第一篇：等差數(shù)列的應(yīng)用舉例教案

姓名：陳奕丹 學(xué)號(hào)：2013411331 等差數(shù)列的應(yīng)用舉例

教學(xué)目標(biāo)：

在已經(jīng)學(xué)過(guò)等差數(shù)列的基本概念以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的基礎(chǔ)上對(duì)等差數(shù)列的進(jìn)一步鞏固，通過(guò)一些較為具體的應(yīng)用題來(lái)提高學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的進(jìn)一步理解和掌握。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際生活中遇到的問(wèn)題。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：熟練地使用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式。難點(diǎn)：學(xué)會(huì)分析實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用等差數(shù)列的相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決應(yīng)用問(wèn)題等。

教學(xué)過(guò)程：

一、課前復(fù)習(xí)

師：在開(kāi)始上課之前我們先回顧一下之前學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)。大家回憶一下，什么是等差數(shù)列，什么叫做等差數(shù)列的公差。

生：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是一個(gè)常數(shù)的數(shù)列叫做等差數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差。

師：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么呢？ 生：an?a1?(n?1)?d

師：那如果知道一個(gè)等差數(shù)列的第二項(xiàng)是a2，知道它的公差是d，那它的通項(xiàng)公式又是什么？這個(gè)時(shí)候我們可以代另外一條擴(kuò)展的公式an?am?(n?m)?d 生： an?a2?(n?2)?d

師：前n項(xiàng)和公式有哪兩個(gè)公式呢？

n(a1?an)Sn?2生：，Sn?n?a1?n(n?1)?d2

二、新課導(dǎo)航 出示課件的例題7 例7 某禮堂共有25排座位，后一排比前一排多兩個(gè)座位，最后一排有70個(gè)座位，問(wèn)禮堂共有多少座位？

就例7進(jìn)行分析，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生探究此實(shí)際問(wèn)題。

師：題中知道最后一排有70個(gè)座位，且共有25排座位，說(shuō)明第25排有多少個(gè)座位？ 生：70個(gè)

師：那我們假設(shè)這25排的座位數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則設(shè)第一排為a1，第二排為a2，以此類(lèi)推，那么a25等于多少？ 生：a25=70 師：題中還有一個(gè)條件說(shuō)道后一排比前一排多兩個(gè)座位，也就是說(shuō)第二十五排比第二十四排多兩個(gè)，第二十三比第二十二多兩個(gè)，依此類(lèi)推，是不是說(shuō)明了這個(gè)數(shù)列滿足每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是一個(gè)常數(shù)？ 生：是

師：那公差d為多少？ 生：2 師：那么這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是不是可以表示出來(lái)了？怎么表示？大家一起說(shuō)一下！師（生）：

an?a1?(n?1)?d，其中第a25?70?a1?(25?1)?2，即可以解得a1=22

25項(xiàng)師：這里要求全部有多少座位，那就是將第一排的座位加上第二排的座位加上第三排的座位一直加到第25排的座位，也就相當(dāng)于求a?a?a????a12325，即等差數(shù)列的前25項(xiàng)和，那么等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可以怎么求？?jī)蓷l公式都可以用！

三、解決問(wèn)題

師：通過(guò)對(duì)這道題理解，大家一起做一下這一道練習(xí)題。

3.如圖一個(gè)堆放鋼管的V形架的最下面一層放一根鋼管，往上每一層都比它下面一層多放一個(gè)，最上面一層放30根鋼管，求這個(gè)V形架上共放著多少根鋼管。

a30

a3

a

2a1

Sn?n(a1?an)2，師：顯然首項(xiàng)a1=1，an=30，公差d=1，若是用公式則需要知道n，a1，an，顯然a1，an知道，那么欠個(gè)n，那么怎么知道n是多少？這里就可以用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)計(jì)算，即可以列出式子30=1+（n-1）×1，可以解得n=30。這個(gè)時(shí)候既可以用公式計(jì)算共放著多少根鋼管。用另外一條前n項(xiàng)和公式也是同樣的需要算出n是多少。

四、課堂鞏固和總結(jié)

Sn?n?a1?n(n?1)?d2，總結(jié)：面對(duì)一些求總和類(lèi)的問(wèn)題，大家首先觀察一下題目所給的信息，有沒(méi)有可以推出數(shù)和數(shù)之間的關(guān)系，通常就是數(shù)和數(shù)之間的差是一個(gè)固定的數(shù)值，那么它就是一個(gè)等差數(shù)列，這樣，就可以直接運(yùn)用等差數(shù)列的相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)去解決問(wèn)題。

鞏固：通過(guò)對(duì)例題的理解，請(qǐng)大家一起做一下兩道習(xí)題，課本的第11頁(yè)的第九題和第十題。

第二篇：等差數(shù)列應(yīng)用舉例

第5課時(shí)

【教學(xué)題目】§6.2.4等差數(shù)列應(yīng)用舉例 【教學(xué)目標(biāo)】

1.掌握等差數(shù)列的概念； 2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式； 3.掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；

4.會(huì)應(yīng)用等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解答實(shí)際問(wèn)題.【教學(xué)內(nèi)容】

1.等差數(shù)列的概念； 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式； 3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；

4.應(yīng)用等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解答實(shí)際問(wèn)題.【教學(xué)重點(diǎn)】

1.等差數(shù)列的概念； 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式； 3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.【教學(xué)難點(diǎn)】

應(yīng)用等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解答實(shí)際問(wèn)題.【教學(xué)過(guò)程】

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

（一）等差數(shù)列的定義

an?1?an?d；

（二）等差數(shù)列的遞推公式

an?1?an?d；

（三）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

an?a1??n?1?d；

（四）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

二、例題講解 Sn?n?a1?an?2Sn?na1?n?n?1?d.2例

1、某禮堂共有25排座位，后一排比前一排多兩個(gè)座位，最后一排有70個(gè)座位，問(wèn)禮堂共有多少個(gè)座位？

解法1：由題意可知，各排座位數(shù)成等差數(shù)列，公差d?2,a25?70于是

70?a1??25?1??2，解得

a1?22.所以 S25?答：禮堂共有1150個(gè)座位.解法2：由題意可知，各排座位數(shù)成等差數(shù)列，將最后一排看作第1排，則a1?70，25??22?70??1150.2d??2，n?25，因此

S25?25?70?答：禮堂共有1150個(gè)座位.25??25?1????2??1150.2例

2、小王參加工作后，采用零存整取方式在農(nóng)行存款.從元月份開(kāi)始，每月第1天存入銀行1000元，銀行一年利率1.71%計(jì)息，試問(wèn)年終結(jié)算時(shí)本金與利息之和（簡(jiǎn)稱(chēng)本利和）是多少（精確到0.01元）？

說(shuō)明：

（1）年利率1.71%，折合月利率為0.1425%.計(jì)算公式為月利率=年利率÷12；（2）年終結(jié)算時(shí)本金為1000*12；

（3）每個(gè)月產(chǎn)生的利息是不同的，第一個(gè)月到年底時(shí)產(chǎn)生的利息為：1000*0.1425%*12，第二個(gè)月到年底時(shí)產(chǎn)生的利息為：1000*0.1425%*11，以此類(lèi)推.解：年利率1.71%，折合月利率為0.1425%.第1個(gè)月的存款利息為 1000×0.1425%×12（元）； 第2個(gè)月的存款利息為 1000×0.1425%×11（元）； 第3個(gè)月的存款利息為 1000×0.1425%×10（元）；

…

第12個(gè)月的存款利息為 1000×0.1425%×1（元）.應(yīng)得到的利息就是上面各期利息之和：

Sn?1000?0.1425%??1?2?3?12??111.15（元）.故年終本金與利息之和為：

12?1000?111.15?12111.15（元）.答：年終結(jié)算時(shí)本金與利息之和（簡(jiǎn)稱(chēng)本利和）為12111.15元.三、學(xué)生練習(xí)

一個(gè)堆放鋼管的V型架的最下面一層放1根鋼管，往上每一層都比它下面一層多放一個(gè)，最上面一層放30根鋼管，求這個(gè)V型架上共放著多少根鋼管.分析：由題意知，V型架每一層放的鋼管數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，且a1?1，d?1，an?30.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an?a1??n?1?d知：30?1??n?1??1，解得n?30，故 S30?

四、課堂小結(jié)

（一）等差數(shù)列的概念；

（二）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（三）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；

（四）應(yīng)用等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解答實(shí)際問(wèn)題.五、作業(yè)布置

（一）課本P11練習(xí)6.2.4；

（二）課本P11練習(xí)6.2A組第9題、第10題、第7題，第8題.六、教學(xué)反思

本節(jié)課的重點(diǎn)在于使學(xué)生利用等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解答實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，是學(xué)生能將所學(xué)到的只是很好的應(yīng)用到實(shí)際生活中去.這樣有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和興趣、也有利于使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)理論聯(lián)系實(shí)際.通過(guò)課堂練習(xí)和作業(yè)反映的情況來(lái)看，學(xué)生都能較好地將等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)應(yīng)用于解答實(shí)際問(wèn)題，但也有些學(xué)生表現(xiàn)出基礎(chǔ)計(jì)算能力較弱，需教師加強(qiáng)指導(dǎo).n?a1?an?30??1?30???465.22

第三篇：應(yīng)用舉例

工作流應(yīng)用情況舉例

應(yīng)該說(shuō)，工作流軟件應(yīng)用的范圍還是非常廣泛，凡是各種通過(guò)表單逐級(jí)手工流轉(zhuǎn)完成的任務(wù)均可應(yīng)用工作流軟件自動(dòng)實(shí)現(xiàn)，可以考慮在以下一些方面推行工作流程自動(dòng)化。

行政管理類(lèi)： 出差申請(qǐng)，加班申請(qǐng)，請(qǐng)假申請(qǐng)，用車(chē)申請(qǐng)，各種辦公工具申請(qǐng)，購(gòu)買(mǎi)申請(qǐng)，日?qǐng)?bào)周報(bào)，信息公告等凡是原來(lái)手工流轉(zhuǎn)處理的行政性表單。

人事管理類(lèi)： 員工培訓(xùn)安排，績(jī)效考評(píng)，新員工安排，職位變動(dòng)處理，員工檔案信息管理等。

財(cái)務(wù)相關(guān)類(lèi)： 付款請(qǐng)求，應(yīng)收款處理，日常、差旅、娛樂(lè)報(bào)銷(xiāo)，預(yù)算和計(jì)劃申請(qǐng)等。客戶服務(wù)類(lèi)： 客戶信息管理，客戶投訴、請(qǐng)求處理，售后服務(wù)管理。其他業(yè)務(wù)流程：訂單、報(bào)價(jià)處理，采購(gòu)處理，合同審核，客戶電話處理等等。具體舉例，如：

Purchase Request、Purchase Order、Delivery Note、Payment Request、Reimbursement、Annual Leave Application、Medical Claim、Overtime Request、Going Abroad Request、Training Request、Leave Request、Air Ticket Request、Contract Pre-Approval Workflow Management、Voucher/Expense Request、Renting Car Request、Meeting Room Reservation Request、Moving/Renting Cubicle, Room Request、Visitor Request Form、Travel Request Form、Stationery Checklist For New Hire、Company Property Checklist、Exit Checklist、Employee Absence Report/Leave Application、OT Expenses Reimbursement Form、Nursery Expense Reimbursement Form、Temporary Help Request Form、Professional Affairs Request Form、Temporary Help Expenses Reimbursement Form，公文會(huì)簽表、名片申請(qǐng)單、用章申請(qǐng)單、付款/結(jié)算憑證、印刷品申請(qǐng)表等等。

Fiance：付款申請(qǐng)單、采購(gòu)單、交通費(fèi)報(bào)銷(xiāo)單

GA：差旅申請(qǐng)單、辦公用品申請(qǐng)單、訪客申請(qǐng)表、名片、名牌、門(mén)禁卡申請(qǐng)單、用章申請(qǐng)單、公文會(huì)簽表、公司合同管理會(huì)簽單 HR：領(lǐng)用公司財(cái)物清單、離職清單、員工休假申請(qǐng)表、加班申請(qǐng)表、加班費(fèi)用報(bào)銷(xiāo)單、員工子女托費(fèi)報(bào)銷(xiāo)單、臨時(shí)雇員申請(qǐng)表、培訓(xùn)申請(qǐng)表、專(zhuān)業(yè)事務(wù)申請(qǐng)表、書(shū)刊請(qǐng)購(gòu)表、臨時(shí)工費(fèi)用報(bào)銷(xiāo)申請(qǐng)表、員工醫(yī)藥費(fèi)報(bào)銷(xiāo)申請(qǐng)表

出差(申請(qǐng)－報(bào)銷(xiāo)－報(bào)告)，請(qǐng)購(gòu)（原料包材），人力需求申請(qǐng)表，派車(chē)單，用印申請(qǐng)表，員工考核表，工作申請(qǐng)表，人員異動(dòng)申請(qǐng)表，薪資異動(dòng)申請(qǐng)表，離職辭職人員申請(qǐng)表，離職移交表，名片印刷申請(qǐng)表，一般費(fèi)用報(bào)銷(xiāo)（包含醫(yī)藥費(fèi)報(bào)銷(xiāo)），請(qǐng)款（與ERP做接口），外出登記，加班申請(qǐng)，請(qǐng)購(gòu) 等

第四篇：指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用舉例教案

對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用教案

編寫(xiě)

林建國(guó)

審核

高一數(shù)學(xué)教研組

第1頁(yè)

4.5.3對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用舉例

教學(xué)目的：掌握利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題。

教學(xué)難點(diǎn)：通過(guò)閱讀理解讀懂題目中文字?jǐn)⑹鏊从车膶?shí)際背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本，弄清題中出現(xiàn)的量及其數(shù)學(xué)含義；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體背景，進(jìn)行數(shù)學(xué)化設(shè)計(jì)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型。

教學(xué)方法：學(xué)導(dǎo)式教學(xué)法 教學(xué)過(guò)程： 1.復(fù)習(xí)

數(shù)學(xué)來(lái)自生活，又應(yīng)用于生活和生產(chǎn)實(shí)踐．而實(shí)際問(wèn)題中又蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)思想與方法．今天我們就一起來(lái)探討幾個(gè)有關(guān)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題。例1.現(xiàn)有人口100萬(wàn)，根據(jù)最近20年的統(tǒng)計(jì)資料，這個(gè)城市的人口的年自然增長(zhǎng)率為1.2%，按這個(gè)增長(zhǎng)率計(jì)算：

(1)10年后這個(gè)城市的人口預(yù)計(jì)有多少萬(wàn)？(2)20年后這個(gè)城市的人口預(yù)計(jì)有多少萬(wàn)？

(3)在今后20年內(nèi)，前10年與后10年分別增加了多少萬(wàn)人？

分析：按年自然增長(zhǎng)率為1.2%，計(jì)算1年后該城市的人口總數(shù)為100+100×1.2% =100（1+1.2%）（萬(wàn)人）2年后該城市的人口總數(shù)為 100（1+1.2%）+100（1+1.2%）1.2%=100（1+1.2%）（萬(wàn)人）

依此…n年后該城市的人口總數(shù)為 100（1+1.2%）（萬(wàn)人）

解：（1）10年后該城市的人口總數(shù)為 100（1+1.2%）≈112.67（萬(wàn)人）

20（2）20年后該城市的人口總數(shù)為 100（1+1.2%）≈126.94（萬(wàn)人）（3）前10年增加的人口為112.67-100=12.67（萬(wàn)人）

后10年增加的人口為126.94-112.67=14.27（萬(wàn)人）答：…

例2.1995年我國(guó)人口總數(shù)是12億，如果人口的自然增長(zhǎng)率控制在1.25%。問(wèn)哪一年人口總數(shù)將達(dá)到14億？

解：設(shè)x年后人口總數(shù)將達(dá)到14億，則有12（1+1.25%）=14 即：1.0125=兩邊取常用對(duì)數(shù)可得：x=log1.012510

n14 1214 ≈12.4 12 答：13年后即2008年我國(guó)人口總數(shù)將達(dá)到14億。

例3.庫(kù)存的某種商品的價(jià)值是50萬(wàn)元，如果每年的損耗是4.5%，那么經(jīng)過(guò)多少年，它的價(jià)值將為20萬(wàn)元？ 對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用教案

編寫(xiě)

林建國(guó)

審核

高一數(shù)學(xué)教研組

第2頁(yè)

解：設(shè)經(jīng)過(guò)x年它的價(jià)值將為20萬(wàn)元，依題意有：50（1-4.5%）=20 ?50×0.955=20 ? 0.955=0.4 ?x?log0.9550.4 ? x≈20

2.小結(jié)：解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際建立數(shù)學(xué)模型。

3.作業(yè)：page79 T6 PageT9，T10

第五篇：《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案

《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案

教學(xué)目標(biāo)：

1．認(rèn)知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。2．能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨(dú)立實(shí)踐的能力。

3．情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。

教學(xué)重點(diǎn)：

了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。

教學(xué)難點(diǎn)：

數(shù)學(xué)歸納法原理的了解及遞推思想在解題中的體現(xiàn)。

教學(xué)過(guò)程：

一．創(chuàng)設(shè)情境，回顧引入

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》（板書(shū)）。首先給大家講一個(gè)故事：從前有一個(gè)員外的兒子學(xué)寫(xiě)字，當(dāng)老師教他寫(xiě)數(shù)字的時(shí)候，告訴他一、二、三的寫(xiě)法時(shí)，員外兒子很高興，告訴老師他會(huì)寫(xiě)數(shù)字了。過(guò)了不久，員外要寫(xiě)請(qǐng)?zhí)缯?qǐng)親朋好友到家里做客，員外兒子自告奮勇地要寫(xiě)請(qǐng)?zhí)＝Y(jié)果早晨開(kāi)始寫(xiě)，一直到了晚間也沒(méi)有寫(xiě)完，請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們，這是為什么呢？

生：因?yàn)橛行铡叭f(wàn)”的。

師：對(duì)！有姓“萬(wàn)”的。員外兒子萬(wàn)萬(wàn)也沒(méi)有想到“萬(wàn)”不是一萬(wàn)橫，而是這么寫(xiě)的“萬(wàn)”。通過(guò)這個(gè)故事，你對(duì)員外兒子有何評(píng)價(jià)呢？

生：（學(xué)生的評(píng)價(jià)主要會(huì)有兩種，一是員外兒子愚蠢，二是員外兒子還是聰明的。）

師：其實(shí)員外兒子觀察、歸納、猜想的能力還是很不錯(cuò)的，但遺憾的是他猜錯(cuò)了！在數(shù)學(xué) 上，我們很多時(shí)候是通過(guò)觀察→歸納→猜想，這種思維過(guò)程去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論，它是一種創(chuàng)造性的思維過(guò)程。那么，我們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，有沒(méi)有也像員外兒子那樣猜想過(guò)某些結(jié)論呢？

生：有。例如等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。

師：很好。我們是由等差數(shù)列前幾項(xiàng)滿足的規(guī)律：a1?a1?0d，a2?a1?d，a3?a1?2d，a4?a1?3d，??歸納出了它的通項(xiàng)公式的。其實(shí)我們推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和員外兒子猜想數(shù)字寫(xiě)法的方法都是歸納法。那么你能說(shuō)說(shuō)什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)嗎？

生：由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。特點(diǎn)：特殊→一般。師：對(duì)。（投影展示有關(guān)定義）

像這種由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。根據(jù)推理過(guò)程中考察的對(duì)象是涉及事物的一部分還是全部，分為不完全歸納法和完全歸納法。

完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。那么，用完全歸納法得出的結(jié)論可靠嗎？

生：（齊答）可靠。

師：用不完全歸納法得出的結(jié)論是不是也是可靠的呢？為什么？

生：不可靠。這是因?yàn)橹豢疾炝瞬糠智闆r，結(jié)論不一定具有普遍性。

師：是不可靠的。不妨再舉一例an??n?1??n?2??n?3???n?1000?容易驗(yàn)證a1?0，a2?0，a3?0，?，a1000?0，如果由此作出結(jié)論——對(duì)于任何n?N*，an??n?1??n?2??n?3?? ?n?1000??0都成立，那就是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，a1001?1000!?0。

二．設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)探究

師：請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們你們玩過(guò)多米諾骨牌嗎？ 生：（沒(méi)）玩過(guò)。（課堂氣氛由剛才的沉思變得開(kāi)始活躍）師：無(wú)論玩沒(méi)玩過(guò)，下面我們一起來(lái)玩一下。（投影儀上進(jìn)行生動(dòng)、形象的骨牌演示）在觀看骨牌玩法時(shí)，請(qǐng)思考：滿足什么條件，骨牌可以全部倒下？

生：假設(shè)第kk?N*張骨牌倒下，保證第k?1張骨牌倒下。

師：這樣就保證了可以遞推下去，骨牌就可以全部倒下了，是嗎？

生：不是。我們不知道第k張骨牌是否倒下了，從而我們是假設(shè)第k張骨牌倒下。若第k張骨牌倒下，需要第k?1張骨牌倒下；若第k?1張骨牌倒下，需要第k?2張骨牌倒下，??，最后遞歸到需要第1張骨牌倒下，所以，還要有一個(gè)條件：第一張骨牌倒下。

師：大家說(shuō)有了這兩個(gè)條件，骨牌是不是可以順次的倒下呢？ 生：是。

師：上面同學(xué)說(shuō)得很好，要使骨牌全部倒下應(yīng)滿足兩個(gè)條件（投影顯示）第一個(gè)條件是：第一張骨牌倒下；第二個(gè)條件是：假設(shè)第k張骨牌倒下，第k?1張骨牌一定倒下。

現(xiàn)在你能不能利用這種思想（遞推思想）來(lái)證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式呢？是不是應(yīng)該建立一種遞推順序呢？

生：n?1時(shí)結(jié)論正確?n?2時(shí)結(jié)論正確?n?3時(shí)，結(jié)論正確，???n?k時(shí)結(jié)論正確?n?k?1時(shí)結(jié)論正確??

師：由于這個(gè)過(guò)程推理方法是一樣的，能否把這個(gè)過(guò)程一般化呢？ 生：假設(shè)n?k時(shí)結(jié)論正確?n?k?1時(shí)結(jié)論也正確。

師：這樣就保證了遞推。下面你能證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式了嗎？ 三．解決問(wèn)題，引出概念（學(xué)生共答，教師板書(shū)）

證明：（1）當(dāng)n?1時(shí)，左邊?a，右邊?a1?0?d?a1，等式是成立的。

（2）假設(shè)當(dāng)n?k時(shí)等式成立，就是ak?a1?(k?1)d，下面看看是否能推出n?k?1時(shí)等式也成立，那么ak?1等于什么？

生：ak?1?a1??(k?1)?1?d。

師：哦！看來(lái)n?k?1時(shí)等式也成立，這樣做對(duì)嗎？ 生：（齊答）不對(duì)。

師：注意在證n?k?1時(shí)，一定要用到歸納假設(shè)，n?k時(shí)等式成立這一步，因?yàn)檫@樣才能保證遞推，那么ak?1與ak有什么關(guān)系呢？（學(xué)生齊答，教師繼續(xù)板書(shū)）??ak?1?ak?d??a1?(k?1)d??d?a1??(k?1)?1?d。這就是說(shuō)，當(dāng)n?k?1時(shí)，等式也成立，大家說(shuō)有了這兩步，是不是就證明了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性了呢？

生：n?1時(shí)等式成立?n?2時(shí)等式成立?n?3時(shí)等式成立???所以n取任何正整數(shù)等式都成立。

師：這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，那么你能談?wù)勈裁词菙?shù)學(xué)歸納法，及其用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟是怎樣的呢？

生：（在學(xué)生交流，教師引導(dǎo)完善下）數(shù)學(xué)歸納法（證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟）是：（投影跟蹤給出）。

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（例如n0?1或2等）時(shí)結(jié)論正確；

（2）假設(shè)當(dāng)n?k（k?N*，且k?n0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n?k?1時(shí)結(jié)論也正確。根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確。所以數(shù)學(xué)歸納法是證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法。概括起來(lái)就是“兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論。”

師：用數(shù)學(xué)歸納法證題，實(shí)質(zhì)是一種什么思想？ 生：遞推思想。

師：在遞推中，兩個(gè)步驟各起到了怎樣的作用呢？

生：第一步是奠基，是遞推的基礎(chǔ)，第二步是保證能夠遞推，是遞推的依據(jù)。（此時(shí)投影上注明）

師：這兩步可以缺少哪一步嗎？ 生：（學(xué)生舉例說(shuō)明，教師點(diǎn)評(píng)，投影上也舉出實(shí)例，從而明確）兩步缺一不可。

師：我們已經(jīng)知道，由不完全歸納法得到的結(jié)論不可靠，因而必須作證明。若命題是與正整數(shù)有關(guān)的，證明可考慮用數(shù)學(xué)歸納法。下面請(qǐng)同學(xué)們看一道例題。

例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1?3?5????2n?1??n2（師生共同證題，總結(jié)出用數(shù)學(xué)歸納法證題的技巧是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。）

練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1．1?2?3???n?1n?n?1?。22．1?2?22???2n?1?2n?1。

3．首項(xiàng)是a1，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an?a1qn?1。

四．歸納小結(jié)，深化主題

師：本節(jié)的中心內(nèi)容是什么？為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法？什么是數(shù)學(xué)歸納法？體現(xiàn)什么思想？

生：（學(xué)生積極回答，從而自主地構(gòu)建本節(jié)課的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。）（投影展示）小結(jié)：

?不完全歸納法1．歸納法?

完全歸納法?特點(diǎn)：特殊→一般

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法概念及證題步驟。3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法實(shí)質(zhì)是遞推思想。五．布置作業(yè)： P76 1，2

《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案說(shuō)明

一、數(shù)學(xué)歸納法的地位與作用

1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法在教材中的地位與作用

數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)命題的一種重要的證明方法，它起源于正整數(shù)的歸納公理或最小數(shù)原理，而演變成各種形式。《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》是人教版高中數(shù)學(xué)新教材第三冊(cè)第二章“極限”中第一部分的知識(shí)。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，可對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，如等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、二項(xiàng)式定理以及中小學(xué)很多思維上開(kāi)拓創(chuàng)新的題目可以進(jìn)行很好地證明，使很多數(shù)學(xué)結(jié)論更加嚴(yán)密，也為后繼學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法對(duì)思維發(fā)展的地位與作用

人類(lèi)對(duì)問(wèn)題的研究，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)認(rèn)同，思維流程通常是觀察→歸納→猜想→證明。猜想的結(jié)論對(duì)不對(duì)，證明是尤為關(guān)鍵的。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題時(shí)，有助于學(xué)生對(duì)等式的恒等變形，不等式的放縮，數(shù)、式、形的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等知識(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練與掌握。對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，蘊(yùn)含著遞 歸與遞推，歸納與推理，特殊到一般，有限到無(wú)限等數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)思維的發(fā)展起到了完善與推動(dòng)的作用。

二、數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)與教學(xué)目標(biāo)定位

數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)了遞推的思想，數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)就是利用遞推思想去證題的一種方法。一堂精彩的課不僅僅是傳授給學(xué)生知識(shí)，更重要的是對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)和情感的熏陶。根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)及布魯納的教學(xué)目標(biāo)，特設(shè)置一條明線：如何驗(yàn)證等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性；一條暗線：如何驗(yàn)證由不完全歸納法得到的與正整數(shù)有關(guān)命題的真假。將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為三重目標(biāo)：①認(rèn)知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法與技巧；②能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨(dú)立實(shí)踐的能力；③情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。

三、學(xué)法、教法特點(diǎn)及預(yù)期效果

1．學(xué)法指導(dǎo)

高中學(xué)生具有一定的邏輯思維和推理演算能力，并且對(duì)事物的認(rèn)識(shí)逐步的由感性上升到理性，個(gè)體的發(fā)展由外顯轉(zhuǎn)化為內(nèi)隱，這些都是我們學(xué)好本節(jié)的有利因素。但不足的是，學(xué)生考慮問(wèn)題的全面性及課堂氣氛的活躍性還不夠好。為此，根據(jù)教育學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾關(guān)于學(xué)科和認(rèn)知結(jié)構(gòu)組織的假設(shè)及其“先行組織者”技術(shù)與美國(guó)心理學(xué)家布魯納倡導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)法教育理論，在學(xué)法方面我采用“導(dǎo)—思—點(diǎn)撥—練”的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生自主參與知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行以下學(xué)法指導(dǎo)。

（1）溫故知新法

引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，從而引出歸納法的概念，其又分為完全歸納法和不完全歸納法，如何驗(yàn)證等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性呢？進(jìn)而引出數(shù)學(xué)歸納法。

（2）體驗(yàn)感悟法

讓學(xué)生認(rèn)真觀看多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)，從而感悟數(shù)學(xué)歸納法原理。（3）質(zhì)疑法

引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)質(zhì)疑，解決問(wèn)題，得到方法。（4）練習(xí)法

通過(guò)類(lèi)比，練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證題，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法原理。2．教學(xué)特點(diǎn) 本節(jié)課在教法上貫徹如下兩個(gè)原則：

一是建構(gòu)主義原則。學(xué)生是教學(xué)的主體，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種再創(chuàng)造過(guò)程，他們通過(guò)吸收與融合原知識(shí)的過(guò)程來(lái)建立理解的層次結(jié)構(gòu)。皮亞杰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)說(shuō)：“所有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)再構(gòu)建，構(gòu)成復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，不斷發(fā)展。”數(shù)學(xué)知識(shí)不能從一個(gè)人遷移到另一個(gè)人，一個(gè)人的數(shù)學(xué)知識(shí)必須基于個(gè)人對(duì)經(jīng)驗(yàn)的歸納、交流，通過(guò)反思來(lái)主動(dòng)建構(gòu)，這就是建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀。為此教學(xué)設(shè)計(jì)是通過(guò)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明及多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)的進(jìn)行建構(gòu)。

二是寓教于樂(lè)原則。實(shí)踐證明，學(xué)生在積極愉快的情形下，學(xué)習(xí)效率會(huì)大幅提高；在寬松的情形下，能夠最大限度地激發(fā)其聰明才智和創(chuàng)造性。結(jié)合本節(jié)課特點(diǎn)，將知識(shí)性與趣味性相結(jié)合，以吸引學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，自覺(jué)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的“心理場(chǎng)”。比如，通過(guò)講員外兒子學(xué)寫(xiě)數(shù)字，引進(jìn)了歸納法的概念，同時(shí)學(xué)生也體會(huì)到通過(guò)觀察、歸納、猜想一些結(jié)論，是很好的一個(gè)思維流程，但其結(jié)果不可靠。通過(guò)多米諾骨牌玩法的演示，詮釋了遞推思想。

3．預(yù)期效果

通過(guò)學(xué)法指導(dǎo)，教法特點(diǎn)實(shí)現(xiàn)三重目標(biāo)。

四、教學(xué)診斷與評(píng)價(jià)

1．教學(xué)診斷

證明數(shù)學(xué)歸納法的第一步是容易實(shí)現(xiàn)的，第二步是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，在驗(yàn)證n?k?1命題的正確性時(shí)，極易脫離歸納假設(shè)，為此應(yīng)重申遞推思想，總結(jié)出證題技巧“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。

2．教學(xué)評(píng)價(jià)

整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)重點(diǎn)突出，層次分明，環(huán)環(huán)緊扣，溫故知新。抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，教師處處啟發(fā)學(xué)生自己主動(dòng)去獲取知識(shí)，使教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用得以充分發(fā)揮，體現(xiàn)了素質(zhì)教育的指導(dǎo)思想。生活事例貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程，使數(shù)學(xué)知識(shí)人文化，使抽象的問(wèn)題具體化，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性。使學(xué)生學(xué)有所得，學(xué)有所用，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)的思維態(tài)度。