第一篇：高中數學必修五《海倫公式探究》
海倫公式探究
背景：海倫公式在數學學習中使用非常廣泛，它方便了日常數學學習中三角形的面積計算，使我們只需知道任意三角形的三邊長度，就可以用公式求得三角形的面積大小。但是你知道海倫公式的證明方法嗎？本次探究，著手海倫公式的證明方法、推廣，使同學們能更深刻地記住海倫公式、容易證明，并且合理使用。
過程：海倫公式 證明 三斜求積術 推廣 運用 余弦定理
海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，傳說是古代的敘拉古國王 希倫（Heron,也稱海龍）二世發現的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據Morris Kline在1908年出版的著作考證，這條公式其實是阿基米得所發現，以托希倫二世的名發表（未查證）。我國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”，它與海倫公式基本一樣。
如右圖，假設有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由圖下公式求得。
證明Ⅰ：
與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變
a2?b2?c2形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為：cosC?
2abS?1ab?sinC① 21?ab?1?cos2C② 21(a2?b2?c2)2③ ?ab?1?2224a?b141?41?41?4?4a2b2?(a2?b2?c2)④
(2ab?a2?b2?c2)(2ab?a2?b2?c2)⑤ [(a?b)2?c2][c2?(a?b)2]⑥
(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)(?a?b?b)⑦
a?b?b 2?a?b?ca?b?ca?b?c,p?b?,p?c?, 則p?a?222設p?上式?(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)(?a?b?c)
16?p(p?a)(p?b)(p?c)
所以，S△ABC?
p(p?a)(p?b)(p?c)
證明Ⅱ：我國著名的數學家九韶在《數書九章》提出了“三斜求積術”。
秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術”即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相減后余數的一半，自乘而得一個數小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減后余數被4除馮所得的數作為“實”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。
所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p為“隅”，Q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜。
定理:若三角形的三條邊分別是:大斜、中斜、小斜，則三角形面積為：
原文見<數書九章>卷五第二題: 以小斜冪并大斜冪，減中斜冪，余，半之．同乘于上，以小斜冪并大斜冪，減上．余，四約之為實，開平方，得積．
證明：如 圖，a=u+v，b2=h2+u2，c2=h2+v2 所以，u2-v2=b2-c2
(u+v)(u-v)=(b+c)(b-c)a(u-v)=(b+c)(b-c)(u-v)=(b+c)(b-c)/a 因(u+v)=a，所以22又 h=b-u，三角形面積=a．h/2
此即：，其中c>b>a.將根號下的多項式分解因式，便成為可見，三斜求積術與古希臘海倫公式是等價的 所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。
關于三角形的面積計算公式在解題中主要應用的有：
設△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，ha為a邊上的高，R、r分別為△ABC外接圓、內切圓的半徑，p =
1(a+b+c),則 211S△ABC =aha=ab×sinC = r p 22abc 4R = 2R----2sinAsinBsinC =
=p(p?a)(p?b)(p?c)
p(p?a)(p?b)(p?c)就是著名的海倫公式，在希臘數學家海倫的著作《測地術》中有記其中，S△ABC =載。
海倫公式在解題中有十分重要的應用。
一、海倫公式的變形
S=p(p?a)(p?b)(p?c)
(a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)
① [(a?b)2?c2][c2?(a?b)2] ②(a2?b2?c2?2ab)[?(a2?b2?c2?2ab)] ③ 4a2b2?(a2?b2?c2)④ 2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4 ⑤ 141 =41 =41 =41 =4 =
證一：根據勾股定理證明。分析：先從三角形最基本的計算公式S△ABC =導出海倫公式。
1aha入手，運用勾股定理推2
證二：根據斯氏定理證明。
根據海倫公式，我們可以將其繼續推廣至四邊形的面積運算。如下題：
｛已知四邊形ABCD為圓的內接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積｝
這里用海倫公式的推廣
S圓內接四邊形?(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)（其中p為周長一半，a,b,c,d,為4邊）
代入解得s?83
海倫公式在解題中有十分重要的應用。
二、海倫公式的推廣
由于在實際應用中，往往需計算四邊形的面積，所以需要對海倫公式進行推廣。由于三角形內接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內接與圓的四邊形ABCD中，設p==(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)
現根據猜想進行證明。
證明：如圖，延長DA，CB交于點E。
設EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD
a?b?c?d,則S
2四邊形
S?EABfbb2e∴== = a?ef?cdS四邊形ABCDd2?b2解得： e =b(ab?cd)b(ad?bc)① f = ②
d2?b2d2?b2d2?b2由于S四邊形ABCD =S△EAB
b2b(d2?b2)將①，②跟b =代入公式變形④，得：22d?b
所以，海倫公式的推廣得證。
三、海倫公式的推廣的應用
海倫公式的推廣在實際解題中有著廣泛的應用，特別是在有關圓內接四邊形的各種綜合題中，直接運用海倫公式的推廣往往事半功倍。
例題：如圖，四邊形ABCD內接于圓O中，SABCD =求：四邊形可能為等腰梯形。解：設BC = x 由海倫公式的推廣，得：
33,AD = 1,AB = 1, CD = 2.4133(1?1?2?x)(1?1?x?2)(2?x?1?1)(2?x?1?1)= 44(4－x)(2＋x)2 =27 x4－12x2－16x＋27 = 0 x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)= 0(x－1)(x3＋x2－11x－27)= 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 當x = 1時，AD = BC = 1 ∴ 四邊形可能為等腰梯形。
第二篇：海倫公式
海倫公式
與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》）中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為下述推導[1]
cosC =(a^2+b^2-c^2）/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√（1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]
=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
設p=(a+b+c)/2
則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
證明⑵
中國宋代的數學家秦九韶在1247年也提出了“三斜求積術”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術》中，已經有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由于土地的面積并不是三角形，要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，中國著名的數學家秦九韶提出了“三斜求積術”。
秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術”即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數的一半，自乘而得一個數，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減后余數被4除，所得的數作為“實”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。
所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}
當P=1時，△ 2=q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}
因式分解得
△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]
=1/4[(c+a)^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]
=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。
S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}.其中c>b>a.根據海倫公式，我們可以將其繼續推廣至四邊形的面積運算。如下題：
已知四邊形ABCD為圓的內接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積
這里用海倫公式的推廣
S圓內接四邊形= 根號下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p為周長一半，a,b,c,d，為4邊）
代入解得s=8√ 3
證明⑶
在△ABC中∠A、∠B、∠C對應邊a、b、c
O為其內切圓圓心，r為其內切圓半徑，p為其半周長
有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=r
∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2
∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）
=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2
=ptanA/2tanB/2tanC/2
=r
∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3）/(tanA/2tanB/2tanC/2）
=p(p-a)(p-b)(p-c)
∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
第三篇：海倫公式的證明
與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為cosC =(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]設p=(a+b+c)/2則p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
第四篇：海倫公式原理簡介
原理簡介
我國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”，它與海倫公式基本一樣。
假設在平面內，有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p為半周長：
p=(a+b+c)/2
——————————————————————————————————————————————
注1：“Metrica”(《度量論》)手抄本中用s作為半周長，所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]兩種寫法都是可以的，但多用p作為半周長。
——————————————————————————————————————————————
由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地導出答案。編輯本段證明過程 證明（1）
與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為
cosC =(a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 設p=(a+b+c)/2 則p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2，上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 證明（2）
我國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術》中，已經有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由于土地的面積并不是的三角形，要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，我國著名的數學家秦九韶提出了“三斜求積術”。
秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術”即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數的一半，自乘而得一個數，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減后余數被4除，所得的數作為“實”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。
所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}
當P＝1時，△ 2＝q，△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 因式分解得
△ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/16[(c+a)^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。
S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}.其中c>b>a.根據海倫公式，我們可以將其繼續推廣至四邊形的面積運算。如下題：
已知四邊形ABCD為圓的內接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積
這里用海倫公式的推廣
S圓內接四邊形= 根號下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p為周長一半，a,b,c,d,為4邊）
代入解得s=8√ 3 證明（3）
在△ABC中∠A、∠B、∠C對應邊a、b、c O為其內切圓圓心，r為其內切圓半徑，p為其半周長 有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2 =r ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)=p(p-a)(p-b)(p-c)∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)證明(4)通過正弦定理:和余弦定理的結合證明(具體可以參考證明方法1)編輯本段推廣
關于三角形的面積計算公式在解題中主要應用的有：
設△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，ha為a邊上的高，R、r分別為△ABC外接圓、內切圓的半徑，p =(a+b+c)/2,則
S△ABC
=1/2 aha
=1/2 ab×sinC
= r p
= 2R^2sinAsinBsinC
= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海倫公式，在希臘數學家海倫的著作《測地術》中有記載。編輯本段海倫公式在解題中有十分重要的應用。
一、海倫公式的證明
證一 勾股定理
如右圖
勾股定理證明海倫公式。
證二：斯氏定理
如右圖。
斯氏定理證明海倫公式
證三：余弦定理
分析：由變形② S = 可知，運用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 對其進行證明。
證明：要證明S =
則要證S =
=
= ab×sinC
此時S = ab×sinC/2為三角形計算公式，故得證。
證四：恒等式
恒等式證明(1)
恒等式證明(2)證五：半角定理
∵由證一，x = = －c = p－c
y = = －a = p－a
z = = －b = p－b
∴ r3 = ∴ r =
∴S△ABC = r·p = 故得證。
二、海倫公式的推廣
由于在實際應用中，往往需計算四邊形的面積，所以需要對海倫公式進行推廣。由于三角形內接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內接與圓的四邊形ABCD中，設p= ,則S四邊形=
現根據猜想進行證明。
證明：如圖，延長DA，CB交于點E。
設EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180° ∠2+∠3 =180° ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD ∴ = = =
解得： e = ① f = ②
由于S四邊形ABCD = S△EAB
將①，②跟b = 代入公式變形④，得到： ∴S四邊形ABCD = 所以，海倫公式的推廣得證。
編輯本段例題：
C語言版：
如圖四邊形ABCD內接于圓O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四邊形可能為等腰梯形。解：設BC = x 由海倫公式的推廣，得：(4－x)(2＋x)2 =27
x4－12x2－16x＋27 = 0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)= 0(x－1)(x3＋x2－11x－27)= 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 當x = 1時，AD = BC = 1 ∴ 四邊形可能為等腰梯形。在程序中實現(VBS): dim a,b,c,p,q,s a=inputbox(“請輸入三角形第一邊的長度”)b=inputbox(“請輸入三角形第二邊的長度”)c=inputbox(“請輸入三角形第三邊的長度”)a=1*a b=1*b c=1*c p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)q=sqr(p)s=(1/4)*q msgbox(“三角形面積為”&s), ,“三角形面積” 在VC中實現
#include
using System;using System.Collections.Generic;using System.Text;namespace CST09078 class Program static void Main(string[] args)
double a, b, c, p, s;
Console.WriteLine(“輸入第一條邊的長度：n”);a = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());Console.WriteLine(“輸入第二條邊的長度：n”);b = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());Console.WriteLine(“輸入第三條邊的長度：n”);c = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());p =(a+b+c)/2;s = Math.Sqrt(p*(pb)*(p-c));Console.WriteLine(“我算出來的面積是{0}”, s);Console.Read();
第五篇：高中數學必修五1.1.2余弦定理
1．1．2余弦定理蘄春三中劉芳
1.1.2余弦定理
蘄春三中劉芳
（一）教學目標
1．知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。
2.過程與方法:利用向量的數量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，3．情態與價值：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數、余弦定理、向量的數量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯系與辯證統一。
（二）教學重、難點
重點：余弦定理的發現和證明過程及其基本應用；
難點：勾股定理在余弦定理的發現和證明過程中的作用。
（三）學法與教學用具
學法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角 教學用具：投影儀、計算器
（四）教學設想
[復習回顧]
1、正弦定理；abc???2RsinAsinBsinC2、可以解決兩類有關三角形的問題：
（1）已知兩角和任一邊。
（2）已知兩邊和一邊的對角。
[提出問題]
聯系已經學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？
用正弦定理試求，發現因A、B均未知，所以較難求邊c。
由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。A ?????????????????如圖1．1-5，設CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，則bc
???????c?c?a?ba?b???????ab?b??2a??bCa??2a??2?a?b?2a?b?2????
從而c2?a2?b2?2abcosC(圖1．1-5)
同理可證a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角
7的余弦的積的兩倍。即a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB
c2?a2?b2?2abcosC
思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？
（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：
b2?c2?a
2cosA?2bca2?c2?b2
cosB?b2?a2?c2
cosC?[理解定理]
從而知余弦定理及其推論的基本作用為：
①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；
②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？
（由學生總結）若?ABC中，C=900，則cosC?0，這時c2?a2?b2
由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。
[例題分析]
題型一 已知兩邊及夾角解三角形
例1．在?ABC
中，已知a
?cB?600，求b及A
⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB
=2?2?2?cos450
=12?2?1)
=8
∴b?
求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b2?c2?a22221⑵解法一：∵
cosA?,∴A?600.asin450,解法二：∵
sinA?sinB2.4?1.4?
3.8,2?1.8?3.6,∴a＜c，即00＜A＜900,∴A?600.評述：解法二應注意確定A的取值范圍。
題型二 已知三邊解三角形
例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形
（見課本第8頁例4，可由學生通過閱讀進行理解）
解：由余弦定理的推論得： b2?c2?a2
cosA?
87.82?161.72?134.62 ??0.5543,A?56020?； c2?a2?b2
cosB?
134.62?161.72?87.82 ?2?134.6?161.7?0.8398,B?32053?；
? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)
??90047.題型三 正、余弦定理的應用比較
例3.在△ABC中，已知 b=3，3。B=300，求角A，角C和邊a。
思考：求某角時，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理，兩種方法 有什么利弊呢？
[補充練習]
1、在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200）
2、在△ABC中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,求△ABC的最大內角。（答案：A=1200）
[課堂小結]
（1）利用余弦定理解三角形
①．已知三邊求三角；
②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。
（2）余弦定理與三角形的形狀
（五）作業設計
①課后閱讀：課本第9頁[探究與發現]
②課時作業：第10頁[習題1.1]A組第3，4題。
③《名師一號》相關題目。
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