第一篇：高一數學 解斜三角形的應用教案

湖南師范大學附屬中學高一數學教案：解斜三角形的應用

教材：解斜三角形的應用

目的：要求學生利用數學建模思想，結合正弦定理、余弦定理和解任意三角形的知識解決實踐中的有關問題。

過程：

一、提出課題：解斜三角形的應用

二、例一(課本P132 例一)略

例二[變題] 假定自動卸貨汽車裝有一車貨物，貨物與車箱的底部的滑動摩擦系數為0.3，油泵頂點B與車箱支點A之間的距離為1.95米，AB與水平線之間的夾角為6米，求貨物開始下滑時AC的長。

解：

設車箱傾斜角為，貨物重量為mg f??N??mgcos?

當?mgcos??mgsin?即??tan?時貨物下滑

20’，AC長為1.40

??tan? 0.3?tan?

??arctan0.3?16?42'

16?42'?6?20'?23?02'

在△ABC中: BC2?AB2?AC2?2AB?ACcos?BAC

22? ?1.95?1.40?2?1.95?1.40?cos2302'?10.787 BC?3.28

例三(課本P133 例二)略 例四 我艦在敵島A南50

西相距12 nmile的B處，發現敵艦正由島沿北10

西的方向以10nmile/h的速度航行，問：我艦需要以多大速度，沿什么方向航行才能用功小時追上敵艦？ 解：在△ABC中：AB=12 AC=10×2=20

BAC=40

+80

=120

BC2?AB2?AC2?2AB?ACcos?BAC

1?122?202?2?12?20?(?)?784 BC=28

2即追擊速度為14mile/h 又：∵△ABC中，由正弦定理：

ACBC? sinBsinA∴sinB?ACsinA5353? ∴B?arcsin

BC1414?∴我艦航行方向為北(50?arcsin53)東 1

4三、作業：P134 練習1、2習題5.10 1—4

第二篇：解斜三角形簡單練習

一、自主梳理1.正弦定理：

abc

===2R，其中R是三角形外接圓半徑.sinAsinBsinC

b2?c2?a2

2.余弦定理：a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,cosA=.2bc11

1absinC=bcsinA=acsinB,S△=S(S?a)(S?b)(S?c)222a?b?cabc

=Sr(S=,r為內切圓半徑)=(R為外接圓半徑).24R

3.S△ABC=

4.在三角形中大邊對大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形內角的誘導公式

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cossin

CA?B=sin,22

CA?B

=cos……

在△ABC中，熟記并會證明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;

(2)A、B、C成等差數列的充要條件是B=60°；

(3)△ABC是正三角形的充要條件是A、B、C成等差數列且a、b、c成等比數列.7.解三角形常見的四種類型

(1)已知兩角A、B與一邊a,由A+B+C=180°及

abc

==，可求出角C，sinAsinBsinC

再求出b、c.(2)已知兩邊b、c與其夾角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三邊a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.ab

=，求出另一邊b的對sinAsinB

acab

角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由=求出C，而通過=求B時，sinAsinCsinAsinB

(4)已知兩邊a、b及其中一邊的對角A，由正弦定理8.用向量證明正弦定理、余弦定理，關鍵在于基向量的位置和方向.9.三角形的分類或形狀判斷的思路，主要從邊或角兩方面入手.1．已知三角形的三邊之比為3∶4∶37，則最大內角為 ． 2．已知(a?b?c)(b?c?a)＝3bc，則∠A＝．

3．已知三角形的一個內角是45，一鄰邊長是，對邊長為2，則另一鄰邊長為．

?，則∠A＝．

4?

5．在△ABC中，已知a＝12，b＝4，∠A＝120，則c＝，S?＝ ．

a?b?c3b

6．已知sinA＝2sinBcosC，且＝，則三角形形狀為．

b?c?ac

?

7．在△ABC中，已知a＝1，b＝，∠A＝30，則∠B＝．

4．已知a＝4，b＝6，sinB＝

8．在△ABC中，已知a＝2，b＝22，如果三角形有解，則∠A的取值范圍． 9．在△ABC中，若acosA＝bcosB，則△ABC是 ．

10．在△ABC中，∠B＝45，D是BC上一點，AD＝5，AC＝7，DC＝3，則AB＝． 11．已知三角形的三條邊之比為3∶5∶7，且最大邊長為14，則三角形的面積為． 12．在銳角三角形ABC中，a＝8，c＝12，S?＝243，則三角形中最小角是，它的正弦值等于． 二．選擇題：

13．在△ABC中，sinA+cosA＝

??

7，則△ABC是（）1

2（A）鈍角三角形；（B）銳角三角形；（C）直角三角形；（D）正三角形． 14．在△ABC中，∠A＝60，a＝7，b＝8，則三角形（）（A）有一解；（B）有兩解；（C）無解；（D）不確定．

15．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，則cos?ABC＝（）

111213；（B）－；（C）；（D）． 164244

?

16．在△ABC中，b＝1，c＝3，∠B＝30，則△ABC的面積是（）

（A）（A）

333；（B）；（C）或；（D）或． 24242

三．解答題：

17．在△ABC中，若a?cosA+b?cosB＝c?cosC，判斷三角形形狀． 解：

18．在△ABC中，已知ab＝60，S?＝15，sinA＝cosB，求三角形的三內角． 解：

19．已知三角形三邊是三個連續自然數，若最大角是最小角的兩倍，求三邊長． 解：

?

20．已知三角形兩邊之和為8，其夾角為60，求這個三角形周長的最小值和面積的最大值，并指出面積最大時三角形的形狀． 解：

1.在△ABC中，A=60°，a=433,b=42，則B等于()

A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不對 2.△ABC中，a=2bcosC，則此三角形一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 3.設A是△ABC最小內角，則sinA+cosA的取值范圍是()

A.(-2，2)B.［-2,2］C.(1，2)D.(1,2］

Ab?c

在△ABC中，cos2=(a、b、c分別為角A、B、C的對邊)，則△ABC的形狀為()

2c

A.正三角形B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,則∠A=_________________________.△ABC的三個內角A、B、C的對邊分別是a、b、c,如果a2=b(b+c),求證:A=2B.剖析：研究三角形問題一般有兩種思路.一是邊化角,二是角化邊.已知銳角△ABC中,sin(A+B)=

31,sin(A-B)=.5

5(1)求證:tanA=2tanB;

(2)設AB=3,求AB邊上的高.剖析：有兩角的和與差聯想到兩角和與差的正弦公式,結合圖形

如圖，有兩條相交成60°角的直路EF、MN，交點是O.起初，阿福在OE上距O點3千米的點A處；阿田在OM上距O點1千米的點B處.現在他們同時以4千米/時的速度行走，阿福沿EF的方向，阿田沿NM的方向

.(1)求起初兩人的距離；

(2)用包含t的式子表示t小時后兩人的距離；(3)什么時候他們兩人的距離最短？

1.在△ABC中，cos（A－B）＋sin（A＋B）=2，則△ABC的形狀是（）A.等邊三角形B.等腰鈍角三角形 C.等腰直角三角形 D.銳角三角形

a2?b2?c22.若△ABC的面積為，則內角C等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90° 3.△ABC中，sin2A=sin2B＋sinBsinC＋sin2C，則A等于（）A.30°B.60°C.120°D.150°

4.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為（）A.銳角三角形B.直角三角形 C.鈍角三角形D.由增加的長度決定

5.在△ABC中，A為銳角，lgb+lg（A.等腰三角形 形）=lgsinA=－lg2，則△ABC為（）c

B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角

6.在△ABC中，a（sinB－sinC）＋b（sinC－sinA）＋c（sinA－sinB）的值是（）A.1

2B.0C.1D.π

7.R是△ABC的外接圓半徑，若ab＜4R2cosAcosB，則△ABC的外心位于（）A.三角形的外部B.三角形的邊上 C.三角形的內部D.三角形的內部或外部，但不會在邊上 8.若△ABC的三條邊的長分別為3、4、6，則它的較大的銳角的平分線分三角形所成的兩個三角形的面積比是（）

A.1∶1B.1∶2C.1∶4D.3∶

9.如圖，D、C、B三點在地面同一直線上，DC=a，從C、D兩點測得A點的仰角分別是β、α（α＜β），則A點離地面的高AB等于（）

A

D

?

C

?

B

D.acos?cos?

cos(???)

A.asin?sin?

sin(???)

B.asin?sin?

cos(???)

C.acos?cos?

sin(???)

10.在△ABC中，若

tanA?tanBc?b，這個三角形必含有（）?

tanA?tanBc

A.30°的內角B.45°的內角C.60°的內角

11.在△ABC中，tanB=1，tanC=2，b=100，則a=______.D.90°的內角

12.在△ABC中，若∠B=30°，AB=2，AC=2，則△ABC的面積為__________.13.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊長，若（a＋b＋c）·（sinA＋sinB－sinC）=3asinB，則C=______.14.在△ABC中，S是它的面積，a、b是它的兩條邊的長度，S=(a2?b2)，則△ABC

為__________三角形.15.（本小題滿分10分）隔河看到兩目標A、B，但不能到達，在岸邊選取相距3千米的C、D兩點，并測得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面內），求A、B之間的距離.AB

C

D

16.（本小題滿分10分）在四邊形ABCD中，BC=a，DC=2a，四個角A、B、C、D度數的比為3∶7∶4∶10,求AB的長.17.（本小題滿分8分）在△ABC中，已知

tanA?tanBc?b，求∠A.?

tanA?tanBc

18.（本小題滿分12分）在海岸A處，發現北偏東45°方向，距離A為（?1）海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向距離A為2海里的C處有我方一艘緝私艇奉命以10海里/時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/時的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私艇沿什么方向，才能最快追上走私船？需要多長時間？

19.（本小題滿分14分）在△ABC中，已知a2－a=2（b＋c），a＋2b=2c－3.（1）若sinC∶sinA=4∶，求a、b、c；（2）求△ABC的最大角的弧度數.

第三篇：解三角形應用舉例教案（推薦）

解三角形應用舉例教案

●教學目標

知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題，了解常用的測量相關術語

過程與方法：首先通過巧妙的設疑，順利地引導新課，為以后的幾節課做良好鋪墊。其次結合學生的實際情況，采用“提出問題——引發思考——探索猜想——總結規律——反饋訓練”的教學過程，根據大綱要求以及教學內容之間的內在關系，鋪開例題，設計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學生掌握解法，能夠類比解決實際問題。對于例2這樣的開放性題目要鼓勵學生討論，開放多種思路，引導學生發現問題并進行適當的指點和矯正

情感態度與價值觀：激發學生學習數學的興趣,并體會數學的應用價值；同時培養學生運用圖形、數學符號表達題意和應用轉化思想解決數學問題的能力 ●教學重點

實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解 ●教學難點

根據題意建立數學模型，畫出示意圖 ●教學過程 Ⅰ.課題導入

1、[復習舊知] 復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、[設置情境]

請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離。Ⅱ.講授新課

（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數學模型來求解

[例題講解]

(2)例

1、如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B兩點的距離(精確到0.1m)

啟發提問1：?ABC中，根據已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當？

啟發提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據三角形的內角和定理很容易根據兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。解：根據正弦定理，得

ABsin?ACB =

ACsin?ABC

AB = ACsin?ACB

sin?ABC = 55sin?ACB

sin?ABC =

55sin75? sin(180??51??75?)= 55sin75?

sin54? ≈ 65.7(m)答:A、B兩點間的距離為65.7米

變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30?，燈塔B在觀察站C南偏東60?，則A、B之間的距離為多少？

老師指導學生畫圖，建立數學模型。解略：2a km 例

2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據正弦定理中已知三角形的任意兩個內角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。

解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得?BCA=?，? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，應用正弦定理得

AC = BC =

asin(???)= asin(???)

sin[180??(?????)]sin(?????)asin? = asin? sin[180??(?????)]sin(?????)計算出AC和BC后，再在?ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離 AB =

AC2?BC2?2AC?BCcos?

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。

變式訓練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得?BCA=60?，?ACD=30?，?CDB=45?，?BDA =60?

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20

評注：可見，在研究三角形時，靈活根據兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復，如何找到最優的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選擇最佳的計算方式。學生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應例子。Ⅲ.課堂練習

課本第13頁練習第1、2題 Ⅳ.課時小結

解斜三角形應用題的一般步驟：

（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

（2）建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數學模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數學模型的解

（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解 Ⅴ.課后作業

課本第19頁第1、2、3題

第四篇：2012屆高考數學一輪復習教案：5.4 解斜三角形

5.4 解斜三角形

●知識梳理

1.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

abc==.sinAsinBsinC利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題.（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；

（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進一步求出其他的邊和角）2.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

a2=b2+c2－2bccosA；

① b2=c2+a2－2cacosB；

② c2=a2+b2－2abcosC.③ 在余弦定理中，令C=90°，這時cosC=0，所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由①②③可得

b2?c2?a2cosA=；

2bcc2?a2?b2cosB=；

2caa2?b2?c2cosC=.2ab利用余弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：（1）已知三邊，求三個角；

（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.特別提示

兩定理的形式、內容、證法及變形應用必須引起足夠的重視，通過向量的數量積把三角形和三角函數聯系起來，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識應用的實例.另外，解三角形問題可能出現一解、兩解或無解的情況，這時應結合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”.●點擊雙基

1.（2002年上海）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是 A.等腰直角三角形

B.直角三角形 C.等腰三角形

D.等邊三角形 a2?c2?b2解析：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.ac答案：C 2.下列條件中，△ABC是銳角三角形的是

A.sinA+cosA=

15B.AB·BC＞0

D.b=3，c=33，B=30° C.tanA+tanB+tanC＞0 解析：由sinA+cosA=

124得2sinAcosA=－＜0，∴A為鈍角.525第1頁（共8頁）

由AB·BC＞0，得BA·BC＜0，∴cos〈BA，BC〉＜0.∴B為鈍角.由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）·（1－tanAtanB）+tanC＞0.∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都為銳角.由

3bcπ2π=，得sinC=，∴C=或.2sinBsinC33答案：C 3.（2004年全國Ⅳ，理11）△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，如果a、b、c成等差數列，∠B=30°，△ABC的面積為A.C.1?3 22?3 23，那么b等于 2

B.1+3 D.2+3

3，2解析：∵a、b、c成等差數列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面積為且∠B=30°，故由S△ABC=

1113acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦2242a2?c2?b24b2?12?b2b2?43定理，得cosB====，解得b2=4+23.又b為邊長，2ac2?642∴b=1+3.答案：B 4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，則∠A=_______.b2?c2?a21π解析：由已知得（b+c）－a=3bc，∴b+c－a=bc.∴=.∴∠A=.2bc23π答案：

3222

25.在銳角△ABC中，邊長a=1，b=2，則邊長c的取值范圍是_______.a2?b2?c2解析：若c是最大邊，則cosC＞0.∴＞0，∴c＜5.又c＞b－a=1，2ab∴1＜c＜5.答案：（1，5）

●典例剖析

【例1】 △ABC的三個內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：A=2B.剖析：研究三角形問題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊.證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）?sin2A－sin2B=sinBsinC?1?cos2A1?cos2B－=sinBsin（A+B）22?1（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）?sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），2因為A、B、C為三角形的三內角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只

第2頁（共8頁）

能有A－B=B，即A=2B.評述：利用正弦定理，將命題中邊的關系轉化為角間關系，從而全部利用三角公式變換求解.思考討論

（1）該題若用余弦定理如何解決?

b2?c2?a2（b2?c2）?b（b?c）c?b解：利用余弦定理，由a=b（b+c），得cosA===，2bc2bc2b

222a2?c2?b22（b?c）cc?bcos2B=2cosB－1=2（）－1=－1=.22ac2b2b（b?c）c所以cosA=cos2B.因為A、B是△ABC的內角，所以A=2B.（2）該題根據命題特征，能否構造一個符合條件的三角形，利用幾何知識解決? 2解：由題設a2=b（b+c），得

ab= b?ca

①，作出△ABC，延長CA到D，使AD=AB=c，連結BD.①式表示的即是△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.BCAC=，所以DCBC 又AB=AD，可知∠2=∠D，所以∠1=∠2.因為∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1，所以A=2B.評述：近幾年的高考題中，涉及到三角形的題目，重點考查正弦、余弦定理，考查的側重點還在于三角轉換.這是命題者的初衷.【例2】（2004年全國Ⅱ，17）已知銳角△ABC中，sin（A+B）=

31，sin（A－B）=.55（1）求證：tanA=2tanB；

（2）設AB=3，求AB邊上的高.剖析：有兩角的和與差聯想到兩角和與差的正弦公式，結合圖形，以（1）為鋪墊，解決（2）.（1）證明：∵sin（A+B）=

31，sin（A－B）=，5532??sinAcosB?cosAsinB?sinAcosB???tanA??55???∴?=2.11tanB?sinAcosB?cosAsinB??cosAsinB???55??∴tanA=2tanB.（2）解：即π33＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.∴tan（A+B）=－，254tanA?tanB3=－.將tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得1?tanAtanB4第3頁（共8頁）

tanB=2?62?6（負值舍去）.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+6.223CDCDCD設AB邊上的高為CD，則AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+6，tanAtanB2?6所以AB邊上的高為2+6.評述：本題主要考查三角函數概念，兩角和與差的公式以及應用，分析和計算能力.【例3】（2004年春季北京）在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊長，已知a、b、c成等比數列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及

bsinB的值.c剖析：因給出的是a、b、c之間的等量關系，要求∠A，需找∠A與三邊的關系，故可b2bsinB用余弦定理.由b=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值.cc解法一：∵a、b、c成等比數列，∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.2b2?c2?a2bc1在△ABC中，由余弦定理得cosA===，∴∠A=60°.2bc2bc2bsinA在△ABC中，由正弦定理得sinB=，absinBb2sin60?3∵b=ac，∠A=60°，∴=sin60°=.?cac211解法二：在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB.222∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.3bsinB=sinA=.2c評述：解三角形時，找三邊一角之間的關系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關系常用∴正弦定理.●闖關訓練 夯實基礎

1.（2004年浙江，8）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞A.充分而不必要條件

C.充分必要條件

1”的 2B.必要而不充分條件

D.既不充分也不必要條件

11；sinA＞?30°＜A＜150°22解析：在△ABC中，A＞30°?0＜sinA＜1sinA＞?A＞30°.答案：B 2.如圖，△ABC是簡易遮陽棚，A、B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角為

第4頁（共8頁）

A.75°

B.60°

C.50°

D.45°

解析：作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽光線與地面所成的角，即∠CDE=40°，延長DE交直線AB于F，連結CF，則∠CFD是遮陽棚與地面所成的角，設為α.要使S△ABD最大，只需DF最大.在△CFD中，∴DF=CF?sin（140???）.sin40?CFDF=.sin40?sin（140???）∵CF為定值，∴當α=50°時，DF最大.答案：C 3.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若三角形的面積S=則∠C的度數是_______.解析：由S=答案：45°

4.在△ABC中，若∠C=60°，則

ab=_______.?b?ca?c111π（a2+b2－c2）得absinC=·2abcosC.∴tanC=1.∴C=.42441（a2+b2－c2），4a2?ac?b2?bcab解析：= ?b?ca?c（b?c）（a?c）=.ab?ac?bc?c2∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.∴a2+b2=ab+c2.代入（*）式得a2?b2?ac?bcab?ac?bc?c2a2?b2?ac?bc

（*）

=1.答案：1 5.在△ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是 A.b=20，A=45°，C=80°

B.a=30，c=28，B=60° C.a=14，b=16，A=45°

D.a=12，c=15，A=120° 解析：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得有兩值.答案：C 培養能力

6.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，依次成等比數列，求y=的取值范圍.a2?c2?b2a2?c2?ac1ac11解：∵b=ac，∴cosB===（+）－≥.2ac2ac2ca22π∴0＜B≤，3242sinBsinA=，所以sinB=.因而B

716141?sin2BsinB?cosB21?sin2B（sinB?cosB）πππ7πy===sinB+cosB=2sin（B+）.∵＜B+≤，sinB?cosBsinB?cosB44412∴2π＜sin（B+）≤1.故1＜y≤2.24第5頁（共8頁）

7.已知△ABC中，22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圓半徑為2.（1）求∠C；

（2）求△ABC面積的最大值.解：（1）由22（sinA－sinC）=（a－b）·sinB得22（2

a24R2－

c24R2）=（a－b）

b.2Ra2?b2?c21又∵R=2，∴a－c=ab－b.∴a+b－c=ab.∴cosC==.2ab2又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.（2）S=

311absinC=×ab

222=23sinAsinB=23sinAsin（120°－A）=23sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+3sin2A =333sin2A－sin2Acos2A+

2223.233.2AB的AC=3sin（2A－30°）+∴當2A=120°，即A=60°時，Smax=8.在△ABC中，BC=a，頂點A在平行于BC且與BC相距為a的直線上滑動，求取值范圍.解：令AB=kx，AC=x（k＞0，x＞0），則總有sinB=理得sinB=cosA=

aa，sinC=（圖略），且由正弦定kxxxsinA，所以a2=kx2·sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得ak2x2?x2?kx2sinA2kx2=

111（k+－sinA），所以k+=sinA+2cosA≤12?22=5.所2kk以k2－5k+1≤0，所以所以

5?15?1≤k≤.225?15?1AB的取值范圍為［，］.22AC探究創新

9.某城市有一條公路，自西向東經過A點到市中心O點后轉向東北方向OB，現要修建一條鐵路L，L在OA上設一站A，在OB上設一站B，鐵路在AB部分為直線段，現要求市中心O與AB的距離為10 km，問把A、B分別設在公路上離中心O多遠處才能使|AB|最短?并求其最短距離.（不要求作近似計算）

第6頁（共8頁）

解：在△AOB中，設OA=a，OB=b.因為AO為正西方向，OB為東北方向，所以∠AOB=135°.則|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=（2+2）ab，當且僅當a=b時，“=”成立.又O到AB的距離為10，設∠OAB=α，則∠OBA=45°－α.所以a=b=10，sin（45???）10，sin?ab===1010· sin?sin（45???）100

sin??sin（45???）

22sin?（cos??sin?）22100=

22sin2??（1?cos2?）44400400=≥，2sin（2??45?）?22?2當且僅當α=22°30′時，“=”成立.所以|AB|2≥400（2?2）=400（2+1）2，2?2100當且僅當a=b，α=22°30′時，“=”成立.所以當a=b=1022?2）=10（時，|AB|最短，其最短距離為20（2+1），即當sin22?30?22?2）AB分別在OA、OB上離O點10（km處，能使|AB|最短，最短距離為20（2－1）.●思悟小結

1.在△ABC中，∵A+B+C=π，∴sin

A?BCA?BCA?BC=cos，cos=sin，tan=cot.2222222.∠A、∠B、∠C成等差數列的充分必要條件是∠B=60°.3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.4.根據所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角；②化角為邊.并常用正弦（余弦）定理實施邊角轉化.5.用正（余）弦定理解三角形問題可適當應用向量的數量積求三角形內角與應用向量的模求三角形的邊長.6.用向量的數量積求三角形內角時，需明確向量的夾角與三角形內角是相等還是互補.●教師下載中心 教學點睛

1.一方面要讓學生體會向量方法在解三角形方面的應用，另一方面要讓學生體會解三角形是重要的測量手段，通過數值計算進一步提高使用計算器的技能技巧和解決實際問題的能力.第7頁（共8頁）

2.要加大以三角形為背景，以三角恒等變換公式、向量等為工具的小型綜合題的訓練.拓展題例

【例1】 已知A、B、C是△ABC的三個內角，y=cotA+

2sinA.cosA?cos（B?C）（1）若任意交換兩個角的位置，y的值是否變化?試證明你的結論.（2）求y的最小值.?2sin?π?（B?C）解：（1）∵y=cotA+

??coscos?π?（B?C）（B?C）=cot A+=cot A+2sin（B?C）

?cos（B?C）?cos（B?C）sinBcosC?cosBsinC

sinBsinC=cotA+cotB+cotC，∴任意交換兩個角的位置，y的值不變化.（2）∵cos（B－C）≤1，A2sinA2+2tanA=1（cotA+3tanA）≥3tanA?cotA=3.∴y≥cotA+=

A221?cosA22222tan21?tan2故當A=B=C=π時，ymin=3.3評述：本題的第（1）問是一道結論開放型題，y的表達式的表面不對稱性顯示了問題的有趣之處.第（2）問實際上是一道常見題：在△ABC中，求證：cotA+cotB+cotC≥3.【例2】 在△ABC中，sinA=

sinB?sinC，判斷這個三角形的形狀.cosB?cosC分析：判斷一個三角形的形狀，可由三個內角的關系確定，亦可由三邊的關系確定.采用后一種方法解答本題，就必須“化角為邊”.解：應用正弦定理、余弦定理，可得

b?c2222a=2，所以b（a－b）+c（a－c）=bc（b+c）.所以（b+c）22222c?a?ba?b?c?2ca2aba2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.評述：恒等變形是學好數學的基本功，變形的方向是關鍵.若考慮三內角的關系，本題可以從已知條件推出cosA=0.第8頁（共8頁）

第五篇：解斜三角形之余弦定理 教案

解斜三角形之余弦定理

一、教學類型： 新知課

二、教學目的：

1、2、掌握余弦定理的推導過程（向量法）； 會解斜三角形。

三、教學重點：余弦定理的推導

教學難點：余弦定理在解三角形中的應用

四、教具: 黑板

五、教學過程：

（一）引入新課：

上節課我們學習了正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC ,是三角形的邊與其角的正弦之間的關系，它的應用范圍是什么呢？

1、2、已知兩角，一邊，求其他兩邊，一角;已知兩邊及一邊的對角，求另一邊的對角。

現在我提出一個問題:已知三邊，如何求三角？

經過這一節課的學習，就可以回答這個問題了。下面我們來研究這個問題：

（二）講解新課 這一節課，我們繼續沿用向量法研究，仍然用“從特殊到一般”的數學思想。

如圖所示，在直角三角形中，b2=a2+c2，在斜三角形中，它們又有什么關系呢？

AC=AB+BC |AC|2=AC·AC=(AB+BC)(AB+BC)=|AB|2+2BC·AB+|BC|2

=|AB|2+2|BC|·|AB|COS(180°-B)+|BC|2 =|AB|2-2|BC|·|AB|COSB+|BC|2

b2 = c22bccosA c 2 = b 2 + a2-2abcosC 他們是不是也成立呢？這個留作思考題，不過答案是肯定的。這三個式子就是今天所要學習的余弦定理：

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊

與它們夾角的余弦的兩倍。

將上述定理中的三個式子稍作變形，即得

cosA=﹙b 2 + c 2-a 2﹚／2bc cosB=﹙c2 + a2-b2﹚／2ac cosC=﹙ b 2 + a2-c 2﹚／2ab 我們來看余弦定理的應用范圍：

1、2、已知兩邊及夾角，求第三邊極其他兩角： 已知三邊，求三角。

六、舉例子：

在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求A,B,C(精確到1°)。解：已知三邊，求三角。

cosA=﹙b 2 + c 2-a 2﹚／2bc =（10 2+6 2-7 2）／2×10×6 =0.725 查表，得 A≈44° cosC=﹙ b 2 + a2-c 2﹚／2ab =（7 2+10 2-6 2）／2×10×7 =0.8071 查表，得 B≈36° B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°

七、布置作業：

1、2、余弦定理的其他兩種形式的證明； 課本131頁：3.﹙3﹚（4）4.(2)

八、教學后記