第一篇：指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用舉例教案

對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用教案

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林建國(guó)

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高一數(shù)學(xué)教研組

第1頁(yè)

4.5.3對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用舉例

教學(xué)目的：掌握利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的函數(shù)應(yīng)用問題。教學(xué)重點(diǎn)：利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的函數(shù)應(yīng)用問題。

教學(xué)難點(diǎn)：通過閱讀理解讀懂題目中文字?jǐn)⑹鏊从车膶?shí)際背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本，弄清題中出現(xiàn)的量及其數(shù)學(xué)含義；根據(jù)實(shí)際問題的具體背景，進(jìn)行數(shù)學(xué)化設(shè)計(jì)，根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型。

教學(xué)方法：學(xué)導(dǎo)式教學(xué)法 教學(xué)過程： 1.復(fù)習(xí)

數(shù)學(xué)來(lái)自生活，又應(yīng)用于生活和生產(chǎn)實(shí)踐．而實(shí)際問題中又蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)思想與方法．今天我們就一起來(lái)探討幾個(gè)有關(guān)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用問題。例1.現(xiàn)有人口100萬(wàn)，根據(jù)最近20年的統(tǒng)計(jì)資料，這個(gè)城市的人口的年自然增長(zhǎng)率為1.2%，按這個(gè)增長(zhǎng)率計(jì)算：

(1)10年后這個(gè)城市的人口預(yù)計(jì)有多少萬(wàn)？(2)20年后這個(gè)城市的人口預(yù)計(jì)有多少萬(wàn)？

(3)在今后20年內(nèi)，前10年與后10年分別增加了多少萬(wàn)人？

分析：按年自然增長(zhǎng)率為1.2%，計(jì)算1年后該城市的人口總數(shù)為100+100×1.2% =100（1+1.2%）（萬(wàn)人）2年后該城市的人口總數(shù)為 100（1+1.2%）+100（1+1.2%）1.2%=100（1+1.2%）（萬(wàn)人）

依此…n年后該城市的人口總數(shù)為 100（1+1.2%）（萬(wàn)人）

解：（1）10年后該城市的人口總數(shù)為 100（1+1.2%）≈112.67（萬(wàn)人）

20（2）20年后該城市的人口總數(shù)為 100（1+1.2%）≈126.94（萬(wàn)人）（3）前10年增加的人口為112.67-100=12.67（萬(wàn)人）

后10年增加的人口為126.94-112.67=14.27（萬(wàn)人）答：…

例2.1995年我國(guó)人口總數(shù)是12億，如果人口的自然增長(zhǎng)率控制在1.25%。問哪一年人口總數(shù)將達(dá)到14億？

解：設(shè)x年后人口總數(shù)將達(dá)到14億，則有12（1+1.25%）=14 即：1.0125=兩邊取常用對(duì)數(shù)可得：x=log1.012510

n14 1214 ≈12.4 12 答：13年后即2008年我國(guó)人口總數(shù)將達(dá)到14億。

例3.庫(kù)存的某種商品的價(jià)值是50萬(wàn)元，如果每年的損耗是4.5%，那么經(jīng)過多少年，它的價(jià)值將為20萬(wàn)元？ 對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用教案

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林建國(guó)

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解：設(shè)經(jīng)過x年它的價(jià)值將為20萬(wàn)元，依題意有：50（1-4.5%）=20 ?50×0.955=20 ? 0.955=0.4 ?x?log0.9550.4 ? x≈20

2.小結(jié)：解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際建立數(shù)學(xué)模型。

3.作業(yè)：page79 T6 PageT9，T10

第二篇：應(yīng)用舉例

工作流應(yīng)用情況舉例

應(yīng)該說(shuō)，工作流軟件應(yīng)用的范圍還是非常廣泛，凡是各種通過表單逐級(jí)手工流轉(zhuǎn)完成的任務(wù)均可應(yīng)用工作流軟件自動(dòng)實(shí)現(xiàn)，可以考慮在以下一些方面推行工作流程自動(dòng)化。

行政管理類： 出差申請(qǐng)，加班申請(qǐng)，請(qǐng)假申請(qǐng)，用車申請(qǐng)，各種辦公工具申請(qǐng)，購(gòu)買申請(qǐng)，日?qǐng)?bào)周報(bào)，信息公告等凡是原來(lái)手工流轉(zhuǎn)處理的行政性表單。

人事管理類： 員工培訓(xùn)安排，績(jī)效考評(píng)，新員工安排，職位變動(dòng)處理，員工檔案信息管理等。

財(cái)務(wù)相關(guān)類： 付款請(qǐng)求，應(yīng)收款處理，日常、差旅、娛樂報(bào)銷，預(yù)算和計(jì)劃申請(qǐng)等。客戶服務(wù)類： 客戶信息管理，客戶投訴、請(qǐng)求處理，售后服務(wù)管理。其他業(yè)務(wù)流程：訂單、報(bào)價(jià)處理，采購(gòu)處理，合同審核，客戶電話處理等等。具體舉例，如：

Purchase Request、Purchase Order、Delivery Note、Payment Request、Reimbursement、Annual Leave Application、Medical Claim、Overtime Request、Going Abroad Request、Training Request、Leave Request、Air Ticket Request、Contract Pre-Approval Workflow Management、Voucher/Expense Request、Renting Car Request、Meeting Room Reservation Request、Moving/Renting Cubicle, Room Request、Visitor Request Form、Travel Request Form、Stationery Checklist For New Hire、Company Property Checklist、Exit Checklist、Employee Absence Report/Leave Application、OT Expenses Reimbursement Form、Nursery Expense Reimbursement Form、Temporary Help Request Form、Professional Affairs Request Form、Temporary Help Expenses Reimbursement Form，公文會(huì)簽表、名片申請(qǐng)單、用章申請(qǐng)單、付款/結(jié)算憑證、印刷品申請(qǐng)表等等。

Fiance：付款申請(qǐng)單、采購(gòu)單、交通費(fèi)報(bào)銷單

GA：差旅申請(qǐng)單、辦公用品申請(qǐng)單、訪客申請(qǐng)表、名片、名牌、門禁卡申請(qǐng)單、用章申請(qǐng)單、公文會(huì)簽表、公司合同管理會(huì)簽單 HR：領(lǐng)用公司財(cái)物清單、離職清單、員工休假申請(qǐng)表、加班申請(qǐng)表、加班費(fèi)用報(bào)銷單、員工子女托費(fèi)報(bào)銷單、臨時(shí)雇員申請(qǐng)表、培訓(xùn)申請(qǐng)表、專業(yè)事務(wù)申請(qǐng)表、書刊請(qǐng)購(gòu)表、臨時(shí)工費(fèi)用報(bào)銷申請(qǐng)表、員工醫(yī)藥費(fèi)報(bào)銷申請(qǐng)表

出差(申請(qǐng)－報(bào)銷－報(bào)告)，請(qǐng)購(gòu)（原料包材），人力需求申請(qǐng)表，派車單，用印申請(qǐng)表，員工考核表，工作申請(qǐng)表，人員異動(dòng)申請(qǐng)表，薪資異動(dòng)申請(qǐng)表，離職辭職人員申請(qǐng)表，離職移交表，名片印刷申請(qǐng)表，一般費(fèi)用報(bào)銷（包含醫(yī)藥費(fèi)報(bào)銷），請(qǐng)款（與ERP做接口），外出登記，加班申請(qǐng)，請(qǐng)購(gòu) 等

第三篇：對(duì)數(shù)函數(shù)教案

教學(xué)目標(biāo)：

(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)：1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念；2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).(二)能力訓(xùn)練要求：1.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念；2.掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).(三)德育滲透目標(biāo)：1.用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析問題；2.認(rèn)識(shí)事物之間的互相轉(zhuǎn)化.教學(xué)重點(diǎn)：

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

教學(xué)難點(diǎn)：

對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

教學(xué)方法：

聯(lián)想、類比、發(fā)現(xiàn)、探索

教學(xué)輔助：

多媒體

教學(xué)過程：

一、引入對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

由學(xué)生的預(yù)習(xí)，可以直接回答“對(duì)數(shù)函數(shù)的概念”

由指數(shù)、對(duì)數(shù)的定義及指數(shù)函數(shù)的概念，我們進(jìn)行類比，可否猜想有：

問題：1.指數(shù)函數(shù)是否存在反函數(shù)？

2.求指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)．

①；

②；

③指出反函數(shù)的定義域．

3.結(jié)論

所以函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．

這節(jié)課我們所要研究的便是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)——對(duì)數(shù)函數(shù)．

二、講授新課

1.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：

定義域：(0,+∞);值域:(-∞,+∞)

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：

因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．所以與圖象關(guān)于直線對(duì)稱．

因此，我們只要畫出和圖象關(guān)于直線對(duì)稱的曲線，就可以得到的圖象．

研究指數(shù)函數(shù)時(shí)，我們分別研究了底數(shù)和兩種情形．

那么我們可以畫出與圖象關(guān)于直線對(duì)稱的曲線得到的圖象．

還可以畫出與圖象關(guān)于直線對(duì)稱的曲線得到的圖象．

請(qǐng)同學(xué)們作出與的草圖，并觀察它們具有一些什么特征？

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

圖象

性質(zhì)（1）定義域：

（2）值域：

（3）過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，（4）上的增函數(shù)

（4）上的減函數(shù)

3.圖象的加深理解：

下面我們來(lái)研究這樣幾個(gè)函數(shù)：，，．

我們發(fā)現(xiàn)：

與圖象關(guān)于X軸對(duì)稱；與圖象關(guān)于X軸對(duì)稱．

一般地，與圖象關(guān)于X軸對(duì)稱．

再通過圖象的變化（變化的值），我們發(fā)現(xiàn)：

（1）時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，（2）時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，4.練習(xí)：

(1)如圖：曲線分別為函數(shù)，，的圖像，試問的大小關(guān)系如何？

(2)比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大小：

(3)解關(guān)于x的不等式：

思考：(1)比較大小：

(2)解關(guān)于x的不等式：

三、小結(jié)

這節(jié)課我們主要介紹了指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)——對(duì)數(shù)函數(shù)．并且研究了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．

四、課后作業(yè)

課本P85，習(xí)題2．8，1、3

第四篇：對(duì)數(shù)函數(shù)教案

§2.2.2 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（一）教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能：

1、掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念。

2、根據(jù)函數(shù)圖象探索并理解對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。過程與方法：

1、通過對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想。

2、能夠用類比的觀點(diǎn)看問題，體會(huì)知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)系。情感態(tài)度與價(jià)值觀：

1、培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析能力，從特殊到一般的歸納能力。

2、通過學(xué)生的參與過程，培養(yǎng)他們手腦并用、多思勤練的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和勇于探索、鍥而不舍的治學(xué)精神。教學(xué)重難點(diǎn)：

1、重點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

2、難點(diǎn)：底數(shù) a 的變化對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響 教學(xué)方法：講授法、引導(dǎo)探究法、講練結(jié)合法 教學(xué)過程：

一、情景設(shè)置

1、在《指數(shù)函數(shù)》中我們了解到細(xì)胞分裂的次數(shù)與細(xì)胞個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可以用正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y?2x表示。那么分裂的次數(shù)x為多少時(shí)，y（即細(xì)胞個(gè)數(shù)）達(dá)到1萬(wàn)，或10萬(wàn)，由此可得到分裂次數(shù)x和細(xì)胞個(gè)數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系x=㏒2 y，如果按習(xí)慣x用表示自變量，y表示函數(shù)，即可得y=log2x，這就是一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)，今天我們就要研究對(duì)數(shù)函數(shù)。

2、考古學(xué)家一般通過提取附著在出土文物、古遺址上死亡的殘留物，利用t?log573012P估計(jì)出土文物或古遺址的年代.那么，t 能不能看成是 P 的函數(shù)？

二、新知探究

1、介紹新概念：一般地，我們把函數(shù)y=logax(a＞0且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中a為常量。

師：這里為什么規(guī)定a＞0且a≠1。

(學(xué)生探究，相互合作交流，分組討論，師參與探究活動(dòng)并予以指導(dǎo)。只要學(xué)生說(shuō)得正確均予以肯定。)生A：a為底數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義a＞0且a≠1。

生B：解析式y(tǒng)=logax可以變成指數(shù)式x=ay，由指數(shù)的定義，a＞0且a≠1。（師充分予以表?yè)P(yáng)。）師：函數(shù)f(x)?loga(x?1)，f(x)?2logax，f(x)?logax?1是對(duì)數(shù)函數(shù)嗎？ 生：不是，他們都是對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)?logax經(jīng)過適當(dāng)變形得到的。（師充分予以表?yè)P(yáng)。）師：由對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式，大家能看出它的部分性質(zhì)嗎？

(學(xué)生活動(dòng)：合作交流探究，師參與探究并予以點(diǎn)評(píng)、指導(dǎo)。)生C：根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，自變量在真數(shù)的位置，故定義域?yàn)?0，+∞)。生D：把它變成指數(shù)式x=ay可知，故值域?yàn)?-∞，+∞)。師：說(shuō)的好，該函數(shù)的性質(zhì)到底是怎樣的？下面我們來(lái)探討一下，通常我們研究函數(shù)的性質(zhì)要借助于一件工具，這個(gè)工具是什么？ 生：圖象。

師：和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)一樣，我們分a＞1和0＜a＜1。由特殊到一般，這里a＞1取a=2，0＜a＜1取a=1/2。

2、性質(zhì)的探究

①a＞1，函數(shù)y=log2x的圖象和性質(zhì) 師：請(qǐng)同學(xué)們將P70的表格填完整。（學(xué)生活動(dòng)：填表格）

師：大家觀察表格，自上而下，x是怎樣變化的？ 生：逐漸增大。

師：y的變化趨勢(shì)呢？ 生：逐漸增大。

師：由此你能預(yù)測(cè)y=log2x的單調(diào)性嗎？ 生：在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增。

師：到底是不是，我們請(qǐng)圖象告訴大家。（師生共同操作，畫出圖象。）

師：請(qǐng)同學(xué)們探究一下，從這個(gè)圖上你能得出y=log2x的哪些性質(zhì)？

（學(xué)生探究，分組討論，交流合作，大膽猜想，教師參與探究活動(dòng)，并回答學(xué)生的問題，予以指導(dǎo)。只要學(xué)生說(shuō)得有道理，均應(yīng)予以及時(shí)表?yè)P(yáng)、鼓勵(lì)。函數(shù)的性質(zhì)以學(xué)生歸納總結(jié)為主，教師點(diǎn)評(píng)。）師：一個(gè)a=2不能說(shuō)明a＞1時(shí)的函數(shù)性質(zhì)，我們要再取兩個(gè)a，這里再取a= 2 和3，既有有理數(shù)，又有無(wú)理數(shù)，就可以代表a＞1的情況了。（學(xué)生活動(dòng)，合作交流，對(duì)不同的a值進(jìn)行列表。）

（教師活動(dòng)：以小黑板的形式展示提前畫好的函數(shù)圖象，用不同顏色的粉筆表示不同的曲線。）

（學(xué)生活動(dòng)：相互合作交流，共同探究，教師參與探究活動(dòng)并予以解疑，引導(dǎo)他們對(duì)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行歸納總結(jié)。最后，在熱烈的氣氛中以學(xué)生的講述的形式完成探究任務(wù)。）生1：它的定義域是{x∣x＞0}(即(0,+∞))師：由圖象可以看出來(lái)嗎？ 生1：整體位于y軸右側(cè)。

生2：值域?yàn)镽，因?yàn)閳D象向上方和下方無(wú)限延伸。生3：在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增。

師：開始我們由解析式和表格預(yù)測(cè)的性質(zhì)是這樣的嗎？ 生(齊聲回答)：是。

生4：無(wú)對(duì)稱性，是非奇非偶函數(shù) 生5：均與x軸交于(1,0)點(diǎn)。

生6：在x＞1時(shí)y＞0，在0＜x＜1時(shí)，y＜0。②0＜a＜1，函數(shù)y=log2x的圖象和性質(zhì)

師：同學(xué)們探究的很好，那么0＜a＜1時(shí)，我們?nèi)=1/2，y=log1/2x的性質(zhì)是怎樣的呢？

（師生合作，畫圖象，學(xué)生探究，合作交流，總結(jié)歸納y=log1/2x性質(zhì)，教師予以點(diǎn)評(píng)、指導(dǎo)。）

師：同樣的，一個(gè)a=1/2不能說(shuō)明全體0＜a＜1的性質(zhì)，我們?nèi)匀淮稳，這里a取1/3，和12

（同①：學(xué)生探究，教師巡視并參與探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)、歸納，最后在熱烈的氣氛中以學(xué)生講述的形式總結(jié)出y=logax(0＜a＜1)的性質(zhì)。)生a：定義域?yàn)?0,+∞),因圖象在y軸右側(cè)。生b：值域?yàn)镽，因圖象向上、向下均無(wú)限延伸。生c：在定義域內(nèi)單調(diào)遞減。

師：這又證明了我們的預(yù)測(cè)是正確的。生d：與x軸交于(1,0)生e：無(wú)對(duì)稱性，是非奇非偶函數(shù)

生f：當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0，當(dāng)0＜x＜1，y＞0

三、例題講解：

例1 求下列函數(shù)的定義域：

（1）y?logax2；（2）y?loga(4?x)；（3）。注：

1、強(qiáng)調(diào)定義域是自變量的取值集合；

2、歸納求定義域的一般條件。例2 P72例9

四、課堂練習(xí)： P73 ex 1、2

五、課堂小結(jié):

1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

2、對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖象和性質(zhì)(a＞0且a≠1)。

六、課后作業(yè)： P74 7

第五篇：《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案

《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案

教學(xué)目標(biāo)：

1．認(rèn)知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。2．能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨(dú)立實(shí)踐的能力。

3．情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。

教學(xué)重點(diǎn)：

了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。

教學(xué)難點(diǎn)：

數(shù)學(xué)歸納法原理的了解及遞推思想在解題中的體現(xiàn)。

教學(xué)過程：

一．創(chuàng)設(shè)情境，回顧引入

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》（板書）。首先給大家講一個(gè)故事：從前有一個(gè)員外的兒子學(xué)寫字，當(dāng)老師教他寫數(shù)字的時(shí)候，告訴他一、二、三的寫法時(shí)，員外兒子很高興，告訴老師他會(huì)寫數(shù)字了。過了不久，員外要寫請(qǐng)?zhí)缯?qǐng)親朋好友到家里做客，員外兒子自告奮勇地要寫請(qǐng)?zhí)＝Y(jié)果早晨開始寫，一直到了晚間也沒有寫完，請(qǐng)問同學(xué)們，這是為什么呢？

生：因?yàn)橛行铡叭f(wàn)”的。

師：對(duì)！有姓“萬(wàn)”的。員外兒子萬(wàn)萬(wàn)也沒有想到“萬(wàn)”不是一萬(wàn)橫，而是這么寫的“萬(wàn)”。通過這個(gè)故事，你對(duì)員外兒子有何評(píng)價(jià)呢？

生：（學(xué)生的評(píng)價(jià)主要會(huì)有兩種，一是員外兒子愚蠢，二是員外兒子還是聰明的。）

師：其實(shí)員外兒子觀察、歸納、猜想的能力還是很不錯(cuò)的，但遺憾的是他猜錯(cuò)了！在數(shù)學(xué) 上，我們很多時(shí)候是通過觀察→歸納→猜想，這種思維過程去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論，它是一種創(chuàng)造性的思維過程。那么，我們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)過程中，有沒有也像員外兒子那樣猜想過某些結(jié)論呢？

生：有。例如等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。

師：很好。我們是由等差數(shù)列前幾項(xiàng)滿足的規(guī)律：a1?a1?0d，a2?a1?d，a3?a1?2d，a4?a1?3d，??歸納出了它的通項(xiàng)公式的。其實(shí)我們推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和員外兒子猜想數(shù)字寫法的方法都是歸納法。那么你能說(shuō)說(shuō)什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)嗎？

生：由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。特點(diǎn)：特殊→一般。師：對(duì)。（投影展示有關(guān)定義）

像這種由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。根據(jù)推理過程中考察的對(duì)象是涉及事物的一部分還是全部，分為不完全歸納法和完全歸納法。

完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。那么，用完全歸納法得出的結(jié)論可靠嗎？

生：（齊答）可靠。

師：用不完全歸納法得出的結(jié)論是不是也是可靠的呢？為什么？

生：不可靠。這是因?yàn)橹豢疾炝瞬糠智闆r，結(jié)論不一定具有普遍性。

師：是不可靠的。不妨再舉一例an??n?1??n?2??n?3???n?1000?容易驗(yàn)證a1?0，a2?0，a3?0，?，a1000?0，如果由此作出結(jié)論——對(duì)于任何n?N*，an??n?1??n?2??n?3?? ?n?1000??0都成立，那就是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，a1001?1000!?0。

二．設(shè)置問題，引導(dǎo)探究

師：請(qǐng)問同學(xué)們你們玩過多米諾骨牌嗎？ 生：（沒）玩過。（課堂氣氛由剛才的沉思變得開始活躍）師：無(wú)論玩沒玩過，下面我們一起來(lái)玩一下。（投影儀上進(jìn)行生動(dòng)、形象的骨牌演示）在觀看骨牌玩法時(shí)，請(qǐng)思考：滿足什么條件，骨牌可以全部倒下？

生：假設(shè)第kk?N*張骨牌倒下，保證第k?1張骨牌倒下。

師：這樣就保證了可以遞推下去，骨牌就可以全部倒下了，是嗎？

生：不是。我們不知道第k張骨牌是否倒下了，從而我們是假設(shè)第k張骨牌倒下。若第k張骨牌倒下，需要第k?1張骨牌倒下；若第k?1張骨牌倒下，需要第k?2張骨牌倒下，??，最后遞歸到需要第1張骨牌倒下，所以，還要有一個(gè)條件：第一張骨牌倒下。

師：大家說(shuō)有了這兩個(gè)條件，骨牌是不是可以順次的倒下呢？ 生：是。

師：上面同學(xué)說(shuō)得很好，要使骨牌全部倒下應(yīng)滿足兩個(gè)條件（投影顯示）第一個(gè)條件是：第一張骨牌倒下；第二個(gè)條件是：假設(shè)第k張骨牌倒下，第k?1張骨牌一定倒下。

現(xiàn)在你能不能利用這種思想（遞推思想）來(lái)證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式呢？是不是應(yīng)該建立一種遞推順序呢？

生：n?1時(shí)結(jié)論正確?n?2時(shí)結(jié)論正確?n?3時(shí)，結(jié)論正確，???n?k時(shí)結(jié)論正確?n?k?1時(shí)結(jié)論正確??

師：由于這個(gè)過程推理方法是一樣的，能否把這個(gè)過程一般化呢？ 生：假設(shè)n?k時(shí)結(jié)論正確?n?k?1時(shí)結(jié)論也正確。

師：這樣就保證了遞推。下面你能證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式了嗎？ 三．解決問題，引出概念（學(xué)生共答，教師板書）

證明：（1）當(dāng)n?1時(shí)，左邊?a，右邊?a1?0?d?a1，等式是成立的。

（2）假設(shè)當(dāng)n?k時(shí)等式成立，就是ak?a1?(k?1)d，下面看看是否能推出n?k?1時(shí)等式也成立，那么ak?1等于什么？

生：ak?1?a1??(k?1)?1?d。

師：哦！看來(lái)n?k?1時(shí)等式也成立，這樣做對(duì)嗎？ 生：（齊答）不對(duì)。

師：注意在證n?k?1時(shí)，一定要用到歸納假設(shè)，n?k時(shí)等式成立這一步，因?yàn)檫@樣才能保證遞推，那么ak?1與ak有什么關(guān)系呢？（學(xué)生齊答，教師繼續(xù)板書）??ak?1?ak?d??a1?(k?1)d??d?a1??(k?1)?1?d。這就是說(shuō)，當(dāng)n?k?1時(shí)，等式也成立，大家說(shuō)有了這兩步，是不是就證明了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性了呢？

生：n?1時(shí)等式成立?n?2時(shí)等式成立?n?3時(shí)等式成立???所以n取任何正整數(shù)等式都成立。

師：這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，那么你能談?wù)勈裁词菙?shù)學(xué)歸納法，及其用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟是怎樣的呢？

生：（在學(xué)生交流，教師引導(dǎo)完善下）數(shù)學(xué)歸納法（證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟）是：（投影跟蹤給出）。

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（例如n0?1或2等）時(shí)結(jié)論正確；

（2）假設(shè)當(dāng)n?k（k?N*，且k?n0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n?k?1時(shí)結(jié)論也正確。根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。所以數(shù)學(xué)歸納法是證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法。概括起來(lái)就是“兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論。”

師：用數(shù)學(xué)歸納法證題，實(shí)質(zhì)是一種什么思想？ 生：遞推思想。

師：在遞推中，兩個(gè)步驟各起到了怎樣的作用呢？

生：第一步是奠基，是遞推的基礎(chǔ)，第二步是保證能夠遞推，是遞推的依據(jù)。（此時(shí)投影上注明）

師：這兩步可以缺少哪一步嗎？ 生：（學(xué)生舉例說(shuō)明，教師點(diǎn)評(píng)，投影上也舉出實(shí)例，從而明確）兩步缺一不可。

師：我們已經(jīng)知道，由不完全歸納法得到的結(jié)論不可靠，因而必須作證明。若命題是與正整數(shù)有關(guān)的，證明可考慮用數(shù)學(xué)歸納法。下面請(qǐng)同學(xué)們看一道例題。

例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1?3?5????2n?1??n2（師生共同證題，總結(jié)出用數(shù)學(xué)歸納法證題的技巧是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。）

練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1．1?2?3???n?1n?n?1?。22．1?2?22???2n?1?2n?1。

3．首項(xiàng)是a1，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an?a1qn?1。

四．歸納小結(jié)，深化主題

師：本節(jié)的中心內(nèi)容是什么？為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法？什么是數(shù)學(xué)歸納法？體現(xiàn)什么思想？

生：（學(xué)生積極回答，從而自主地構(gòu)建本節(jié)課的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。）（投影展示）小結(jié)：

?不完全歸納法1．歸納法?

完全歸納法?特點(diǎn)：特殊→一般

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法概念及證題步驟。3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法實(shí)質(zhì)是遞推思想。五．布置作業(yè)： P76 1，2

《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案說(shuō)明

一、數(shù)學(xué)歸納法的地位與作用

1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法在教材中的地位與作用

數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)命題的一種重要的證明方法，它起源于正整數(shù)的歸納公理或最小數(shù)原理，而演變成各種形式。《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》是人教版高中數(shù)學(xué)新教材第三冊(cè)第二章“極限”中第一部分的知識(shí)。通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，可對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，如等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、二項(xiàng)式定理以及中小學(xué)很多思維上開拓創(chuàng)新的題目可以進(jìn)行很好地證明，使很多數(shù)學(xué)結(jié)論更加嚴(yán)密，也為后繼學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法對(duì)思維發(fā)展的地位與作用

人類對(duì)問題的研究，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)認(rèn)同，思維流程通常是觀察→歸納→猜想→證明。猜想的結(jié)論對(duì)不對(duì)，證明是尤為關(guān)鍵的。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題時(shí)，有助于學(xué)生對(duì)等式的恒等變形，不等式的放縮，數(shù)、式、形的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等知識(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練與掌握。對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，蘊(yùn)含著遞 歸與遞推，歸納與推理，特殊到一般，有限到無(wú)限等數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)思維的發(fā)展起到了完善與推動(dòng)的作用。

二、數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)與教學(xué)目標(biāo)定位

數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)了遞推的思想，數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)就是利用遞推思想去證題的一種方法。一堂精彩的課不僅僅是傳授給學(xué)生知識(shí)，更重要的是對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)和情感的熏陶。根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)及布魯納的教學(xué)目標(biāo)，特設(shè)置一條明線：如何驗(yàn)證等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性；一條暗線：如何驗(yàn)證由不完全歸納法得到的與正整數(shù)有關(guān)命題的真假。將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為三重目標(biāo)：①認(rèn)知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法與技巧；②能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨(dú)立實(shí)踐的能力；③情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。

三、學(xué)法、教法特點(diǎn)及預(yù)期效果

1．學(xué)法指導(dǎo)

高中學(xué)生具有一定的邏輯思維和推理演算能力，并且對(duì)事物的認(rèn)識(shí)逐步的由感性上升到理性，個(gè)體的發(fā)展由外顯轉(zhuǎn)化為內(nèi)隱，這些都是我們學(xué)好本節(jié)的有利因素。但不足的是，學(xué)生考慮問題的全面性及課堂氣氛的活躍性還不夠好。為此，根據(jù)教育學(xué)家奧蘇伯爾關(guān)于學(xué)科和認(rèn)知結(jié)構(gòu)組織的假設(shè)及其“先行組織者”技術(shù)與美國(guó)心理學(xué)家布魯納倡導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)法教育理論，在學(xué)法方面我采用“導(dǎo)—思—點(diǎn)撥—練”的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生自主參與知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成過程。在這個(gè)過程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行以下學(xué)法指導(dǎo)。

（1）溫故知新法

引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程，從而引出歸納法的概念，其又分為完全歸納法和不完全歸納法，如何驗(yàn)證等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性呢？進(jìn)而引出數(shù)學(xué)歸納法。

（2）體驗(yàn)感悟法

讓學(xué)生認(rèn)真觀看多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)，從而感悟數(shù)學(xué)歸納法原理。（3）質(zhì)疑法

引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)質(zhì)疑，解決問題，得到方法。（4）練習(xí)法

通過類比，練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證題，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法原理。2．教學(xué)特點(diǎn) 本節(jié)課在教法上貫徹如下兩個(gè)原則：

一是建構(gòu)主義原則。學(xué)生是教學(xué)的主體，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種再創(chuàng)造過程，他們通過吸收與融合原知識(shí)的過程來(lái)建立理解的層次結(jié)構(gòu)。皮亞杰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)說(shuō)：“所有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)再構(gòu)建，構(gòu)成復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，不斷發(fā)展。”數(shù)學(xué)知識(shí)不能從一個(gè)人遷移到另一個(gè)人，一個(gè)人的數(shù)學(xué)知識(shí)必須基于個(gè)人對(duì)經(jīng)驗(yàn)的歸納、交流，通過反思來(lái)主動(dòng)建構(gòu)，這就是建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀。為此教學(xué)設(shè)計(jì)是通過等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明及多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)的進(jìn)行建構(gòu)。

二是寓教于樂原則。實(shí)踐證明，學(xué)生在積極愉快的情形下，學(xué)習(xí)效率會(huì)大幅提高；在寬松的情形下，能夠最大限度地激發(fā)其聰明才智和創(chuàng)造性。結(jié)合本節(jié)課特點(diǎn)，將知識(shí)性與趣味性相結(jié)合，以吸引學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，自覺地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的“心理場(chǎng)”。比如，通過講員外兒子學(xué)寫數(shù)字，引進(jìn)了歸納法的概念，同時(shí)學(xué)生也體會(huì)到通過觀察、歸納、猜想一些結(jié)論，是很好的一個(gè)思維流程，但其結(jié)果不可靠。通過多米諾骨牌玩法的演示，詮釋了遞推思想。

3．預(yù)期效果

通過學(xué)法指導(dǎo)，教法特點(diǎn)實(shí)現(xiàn)三重目標(biāo)。

四、教學(xué)診斷與評(píng)價(jià)

1．教學(xué)診斷

證明數(shù)學(xué)歸納法的第一步是容易實(shí)現(xiàn)的，第二步是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，在驗(yàn)證n?k?1命題的正確性時(shí)，極易脫離歸納假設(shè)，為此應(yīng)重申遞推思想，總結(jié)出證題技巧“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。

2．教學(xué)評(píng)價(jià)

整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)重點(diǎn)突出，層次分明，環(huán)環(huán)緊扣，溫故知新。抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，教師處處啟發(fā)學(xué)生自己主動(dòng)去獲取知識(shí)，使教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用得以充分發(fā)揮，體現(xiàn)了素質(zhì)教育的指導(dǎo)思想。生活事例貫穿整個(gè)教學(xué)過程，使數(shù)學(xué)知識(shí)人文化，使抽象的問題具體化，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性。使學(xué)生學(xué)有所得，學(xué)有所用，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)的思維態(tài)度。