第一篇：解三角形應用舉例教案（推薦）

解三角形應用舉例教案

●教學目標

知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題，了解常用的測量相關術語

過程與方法：首先通過巧妙的設疑，順利地引導新課，為以后的幾節課做良好鋪墊。其次結合學生的實際情況，采用“提出問題——引發思考——探索猜想——總結規律——反饋訓練”的教學過程，根據大綱要求以及教學內容之間的內在關系，鋪開例題，設計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學生掌握解法，能夠類比解決實際問題。對于例2這樣的開放性題目要鼓勵學生討論，開放多種思路，引導學生發現問題并進行適當的指點和矯正

情感態度與價值觀：激發學生學習數學的興趣,并體會數學的應用價值；同時培養學生運用圖形、數學符號表達題意和應用轉化思想解決數學問題的能力 ●教學重點

實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解 ●教學難點

根據題意建立數學模型，畫出示意圖 ●教學過程 Ⅰ.課題導入

1、[復習舊知] 復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、[設置情境]

請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離。Ⅱ.講授新課

（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數學模型來求解

[例題講解]

(2)例

1、如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B兩點的距離(精確到0.1m)

啟發提問1：?ABC中，根據已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當？

啟發提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據三角形的內角和定理很容易根據兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。解：根據正弦定理，得

ABsin?ACB =

ACsin?ABC

AB = ACsin?ACB

sin?ABC = 55sin?ACB

sin?ABC =

55sin75? sin(180??51??75?)= 55sin75?

sin54? ≈ 65.7(m)答:A、B兩點間的距離為65.7米

變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30?，燈塔B在觀察站C南偏東60?，則A、B之間的距離為多少？

老師指導學生畫圖，建立數學模型。解略：2a km 例

2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據正弦定理中已知三角形的任意兩個內角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。

解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得?BCA=?，? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，應用正弦定理得

AC = BC =

asin(???)= asin(???)

sin[180??(?????)]sin(?????)asin? = asin? sin[180??(?????)]sin(?????)計算出AC和BC后，再在?ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離 AB =

AC2?BC2?2AC?BCcos?

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。

變式訓練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得?BCA=60?，?ACD=30?，?CDB=45?，?BDA =60?

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20

評注：可見，在研究三角形時，靈活根據兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復，如何找到最優的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選擇最佳的計算方式。學生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應例子。Ⅲ.課堂練習

課本第13頁練習第1、2題 Ⅳ.課時小結

解斜三角形應用題的一般步驟：

（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

（2）建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數學模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數學模型的解

（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解 Ⅴ.課后作業

課本第19頁第1、2、3題

第二篇：解三角形應用舉例教學設計

解三角形應用舉例

教材：普通高中課程標準實驗教科書·人教B版·必修5·1.2

一、教學目標 1 知識與技能目標

初步運用正弦定理、余弦定理解決某些與測量和幾何計算有關的實際問題． 2 過程與方法目標

（1）．通過解決“測量一個底部不能到達的建筑物的高度”或“測量平面上兩個不能到達的地方之間的距離”的問題，初步掌握將實際問題轉化為解斜三角形問題的方法；

（2）．進一步提高應用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高運用數學知識解

決實際問題的能力． 情感、態度與價值觀目標

（1）．通過學生親自實施對“測量” 問題的解決，體會如何將具體的實際問題轉化為抽象的數學問題，體驗問題解決的全過程；

（2）．發展學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析解決問題的能力，以及交流與合作的能力，著重學生多元智能的發展。

二、教學重點、難點 重點是如何將實際問題轉化為數學問題，并利用解斜三角形的方法予以解決． 分析、探究并確定將實際問題轉化為數學問題的思路是難點和關鍵．

三、教學方法與手段 教學方法：運用認知建構教學理論和多元智能發展觀，在教學中采用自主探究與嘗試指導相結合，引導學生通過分析實踐、自主探究、合作討論得出轉化（解決）問題的方法． 學習方法：在實踐中體驗過程，在過程中感受應用，在交流中升華知識。教學手段：實際模擬、合作學習、多媒體（投影儀）

四、教學過程

【教學環節一：復習回顧】 教學內容： 完成下列兩個小題：

① 在△ABC中，已知A=30, B=30, c =

0

0，則a =_______，c =_______。

② 如圖，為了測量某障礙物兩側A、B兩點間的距離，給定下列四組數據，測量時最好選用數據（），最好不要選用數據（）

(A)

(B)

(C)

(D)

師生互動：學生獨立完成上面兩個小題，并作出回答，回答時闡明作答依據。

設計意圖：（1）復習：①正、余弦定理；②解斜三角形的方法。

（2）為本節課重點知識的學習做一些知識準備。

【教學環節二：問題一的提出與解決】

教學內容：怎樣測量一個底部不能到達的建筑物的高度？

<問題一> 我校科技樓頂矗立著一座天文觀測臺，如何通過測量，求得天文臺頂距地面的高度？

師生互動：分析、探究、討論、歸納。

① 教師帶領學生一起分析題目背景――天文臺頂到地面的距離指天文臺頂（記為點A）到它在地面上的正射影（記為點B）這兩點間的距離，而在這里顯然B點無法到達，故不能

直接測量。

② 發動學生分組討論解決方案：既然不能直接測量A、B兩點的距離，我們是否可以考慮利用可測量的其它數據得出所需數據？

③ 討論過程1：可在適當的地方（能看到頂點A的可到達的一點）選取一點C，對AB進行測量，如圖1－A，設CC1表示測量儀器的高，在△AB1C1中只能測得∠AC1B1（即在C1點測的點A的仰角，記為）。要求得AB，須再選取另一點D。設測得CD = a，∠B1C1D1＝，∠C1D1B1＝,則在本題中可抽象出兩個空間關系的三角形，其中△AB1C1是直角三角形。在△B1C1D1中，由、a根據正弦定理可求得B1C1，在Rt△AB1C1中，由

問題得解。即：

和B1C1可求得AB1，在△B1C1D1中，即，所以

在△AB1C1中，AB1＝B1C1·tan，于是，天文臺頂距地面的高度為AB=AB1＋CC1.④ 實施方案：學生用自制的儀器對天文臺實施測量（可在課下進行），得數據如下：

測點距地面1.5m。

在滿足精確度為0.1m的前提下，請同學們計算所求距離。

過程：易解得

所以

因此天文臺頂距地面的高度約為

⑤ 反思完善：

米。

提問：下面請同學們回顧剛剛我們的實際操作過程，有無問題存在？

學生經過討論，（一般會）發現有兩個問題，一是在測量過程中的B點或B1點不可到達，實際操作時是大體估計的位置，準確度差；二是學生會覺得還有更簡方法。

<發動學生討論改善方法> 學生分組討論，然后發表討論結果。

<討論過程2> 如圖1－B，由于B點或B1點不可到達，所以不考慮圖1－A中的∠B1C1D1和∠C1D1B1，而點A是可見的，于是我們可以準確測量出∠AC1D1＝，∠AD1C1＝, CD = a，這樣，在△AC1D1中，由、a根據正弦定理可求得AC1，在Rt△AB1C1中，由AC1可求得AB1，問題得解。即：

和在△AC1D1中，即，所以

在△AB1C1中，AB1＝AC1·sin

，于是，天文臺頂距地面的高度為AB=AB1＋CC1

評：這個方法應該是完全可行的，只是計算還有些麻煩。具體的測量和計算由學生課

下完成，寫成實踐報告。

<討論過程3> 我們可以做如下測量，在可到達的地方取C、D, 使這兩點與點A在地面上的垂線在同一平面內（這樣可以保證B、C、D三點共線），如圖2，設CC1表示測量儀器的高，在C1點和D1點分別測得A點仰角為，C1D1＝a，于是，在△AC1D1中，我們可以利用正弦定理求

求出AB1，最后求出AB=AB1＋B1B.得AC1，再在Rt△AB1C1中，利用

評：此法比較容易操作，但C、D兩點的選取多少需要些技巧。

⑥歸納總結：學生對照問題及三種解決方案總結解決該問題的方法及注意事項，并建議學生閱讀教材問題一及處理方法，加深對上述方法的認識。

設計意圖：從獲取數據開始，使學生親身經歷并體驗如何將實際問題轉化為數學問題，從而得到解決。在討論過程中，引導學生利用所學知識分三步層層發掘，探尋解決問題的最佳方案，感受數學的應用價值、人文價值、美學價值。在這一環節的教學中，采用認知建構教學理論和合作學習，在學生獲取解決問題的方法的同時，注意了學生多元智能的發展。

【教學環節三：問題二的提出與解決】

教學內容：怎樣測量平面上兩個不能到達的地方之間的距離？ <問題二> 設A、B是兩個海島，如何在岸邊測量它們之間的距離？

師生互動：

①合作探究：學生分組討論，探尋解決問題的方案。以下是討論內容與過程：與問題一類似，如果只選一個觀測點C，在△ABC中只能測得∠ACB的大小，問題不能得到解決。因此需要再選擇一個測點D，構造出一個能測出其一條邊長的△BCD。要求出AB，還應先求

出AC和BC，為此應先解△ACD和△BCD。

②演練方案：按照上面討論的方案，各組同學進行模擬演練：如圖3，在岸邊適當選取點C、D，使A、B、C、D共面（即保持在同一水平面上），測得

在△BCD中，由正弦定理，可以得到:，同理，在△ACD中也可以得到在△ABC中，由余弦定理，得

.，從而求得AB。

設計意圖：深化將實際問題轉化為數學問題的過程與方法，加強學生的合作意識，培養學生探尋解決問題的方法的思路與策略，提高學生應用所學知識解決問題的能力。【教學環節四：課堂練習】

練習內容：教材第16頁，練習A，1

師生互動： ① 學生獨立完成練習

② 教師展示答案：先利用投影儀把有代表性的幾個學生的解答過程展示在大屏幕上，由學生自由講評，教師總結。

設計意圖：

通過反饋矯正，初步了解學生對本節教學內容的掌握情況，并及時給予調整。

【教學環節五：教學評價】

1、讓學生先進行分組總結，思考三個問題：

① 本節課我們研究了什么？提出了什么問題？問題解決了嗎？

② 本節課你學到了哪些方法？掌握了哪些技能？

③ 你認為自己對本節課內容掌握的好不好？課后打算怎樣進一步鞏固？

2、學生代表發表討論的課堂總結，互相補充。

3、教師進行總結，要點如下：

① 兩個問題：怎樣測量一個底部不能到達的建筑物的高度？

怎樣測量平面上兩個不能到達的地方之間的距離？

② 運用數學知識解決實際問題的基本思路：首先要在理解題意的基礎上將實際問題數學化，然后再利用有關定理、性質、公式解決之。步驟如下：

③ 提高實踐能力（如測量的精確度）。

【課后作業】

1、教材P16，練習A，2； 教材P16，練習B，1、2

2、各小組利用自制的儀器，在我們周圍選一較高建筑物用本節學習的方法測量其高度。

寫出測量報告。附：教學設計說明

一、教學內容的特點及處理

根據教學內容的特點，這一課時的教學重點是解決兩個與測量有關的問題。在教學設計時，對教學的每一個環節都強調了學生的主體地位。對每一個問題的解決，從問題的分析、方案的討論、數據的獲取、信息的分析、結論的得出、方法的總結，無一不是由學生親自參與，合作完成的，而教師很好的充當了指導者和合作伙伴的角色，形成了一個自由的、開放的生態化課堂。

二、教學目標的確定

根據本節課教學內容的實踐性強的特點，在確定教學目標時注重了三方面的要求：一是初步運用正弦定理、余弦定理解決某些與測量和幾何計算有關的實際問題這一知識與技能的要求；二是強調了學生從實踐過程中發現積累知識這一認知建構主義教學模式；三是明確提出了學生要從經歷問題解決的全過程中學習這一體驗性目標。

三、教學方法的選擇

根據上述分析，本節課就特別適用建構主義教學模式下的分析實踐、自主探究、合作學習這一十分有利于學生多元智能發展的教學方法。

四、教學過程的說明

高中新課程標準強調教師要在教學中幫助學生形成積極主動的學習態度，要將學習過程變為學生學會學習、學會合作、學會生存、學會做人的過程。

在進行教學設計時，我把教材中的問題一做了小小的改變：測量故宮的角樓改為測量本校天文臺頂到地面的距離。這樣，學生可以直接參與方案的探尋、數據的獲取與分析、結論的得出全過程，可以“從實踐中直接獲取知識”，在獲得真實的過程體驗同時，掌握了解決測量問題的方法。而且，這樣的實踐，學生非常樂于參加，自然有了積極主動的學習態度。通過對問題一解決方案的不斷優化，使每一個參與者都深深地感受到了數學應用的靈活性、開放性和數學的簡單化原則。當解決了方案一的瓶頸后，當得到了簡單的方案三后，我們從精神上得到了徹底的滿足，數學的應用價值和美學價值在這一刻獲得了清晰地體現。

第三篇：《相似三角形應用舉例》教案

《相似三角形應用舉例》教案

一、教學目標

1． 進一步鞏固相似三角形的知識．

2． 能夠運用三角形相似的知識，解決不能直接測量物體的長度和高度（如測量金字塔高度問題、測量河寬問題、盲區問題）等的一些實際問題．

3． 通過把實際問題轉化成有關相似三角形的數學模型，進一步了解數學建模的思想，培養分析問題、解決問題的能力．

二、重點、難點

1．重點：運用三角形相似的知識計算不能直接測量物體的長度和高度．

2．難點：靈活運用三角形相似的知識解決實際問題（如何把實際問題抽象為數學問題）．

三、例題的意圖

相似三角形的應用主要有如下兩個方面：（1）測高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；（2）測距(不能直接測量的兩點間的距離)．本節課通過教材P49的例3——P50的例5（教材P49例3——是測量金字塔高度問題；P50例4?——是測量河寬問題；P50例5——是盲區問題）的講解，使學生掌握測高和測距的方法．知道在實際測量物體的高度、寬度時，關鍵是要構造和實物所在三角形相似的三角形，而且要能測量已知三角形的各條線段的長，運用相似三角形的性質列出比例式求解．講課時，可以讓學生思考用不同的方法解這幾個實際問題，以提高從實際生活中發現數學問題、運用所學知識解決實際問題的能力． 應讓學生多見些不同類型的有關相似三角形的應用問題，便于學生理解：世上許多實際問題都可以用數學問題來解決，而本節的應用實質是：運用相似三角形相似比的相關知識解決問題，并讓學生掌握運用這方面的知識解決在自己生活中的一些實際問題的計算方法． 其中P50的例5出現了幾個概念，在講此例題時可以給學生介紹．（1）視點：觀察者眼睛的位置稱為視點；（2）視線：由視點出發的線稱為視線；（3）仰角：在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；（4）盲區：人眼看不到的地方稱為盲區．

四、課堂引入

問：世界現存規模最大的金字塔位于哪個國家，叫什么金字塔？

胡夫金字塔是埃及現存規模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之一” ．塔的４個斜面正對東南西北四個方向，塔基呈正方形，每邊長約230多米．據考證，為建成大金字塔，共動用了10萬人花了20年時間．原高146.59米，但由于經過幾千年的風吹雨打，頂端被風化吹蝕，所以高度有所降低．

在古希臘，有一位偉大的科學家叫泰勒斯．一天，希臘國王阿馬西斯對他說：“聽說你什么都知道，那就請你測量一下埃及金字塔的高度吧！”，這在當時條件下是個大難題，因為是很難爬到塔頂的．你知道泰勒斯是怎樣測量大金字塔的高度的嗎？

五、例題講解

例1（教材P49例3——測量金字塔高度問題）

分析：根據太陽光的光線是互相平行的特點，可知在同一時刻的陽光下，豎直的兩個物體的影子互相平行，從而構造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性質，根據已知條件，求出金字塔的高度． 解：略（見教材P49）

問：你還可以用什么方法來測量金字塔的高度？（如用身高等）

解法二：用鏡面反射（如圖，點A是個小鏡子，根據光的反射定律：由入射角等于反射角構造相似三角形）．（解法略）

例2（教材P50例4?——測量河寬問題）

分析：設河寬PQ長為x m，由于此種測量方法構造了三角形中的平行截線，故可得到相似三角形，因此有，即 ．再解x的方程可求出河寬． 解：略（見教材P50）

問：你還可以用什么方法來測量河的寬度？

解法二：如圖構造相似三角形（解法略）．

例3（教材P50例5——盲區問題）分析：略（見教材P50）解：略（見教材P51）

六、課堂練習

1． 在同一時刻物體的高度與它的影長成正比例．在某一時刻，有人測得一高為1.8米的竹竿的影長為3米，某一高樓的影長為60米，那么高樓的高度是多少米? 2． 小明要測量一座古塔的高度，從距他2米的一小塊積水處C看到塔頂的倒影，已知小明的眼部離地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到積水處C的距離是40米.求塔高?

七、課后練習

1． 教材P51.練習1和練習2．

2． 如圖，小明在打網球時，使球恰好能打過網，而且落在離網5米的位置上，求球拍擊球的高度h．(設網球是直線運動)3． 小明想利用樹影測量樹高，他在某一時刻測得長為1m的竹竿影長0.9m，但當他馬上測量樹影時，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上，如圖，他先測得留在墻上的影高1.2m，又測得地面部分的影長2.7m，他求得的樹高是多少？

第四篇：【數學】1.2.4《解三角形應用舉例》教案(新人教A版必修5)

知識改變命運，學習成就未來

課題: §1.2.4解三角形應用舉例

授課類型：新授課

●教學目標 知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用

過程與方法：本節課補充了三角形新的面積公式，巧妙設疑，引導學生證明，同時總結出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關的題型。另外本節課的證明題體現了前面所學知識的生動運用，教師要放手讓學生摸索，使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點。情感態度與價值觀：讓學生進一步鞏固所學的知識，加深對所學定理的理解，提高創新能力；進一步培養學生研究和發現能力，讓學生在探究中體驗愉悅的成功體驗 ●教學重點

推導三角形的面積公式并解決簡單的相關題目 ●教學難點

利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 [創設情境] 師：以前我們就已經接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學習它的另一個表達公式。在

?ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為ha、hb、hc，那么它們如何用已知邊和角表示？

生：ha=bsinC=csinB

hb=csinA=asinC hc=asinB=bsinaA

1ah,應用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，21可以推導出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個公式嗎？

211生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB 22師：根據以前學過的三角形面積公式S=師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？

生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解 Ⅱ.講授新課 [范例講解] 例

1、在?ABC中，根據下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5?;歡迎各位老師踴躍投稿，稿酬豐厚 郵箱：zxjkw@163.com

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（2）已知B=62.7?,C=65.8?,b=3.16cm;（3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關系，我們可以應用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。解：（1）應用S=

S=1acsinB，得 21?14.8?23.5?sin148.5?≈90.9(cm2)2b = c

sinCsinBsinB(2)根據正弦定理，c = bsinC

S = 11bcsinA = b2sinCsinA 22sinBA = 180?-(B + C)= 180?-(62.7?+ 65.8?)=51.5?

sin65.8?sin51.5?1S = ?3.16?≈4.0(cm2)?sin62.72(3)根據余弦定理的推論，得

c2?a2?b2cosB =

2ca38.72?41.42?27.32

=

2?38.7?41.≈0.7697 sinB = 1?cos2B≈1?0.76972≈0.6384 應用S=S ≈1acsinB，得 21?41.4?38.7?0.6384≈511.4(cm2)2例

2、如圖,在某市進行城市環境建設中,要把一個三角形的區域改造成室內公園,經過測量得到這個三角形區域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區域的面積是多少？（精確到0.1cm2）？

師：你能把這一實際問題化歸為一道數學題目嗎？

生：本題可轉化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。由學生解答，老師巡視并對學生解答進行講評小結。解：設a=68m,b=88m,c=127m,根據余弦定理的推論，歡迎各位老師踴躍投稿，稿酬豐厚 郵箱：zxjkw@163.com

知識改變命運，學習成就未來

c2?a2?b2cosB=

2ca1272?682?88

2=≈0.7532 2?127?68sinB=1?0.75322?0.6578 1acsinB 21 S ≈?68?127?0.6578≈2840.38(m2)

2應用S=答：這個區域的面積是2840.38m2。例

3、在?ABC中，求證：

a2?b2sin2A?sin2B?;（1）c2sin2C（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：這是一道關于三角形邊角關系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯想到用正弦定理來證明

證明：（1）根據正弦定理，可設

a = b = c = k sinAsinBsinC顯然 k?0，所以

a2?b2k2sin2A?k2sin2B? 左邊= c2k2sin2Csin2A?sin2B ==右邊 2sinC（2）根據余弦定理的推論，b2?c2?a2a2?b2?c2c2?a2?b2 右邊=2(bc+ca+ab)

2bc2ca2ab

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左邊

變式練習1：已知在?ABC中，?B=30?,b=6,c=63,求a及?ABC的面積S 提示：解有關已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數。答案：a=6,S=93;a=12,S=183

歡迎各位老師踴躍投稿，稿酬豐厚 郵箱：zxjkw@163.com

知識改變命運，學習成就未來

變式練習2：判斷滿足下列條件的三角形形狀，（1）acosA = bcosB（2）sinC =sinA?sinB

cosA?cosB提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”（1）師：大家嘗試分別用兩個定理進行證明。

生1：（余弦定理）得

b2?c2?a2c2?a2?b2a?=b?

2bc2ca?c2(a2?b2)?a4?b4=(a2?b2)(a2?b2)?a2?b2或c2?a2?b2

?根據邊的關系易得是等腰三角形或直角三角形

生2：（正弦定理）得 sinAcosA=sinBcosB, ?sin2A=sin2B, ?2A=2B, ?A=B ?根據邊的關系易得是等腰三角形

師：根據該同學的做法，得到的只有一種情況，而

第五篇：【數學】1.2.2《解三角形應用舉例》教案(新人教A版必修5)

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課題: §1.2.2解三角形應用舉例

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AB = AE + h = ACsin?+ h

=

asin?sin? + h sin(???)例

2、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角?=54?40?，在塔底C處測得A處的俯角?=50?1?。已知鐵塔BC部分的高為27.3 m,求出山高CD(精確到1 m)

師:根據已知條件,大家能設計出解題方案嗎？（給時間給學生討論思考）若在?ABD中求CD，則關鍵需要求出哪條邊呢？ 生：需求出BD邊。師：那如何求BD邊呢？

生：可首先求出AB邊，再根據?BAD=?求得。

解:在?ABC中, ?BCA=90?+?,?ABC =90?-?,?BAC=?-?,?BAD =?.根據正弦定理，BCAB =

sin(???)sin(90???)BCsin(90???)BCcos? 所以 AB ==

sin(???)sin(???)解Rt?ABD中,得 BD =ABsin?BAD=將測量數據代入上式,得

BCcos?sin?

sin(???)27.3cos50?1?sin54?40? BD =

sin(54?40??50?1?)27.3cos50?1?sin54?40? =

sin4?39?歡迎各位老師踴躍投稿，稿酬豐厚 郵箱：zxjkw@163.com

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≈177(m)

CD =BD-BC≈177-27.3=150(m)答:山的高度約為150米.師：有沒有別的解法呢？

生：若在?ACD中求CD，可先求出AC。

師：分析得很好，請大家接著思考如何求出AC？ 生：同理，在?ABC中，根據正弦定理求得。（解題過程略）

例

3、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時測得公路南側遠處一山頂D在東偏南15?的方向上,行駛5km后到達B處,測得此山頂在東偏南25?的方向上,仰角為8?,求此山的高度CD.師：欲求出CD，大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢？ 生：在?BCD中

師：在?BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據條件,易計算出哪條邊的長？ 生：BC邊

解:在?ABC中, ?A=15?,?C= 25?-15?=10?,根據正弦定理，BCAB = , sinAsinCABsinA5sin15? BC == ?sin10sinC ≈ 7.4524(km)

CD=BC?tan?DBC≈BC?tan8?≈1047(m)答:山的高度約為1047米

Ⅲ.課堂練習

課本

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測得塔基B的俯角為45?，則塔AB的高度為多少m？

203(m)3●板書設計 ●授后記 答案：20+歡迎各位老師踴躍投稿，稿酬豐厚 郵箱：zxjkw@163.com