值范圍。

yn)，?（1，1）解：設(shè)，則

||x?y||2

由性質(zhì)m?n?|m|?|n|，得

xyx?y y?y又不等式x恒成立

故有a?2

黑龍江省大慶市66中學(xué)（163000）

第三篇：不等式·解不等式復(fù)習(xí)課·教案

不等式·解不等式復(fù)習(xí)課·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．通過復(fù)習(xí)小結(jié)，學(xué)生系統(tǒng)地掌握不等式的解法及其內(nèi)在聯(lián)系，提高學(xué)生的解題技能．

2．通過對各類不等式內(nèi)在聯(lián)系的揭示，加深學(xué)生對等價(jià)轉(zhuǎn)化的認(rèn)識，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打好基礎(chǔ)．

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

解不等式變形過程中等價(jià)變換思想的理解和進(jìn)一步應(yīng)用． 教學(xué)過程

師：我們已對哪些不等式的解法做了研究？

生：一元一次不等式；一元二次不等式；簡單的一元高次不等式；簡單的分式不等式；簡單的無理不等式；簡單的指數(shù)不等式；簡單的對數(shù)不等式；含有絕對值的不等式．

師：好．請先看幾道題目．

（教師板書，請三位學(xué)生到黑板上做，其余學(xué)生在筆記本上做題）解下列不等式：

3．log2（x+1）＋log0.25（x-1）＞log4（2x-1）．（學(xué)生板書）

所以原不等式的解集為（-∞，-1）∪（0，3］． 2．解：原不等式

3．解：原不等式

所以原不等式的解集為（1，5）．（待三位學(xué)生寫完后，教師開始講評）

師：好，這三個(gè)題解得都很正確．請問做第3題的同學(xué)，原題中的底數(shù)有2，0.25，4這三個(gè)，換底時(shí)你為什么選擇以4為底呢？ 生：都用大于1的底其單調(diào)性看起來比較方便，所以不選0.25；如果用2為底，那么以0.25，4為底的對數(shù)換底時(shí)真數(shù)中都要出現(xiàn)根號，而最后還要把根式變成整式，太麻煩．

師：那為什么又要把左邊減的一項(xiàng)挪到右邊去呢？

生：如果不移過去而直接運(yùn)算的話，不等號左邊的真數(shù)將是個(gè)分式，最后也得變成整式，同樣麻煩．

師：好．還有，左移項(xiàng)之后不等號右邊對數(shù)運(yùn)算時(shí)，為什么又多出兩個(gè)條件x-1＞0和2x-1＞0呢？在不等式中不是有l(wèi)og4（x-1）（2x-1）一項(xiàng)在，它已包含了（x-1）（2x-1）＞0嗎？

生：是因?yàn)閤-1＞0且2x-1＞0和（x-1）（2x-1）＞0這兩個(gè)條件是不等價(jià)的．如果略去x-1＞0和2x-1＞0這兩個(gè)條件將會擴(kuò)大解的范圍．

師：很好．這些問題都是我們在解不等式的過程中應(yīng)該注意的．剛才我們分別回顧了簡單的分式不等式、無理不等式和對數(shù)不等式．在我們學(xué)習(xí)過的八類不等式中，一元一次不等式和一元二次不等式是最簡單、最基本的不等式，而像我們剛才做的這些其他類型的不等式，我們是如何解決的呢？

生：把它們轉(zhuǎn)化為一元一次或一元二次不等式． 師：具體來說這個(gè)轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)的呢？ 生：逐級轉(zhuǎn)化：超越不等式代數(shù)化；無理不等式有理化；分式不等式整式化；高次不等式低次化．

師：實(shí)現(xiàn)這些轉(zhuǎn)化的理論依據(jù)是什么？

生：第一個(gè)是利用函數(shù)的單調(diào)性，后三者是根據(jù)不等式的性質(zhì)． 師：在這個(gè)轉(zhuǎn)化的過程中，最應(yīng)該注意的是什么？ 生：每一次變換必須是等價(jià)變換． 師：為什么要求這樣？

生：為了保證得到的解集與原不等式的解集相同． 師：我們在處理方程求解的問題時(shí)也遇到過這個(gè)問題．那時(shí)并不要求等價(jià)變換，只要驗(yàn)一下根就可以了．這里不行嗎？

生：不行．因?yàn)橐话惴匠痰母挥杏邢薜膸讉€(gè)，增根可以通過檢驗(yàn)的方式找出來．而不等式的解集一般都是無限集，因此非等價(jià)變換產(chǎn)生的增根無法由檢驗(yàn)來剔除．

師：說得好．我們來通過幾個(gè)例題來看看如何用等價(jià)變換解不等式．

師：這道題中的x參與了分式運(yùn)算，還參與了無理運(yùn)算．也就是說，我們要做兩次變換．應(yīng)該先進(jìn)行哪個(gè)變換呢？

生：無所謂． 師：那就請兩位同學(xué)來說說這兩種做法．（學(xué)生口述，教師板書）

所以原不等式的解集為（-∞，-1）∪［2，＋∞）．

所以原不等式的解集為［2，＋∞）． 師：為什么這兩種解法得到的解集不一樣呢？

變換就縮小了解的范圍．故第一種解法是正確的．

師：對．我們在剛才的練習(xí)第三題中也遇到過這個(gè)問題，兩式均大于0與它們的積（或商）式大于0是不等價(jià)的，這是我們在處理等價(jià)變換時(shí)應(yīng)該注意的．對于這道題，我們就只能把它看作無理不等式．對復(fù)雜不等式的題型選擇離不開不等式的等價(jià)性．請?jiān)倏催@道題．

師：這道題看上去和例1很像，如何處理？

生甲：當(dāng)然是先把絕對值號去掉，變成一個(gè)分式不等式，剩下的就和例1差不多了．

師：好，把你的方法寫到黑板上．（學(xué)生板書）

所以原不等式的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）．

師：正確．這個(gè)解法是把題目看成了絕對值不等式，它和例1的解法類似，都是把根號或絕對值號中的式子先看成一個(gè)整體來考慮它的范圍，這樣做比較容易保證等價(jià)性．這道題是否還有別的解法呢？

生乙：有．這道題可以把它看作一個(gè)分式不等式，將不等式左邊變

師：在例1中這樣做不對，這里會對嗎？

以保證等價(jià)．

師：好，寫出你的解法．（學(xué)生板書）

所以原不等式的解集為（-∞，-1）∪（1，＋∞）． 的，因此這個(gè)不等式可以當(dāng)作分式不等式來解．那么這兩種解法哪個(gè)更好呢？

生：第二種更好算一些． 師：因此我們解決不等式問題時(shí)應(yīng)先觀察題目，在等價(jià)轉(zhuǎn)化的前提下盡量選擇簡捷的途徑．請?jiān)倏匆坏李}．

師：這道題中的x也參加了對數(shù)運(yùn)算和分式運(yùn)算．應(yīng)把它看作哪類不等式？ 生：x參與的對數(shù)運(yùn)算只有l(wèi)ogax，把這個(gè)整體看成一個(gè)未知數(shù)，就可以轉(zhuǎn)化成分式不等式了．

師：好，說說你的解法．（學(xué)生口述，教師板書）

又0＜a＜1，則原不等式

師：對．在解集的端點(diǎn)中含有字母系數(shù)時(shí)，要特別注意它們大小的比較．下面大家自己做幾個(gè)題目．

（教師板書，學(xué)生在筆記本上做題）練習(xí)：解下列不等式：

（教師觀察學(xué)生完成情況，視學(xué)生解題狀況做出點(diǎn)評）

師：那如果把題目中的“≥”號改成“＞”號就可以直接去掉了嗎？ 生：是．這樣不會漏掉解．

師：試想，即使不影響結(jié)論，也是因?yàn)楹雎缘那闆r湊巧不在解集內(nèi)．雖然我們要求等價(jià)變換的目的是為了保證同解，但不能因?yàn)闇惽赏饩秃鲆暤葍r(jià)變換．

師：有的同學(xué)對于第2題無從下手．對于題中的字母a我們?nèi)绾翁幚砟兀?生：如果像例3那樣給定了0＜a＜1，那么不等式就可以轉(zhuǎn)化為

師：那如果a＞1呢？

師：因此對于這種題目我們就要對字母系數(shù)和范圍進(jìn)行分類討論．試著說說剛才提到的兩種情況下的解法．

（學(xué)生口述，教師板書）

解：1°當(dāng)a＞1時(shí)，2°當(dāng)0＜a＜1時(shí)，師：很好．對于含有字母系數(shù)的不等式，我們需要在必要時(shí)對字母系數(shù)的范圍進(jìn)行討論；并且在最后確定解集時(shí)，要注意對含有字母系數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)的大小比較．

師：我看到有的同學(xué)處理第3題時(shí)下手就把兩邊平方，這樣做可以嗎？ 生：可以，但不好．如果一平方，不等號右側(cè)就成了四次式，那樣過于麻煩了．

師：那又如何處理呢？

生：觀察不等式，根號內(nèi)、外的x的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)的系數(shù)對應(yīng)成比例，由這可以想到使用換元法．

師：很好．這個(gè)方法我們在處理方程問題時(shí)就用過．把你的解法寫出來．（學(xué)生板書）

所以原不等式的解集為（-3，-2）∪［1，2）．

師：很好．當(dāng)我們處理一些復(fù)雜的不等式時(shí)，有時(shí)可借助換元法使問題簡化． 師：解不等式要立足基本題型，通過等價(jià)變換，把它們最終歸結(jié)為一元一次不等式或一元二次不等式的求解．

作業(yè)：

解下列不等式：

作業(yè)答案或提示：

3．｛x|0≤x＜1｝．可用換元法將根式當(dāng)作一個(gè)整體．

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

1．作為不等式解法的復(fù)習(xí)課，我們把等價(jià)變換放在突出位置．也就是說，要求每一次變形所得到的不等式和變形前的不等式是等價(jià)的．這與課本中有所不同，課本原意是用同解不等式的觀點(diǎn)作統(tǒng)帥．這樣做有這樣做的道理，但操作上有困難．因?yàn)閮蓚€(gè)不等式是否同解，要等解出來以后，從結(jié)果才能看清楚，用作為指導(dǎo)性的東西顯得有些困難．我們強(qiáng)調(diào)等價(jià)變換是從過程看，這樣做既好操作，也符合邏輯，還容易看清楚，可以引導(dǎo)學(xué)生從邏輯上把解不等式理論認(rèn)識清楚．

2．在本節(jié)課中，沒有給出不等式的這種分類（見分類表）．因?yàn)槲覀冋J(rèn)為應(yīng)該淡化形式，注重實(shí)質(zhì)，而且表中的不等式也并沒有全部涉及到．我們對于各類不等式的要求是不完全相同的，其中一元一次不等式、一元二次不等式分類表： 的解法是最基本的，它是解各類不等式的基礎(chǔ)．而解其他類型的不等式，關(guān)鍵在于利用不等式的性質(zhì)或相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性，將其等價(jià)變換成一元一次或一元二次不等式（組）再求解．

對于已分類學(xué)習(xí)研究過的不等式解法，復(fù)習(xí)并不是簡單地羅列各種解法，堆砌各類題型，這只是形式上的表面文章，沖淡了學(xué)生對其本質(zhì)——等價(jià)變換的認(rèn)識．像3道例題，它們并不純屬于哪一類不等式，對于這類問題的講解，就要引導(dǎo)學(xué)生在立足基本題型、基本方法的基礎(chǔ)上，抓住內(nèi)在聯(lián)系，把握基本思想，有的要通過換元、分類討論等手段，問題得以解決．

第四篇：向量法證明不等式

向量法證明不等式

高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算都沒有發(fā)生改變.若在歐式空間中規(guī)定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數(shù)量積的運(yùn)算，則高中階段的向量即為n=2，3時(shí)的情況.設(shè)a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

規(guī)定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可記為(a，b)，表示兩向量的內(nèi)積)，有

由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數(shù)量積的不等式建立一系列n元不等式，進(jìn)而構(gòu)造n維向量來證明其他不等式.一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

例1設(shè)a，b，c∈R+，求證：(a+b+c)≤++≤.證明：先證左邊，設(shè)m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，則由

綜上，原不等式成立.點(diǎn)評：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數(shù)量積建立不等式證明右邊.作單位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余邊同理

在三角形ABC平面上做一單位向量i,i⊥BC,因?yàn)锽A+AC+CB=0恒成立，兩邊乘以i得i*BA+i*AC=0①根據(jù)向量內(nèi)積定義，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得csinB-bsinC=0所以b/sinB=c/sinC類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sinA=b/sinB,所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個(gè)等式。

第五篇：第一章 解三角形

第一章 解三角形

章節(jié)總體設(shè)計(jì)

（一）課標(biāo)要求

本章的中心內(nèi)容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實(shí)在解三角形的應(yīng)用上。通過本章學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠熟練運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的生活實(shí)際問題。

（二）編寫意圖與特色

1．?dāng)?shù)學(xué)思想方法的重要性

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，有利于學(xué)生加深數(shù)學(xué)知識的理解和掌握。

本章重視與內(nèi)容密切相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，并且在提出問題、思考解決問題的策略等方面對學(xué)生進(jìn)行具體示范、引導(dǎo)。本章的兩個(gè)主要數(shù)學(xué)結(jié)論是正弦定理和余弦定理，它們都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的知識，就是“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個(gè)三角形的兩條對應(yīng)邊及其所夾的角相等,那么這兩個(gè)三角形全”等。

教科書在引入正弦定理內(nèi)容時(shí)，讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題：“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個(gè)問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題。”設(shè)置這些問題，都是為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。

2．注意加強(qiáng)前后知識的聯(lián)系

加強(qiáng)與前后各章教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，注意復(fù)習(xí)和應(yīng)用已學(xué)內(nèi)容，并為后續(xù)章節(jié)教學(xué)內(nèi)容做好準(zhǔn)備，能使整套教科書成為一個(gè)有機(jī)整體，提高教學(xué)效益，并有利于學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和鞏固。

本章內(nèi)容處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系，已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識有著密切聯(lián)系。教科書在引入正弦定理內(nèi)容時(shí)，讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個(gè)問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題。”這樣，從聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對于過去的知識有了新的認(rèn)識，同時(shí)使新知識建立在已有知識的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》和教科書把“解三角形”這部分內(nèi)容安排在數(shù)學(xué)五的第一部分內(nèi)容，位置相對靠后，在此內(nèi)容之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯(lián)系密切的內(nèi)容，這使這部分內(nèi)容的處理有了比較多的工具，某些內(nèi)容可以處理得更加簡潔。比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對于三角形進(jìn)行討論，方法不夠簡潔，教科書則用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力。

在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個(gè)思考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？”，并進(jìn)而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.從上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.”

3．重視加強(qiáng)意識和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力

學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，而如今比較突出的兩個(gè)問題是，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識不強(qiáng)，創(chuàng)造能力較弱。學(xué)生往往不能把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實(shí)際問題中去，對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的實(shí)際背景了解不多，雖然學(xué)生機(jī)械地模仿一些常見數(shù)學(xué)問題解法的能力較強(qiáng)，但當(dāng)面臨一種新的問題時(shí)卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的科學(xué)思維方法了解不夠。針對這些實(shí)際情況，本章重視從實(shí)際問題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際問題。

（三）教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)安排建議

1.1正弦定理和余弦定理（約3課時(shí)）

1.2應(yīng)用舉例（約4課時(shí)）

1.3實(shí)習(xí)作業(yè)（約1課時(shí)）

（四）評價(jià)建議

1．要在本章的教學(xué)中，應(yīng)該根據(jù)教學(xué)實(shí)際，啟發(fā)學(xué)生不斷提出問題，研究問題。在對于正弦定理和余弦定理的證明的探究過程中，應(yīng)該因勢利導(dǎo)，根據(jù)具體教學(xué)過程中學(xué)生思考問題的方向來啟發(fā)學(xué)生得到自己對于定理的證明。如對于正弦定理，可以啟發(fā)得到有應(yīng)用向量方法的證明，對于余弦定理則可以啟發(fā)得到三角方法和解析的方法。在應(yīng)用兩個(gè)定理解決有關(guān)的解三角形和測量問題的過程中，一個(gè)問題也常常有多種不同的解決方案，應(yīng)該鼓勵學(xué)生提出自己的解決辦法，并對于不同的方法進(jìn)行必要的分析和比較。對于一些常見的測量問題甚至可以鼓勵學(xué)生設(shè)計(jì)應(yīng)用的程序，得到在實(shí)際中可以直接應(yīng)用的算法。

2．適當(dāng)安排一些實(shí)習(xí)作業(yè)，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識，提高學(xué)生分析問題的解決實(shí)際問題的能力、動手操作的能力以及用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)習(xí)過程和實(shí)習(xí)結(jié)果能力，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力。教師要注意對于學(xué)生實(shí)習(xí)作業(yè)的指導(dǎo)，包括對于實(shí)際測量問題的選擇，及時(shí)糾正實(shí)際操作中的錯(cuò)誤，解決測量中出現(xiàn)的一些問題。