第一篇：高中數(shù)學(xué)必修五——第一章 解三角形

翱翔教學(xué)工作室

學(xué)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、回顧已有的三角形邊角知識；

2、通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“向量法”等多種方法證明正弦定理；

3、學(xué)會運用正弦定理解任意三角形的兩類基本問題。

*知識點清單*

正弦定理：在△ABC中，a,b,c分別是角A，B，C的對邊，則

1、正弦定理可解決兩類問題：（1）2）abc???k2、在△ABC中，sinAsinBsinC，研究k的幾何意義。(k=2R,R為三角形外接圓半徑)

1113、S?ABC?ah=r(a?b?c)=absinC(其中r

是內(nèi)切圓半徑)22

2*基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練* 例題講解 例

1、在?ABC中，已知A?30?，B?45?，跟蹤練習(xí)1 在?ABC中，已知A?300，B?600，c

?6cm，解三角形。2 在?ABC中，若a=1cm，C?30?,c?cm，解三角形。a?6cm，解三角形。

例

2、在?ABC中，已知

a?

b?A?45?，解三角形。當(dāng)b?，b?并解三角形，觀察解的情況并解釋出現(xiàn)一解，兩解，無解的原因。*創(chuàng)新提高*

1、在?ABC中，已知b?c?8，?B?30?，?C?45?，則b?，c?．

2、在?ABC中，如果?A?30?，?B?120?，b?12，那么a?，?ABC的面積是．

3、在△ABC中，若sinA>sinB,則A與B的大小關(guān)系為。

4、在△ABC中，a=12，A=60，要使三角形有兩解，求對應(yīng)b的取值范圍。5．在△ABC中，若b?2asinB，則A等于（）00000000A．30或60B．45或60C．120或60D．30或150 06、在?ABC中，已知A?120?，a?7，c?5，求b的值。

高中數(shù)學(xué)必修五——第一章解三角形

1*高考體驗*

1.（2007年重慶卷文13）在△ABC中，AB=1，BC=2，A=60°，則AC＝。

c?2．（2007年湖南卷文12）．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a?

1，C?60?，則A?．

*學(xué)習(xí)總結(jié)*

在SSA類型中，解有三種情況：

1、無解，①sinB>1②鈍角對小邊

2、一解，①sinB=1（B為直角）②已知角為直角或鈍角③根據(jù)大邊對大角或等邊對等角

3、二解：0

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、回顧已有的三角形邊角知識；

2、通過“勾股定理”，“向量法”等方法證明余弦定理，熟記余弦定理。

3、理解余弦定理與勾股定理的關(guān)系，應(yīng)用余弦定理解三角形。

學(xué)

*知識點清單*

余弦定理：在△ABC中，a,b,c分別是角A，B，C的對邊，則

1、余弦定理可解決兩類問題：（1）2）

2、余弦公式的變形：

*基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練*

跟蹤練習(xí)例題講解

00

1在 ABC中：已知b=8,c=3,A=60,求a。60例

1、在△ABC中，已知b=3,c=1,A=,求a。

2在?ABC中，已知a=9,b=10,c=15 ,求A。例

2、在△ABC中，已知a＝4，b＝5，c＝6，求

A(精確到0.1°)

*創(chuàng)新提高*

1、在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于________

2、在△ABC中，已知AB=3，AC=4，則邊AC上的高為 _________

3、在△ABC中，已知a=2，b=4，C=600，則△ABC是_________A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.任意三角形

4、在△ABC中，已知b

c=3，B=30°，則邊長a=_____________

5、在△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，則

C=__________________

6、在△ABC中，已知a=2，b=3，C=60°，試證明此三角形為銳角三角形?

.*高考體驗*

1.在ΔABC中，已知 a2?b2?bc?c

2，則角A為（）

A

?3B ?

6C2?3D?3或2?

32．已知：在⊿ABC中，ccosb?CcosB，則此三角形為A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

3、在?ABC中，acosA?bcosB?c

cosC,試用余弦定理證明：?ABC為正三角形.4、在銳角△ABC中，求證：sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC。

5、在△ABC中，求證：a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosC

學(xué)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、熟練掌握正弦定理、余弦定理和面積公式；

2、充分運用數(shù)形結(jié)合的思想，熟悉實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化的方法；

3、學(xué)會運用正余弦定理解決距離問題，高度問題，角度問題等實際問題。

*知識點清單*

解三角形的應(yīng)用可大體上把它分成以下三類： I、距離問題

（1）一點可到達(dá)另一點不可到達(dá)（課本1.2例1）（2）兩點都不可到達(dá)（課本1.2例2）II、高度問題（最后都轉(zhuǎn)化為解直角三角形）III、角度問題

*基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練*

例題講解

例

1、如圖，C、D分別是一個湖的南、北兩端A和B正東方向的兩個村莊，CD= 6 km，且D位于C的北偏東30°方向上，求AB為多少km。

例

2、如圖，一游人由山腳A沿坡角為30的山坡AB行走600m，到達(dá)一個景點B，再由B沿山坡BC行走200m到達(dá)山頂C，若在山頂C處觀測到景點B的俯角為45，則山高CD為多少

?

?

跟蹤練習(xí)

1、B與C為江邊兩景點，在岸上選取A和D兩個測量點，測得AD?CD，AD?10km，?BDA?60?，?BCD?135?，AB

?1

4km，求兩景點B與C的距離（假設(shè)A,B,C,D在同一平面內(nèi)，測量結(jié)果保留整數(shù)）

2、用同樣高度的兩個測角儀AB和CD同時望見氣球E在它們的正西方向的上空，分別測得氣球的仰角是α和β,已知B、D間的距離為a，測角儀的高度是b，求氣球的高度.*創(chuàng)新提高*

1、同學(xué)們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在有這樣一個問題請你解決：如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α（精確到1），壩底寬AD和斜坡AB的長(精確到0.1m)。

2、如圖，天空中有一靜止的廣告氣球C，從地面A點測得C點的仰角為45°，從地面B點測得C點的仰角為60°。已知AB=20m，點C和直線AB在同一鉛錘平面上，求氣球離地面的高度？（精確到1m）

3、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航67.5 mile后到達(dá)海島B。然后從B出發(fā)，沿北偏東32的方向航行54 mile后到達(dá)海島C。如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，要要航行的距離是多少？（角度精確到1）

/

*高考體驗*

1、(2007·山東)如圖4-4-12，甲船以每小時海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B

2處，此時兩船相距

?

?

海里，問乙船每小時航行多少海里？

2、（2009汕頭）為了立一塊廣告牌，要制造一個三角形的支架，三角形支架形狀如圖，要求

?ACB?600，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米，為了廣告牌穩(wěn)固，要求AC的長度越短

越好，求AC最短為多少米？且當(dāng)AC最短時，BC長度為多少米？

第二篇：高中數(shù)學(xué)必修五解三角形教案

高中數(shù)學(xué)必修五解三角形教案

高中數(shù)學(xué)必修五解三角形教案篇一：高中數(shù)學(xué)必修5解三角形知識總結(jié)及練習(xí)

解三角形

一、知識點：

1、正弦定理：在???C中，a、b、c分別為角?、?、C的對邊，R為???C的外接圓的半徑，則有abc???2R．（兩類正弦定理解三角形的問題：

1、已知sin?sin?sinC 兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.）

2、正弦定理的變形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC； ②sin??等式中）

③a:b:c?sin?:sin?:sinC； abc，sin??，sinC?；（正弦定理的變形經(jīng)常用在有三角函數(shù)的2R2R2R a?b?cabc???． sin??sin??sinCsin?sin?sinC 1113、三角形面積公式：S???C?bcsin??absinC?acsin? 222④ ?a2?b2?c2?2bccosA?2224．余弦定理： ?b?a?c?2accos(本文來自：www.tmdps.cn 教師 聯(lián) 盟 網(wǎng):高中數(shù)學(xué)必修五解三角形教案)B 或

?c2?b2?a2?2bacosC??b2?c2?a2?cosA?2bc?a2?c2?b2? ?cosB?2ac??b2?a2?c2 ?cosC?2ab?（兩類余弦定理解三角形的問題：

1、已知三邊求三角.2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.）

2225、設(shè)a、b、c是???C的角?、?、C的對邊，則：①若a?b?c，則C?90?為

222222直角三角形；②若a?b?c，則C?90?為銳角三角形；③若a?b?c，則C?90?為

鈍角三角形．

6．判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.7．解題中利用?ABC中A?B?C??，以及由此推得的一些基本關(guān)系式進(jìn)行三

角

變

換的運

算，如

：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, sin

A?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin,tan?cot 222222

二、知識演練

1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,則∠B等于（）A．60°B．60°或120° C．30°或150°D．120°

2、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是（）

A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

3．己知三角形三邊之比為5∶7∶8，則最大角與最小角的和為()． A．90°

B．120° C．130° D．150° 2224．在△ABC 中，a?b?c?bc，則A等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°

5．在△ABC中，A為銳角，lgb-lgc=lgsinA=－lg2, 則△ABC為（）

A.等腰三角形

B.等邊三角形 C.直角三角形

D.等腰直角三角形 b

6、銳角?ABC中，B=2A，則a的取值范圍是（）A（-2，2）B（0，2）C（2，2）

D2,）

7.在?ABC中．sinA?sinB?sinC?sinBsinC．則A的取值范圍是

222 ? ???A．（0，6]B．[ 6，?）C．（0，3]D．[ 3，?）

?8.在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45，若△ABC有兩解，則x的取值范圍是_______________ 9.? ABC中，B?60?,AC，則AB+2BC的最大值為_________． 10．a(chǎn)，b，c為△ABC的三邊，其面積S△ABC＝123，bc＝48，b-c＝2，求a 11.在?ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿

足cosA?2，AB?AC?3．（I）求?ABC的面積；（II）若b?c?6，求a的值．

12、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,設(shè)S為△ABC 的面積，滿足S?2a?b2?c2)。

（Ⅰ）求角C的大??；

（Ⅱ）求sinA?sinB的最大值。

cosA-2cosC2c-a=cosBb． ?

13、在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知 sinC（I）求sinA的值； 1（II）若cosB=4，b=2，?ABC的面積S。

高中數(shù)學(xué)必修五解三角形教案篇二：高中數(shù)學(xué)必修5：第一章《解三角形應(yīng)用舉例》教案1 金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)

課題:

2.2解三角形應(yīng)用舉例

第一課時

授課類型：新授課

●教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實際問題，了解常用的測量相關(guān)術(shù)語

過程與方法：首先通過巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結(jié)合學(xué)生的實際情況，采用“提出問題——引發(fā)思考——探索猜想——總結(jié)規(guī)律——反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開例題，設(shè)計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類比解決實際問題。對于例2這樣的開放性題目要鼓勵學(xué)生討論，開放多種思路，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹更c和矯正 情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；同時培養(yǎng)學(xué)生運用圖形、數(shù)學(xué)符號表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力

●教學(xué)重點

實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解 ●教學(xué)難點

根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖

●教學(xué)過程

Ⅰ.課題導(dǎo)入

1、[復(fù)習(xí)舊知] 復(fù)習(xí)提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、[設(shè)置情境] 請學(xué)生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測量距離。

Ⅱ.講授新課[來源

（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解 [例題講解](2)例

1、如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B兩點的距離(精確到0.1m)金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)

啟發(fā)提問1：?ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運用哪個定理比較適當(dāng)？

啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學(xué)生回答。

分析：這是一道關(guān)于測量從一個可到達(dá)的點到一個不可到達(dá)的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。

解：根據(jù)正弦定理，得 ACAB sin?ACB=sin?ABC ACsin?ACB AB =sin?ABC 55sin?ACB =sin?ABC 55sin75? = sin(180??51??75?)55sin75? = sin54?[來源:學(xué)&科&網(wǎng)] ≈ 65.7(m)答:A、B兩點間的距離為65.7米

變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？

老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型。解略：2a km 例

2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計一種測量A、B兩點間距離的方法。[來源:學(xué) 科 網(wǎng)] 分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達(dá)的點之間的距離測量問題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。??

金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)

解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得?BCA=?，? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，應(yīng)用正弦定理得 asin(???)asin(???)AC = sin[180??(?)]= sin(?)asin?asin? BC = sin[180??(?)]= sin(?)計算出AC和BC后，再在?ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB兩點間的距離

AB = AC2?BC2?2AC?BCcos? 分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進(jìn)行對比、分析。

?ACD=30，?CDB=45，變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得?BCA=60，?BDA =60? 略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206 評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式。

學(xué)生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。

Ⅲ.課堂練習(xí)

課本第14頁練習(xí)第1、2題

Ⅳ.課時小結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解

Ⅴ.課后作業(yè)

課本第22頁第1、2、3題 ●板書設(shè)計 ??? 金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)●授后記

高中數(shù)學(xué)必修五解三角形教案篇三：1高中數(shù)學(xué)必修5第一章_解三角形全章教案(整理)課題:

1．1．1正弦定理

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動。

思考：?C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。

從而在直角三角形ABC中，a sin?b sin?c sin

思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1．1-3，當(dāng)?ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB?bsinA,則

同理可得

從而asinA?bsinB，csin??bsin?，a sinAbsinBcsinC Ac B

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 a sinA?b sinB?c sinC [理解定理]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；

（2）a sinA?b sinB?c sinC等價于a sinA?b sinB，c sinC?b sinB，a sinA?c sinC 從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?bsinA； sin②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

例1．在?ABC中，已知A?450，B?750，a?40cm，解三角形。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?，A?450，解三角形。

練習(xí)：已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c ab 練習(xí)：1.在?ABC中，已知A?450，C?300，c?10cm，解三角形。2.在?ABC中，已知A?600，B?450，c?20cm，解三角形。3.在?ABC中，已知a?20cm，b?，B?300，解三角形。4.在?ABC 中，已知c?cm，b?20cm，B?450，解三角形。

補(bǔ)充：請試著推理出三角形面積公式（利用正弦）

課題: 1.1.2余弦定理

如圖1．1-4，在?ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b和?C，求邊c

聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。A ?如圖1．1-5，設(shè)CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，則 c ???c?c?a?ba?b??

?ab?b??2a??b

C

aB ??2a??2 ?a?b?2a?b?2 從而

c2?a2?b2?2abcosC(圖1．1-5)同理可證

a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB 于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即

a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB c2?a2?b2?2abcosC 思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？ 從余弦定理，又可得到以下推論： b2?c2?a2 cosA?2bc a2?c2?b2 cosB?b2?a2?c2 cosC? 2 [理解定理] 從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？

若?ABC中，C=900，則cosC?0，這時c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

例1．在?ABC 中，已知a ?cB?450，求b及A

練習(xí)：在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A。

b,A，討論三角形解的情況 例1．在?ABC中，已知a, 分析：先由sinB? 則C?1800?(A?B)從而c?bsinA可進(jìn)一步求出B； aasinC 1．當(dāng)A為鈍角或直角時，必須a?b才能有且只有一解；否則無解。2．當(dāng)A為銳角時，如果a≥b，那么只有一解；

如果a?b，那么可以分下面三種情況來討論：

（1）若a?bsinA，則有兩解；

（2）若a?bsinA，則只有一解；

（3）若a?bsinA，則無解。

（以上解答過程詳見課本第9?10頁）

評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當(dāng)A為銳角且

bsinA?a?b時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。

練習(xí)：（1）在?ABC中，已知a?80，b?100，?A?450，試判斷此三角形的解的情況。

（2）在?ABC中，若a?1，c?1，?C?400，則符合題意的b的值有_____個。2（3）在?ABC中，a?xcm，b?2cm，?B?450，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。

例2．在?ABC中，已知a?7，b?5，c?3，判斷?ABC的類型。

練習(xí)：（1）在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?1:2:3，判斷?ABC的類型。

（2）已知?ABC滿足條件acosA?bcosB，判斷?ABC的類型。

例3．在?ABC中，A?600，b? 1

練習(xí)：（1）在?ABC中，若a?55，b? 16，且此三角形的面積S?C（2）在?ABC中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積S?

作業(yè)

（1）在?ABC中，已知b?4，c?10，B?300，試判斷此三角形的解的情況。

（2）設(shè)x、x+

1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實數(shù)x的取值范圍。

（3）在?ABC中，A?600，a?1，b?c?2，判斷?ABC的形狀。

（4）三角形的兩邊分別為3cm，5cm,它們所夾的角的余弦為方程5x2?7x?6?0的根，求這個三角形的面積。

2.2解三角形應(yīng)用舉例

(2)例

1、如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B兩點的距離(精確到0.1m)4 a?b?c，求的值 sinA?sinB?sinCa2?b2?c24，求角C 變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30?，燈塔B在觀察站C南偏東60?，則A、B之間的距離為多少？

例

3、AB是底部B不可到達(dá)的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法。

例

4、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角?=54?40?，在塔底C處測得A處的俯角?=50?1?。已知鐵塔BC部分的高為27.3 m,求出山高CD(精確到1 m)

例

3、在?ABC中，求證： a2?b2sin2A?sin2B?;（1）22csinC（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）

變式練習(xí)1：已知在?ABC中，?B=30?,b=6,c=63,求a及?ABC的面積S 5

第三篇：高中數(shù)學(xué)競賽教材講義 第七章 解三角形

第七章解三角形

一、基礎(chǔ)知識

在本章中約定用A，B，C分別表示△ABC的三個內(nèi)角，a, b, c分別表示它們所對的各邊長，p?a?b?c為半周長。

2abc??1．正弦定理：=2R（R為△ABC外接圓半徑）。sinAsinBsinC

111推論1：△ABC的面積為S△ABC=absinC?bcsinA?casinB.222

推論2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推論3：在△ABC中，A+B=?，解a滿足ab，則a=A.?sinasin(??a)

1absinC；再證推論2，因為B+C=?-A，所2正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到，這里不再給出，下證推論。先證推論1，由正弦函數(shù)定義，BC邊上的高為bsinC，所以S△ABC=

以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，兩邊同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再證推

absinasin(??a)??，所以，即sinasin(?-A)=sin(?-a)sinA，sinAsinBsinAsin(??A)

11等價于?[cos(?-A+a)-cos(?-A-a)]= ?[cos(?-a+A)-cos(?-a-A)]，等價于22

cos(?-A+a)=cos(?-a+A)，因為0

b2?c2?a2

2．余弦定理：a=b+c-2bccosA?cosA?，下面用余弦定理證明幾個常2bc222用的結(jié)論。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC邊上任意一點，BD=p，DC=q，則b2p?c2qAD=?pq.（1）p?q2【證明】因為c=AB=AD+BD-2AD·BDcos?ADB，222所以c=AD+p-2AD·pcos?ADB.①

222同理b=AD+q-2AD·qcos?ADC，②

因為?ADB+?ADC=?，所以cos?ADB+cos?ADC=0，所以q×①+p×②得 2222

b2p?c2qqc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD=?pq.p?q22222b2?2c2?a2

注：在（1）式中，若p=q，則為中線長公式AD?.2

1222122122?22（2）海倫公式：因為S?ABC?bcsinA=bc(1-cosA)= bc 44

4?(b2?c2?a2)2?122 22?[(b+c)-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c).?1??22164bc??

這里p?a?b?c.2

用心 愛心 專心-1-

所以S△ABC=

p(p?a)(p?b)(p?c).二、方法與例題

1．面積法。

例1（共線關(guān)系的張角公式）如圖所示，從O點發(fā)出的三條射線滿足?POQ??,?QOR??，另外OP，OQ，OR的長分別為u, w, v，這里α，β，α+β∈(0, ?)，則P，Q，R的共線的充要條件是

sin?sin?sin(???)

??.uvw

【證明】P，Q，R共線?SΔPQR?0?S?OPR?S?OPQ?S?ORQ ?

1uvsin(α+β)=uwsinα+vwsinβ 222sin(???)sin?sin????，得證。

wuv

2．正弦定理的應(yīng)用。

例2如圖所示，△ABC內(nèi)有一點P，使得?BPC-?BAC=?CPA-?CBA=?APB-?ACB。求證：AP·BC=BP·CA=CP·AB。

【證明】過點P作PD?BC，PE?AC，PF?AB，垂足分別為D，E，F(xiàn)，則P，D，C，E；P，E，A，F(xiàn)；P，D，B，F(xiàn)三組四點共圓，所以?EDF=?PDE+?PDF=?PCA+?PBA=?BPC-?BAC。

00

由題設(shè)及?BPC+?CPA+?APB=360可得?BAC+?CBA+?ACB=180。

所以?BPC-?BAC=?CPA-?CBA=?APB-?ACB=60。

00

所以?EDF=60，同理?DEF=60，所以△DEF是正三角形。所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsin?ACB=APsin?BAC=BPsin?ABC，兩邊同時乘以△ABC的外接圓直徑2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得證：

例3如圖所示，△ABC的各邊分別與兩圓⊙O1，⊙O2相切，直線GF與DE交于P，求證：PA?BC。

【證明】延長PA交GD于M，GMO1AAF

??.MDAO2AE

APAFPAAE

?,?由正弦定理，sin(???1)sin?sin(???2)sin?AEsin?1sin?

??.所以

AFsin?2sin?

GMPMMDPM

?,?另一方面，sin?sin?1sin?sin?2GMsin?2sin?

??所以，MDsin?1sin?GMAF

?所以，所以PA//O1G，MDAE即PA?BC，得證。

因為O1G?BC，O2D?BC，所以只需證

3．一個常用的代換：在△ABC中，記點A，B，C到內(nèi)切圓的切線長分別為x, y, z，則a=y+z, b=z+x, c=x+y.22

2例4在△ABC中，求證：a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)≤3abc.【證明】令a=y+z, b=z+x, c=x+y，則 abc=(x+y)(y+z)(z+x)

?xy?yz?zx=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

=a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)-2abc.222

所以a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)≤3abc.4．三角換元。

例5設(shè)a, b, c∈R，且abc+a+c=b，試求P?

+

222

3??的最大值。a2?1b2?1c2?1

【解】由題設(shè)b?

a?c，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ, 1?ac

101?10?2

則tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cosγ≤?3?sin????，33?3?

?11022

當(dāng)且僅當(dāng)α+β=，sinγ=，即a=時，Pmax=.,b?2,c?

3322

41222

例6在△ABC中，若a+b+c=1，求證: a+b+c+4abc<.???22222

【證明】設(shè)a=sinαcosβ, b=cosαcosβ, c=sinβ, β??0,?.?2?

因為a, b, c為三邊長，所以c<, c>|a-b|，???222

從而???0,?，所以sinβ>|cosα·cosβ|.?4?

因為1=(a+b+c)=a+b+c+2(ab+bc+ca),222

所以a+b+c+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)

22224

=sinβcosβ+sinαcosα·cosβ·cos2β

141=41>4

=

[1-cos2β+(1-cos2α)cosβcos2β] +

224

1424

cos2β(cosβ-cos2αcosβ-cos2β)411442

+cos2β(cosβ-sinβ-cosβ)=.44

1222

所以a+b+c+4abc<.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1．在△ABC中，邊AB為最長邊，且sinAsinB=

2?

3，則cosAcosB的最大值為__________.42．在△ABC中，若AB=1，BC=2，則?C的取值范圍是__________.3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+?tanCtanB，則△ABC的面積為__________.4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，則?C=__________.5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________條件.6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，則角A的取值范圍是__________.35，cosB=，則cosC=__________.513

AC

1?”的__________條件.8．在△ABC中，“三邊a, b, c成等差數(shù)列”是“tan?tan

223

7．在△ABC中，sinA=

9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，則三角形形狀是__________.10．在△ABC中，tanA·tanB>1，則△ABC為__________角三角形.11．三角形有一個角是60，夾這個角的兩邊之比是8：5，內(nèi)切圓的面積是12?，求這個三角形的面積。

12．已知銳角△ABC的外心為D，過A，B，D三點作圓，分別與AC，BC相交于M，N兩點。求證：△MNC的外接圓半徑等于△ABD的外接圓半徑。

13．已知△ABC中，sinC=

四、高考水平訓(xùn)練題 1．在△ABC中，若tanA=

sinA?sinB，試判斷其形狀。

cosA?cosB

1, tanB=，且最長邊長為1，則最短邊長為__________.2

32．已知n∈N+，則以3，5，n為三邊長的鈍角三角形有________個.+22

23．已知p, q∈R, p+q=1，比較大小：psinA+qsinB__________pqsinC.4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，則△ABC 為__________角三角形.5．若A為△ABC 的內(nèi)角，比較大?。篶ot

A

?cotA__________3.8

6．若△ABC滿足acosA=bcosB，則△ABC的形狀為__________.7．滿足A=60，a=6, b=4的三角形有__________個.8．設(shè)?為三角形最小內(nèi)角，且acos

?2?2?2?+sin-cos-asin=a+1，則a的取值范圍是2222

__________.9．A，B，C是一段筆直公路上的三點，分別在塔D的西南方向，正西方向，西偏北30方向，且AB=BC=1km，求塔與公路AC段的最近距離。

10．求方程xy?1?yx?1?xy的實數(shù)解。11．求證：

17?sin200?.320

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1．在△ABC中，b=ac，則sinB+cosB的取值范圍是____________.sinBcosA?2cosC

?，則△ABC 的形狀為____________.sinCcosA?2cosB

ABC

3．對任意的△ABC，T?cot?cot?cot-(cotA+cotB+cotC)，則T的最大值為

22．在△ABC中，若____________.4．在△ABC中，sin

A

sinBsinC的最大值為____________.2

5．平面上有四個點A，B，C，D，其中A，B為定點，|AB|=3，C，D為動點，且

|AD|=|DC|=|BC|=1。記S△ABD=S，S△BCD=T，則S+T的取值范圍是____________.6．在△ABC中，AC=BC，?ACB?80，O為△ABC的一點，?OAB?10，?ABO=30，則?ACO=____________.00

7．在△ABC中，A≥B≥C≥小值為__________.?ABC，則乘積cossincos的最大值為____________，最

2226

C?AA?C

?cos=____________.22

8．在△ABC中，若c-a等于AC邊上的高h(yuǎn)，則sin

9．如圖所示，M，N分別是△ABC外接圓的弧AB，AC中點，P為BC上的動點，PM交AB

于Q，PN交AC于R，△ABC的內(nèi)心為I，求證：Q，I，R三點共線。

10．如圖所示，P，Q，R分別是△ABC的邊BC，CA，AB上一點，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。

求證：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。

11．在△ABC外作三個等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，?ADC=2?BAC，?AEB=2?ABC，?BFC=2?ACB，并且AF，BD，CE交于一點，試判斷△ABC的形狀。

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圓以BC的中點為圓心，且與兩腰AB和AC分別相切于點D和G，EF與半圓相切，交AB于點E，交AC于點F，過E作AB的垂線，過F作AC的垂線，兩垂線相交于P，作PQ?BC，Q為垂足。求證：PQ?

EF，此處?=?B。

2sin?

2．設(shè)四邊形ABCD的對角線交于點O，點M和N分別是AD和BC的中點，點H1，H2（不重合）分別是△AOB與△COD的垂心，求證：H1H2?MN。

3．已知△ABC，其中BC上有一點M，且△ABM與△ACM的內(nèi)切圓大小相等，求證：

AM?P(P?a)，此處P?

(a+b+c), a, b, c分別為△ABC對應(yīng)三邊之長。

24．已知凸五邊形ABCDE，其中?ABC=?AED=90，?BAC=?EAD，BD與CE交于點O，求證：AO?BE。

5．已知等腰梯形ABCD，G是對角線BD與AC的交點，過點G作EF與上、下底平行，點E

和F分別在AB和CD上，求證：?AFB=90的充要條件是AD+BC=CD。

6．AP，AQ，AR，AS是同一個圓中的四條弦，已知?PAQ=?QAR=?RAS，求證：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。

22222

7．已知一凸四邊形的邊長依次為a, b, c, d，外接圓半徑為R，如果a+b+c+d=8R，試問對此四邊形有何要求？

8．設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，BA和CD延長后交于點R，AD和BC延長后交于點P，?A，?B，?C指的都是△ABC的內(nèi)角，求證：若AC與BD交于點Q，則

cosAcosCcosB

??.APCRBQ

9．設(shè)P是△ABC內(nèi)一點，點P至BC，CA，AB的垂線分別為PD，PE，PF（D，E，F(xiàn)是垂足），求證：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并討論等號成立之條件。

第四篇：高中數(shù)學(xué)必修五1.1.2余弦定理

1．1．2余弦定理蘄春三中劉芳

1.1.2余弦定理

蘄春三中劉芳

（一）教學(xué)目標(biāo)

1．知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

2.過程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，3．情態(tài)與價值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

（二）教學(xué)重、難點

重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；

難點：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。

（三）學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進(jìn)行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角 教學(xué)用具：投影儀、計算器

（四）教學(xué)設(shè)想

[復(fù)習(xí)回顧]

1、正弦定理；abc???2RsinAsinBsinC2、可以解決兩類有關(guān)三角形的問題：

（1）已知兩角和任一邊。

（2）已知兩邊和一邊的對角。

[提出問題]

聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。A ?????????????????如圖1．1-5，設(shè)CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，則bc

???????c?c?a?ba?b???????ab?b??2a??bCa??2a??2?a?b?2a?b?2????

從而c2?a2?b2?2abcosC(圖1．1-5)

同理可證a2?b2?c2?2bccosA

b2?a2?c2?2accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角

7的余弦的積的兩倍。即a2?b2?c2?2bccosA

b2?a2?c2?2accosB

c2?a2?b2?2abcosC

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？

（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

b2?c2?a

2cosA?2bca2?c2?b2

cosB?b2?a2?c2

cosC?[理解定理]

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？

（由學(xué)生總結(jié)）若?ABC中，C=900，則cosC?0，這時c2?a2?b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

[例題分析]

題型一 已知兩邊及夾角解三角形

例1．在?ABC

中，已知a

?cB?600，求b及A

⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB

=2?2?2?cos450

=12?2?1)

=8

∴b?

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b2?c2?a22221⑵解法一：∵

cosA?,∴A?600.asin450,解法二：∵

sinA?sinB2.4?1.4?

3.8,2?1.8?3.6,∴a＜c，即00＜A＜900,∴A?600.評述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。

題型二 已知三邊解三角形

例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形

（見課本第8頁例4，可由學(xué)生通過閱讀進(jìn)行理解）

解：由余弦定理的推論得： b2?c2?a2

cosA?

87.82?161.72?134.62 ??0.5543,A?56020?； c2?a2?b2

cosB?

134.62?161.72?87.82 ?2?134.6?161.7?0.8398,B?32053?；

? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)

??90047.題型三 正、余弦定理的應(yīng)用比較

例3.在△ABC中，已知 b=3，3。B=300，求角A，角C和邊a。

思考：求某角時，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理，兩種方法 有什么利弊呢？

[補(bǔ)充練習(xí)]

1、在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200）

2、在△ABC中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,求△ABC的最大內(nèi)角。（答案：A=1200）

[課堂小結(jié)]

（1）利用余弦定理解三角形

①．已知三邊求三角；

②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

（2）余弦定理與三角形的形狀

（五）作業(yè)設(shè)計

①課后閱讀：課本第9頁[探究與發(fā)現(xiàn)]

②課時作業(yè)：第10頁[習(xí)題1.1]A組第3，4題。

③《名師一號》相關(guān)題目。

第五篇：高中數(shù)學(xué)必修五知識點總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修5知識點

第二章：數(shù)列

1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．

2、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)．

3、有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列．

4、無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列．

5、遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列．

6、遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列．

7、常數(shù)列：各項相等的數(shù)列．

8、擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列．

9、數(shù)列的通項公式：表示數(shù)列?an?的第n項與序號n之間的關(guān)系的公式．

10、數(shù)列的遞推公式：表示任一項an與它的前一項an?1（或前幾項）間的關(guān)系的公式．

11、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．

12、由三個數(shù)a，?，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，則?稱為a與b的等差中項．若b?a?c，則稱b為a與c的等差中項． 213、若等差數(shù)列?an?的首項是a1，公差是d，則an?a1??n?1?d．通項公式的變形：①an?am??n?m?d；②a1?an??n?1?d；③d?an?a1；④n?1n?an?a1a?am?1；⑤d?n． dn?m14、若?an?是等差數(shù)列，且m?n?p?q（m、n、p、q??*），則am?an?ap?aq；若?an?是等差數(shù)列，且2n?p?q（n、p、q??*），則2an?ap?aq；下角標(biāo)成等差數(shù)列的項仍是等差數(shù)列；連續(xù)m項和構(gòu)成的數(shù)列成等差數(shù)列。

15、等差數(shù)列的前n項和的公式：①Sn?

n?a1?an?n?n?1?d． ；②Sn?na1?22