向量在解析幾何中的應(yīng)用

第一章

引言

1.1

研究背景

向量（或矢量）,最初被應(yīng)用于物理學(xué)．很多物理量如力、速度、位移以及電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量.大約公元前350年前,古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量,兩個(gè)力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到.“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段．最先使用有向線段表示向量的是英國(guó)大科學(xué)家牛頓.向量在解析幾何整個(gè)知識(shí)體系中占有非常重要的地位,向量是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念.它可以使圖形量化,使圖形間關(guān)系代數(shù)化.向量是研究圖形問題的有力工具.向量是一個(gè)具有幾何和代數(shù)雙重身份的概念,同時(shí)向量代數(shù)所依附的線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)完整的體系,具有良好的分析方法和完整結(jié)構(gòu),通過向量的運(yùn)用對(duì)傳統(tǒng)問題的分析,可以幫助學(xué)生更好地建立代數(shù)與幾何的聯(lián)系,也為中學(xué)數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過渡奠定了一個(gè)直觀的基礎(chǔ)．這方面的案例包括平面幾何、立體幾何和解析幾何．

1.2

本課題的研究?jī)?nèi)容

本課題主要是對(duì)向量法在有關(guān)平面問題中的應(yīng)用的進(jìn)一步探討.具體從以下幾個(gè)方面進(jìn)行探討：

1、向量在建立平面方程中的應(yīng)用.2、向量在討論平面與平面、平面與直線的位置關(guān)系中的應(yīng)用.3、向量在推導(dǎo)點(diǎn)到平面的距離公式中的應(yīng)用.4、向量在推導(dǎo)兩平面的夾角公式中的應(yīng)用.5、向量在平面其它方面的應(yīng)用.第二章

向量法在有關(guān)平面問題中的應(yīng)用

2.1

向量的基礎(chǔ)知識(shí)

1.向量分解定理

定理1

如果向量,那么向量與向量共線的充分條件是可以用向量線性表示,或者說是的線性組合,即,并且系數(shù)被,唯一確定.定理2

如果向量,不共線,那么向量與向量,共面的充要條件是可以用向量,線性表示,或者說可以分解成,的線性組合,即,并且系數(shù)，被，唯一確定.這時(shí),叫做平面上向量的基底.2.向量平行、垂直的條件及夾角公式

設(shè)空間中兩個(gè)非零向量為和

則(1)

(2)

∥

(3)即

3.向量乘法運(yùn)算的有關(guān)內(nèi)容:

設(shè)則

(1)數(shù)量積：1)

2)

3)

4)

即

(2)向量積：1)

2)若不平行,則

圖1

3)若∥即

(3)混合積：1)

2)若不共面,則

2.2向量在建立平面方程中的應(yīng)用

2.2.1

平面的點(diǎn)法式方程

如果一非零向量垂直于一平面,這向量就叫做該平面的法向量.法向量的特征：垂直于平面的任一非零向量.已知平面上一點(diǎn)和該平面的法向量.設(shè)平面上的任一點(diǎn)

則有

=

圖2

平面的點(diǎn)法式方程為

由點(diǎn)法式得到平面的一般是方程其中例1:

一平面過點(diǎn)和且垂直于平面,求此平面的方程.解:

平面的法向量

設(shè)所求平面的法向量

∵在所求平面上

∴

從而有

∵,圖3

∴即

(1)

又∵所求平面垂直于平面,從而有

即

即

(2)

由(1)(2)解得：∴

∴所求平面的方程為即

另解：∵且

∴該平面的法向量為

圖4

∴所求平面的方程為

即

從以上兩例可以看出,在用向量建立平面方程時(shí),首先要確定平面的法向量,熟記平面的幾種特殊位置的方程,且需注意兩平面的位置特征.2.2.2平面的參數(shù)式方程

圖5

在空間,取仿射坐標(biāo)系,并設(shè)點(diǎn)的向徑,平面π上的任意一點(diǎn)的向徑為(圖4),顯然點(diǎn)在平面π上的充要條件為向量與共面,因?yàn)椴还簿€,所以這個(gè)共面的條件可以寫成,又因?yàn)?所以有

其中為參數(shù).即

則此方程叫做平面π的向量式參數(shù)方程,如果設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為那么

;

令,那么由平面π的向量式參數(shù)方程得,則此方程組叫做平面π的坐標(biāo)式參數(shù)方程.2.3討論平面與平面、平面與直線的位置關(guān)系中的應(yīng)用

2.3.1平面與平面的位置關(guān)系

空間兩個(gè)平面的位相關(guān)位置有三種情形,即相交、平行和重合,而且當(dāng)且僅當(dāng)兩平面有一部分公共點(diǎn)時(shí)它們相交,當(dāng)且僅當(dāng)兩平面無公共點(diǎn)時(shí)它們相互平行,當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)平面上的所有點(diǎn)就是另一個(gè)平面的點(diǎn)時(shí),這兩平面重合.因此如果設(shè)兩平面方程為,（1）,（2）

那么兩平面與是相交還是平行或是重合,就決定于由方程(1)與(2)構(gòu)成的方程組是有解還是無解,或是方程(1)與（2）僅相差一個(gè)不為零的數(shù)因子,因此我們就得到了下面的定理.定理2.3.1.1:

平面（1）與（2）相交的充要條件是,平行的充要條件是,重合的充要條件是

定理2.3.1.2:兩平面（1）與（2）相互垂直的充要條件是

;

證：設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為

而與的位置關(guān)系直接影響與的位置關(guān)系.下面分幾種情況來討論.(如圖2.3.1)

1.∥∥

特例：與重合（1）,（2）兩方程同解

∥且

顯然,∥,且與不重合2..將上面結(jié)果歸納起來可以得到2.3.1.1和2.3.1.2

2.3.2平面與直線的位置關(guān)系

空間直與平面的相關(guān)位置有直線與平面相交,直線與平面平行和直線在平面上的三種情況.下面給出直線與平面位置成立的條件：

設(shè)直線平面的方程分別為,（1）,（2）

則由定理2.3.2.1

直線（1）與平面（2）的相互位置關(guān)系有下面的充要條件:

1.相交：；

2.平行：

;；

3.直線在平面上：

;;

由于直線的方向向量為,而在直線坐標(biāo)系下,平面的法向量為,因此在直角坐標(biāo)系下,直線與平面的相互位置關(guān)系,從幾何上看,直線與平面的相交條件

就是不垂直于；

直線與平面平行的條件

;

就是,且直線上的點(diǎn)不在平面上；

直線在平面上的條件

;

就是,且直線上的點(diǎn)在平面上.2.4向量在推導(dǎo)點(diǎn)到平面的距離公式中的應(yīng)用

空間解析幾何在空間點(diǎn)、直線與平面間相關(guān)位置的討論中有一個(gè)重要問題是求這些圖形間的距離,其中點(diǎn)到平面的距離尤為重要．本節(jié)將利用向量探討點(diǎn)到平面的距離公式的推導(dǎo)．

文獻(xiàn)[1,2]利用點(diǎn)與平面間離差的幾何意義給出了點(diǎn)與平面：

（1）

之間的距離公式：

（2）

平面的點(diǎn)法式向量方程為,（3）

平面的向量式參數(shù)方程

（4）

其中是平面的法向量,、為參數(shù)，是平面的方位向量,是平面上定點(diǎn)的徑矢,（5）

設(shè)

（6）

（7）,（8）

則平面的點(diǎn)法式向量方程（3）和平面的向量式參數(shù)方程（4）都可以轉(zhuǎn)化為平面的一般式方程（1）,所以以下推導(dǎo)中,只要得到由向量表示的距離公式,那么將（6—8）代入,就可得距離公式（2）.證：1.與之間的距離是與上定點(diǎn)構(gòu)成向量在平面的法向量上的射影的絕對(duì)值.設(shè)平面的點(diǎn)法式方程如（3）式,則

將（5）（6）（8）（9）式代入,即可得距離公式（2）

已知與之間的距離是以平面的方位向量,和為棱的平行六面體中,所在平面上的高

證：1.設(shè)平面的方程如（4）式,將,的始點(diǎn)移到點(diǎn),則，不面.與之間的距離正好是以向量,和為棱的平行六面體中,所在面上的高如圖6.平行六面體的體積,底面的面積

圖6

所以,將（5）,（7）,（8）,（9）式代入,即可得距離公式（2）

評(píng)析：點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)有很多方法,本節(jié)利用向量法推導(dǎo)出了點(diǎn)到直線的距離公式,這種思路能更好的將向量與幾何問題結(jié)合起來,展現(xiàn)了向量在解決幾何問題中的重要作用.2.5

向量在推導(dǎo)兩平面的夾角公式中的應(yīng)用

現(xiàn)在讓我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系下來研究?jī)善矫娴慕唤?設(shè)兩平面與間的二面角用來表示,而兩平面的法向量與的夾角記為,那么顯然有（圖7）

或.因此我們得到

圖7

例2:

如圖8,在底面是直角梯形的四棱錐中,//，，,.求側(cè)面與面所成的二面角的大小.解：以為原點(diǎn)如圖8建立空間直角坐標(biāo)系,A

z

y

x

D

C

B

S

圖8

則，，∴,顯然平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則

∴

則

評(píng)析：因?yàn)樗蟮亩娼堑慕痪€在圖中較難作出,所以用傳統(tǒng)的方法求二面角比較困難,向量法在這里就體現(xiàn)出它特有的優(yōu)勢(shì).2.6向量在平面其它方面的應(yīng)用

1．求點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).例3.求點(diǎn)關(guān)于平面π:的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是平面π的法向量為.則有∥且點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等,即.得

解得,則點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).2.求平面與坐標(biāo)平面圍成的四面體體積.例4.求平面與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的四面體體積.解：如圖9,則平面與坐標(biāo)系的交點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成的向量為，圖9

則四面體體積為即四面體體積

評(píng)析：向量除了本文所羅列出來的相關(guān)問題之外,還有很多的解析幾何問題可以利用向量來解決,所以向量在解決平面的相關(guān)問題中有著不可忽視的作用,值得我們認(rèn)真學(xué)習(xí)和研究.2.7本章小結(jié)

總之,向量在整個(gè)解析幾何中占有非常重要的地位,因此它的應(yīng)用在解決幾何問題時(shí)是最基礎(chǔ)最普遍的方法,尤其是在幾何的證明問題中,使用向量的分解定理和向量的基礎(chǔ)知識(shí)以及向量的一些定理可以起到事半功倍的效果.除此之外,用向量可以將一些代數(shù)問題幾何化,這樣借助向量的性質(zhì)可以快速明了的解決一些難題.另外,向量在推導(dǎo)一些幾何公式時(shí),使得問題簡(jiǎn)化了很多.參考文獻(xiàn)

[1]呂林根,許子道.解析幾何[M]．北京：高等教育出版社,1992．

[2]丘維聲.解析幾何[M]．北京大學(xué)出版社,1988．

[3]鄭榮等.向量在幾何中的應(yīng)用舉例[J].成都教育學(xué)院學(xué)報(bào),2003,17

65~66.[4]李健群.談向量方法在有關(guān)直線問題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通,2004,6~17.致謝

走的最快的總是時(shí)間,來不及感嘆,大學(xué)生活已近尾聲,四年多的努力與付出,隨著本次論文的完成,將要?jiǎng)澫峦昝赖木?從課題選擇到具體的寫作過程,無不凝聚著老師的心血和汗水.老師要指導(dǎo)很多同學(xué)的論文,加上本來就有的教學(xué)任務(wù)和科研項(xiàng)目,工作量之大可想而知,她還在百忙之中抽出大量的時(shí)間來指導(dǎo)我們.她的循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪,她的淵博的專業(yè)知識(shí),精益求精的工作作風(fēng),嚴(yán)以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范,將一直是我工作、學(xué)習(xí)中的榜樣.在我的畢業(yè)論文寫作期間,老師為我提供了種種專業(yè)知識(shí)上的指導(dǎo)和一些富于創(chuàng)造性的建議,沒有這樣的幫助和關(guān)懷,我不會(huì)這么順利的完成畢業(yè)論文.在此向李明老師表示深深的感謝和崇高的敬意.同時(shí),論文的順利完成,離不開其它各位老師、同學(xué)和朋友的關(guān)心和幫助.在整個(gè)的論文寫作中,各位老師、同學(xué)和朋友積極的幫助我查資料和提供有利于論文寫作的建議和意見,在他們的幫助下,論文得以不斷的完善,最終幫助我完整的寫完了整個(gè)論文.最后,也是最重要的,我要感謝我的父母,因?yàn)闆]有他們,就沒有現(xiàn)在站在這里的我,是他們給以我生命,給以我大學(xué)的機(jī)會(huì),是他們?cè)炀土私裉斓奈?對(duì)于你們,我充滿無限的感激.