第一篇：解三角形

第七章解三角形

一、基礎知識

在本章中約定用A，B，C分別表示△ABC的三個內角，a, b, c分別表示它們所對的各邊長，p?

a?b?c

2為半周長。

a

?

bsinB

?1

2csinC

1．正弦定理：

sinA

=2R（R為△ABC外接圓半徑）。

bcsinA?

casinB.推論1：△ABC的面積為S△ABC=absinC?

推論2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推論3：在△ABC中，A+B=?，解a滿足

asina

?

bsin(??a)，則a=A.正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到，這里不再給出，下證推論。先證推論1，由正弦函數定義，BC邊上的高為bsinC，所以S△ABC=

absinC；再證推論2，因為B+C=?-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，兩邊同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再證推論

3，由正弦定理

asinA

?

bsinB，所以

siansiAn

?

si?n?(a)si?n?(A)，即

sinasin(?-A)=sin(?-a)sinA，等價于?

?12

[cos(?-A+a)-cos(?-A-a)]=

[cos(?-a+A)-cos(?-a-A)]，等價于cos(?-A+a)=cos(?-a+A)，因為0

2．余弦定理：a=b+c-2bccosA?cosA?

222

b?c?a

2bc

222，下面用余弦定理證明幾個常

用的結論。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC邊上任意一點，BD=p，DC=q，則AD=

bp?cqp?q

?pq.（1）

【證明】因為c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos?ADB，所以c2=AD2+p2-2AD·pcos?ADB.①

222

同理b=AD+q-2AD·qcos?ADC，② 因為?ADB+?ADC=?，所以cos?ADB+cos?ADC=0，所以q×①+p×②得

qc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD=

bp?cqp?q

?pq.用心愛心專心

注：在（1）式中，若p=q，則為中線長公式AD?

（2）海倫公式：因為S??ABC

?

2b?2c?a

4222

.14

b2c2sin2A=b2c2(1-cos2A)= b2c2

2222

?(b?c?a)?122 22

[(b+c)-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c).1????22

4bc??16

這里p?

a?b?c

.所以S△ABC=p(p?a)(p?b)(p?c).二、方法與例題 1．面積法。

例1（共線關系的張角公式）如圖所示，從O點發出的三條射線滿足w, v，這里α，β，α+β∈(0, ?POQ??,?QOR??，另外OP，OQ，OR的長分別為u,?)，則P，Q，R的共線的充要條件是

sin?sin?sin(???)

??.u

v

w

2．正弦定理的應用。

例2 △ABC內有一點P，使得?BPC-?BAC=?CPA-?CBA=?APB-?ACB。求證：AP·BC=BP·CA=CP·AB。

例3 △ABC的各邊分別與兩圓⊙O1，⊙O2相切，直線GF與DE交于P，求證：PA?BC。

3．一個常用的代換：在△ABC中，記點A，B，C到內切圓的切線長分別為x, y, z，則a=y+z, b=z+x, c=x+y.例4在△ABC中，求證：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.4．三角換元。

例5設a, b, c∈R+，且abc+a+c=b，試求P?

例6在△ABC中，若a+b+c=1，求證: a2+b2+c2+4abc<.212a?

1?

2b?1

?

3c?1的最大值。

三、基礎訓練題

1．在△ABC中，邊AB為最長邊，且sinAsinB=__________.2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，則?C的取值范圍是__________.3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+__________.4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，則?C=__________.5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________條件.6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，則角A的取值范圍是__________.7．在△ABC中，sinA=

52?

4，則cosAcosB的最大值為

3?3tanCtanB，則△ABC的面積為，cosB=

3，則cosC=__________.A2?tan

C2?13

8．在△ABC中，“三邊a, b, c成等差數列”是“tan件.”的__________條

9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，則三角形形狀是__________.10．在△ABC中，tanA·tanB>1，則△ABC為__________角三角形.11．三角形有一個角是600，夾這個角的兩邊之比是8：5，內切圓的面積是12?，求這個三角形的面積。

12．已知銳角△ABC的外心為D，過A，B，D三點作圓，分別與AC，BC相交于M，N兩點。求證：△MNC的外接圓半徑等于△ABD的外接圓半徑。

13．已知△ABC中，sinC=

四、高考水平訓練題 1．在△ABC中，若tanA=

2sinA?sinBcosA?cosB

3，試判斷其形狀。, tanB=，且最長邊長為1，則最短邊長為__________.2．已知n∈N+，則以3，5，n為三邊長的鈍角三角形有________個.3．已知p, q∈R, p+q=1，比較大小：psinA+qsinB__________pqsinC.4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，則△ABC 為__________角三角形.5．若A為△ABC 的內角，比較大小：cot

A8

?cotA__________3.+222

6．若△ABC滿足acosA=bcosB，則△ABC的形狀為__________.7．滿足A=60，a=6, b=4的三角形有__________個.8．設?為三角形最小內角，且acos是__________.?

+sin

?

-cos

?

-asin

?

=a+1，則a的取值范圍

9．A，B，C是一段筆直公路上的三點，分別在塔D的西南方向，正西方向，西偏北30方向，且AB=BC=1km，求塔與公路AC段的最近距離。

10．求方程x11．求證：

y?1?yx?1?xy的實數解。

?sin20

?

720

.五、聯賽一試水平訓練題

1．在△ABC中，b2=ac，則sinB+cosB的取值范圍是____________.2．在△ABC中，若

sinBsinC

?

cosA?2cosCcosA?2cosBA2?cot

B

2，則△ABC 的形狀為____________.C2

3．對任意的△ABC，T?cot____________.4．在△ABC中，sin

A2

?cot-(cotA+cotB+cotC)，則T的最大值為

sinBsinC的最大值為____________.5．平面上有四個點A，B，C，D，其中A，B為定點，|AB|=3，C，D為動點，且|AD|=|DC|=|BC|=1。記S△ABD=S，S△BCD=T，則S+T的取值范圍是____________.6．在△ABC中，AC=BC，?ACB?80，O為△ABC的一點，?OAB?10，?ABO=300，則?ACO=____________.7．在△ABC中，A≥B≥C≥最小值為__________.8．在△ABC中，若c-a等于AC邊上的高h，則sin

C?A2

?cos

A?C2

?

6，則乘積cos

A2

sin

B2

cos

C2的最大值為____________，=____________.9．如圖所示，M，N分別是△ABC外接圓的弧AB，AC中點，P為BC上的動點，PM交AB于Q，PN交AC于R，△ABC的內心為I，求證：Q，I，R三點共線。

10．如圖所示，P，Q，R分別是△ABC的邊BC，CA，AB上一點，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求證：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。11．在△ABC外作三個等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，?ADC=2?BAC，?AEB=2?ABC，?BFC=2?ACB，并且AF，BD，CE交于一點，試判斷△ABC的形狀。

六、聯賽二試水平訓練題

1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圓以BC的中點為圓心，且與兩腰AB和AC分別相切于點D和G，EF與半圓相切，交AB于點E，交AC于點F，過E作AB的垂線，過F作AC的垂線，兩垂線相交于P，作PQ?BC，Q為垂足。求證：PQ?

EF2sin?，此處?=?B。

2．設四邊形ABCD的對角線交于點O，點M和N分別是AD和BC的中點，點H1，H2（不重合）分別是△AOB與△COD的垂心，求證：H1H2?MN。

3．已知△ABC，其中BC上有一點M，且△ABM與△ACM的內切圓大小相等，求證：AM?

P(P?a)，此處P?

2(a+b+c), a, b, c分別為△ABC對應三邊之長。

4．已知凸五邊形ABCDE，其中?ABC=?AED=90，?BAC=?EAD，BD與CE交于點O，求證：AO?BE。

5．已知等腰梯形ABCD，G是對角線BD與AC的交點，過點G作EF與上、下底平行，點E和F分別在AB和CD上，求證：?AFB=900的充要條件是AD+BC=CD。

6．AP，AQ，AR，AS是同一個圓中的四條弦，已知?PAQ=?QAR=?RAS，求證：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。

7．已知一凸四邊形的邊長依次為a, b, c, d，外接圓半徑為R，如果a2+b2+c2+d2=8R2，試問對此四邊形有何要求？

8．設四邊形ABCD內接于圓，BA和CD延長后交于點R，AD和BC延長后交于點P，?A，?B，?C指的都是△ABC的內角，求證：若AC與BD交于點Q，則

cosAAP

?

cosCCR

?

cosBBQ

.9．設P是△ABC內一點，點P至BC，CA，AB的垂線分別為PD，PE，PF（D，E，F是垂足），求證：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并討論等號成立之條件。

第二篇：第一章 解三角形

第一章 解三角形

章節總體設計

（一）課標要求

本章的中心內容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實在解三角形的應用上。通過本章學習，學生應當達到以下學習目標：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的生活實際問題。

（二）編寫意圖與特色

1．數學思想方法的重要性

數學思想方法的教學是中學數學教學中的重要組成部分，有利于學生加深數學知識的理解和掌握。

本章重視與內容密切相關的數學思想方法的教學，并且在提出問題、思考解決問題的策略等方面對學生進行具體示范、引導。本章的兩個主要數學結論是正弦定理和余弦定理，它們都是關于三角形的邊角關系的結論。在初中，學生已經學習了相關邊角關系的定性的知識，就是“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應邊及其所夾的角相等,那么這兩個三角形全”等。

教科書在引入正弦定理內容時，讓學生從已有的幾何知識出發，提出探究性問題：“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系.我們是否能得到這個邊、角的關系準確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們仍然從量化的角度來研究這個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題。”設置這些問題，都是為了加強數學思想方法的教學。

2．注意加強前后知識的聯系

加強與前后各章教學內容的聯系，注意復習和應用已學內容，并為后續章節教學內容做好準備，能使整套教科書成為一個有機整體，提高教學效益，并有利于學生對于數學知識的學習和鞏固。

本章內容處理三角形中的邊角關系，與初中學習的三角形的邊與角的基本關系，已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識有著密切聯系。教科書在引入正弦定理內容時，讓學生從已有的幾何知識出發，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系.我們是否能得到這個邊、角的關系準確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們仍然從量化的角度來研究這個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題。”這樣，從聯系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎上，形成良好的知識結構。

《課程標準》和教科書把“解三角形”這部分內容安排在數學五的第一部分內容，位置相對靠后，在此內容之前學生已經學習了三角函數、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯系密切的內容，這使這部分內容的處理有了比較多的工具，某些內容可以處理得更加簡潔。比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對于三角形進行討論，方法不夠簡潔，教科書則用了向量的方法，發揮了向量方法在解決問題中的威力。

在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個思考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？”，并進而指出，“從余弦定理以及余弦函數的性質可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.從上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.”

3．重視加強意識和數學實踐能力

學數學的最終目的是應用數學，而如今比較突出的兩個問題是，學生應用數學的意識不強，創造能力較弱。學生往往不能把實際問題抽象成數學問題，不能把所學的數學知識應用到實際問題中去，對所學數學知識的實際背景了解不多，雖然學生機械地模仿一些常見數學問題解法的能力較強，但當面臨一種新的問題時卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發現問題、解決問題的科學思維方法了解不夠。針對這些實際情況，本章重視從實際問題出發，引入數學課題，最后把數學知識應用于實際問題。

（三）教學內容及課時安排建議

1.1正弦定理和余弦定理（約3課時）

1.2應用舉例（約4課時）

1.3實習作業（約1課時）

（四）評價建議

1．要在本章的教學中，應該根據教學實際，啟發學生不斷提出問題，研究問題。在對于正弦定理和余弦定理的證明的探究過程中，應該因勢利導，根據具體教學過程中學生思考問題的方向來啟發學生得到自己對于定理的證明。如對于正弦定理，可以啟發得到有應用向量方法的證明，對于余弦定理則可以啟發得到三角方法和解析的方法。在應用兩個定理解決有關的解三角形和測量問題的過程中，一個問題也常常有多種不同的解決方案，應該鼓勵學生提出自己的解決辦法，并對于不同的方法進行必要的分析和比較。對于一些常見的測量問題甚至可以鼓勵學生設計應用的程序，得到在實際中可以直接應用的算法。

2．適當安排一些實習作業，目的是讓學生進一步鞏固所學的知識，提高學生分析問題的解決實際問題的能力、動手操作的能力以及用數學語言表達實習過程和實習結果能力，增強學生應用數學的意識和數學實踐能力。教師要注意對于學生實習作業的指導，包括對于實際測量問題的選擇，及時糾正實際操作中的錯誤，解決測量中出現的一些問題。

第三篇：解三角形教學反思

解三角形教學反思

解三角形教學反思1

掌握直角三角形的邊角關系并能靈活運用；會運用解直角三角形的知識，利用已知的邊和角，求未知的邊和角；能結合仰角、俯角、坡度等知識，綜合運用勾股定理與直角三角形的邊角關系解決生活中的實際問題。

《課程標準》中指出“教學中應當有意識、有計劃地設計教學活動，引導學生體會數學之間的聯系，感受數學的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力”，注重對學生對知識間的溝通與聯系進行講解，將這些知識點靈活組合，通過綜合性題目所提供的信息，搜尋解決問題的相關知識點，找出解決問題的方法。在平時教學中能講到中考一模一樣的題目的可能性微乎其微.那怎么辦,教給學生思考方法和解題的策略往往更有用.這樣可以舉一反三,會一題可能就會掌握一類題,并在學生理解之后及時復習鞏固,努力把新方法新技巧納入到原有的知識體系中。在解題中應該盡量的讓題目一題多解,或者多提一解,盡量在學生思維的的轉折點處進行點撥,這樣最有效。

解三角形教學反思2

新課標把三角形的內角和作為四年級下冊中三角形的一個重要組成部分，它是學生學習三角形內角關系和其它多邊形內角和的基礎。即使在以前沒有這部分內容，大部分教師在課后也會告訴學生三角形的內角和是180度，學生容易記住。因此讓學生經歷研究的過程成了本節課的重點。既讓學生經歷“再創造”----自己去發現、研究并創造出來。教師的任務不是把現成的東西灌輸給學生，而是引導和幫助學生去進行這種“再創造”的工作，最大限度調動其積極性并發揮學生能動作用，從而完成對新知識的構建和創造。

本節課我基本達到了要求，具體表現在以下2個方面。

1、為學生營造了探究的情境。學習知識的最佳途徑是由學生自己去發現，因為通過學生自己發現的知識，學生理解的最深刻，最容易掌握。因此，在數學教學中，教師應提供給學生一種自我探索、自我思考、自我創造、自我表現和自我實現的實踐機會，使學生最大限度的投入到觀察、思考、操作、探究的活動中。上述教學中，我在引出課題后，引導學生自己提出問題并理解內角與內角和的概念。在學生猜測的基礎上，再引導學生通過探究活動來驗證自己的觀點是否正確。當學生有困難時，教師也參與學生的研究，適當進行點撥。并充分進行交流反饋。給學生創造了一個寬松和諧的探究氛圍。

2、充分調動各種感官動手操作，享受數學學習的快樂。在驗證三角形的內角和是180度的過程當中，大部份同學都是用度量的方法，此時，我引導學生：180度是什么角？我們能否把三個內角轉化一下呢？經過這么一提示，出現了很多種方法，有的是把三個角剪下來拼成一個平角。有的用兩個大小相等的直角三角形拼成一個正方形，還有的是用折紙的方法，極大地調動了大腦，就連平時對數學不感興趣的學生也置身其中。

總之，充分讓學生進行動手操作，享受數學學習的樂趣，是我這一節課的出發點，也是這一節課的最終歸宿。

解三角形教學反思3

在解直角三角形中，我們習慣于利用三角函數根據題目中已知的邊角元素來求另外的邊角元素。其實，有時候利用方程來解決這樣的問題甚至能起到更好的效果。

在《解直角三角形》中第四節船有觸礁的危險中，其情境引入是這樣的：

海中有一個小島A，該島四周10海里內有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行使20海里后到達該島的南偏西25°的C處.之后，貨輪繼續向東航行.你認為貨輪繼續向東航行途中會有觸礁的危險嗎？

對于本題，要判斷船是否有觸礁的危險，只需要判斷該船行使的路線中，其到小島A的最近距離是否在10海里范圍內，過A作AD⊥BC于D，AD即為小船行駛過程中，其到小島A的最近距離，因此需要求出AD的長.根據題意，∠BAD=55°,∠CAD=25°,BC=20，那么如何求AD的長呢？

教參中是這樣給出思路的，過A作BC的垂線，交直線BC于點D，得到Rt△ABD和Rt△ACD，從而BD=ADtan55°,CD=ADtan25°,ADtan55°-ADtan25°=20.這樣就可以求出AD的長.這里，需要學生把握三點：第一，兩個直角三角形；第二，BD-CD=20；第三，用AD正確地表示BD和CD.用這種思路，多數學生也能夠理解。

但教學過程中，我發現利用方程的思路來分析這道題目，學生更容易接受。題目中要求AD的長，我們可以設AD的長為x海里，其等量關系是：BD-CD=20，關鍵是如何用x來表示CD和BD的長。這樣，學生就很容易想到需要在兩個直角三角形利用三角函數來表示：Rt△ABD中，tan∠BAD=從而，BD=xtan55°;Rt△ACD中，tan∠CAD=,從而，CD=xtan25°，這樣根據題意得：xtan55°-xtan25°=20，然后利用計算器算出tan55°和tan25°值，這樣就可以利用方程來很容易的解決這樣一個題目，并且是大家很熟悉很拿手的一元一次方程。

可見，教學有法，教無定法，同樣一道題目，不同的方法，卻能夠讓學生理解起來，減輕許多思維障礙，這不正是我們教學中所要達到效果嗎？

解三角形教學反思4

幾何知識對健聽學生來說學得都是比較困難、也是不容易理解和掌握的，更何況是我們這些聽障孩子。幾何有很多概念用手語也是不容易與學生講得很透徹的，而且，幾何它又枯燥無味，所以，要學好，不容易。但我還是從學生的特點和認知能力出發，做好每一堂課的教學工作。

以《全等三角形》第一課時為例，這節課主要是學習全等形和全等三角形的概念，從中得出全等三角形的性質。我首先拿出兩張一模一樣的鈔票，提問學生思考兩張鈔票是否一樣，為什么一樣？（學生還真的很感興趣）再拿出兩本學生數學課本，提問學生思考兩本數學課本是否一樣，又為什么一樣？再拿出兩個一模一樣的用紙片自制的三角形圖形，提問學生思考這兩個三角形是否一樣，又為什么一樣？讓學生自主發言，有說這的，有說那的，老師啟發學生從形狀和大小上去思考，是否一樣。多數學生可以回答。老師再展示教材上的圖案以及制作的一些三角形、四邊形等圖案，引導學生觀察，激發學生興趣，從圖中去發現有形狀與大小完全相同的圖形。老師適時點撥，然后讓學生自己動手做或隨意去尋找兩個形狀與大小完全相同的圖形，通過學生自己動手實踐，直觀感知全等形和全等三角形的概念。老師點撥幫助學生歸納出全等形和全等三角形的概念。形狀、大小完全相同（能夠完全重合）的兩個圖形叫做全等形；形狀、大小完全相同（能夠完全重合）的兩個三角形叫做全等三角形。接著，老師隨即在黑板上分別演示一個三角形經平移，翻折，旋轉后，它所構成的兩個三角形是全等的。

再通過教具演示讓學生體會對應頂點、對應邊、對應角的概念（強調對應），并以找朋友的形式進行練習，指出它們的對應頂點、對應邊和對應角，以求得學生對對應元素的理解。此時給出全等三角形的表示方法；再提示學生對應頂點要寫在對應的位置上，然后再給出用全等符號來表示全等三角形的練習，加強對所學知識的鞏固，再出示練習，判斷哪一種表示全等三角形的方法是正確的。

再次，老師引導學生通過對全等三角形紙板的觀察，觀察對應邊、對應角有何關系，從而得出全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。并通過練習來理解全等三角形的性質。最后老師小結，這節課我們知道了什么是全等形、全等三角形，學會了用全等符號表示全等三角形，會用全等三角形的性質解決一些簡單的實際問題。

解三角形教學反思5

第一，通過本節課教學，我覺得教學目標定位準確恰當。結合課程標準，在對教材深入鉆研的基礎上，圍繞知識與技能、過程與方法、情感態度價值觀，制定了以“會運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形”作為本節課的核心目標，同時讓學生“通過學習解直角三角形的應用，認識到數與形相結合的意義和作用，體驗到學好知識，能應用于社會實踐，通過選擇算式進行簡便計算，從而體會探索、發現科學的奧秘和意義；滲透數形結合的數學思想，培養學生良好的學習習慣。”結合課堂教學，我個人認為教學目標達成度是比較高的。

第二，本節課的設計，力求體現新課程理念。給學生自主探索的時間，給學生寬松和諧的氛圍，讓學生學得更主動、更輕松，力求在探索知識的過程中，培養探索能力、創新精神、合作精神，激發學生學習數學的積極性、主動性。

第三，教師是課堂教學的組織者、引導者、合作者、幫助者。在學生選擇解直角三角形的諸多方法的過程中，我并沒有過多地干預學生的思維，而是通過問題引導學生自己想辦法解決問題，教師組織學生比較各種方法中哪些較好，而后選擇了一種解法進行板演。

通過本節課的實踐，我覺得也存在一些需要自己深刻反思和改進的地方。比如，在探討解直角三角形的依據時，處理的有些過于倉促，應該讓學生從理論上深刻地理解其中的數學原理；再如，在探索解直角三角形需要具備的條件與三角形全等的判定的內在聯系時，問題的指向性太明確，過多地關注問題的預設而忽視了即時的生成，如果放手讓學生自己去想，可能效果更好；又如，課堂總結時，總想把現成的規律性結論用學生喜歡的形式告知他們，但忽視了學生在沒有親身體驗與感受的情況下，老師的努力將大打折扣。在今后的教學中，我將更多地關注學生的發展與提升。

總之，本節課教學力爭體現新課標的教學理念，對新課標下的新課堂的豐富內涵進行積極的探索與有益的嘗試。著力做到新課堂是數學活動的場所，是討論交流的學堂，是滲透德育的基地，是學生發現創造展示自我的舞臺！

解三角形教學反思6

近期我參加學校的徒弟匯報課，講課前經過好多遍的細心琢磨，并且還特意搜集了好多三角形的特征的教學設計仔細研讀、教學視頻反復觀看。上完課后感覺效果不錯，學生掌握較好。課下，我對《三角形的特征》這節課的教學進行了反思，具體如下：

本節課我讓學生經歷了找三角形，畫三角形，說三角形，作三角形的高等活動。學會了畫三角形的高。課始，讓學生從主題圖中找三角形，從生活中找三角形，使學生體會到生活中的美是由許多幾何圖形構成的，三角形就是其中的一種。

本節課，按照我校“先學后教，當堂訓練”教學模式，，讓學生先根據學習目標、自學指導，先學后教，這樣各層次學生都有足夠的時間去思考，都會有自己的發現和收獲，在本節課探究三角形的高時，由于學生有了自學基礎，又讓學生到黑板上畫高并說出自己是怎么畫的。通過交流、展示，學生很順利地掌握了高的畫法，這樣，大部分學生都能通過自學課本，從中獲得知識，培養了學生的自學能力，也讓學生體會到了學習的樂趣。

由于學生已經進行了自學，課堂上根據自學情況讓學生進行交流，在教學三角形的含義時，我通過讓學生觀察圍成三角形的過程，并在練習中讓學生理解圍成的含義，最后在此基礎上自己來總結到底什么樣的圖形才叫做三角形。

不足之處：

在這節課中還有很多不足之處，對概念的教學還不夠突出，畫高的地方引導還不是很好，沒很好的突破難點，關于怎樣做三角形的高，個別學生的認識還比較模糊，在做練習時，我發現一個學生的三角尺放錯了，另一個學生在直角三角形作高時出現了找不清頂點的錯誤，這些錯誤的出現，歸結起來還是對底和高概念的認識模糊造成的。這個問題，沒有給孩子放寬畫高的空間，應該讓更多孩子

多練習正確地放一放三角尺。如果這兩個環節處理得到位，會使全班同學對高的認識和畫法更清晰。

總之，精心設計教學中的每一個環節對于學生掌握知識是非常重要的，因此，老師只有通過不斷的實踐和反思，才能使我們的數學課堂一步一步走向有效、高效。

解三角形教學反思7

三角形之間的關系是在理解三角分類和角度和教學的基礎上。教學重點主要是探索：任何三個小棒可以被三角形包圍？研究三角邊緣的關系得出的結論是，短邊之和大于第三邊，我不急于給學生答案，但經過任意而不是較短的討論，讓學生更清楚。

這一課主要是讓學生體驗一個過程來探索這個問題，引導學生先識別問題，提出假設，實驗驗證，得出結論，申請過程的實踐。我在教，關鍵是抓住任意三條線不能被三角形包圍？發起探討學生圍繞這個問題的愿望，讓學生自己動手，發現有些可以被包圍，有些不能被包圍，再由學生自己找出原因，為什么可以為什么不呢？最初的感覺三方之間的關系，然后聚焦可以被三邊之間的三角形包圍，結束之間有什么關系？通過觀察，驗證，重新操作，最終發現三角形任意兩邊的和大于結論的第三邊。這種教學符合學生的認知特征，既增加了興趣，也提高學生的能力。

解三角形教學反思8

（1）本節的重點和難點是直角三角形的解法.為了使學生熟練掌握直角三角形的解法，首先要使學生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三邊之間的關系，兩銳角之間的關系，邊角之間的關系.正確選用這些關系，是正確、迅速地解直角三角形的關鍵.

（2）讓學生深刻認識銳角三角函數的定義，理解三角函數的表達式向方程的轉化.

銳角三角函數的定義實際上分別給出了a、b、c三個量的關系，a、b、c用不同方式來決定的三角函數值，它們都是實數，但它與代數式的不同點在于三角函數的值是有一個銳角的數值參與其中.當這三個實數中有兩個是已知數時，它就轉化為一個一元方程，解這個方程，就求出了一個直角三角形的未知的元素.

（3）解直角三角形的方法很多，靈活多樣，學生完全可以自己解決，但例題具有示范作用。因此，在處理例題時，首先，應讓學生獨立完成，培養其分析問題、解決問題能力，同時滲透數形結合的思想。其次，教師組織學生比較各種方法中哪些較好，選一種板演。

解三角形教學反思9

解直角三角形及其應用是本章的重要內容。一個直角三角形有三個角、三條邊這六個元素，解直角三角形就是由已知元素求出未知元素的過程。除了一個直角外，知道兩個元素（其中至少有一條邊），就能求出其他元素。這樣的情況一般有五種，而解直角三角形的方法是本章內容的重點，因為，本章的學習目的主要就是使學生能夠熟練地解直角三角形。而且也只有掌握了直角三角形的解法，才能夠去解決與直角三角形有關的應用問題。在解直角三角形的應用這一節中，更充分地把“解直角三角形”運用到實際問題中去。通過一系列實際問題的解決，訓練了學生分析與解決實際問題的能力，培養學生把實際問題轉化為教學問題的能力。

在教學過程中，首先引導學生已學過的直角三角形有關元素之間關系的知識進行歸納整理，然后通過兩道例題，體會直角三角形中除直角外的五個元素中至少要獲得兩個條件，就可以求得三個元素的特點，并歸納兩個條件的類型。通過對直角三角形的理性分析和解題實踐后，讓學生體會到直角三角形中邊角間的關系。主要通過三角形內角和與勾股定律和銳角三角函數比來表述。此外對不是直角三角形的，要領會數學化歸的思想，通過作高，轉化為直角三角形再來求解。

我覺得這堂課有以下幾個特點：

1、要多給學生練的機會，例2可以讓學生討論完成，當課堂練習。

2、中間的小結，對學生有難度，可以在學生略微思考的情況下，老師做適當引導下，由老師得出，這個結論并不需要記憶，僅僅是給學生一個直接的感受：原來所有的這一類型的題目都可以這樣解。

3、語速還是過快，要留給學生多的時間思考。

4、講解不宜太多，但是更多的是建立在學生的思維基礎上，所以需要給他們留較多的時間。講的太多反而得不到效果。應該注重適當的提問，把注意力集中在學生的思維上，提高學生的思維品質。

5、要多鼓勵學生進行變式訓練，達到自己會編題，知識就掌握牢固了。

總之，本節課是我對新課程理念的一次嘗試，必存在缺陷，這將促使我進一步研究和探索。在以后的教學中，我在課堂上將努力做到讓沉悶的課堂教學鮮活起來，讓課堂真正成為數學活動的場所，成為討論交流的學堂，成為學生展示自我的舞臺！

解三角形教學反思10

隨著“五嚴規定”的實施，給九年級數學教學帶來了許多挑戰。例如教學時間縮短了，有限的教學時間里教師往往首先保證進度，往往學生的習慣的培養、能力的提升有所忽視；再如考試次數減少了，教師、學生雙方對教與學的效果反饋難以得到及時準確的信息，學習內容的針對性、有效性難以保證；還有學生不全部在校晚自習了，學習方式的改變會帶來一系列的問題。針對以上情況，20xx年3月25日，在高港區教研室和初中數學名師工作室的安排下，舉行了“初中數學一輪復習研討會”活動，我有幸在高港中學上了一節“解直角三角形的應用”的復習研討課，下面我就本節課談談自己的想法。

本節課的復習目標是：掌握直角三角形的邊角關系并能靈活運用；會運用解直角三角形的知識，利用已知的邊和角，求未知的邊和角；能結合仰角、俯角、坡度等知識，綜合運用勾股定理與直角三角形的邊角關系解決生活中的實際問題。因為是中考一輪復習，所以我先將課前自主復習部分讓學生課前獨立完成教師批閱，這樣在上課前授課老師能做到心中有數，再針對課前自主復習部分的題目有側重性的講，真正做到有惑必解，有疑必答。

本節課我共設計了3條例題，一是臺風中心的運動問題，涉及到了仰角和俯角問題；第2題是一條20xx年的中考題，我將題目變式為3小題，將坡角、坡度、以及基本圖形的滲透都融合在一題中，讓學生學會分析、類比，并能獨立歸納出此類題的解法，抓住題中的基本圖形進行解題；第3題是一條設計方案題，目的讓學生選擇測量工具運用解直角三角形的知識測量出塔的高度，并適當變式，如果當塔的底部不能直接到達測量時，如何設計方案求出塔高。

課上完后，我認真總結了本節課的得與失，本節課的主要失誤的地方有兩點，一是例1的處理上，應將點與圓的位置關系和直線與圓的位置關系結合例1一起來處理，這樣學生對于為什么作出AD這條輔助線就很明晰了，效果將會更好，；二是小結時較倉促，應該讓學生總結歸納出此類題的一般解法，找出基本圖形，這樣才有助于讓學生知識形成體系，進一步得以提高。

《課程標準》中指出“教學中應當有意識、有計劃地設計教學活動，引導學生體會數學之間的聯系，感受數學的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力”，對于初三一輪復習，注重對學生對知識間的溝通與聯系進行講解，將這些知識點靈活組合，通過綜合性題目所提供的信息，搜尋解決問題的相關知識點，找出解決問題的方法。在平時教學中能講到中考一模一樣的題目的可能性微乎其微、那怎么辦，教給學生思考方法和解題的策略往往更有用、這樣可以與一反三，會一題可能就會掌握一類題，并在學生理解之后及時復習鞏固，努力把新方法新技巧納入到原有的知識體系中。在解題中應該盡量的讓題目一題多解，或者多提一解，盡量在學生思維的的轉折點處進行點撥，這樣最有效。

總之，通過本節課的教學，讓我認識到了自身的不足，非常感謝高港區名師工作室這個平臺，讓我有了鍛煉自己的機會，也相信通過初三一輪復習研討會，大家對一輪復習有了較清楚的認識，讓初三復習真正高效。

解三角形教學反思11

本節課是一節復習課，內容是應用解直角三角形的知識解決實際問題。在教學設計中，我針對學生對三角函數及對直角三角形的邊角關系認識的模糊，計算能力薄弱等特點，我決定把教學的重、難點放在了解決有關實際問題的建構數學模型上。通過對知識點的梳理、分析例題的解題思路、例題變式練習及鞏固練習等教學，絕大部分學生能很好地掌握了如何建構模型的解決方法，很好地達到了本節課的教學目的。

由于自己在如何上好一節復習課上還處在摸索階段，所以在設計與安排上還存在很多不足，如本節課設計容量較大，有1個實際應用例題抽象出四個基本變式數學模型，學生對每個問題逐個探究解答，時間感覺比較緊。但對另外一部分學生來說，他們基礎較弱，對數學的應用不是那么得心應手，不會合理找出邊角關系，當然就不能準確尋求問題的答案。

我覺得這堂課有以下幾個優點：

1、充分調動了學生參與課堂的積極性。

2、學生敢于提出問題、分析問題。

3、老師起到了引導的作用，小組交流、展示很有成效，兼顧了不同層次學生的學習。

不足：1、中間的小結讓學生完成更好些

2、給學生思考時間、交流時間過多，獨立完成時間較少。

總之在以后的教學中，講解不宜太多，但是更多的是建立在學生的思維基礎上，所以需要給他們留較多的時間。講的太多反而得不到效果。應該注重適當的提問，把注意力集中在學生的思維上，提高學生的思維品質。在課堂上將努力做到讓沉悶的課堂教學鮮活起來，讓課堂真正成為數學活動的'場所，成為討論交流的學堂，成為學生展示自我的舞臺！

解三角形教學反思12

本課是人教版高中數學必修五第一章的復習課。要求學生掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題;能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。使學生逐步構建知識框架。為了達到此目的，選取了近三年有代表性的高考題逐步進行分析引導以期使學生靈活應用。

現反思如下：

1、本節課的教學目標，重難點都能夠很好的完成。學生們對高考題還是比較敏感和有興趣的，學生和老師一起探索和感受題目中題設和結論間的聯系，消除題設和結論的差異性以達到求解的目的。教學過程中注重學生的感受，老師及時凝練總結提升，拓展學生的 創造性思維。引導學生主動構建，自主解決問題，形成本部分知識框架。高考題選取知識點覆蓋全，層次分明（直接用公式，用公式變形式，綜合用公式）學生接受良好。

2、在教學中比較注重思路的形成，分析能力的培養，具體的計算關注不夠，對計算能力欠佳的學生會有所損失。粉筆字寫得不好，需加強練習。

3、課堂提問在兩班對比后認為分解問題會比較好，但在一個班分解過細，學生認為沒有挑戰。學生的緊張情緒對答題影響很大，要注意課堂氣氛的營造。集體回答過多，部分同學懶于思考。

解三角形教學反思13

在《相似三角形》的復習課中，我安排了兩節復習課。第一節著重復習比例線段的基本知識及基本技能；第二節則采取“探究式教學”來復習相似三角形的性質與判定，培養學生的實踐及探索能力。

比例線段在平面幾何計算和證明中，應用十分廣泛，相對已學的兩條線段相等關系而言，四條線段成比例關系對學生分析問題及綜合解題的能力要求更高。第一節課的復習中，著重復習了比例線段的意義及性質，同時通過例題進行鞏固，學生掌握的效果不錯。

在第二節課中，主要通過以下三個方面展示出學生的探究性學習：

一、尊重學生主體地位。

本節課以學生的自主探索為主線，課前布置學生自己對比例線段的運用進行整理，這樣不僅復習了所學知識，而且可以使學生親身體驗“實驗操作－探索發現－科學論證”獲得知識的過程，體驗科學發現的一般規律；解決問題時，讓學生自己提出探索方案，使學生的主體地位得到尊重；課后讓學有余力的學生繼續挖掘題目資源，用發展的眼光看問題，從而提高學習效率，培養學生的思維能力。

二、教師主導地位的發揮。

在教學中，教師是學生學習的組織者、引導者、合作者及共同研究者，要鼓勵學生大膽探索，引導學生關注過程，及時肯定學生的表現，鼓勵創新。在課堂中，我著重引導學生自己小結相似三角形的性質及判定方法，同時給予肯定。在后續的例題分析中，也是通過一步步的引導，讓學生自己思考、分析并得出整個解題的過程及步驟。關鍵時點拔，不足時補充。

三、提升學生課堂的關注點。

學生體驗了學習過程后，從單純的重視知識點的記憶，復習變為有意識關注學習方法的掌握，數學思想的領悟，同時讓學生關注課堂小結，進行自我體會，自我反思，在反思中成長、進步。

在《相似三角形》這一復習課中，通過學生自主探索，讓學生主動學習，培養了學生積極主動的探索創新精神，學生也能掌握到了相關的知識。但是，仍有不足之處。問題的應用中，即利用相似三角形的性質或判定證明的過程中，思路仍是不夠清晰，書寫的過程仍是不夠完整。也就是說，缺少了教師的引導分析，則學生不知向何處思考。這是大部分學生具有的情況。

解三角形教學反思14

回顧本節課，雖然我花費了很多的心思合理設計了本課，但在實際教學的環節中，還是出現了一些問題：

1、教學中不能把學生的大腦看做“空瓶子”。我發現按照自己的意愿在往這些“空瓶子”里“灌輸數學”，結果肯定會導致陷入誤區，因為師生之間在數學知識、數學活動經驗等方面存在很大的差異，這些差異使得他們對同一個教學活動的感覺通常是不一樣的，所以是不是應該在教學過程中盡可能多的把學生的思維過程暴露出來，頭腦中的問題“擠”出來，在碰撞中產生智慧的火花，這樣才能找出癥結所在，讓學生理解的更加到位。

2、教學中應注重學生思維多樣性的培養。數學教學的探究過程中，對于問題的結果應是一個從“求異”逐步走向“求同”的過程，而不是在一開始就讓學生沿著教師預先設定好方向去思考，這樣感覺像是整個課堂僅在我的掌握之中，每個環節步步指導，層層點拔，惟恐有所紕漏，實際上卻是控制了學生思維的發展。再加上我是急性子，看到學生一道題目要思考很久才能探究出答案，我就每次都忍不住在他們即將做出答案的時候將方法告訴他們。這樣容易造成學生對老師的依賴，不利于學生獨立思考和新方法的形成。其實我也忽視了，教學時相長的，學生的思維本身就是一個資源庫，他們說不定就會想出出人意料的好方法來。

另外，這一節課對我的啟發是很大的。教學過程不是單一的引導的過程，是一個雙向交流的過程。在教學設計中，教師有一個主線，即課堂教學的教學目標，學生可以通過教師的教學設計的思路達到，也可以通過教師的引導，以他們自己的方式來達到，而且效果甚至會更好。因為只有“想學才學得好，只有用自己喜歡的方式學才學的好”。因此，本人通過這次教學體會到，教師在備課時，不僅要“備教材、備學生”，還要針對教學目標整理思路，考慮到課堂上師生的雙向交流；在教學過程中，要留出“交流”的空間，讓學生自由發揮，要真正給他們“做課堂主人”的機會。

無論是對學生還是教師，每一個教學活動的開展都是有收獲的，尤其是作為“引導學生在知識海洋里暢游”的教師，一個教學活動的結束，也意味著新的挑戰的開始。

總之，這一堂公開課，讓我既收獲了經驗，又接受了教訓，我想這些都將會是我今后教學的一筆寶貴財富。

解三角形教學反思15

本節課是一節復習課，內容是關于解直角三角形的知識的應用復習。在教學設計中，我針對學生對三角函數及對直角三角形的邊角關系認識的模糊，計算能力薄弱等特點，我決定把教學的重、難點放在了解決有關實際問題的建構數學模型上。通過對知識點的回顧、基礎知識的練習，例題的解題思路、例題變式練習及鞏固練習等教學，絕大部分學生能很好地掌握了如何建構模型的解決方法，很好地達到了本節課的教學目的。

當然由于自己在如何上好一節復習課上還處在摸索階段，所以在設計與安排上還存在很多不足，如本節課設計容量較大，有4個實際應用問題，學生對每個問題逐個探究解答，時間感覺比較緊。有時就有越俎代庖的感覺;本節課的教學內容是解直角三角形的應用問題。對一部分學生來說，他們從作輔助線構建直角三角形模型，到利用方程解答題目，直至描述答案都顯得輕松自如；但對另外一部分學生來說，他們基礎較弱，對數學的應用不是那么得心應手，不會合理構造直角三角形，也不能列出合理的方程進行解答。在課堂教學中，如何面向全體學生，如何培優與轉差，這是值得思考的一個問題。

第四篇：解三角形公式

1、正弦定理：在???C中，a、b、c分別為角?、?、C的對邊，R為???C的外接圓的半徑，則有

2、正弦定理的變形公式：①

② sinA=sinB=sinC=

③ a:b:c=

④ a

第五篇：老師教案12 解三角形

教案12：解三角形（2）

一、課前檢測

1.在?ABC中，根據下列條件解三角形，其中有兩個解的是（）A．b?10，A?45，C?70

B．a?60，c?48，B?60

C．a?7，b?5，A?80

D．a?14，b?16，A?4

52.在△ABC中，已知B?30?，b?503，c?150，那么這個三角形一定是 _________三角形。答案：等腰或直角三角形

???????????|3.在?ABC中，已知|AB|?|AC??????????????2且,AB?AC?1,則這個三角形的BC邊的長為 ．答案：6

二、知識梳理

1．角與角關系：A+B+C = π，由A＝π－（B＋C）可得：

1）sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）． 2）A2??2?B?C2．有：sinA2?cosB?C2，cosA2?sinB?C2．

解讀：

2．正弦定理

①a:b:c?sinA:sinB:sinC；

②a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC； ③asinA?bsinB?csinC?a?b?csinA?sinB?sinC；

④a:b:c?sinA:sinB:sinC。

解讀：

3．射影定理：

a＝b·cosC＋c·cosB，b＝a·cosC＋c·cosA，c＝a·cosB＋c·cosA．

解讀：

三、典型例題分析

例1．在△ABC中，若a?cosB?b?cosA，則這個三角形是__________ 三角形 答案：等腰三角形

變式訓練

在△ABC中，若答案：等邊三角形

小結與拓展：

例2．a:b:c?1:3:2，求A，B，C

acosA?bcosB?ccosC，則這個三角形是__________ 三角形

答案：A=30°，B=60°，C=90°

變式訓練： a:b:c?2:6:(3?1)，求A，B，C

答案：A=45°，B=60°，C=75°

小結與拓展：

例3．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c?求角A，C，邊a及三角形的面積 答案：A=30°，C=30°，S?ABC?322，b?6，B?120?。

a?8，b?6，變式訓練：在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且S?ABC?123，求c

答案：c=8或c=237

小結與拓展：

四、歸納與總結（以學生為主，師生共同完成）

1.知識：

2.思想與方法：

3.易錯點：

4.教學反思（不足并查漏）：