第一篇：空間向量在立體幾何中的應用(一) 課時教案

空間向量在立體幾何中的應用

（一）——求空間兩條直線、直線與平面所成的角

知識與技能：引導學生探索并掌握利用空間向量求線線角、線面角的基本方法。、過程與方法：通過對例題的研究求解，歸納總結，從中體會使用代數方法研究空間圖形帶來的方便，激發學生對數學學習的熱情，提高數學素養，鍛煉數學品質，發展數學思維。情感態度價值觀：課堂中進行“師生交流”與“生生交流”，有利于提高學生的表達能力和總結概括的能力，讓學生獲得成功的體驗，樹立學好數學的信心 教學重點、難點

重點：利用空間向量解決線線角、線面角問題的基本思路。難點：在解題中的靈活應用。

教學方法：課前預習、獨立思考、課堂討論、當堂訓練、課后反思相結合。教學過程：

一、創設情境：

引例：（期中考試卷19題）在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD=AC=BD=6，點E、F、G分別為BC、CD、AD的中點。（1）證明直線AC?直線BD；

（2）求異面直線EF與CG所成的角（結果用反三角表示）。二．探索與發現

1、空間兩條直線所成的角

設空間直線a與b所成的角為?(0????2)，它們的一個方向向量分別為d1??l1,m1,n1?和d2??l2,m21,n2?，d1與d2的夾角為?(0????).，根據空間兩條直線所成角的定義，可知?與?的關系是

???(0???)??2???

?????(????)?2?于是得cos??cos?

當ab時，??0,??0或?，當a?b時，??0,??

2、空間直線與平面所成的角

?2。當直線l與平面?相交且不垂直時，設它們所成的角為?(0????2)，d是直線l的一個方向向量，n是平面?的一個法向量，d與n的夾角為?，那么?與?有如下關系：

?????(0???)??22 ????????(????)?22?當l?或l??時??0,??于是有sin??cos?。三．學習應用

例1：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AD、AB的中點。（1）求異面直線B1E與C1F所成角的大小；（2）求證：異面直線AC1與B1C垂直；（3）求直線BC1與面EFB1D1所成角的大小。例2：討論完成引例

例3：四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，AB=BC=2，E是AC的中點，異面直線AD和BE所成角的大小為arccos四．創新發展

例4：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中點。

（1）在棱BB1上是否存在一點M，使D1M?平面B1AE，為什么？

（2）在正方體表面ABB1A1上是否存在點N，使D1N?平面B1AE，為什么？ 五．課堂小結：

利用空間向量處理立體幾何的問題，可以把一些復雜的邏輯推理過程轉化為向量運算，有利于克服空間想象力的障礙和空間作圖的困難，既直觀又容易接受，降低了立體幾何學習的難度，有利于豐富我們的思維結構，提高運用數學知識分析和解決問題的能力。

六、課后作業

1、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AD、AB的中點。

D1A1B1C1?2;，當l??時，???2,??0.1010，求直線DE與平面BCD所成角的大小。

（1）求異面直線B1E與C1F所成角的大小；（2）求證：異面直線AC1與B1C垂直；

D EAFBC（3）求直線BC1與面EFB1D1所成角的大小。

2、在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD=AC=BD=6，點E、F、G分別為BC、CD、AD的中點。

（1）證明：直線AC?直線BD；（2）求異面直線EF與CG所成的角（結果

反三角表示）。

3、四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，AB=BC=2，E是AC的中點，異面直線AD和BE所成角的大小為arccos

CBEAD1010，求DE與平面BCD所成角的大小。

4、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中點。

（1）在棱BB1上是否存在一點M，使D1M?平面B1AE，為什么？

（2）在正方體表面ABB1A1上是否存在點N，使D1N?平面B1AE，為什么？

A1D1B1C1DABC

第二篇：空間向量在立體幾何中的應用

【利用空間向量證明平行、垂直問題】

例.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F。

（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。

如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點。設DC=a。

（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG。依題意得。

∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故點G的坐標為，∴則而，∴PA//平面EDB。

（2）依題意得B（a，a，0），∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且

（3）解析：設點F的坐標為又，故，所以PB⊥平面EFD。，則

從而所以

由條件EF⊥PB知，即，解得

∴點F的坐標為，且∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

∵，且

∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小為60°。

點評：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．

（2）證明線面平行的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明能夠在平面內找到一個向量與已知直線的方向向量共線；③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內的兩個不共線向量是共面向量．

（3）證明面面平行的方法：①轉化為線線平行、線面平行處理；②證明這兩個平面的法向量是共線向量．（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．

（5）證明線面垂直的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；②證明直線與平面內的兩個不共線的向量互相垂直．

（6）證明面面垂直的方法：①轉化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個平面的法向量互相垂直．【用空間向量求空間角】例.正方形ABCD—

中，E、F分別是，的中點，求：

（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

解析：不妨設正方體棱長為2，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則 A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）（1）由，得

又，∴，即所求值為。

（2）∵

∴

∴，過C作CM⊥AE于M，則二面角C—AE—F的大小等于，∵M在AE上，∴設則，∵

∴

又∴

∴二面角C—AE—F的余弦值的大小為點評：（1）兩條異面直線所成的角（2）直線與平面所成的角

求得，即

求得，即。

或

可以借助這兩條直線的方向向量的夾角

主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角

（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補角。【用空間向量求距離】例.長方體ABCD—求：

（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。解析：（1）方法一：

如圖，建立空間直角坐標系B—xyz，則A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點，故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為

方法二：，∴

故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為

（2）∵，∴上的射影的模

故M到PQ的距離為（3）設

是平面的某一法向量，則，∵因此可取，由于

∴，那么點M到平面的距離為，故M到平面的距離為。

點評：本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標系，運用向量坐標法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現，但是利用向量的數量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個新的熱點。現列出幾類問題的解決方法，供大家參考。

（1）平面的法向量的求法：設聯立后取其一組解。，利用n與平面內的兩個向量a，b垂直，其數量積為零，列出兩個三元一次方程，（2）線面角的求法：設n是平面的法向量，是直線l的方向向量，則直線l與平面所成角的正弦值為。

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角的兩個面內與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。

②設或其補角。

分別是二面角的兩個平面的法向量，則就是二面角的平面角

（4）異面直線間距離的求法：

是兩條異面直線，n是的公垂線段AB的方向向量，又C、D分別是

上的任意

兩點，則。

（5）點面距離的求法：設n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則點B到平面的距離為。

（6）線面距、面面距均可轉化為點面距離再用（5）中方法求解。

第三篇：28.空間向量在立體幾何中的應用

高三數學一輪復習材料命題：王曉于杰審題：劉臻祥2007-8-2

2§5.3空間向量在立體幾何中的應用

NO.28

【基礎知識梳理】

1.直線的方向向量與直線的向量方程

⑴ 用向量表示直線或點在直線上的位置

① 給定一個定點A和一個向量a，再任給一個實數t，以A為起點作向量AP=_________（Ⅰ），這時點P的位置被完全確定.向量方程通常稱作直線l的____________，向量a稱為該直線的____________.② 對空間任一個確定的點O，點P在直線l上的充要條件是存在惟一的實數t，滿足等式，如果在l上取?，則（Ⅱ）式可化為 O=_________（Ⅱ）

OP?OA?tAB?OA?t(OB?OA)，即O=_________（Ⅲ）.（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）都叫做空間直線的向量參數方程，它們都與平面的直線向量參數方程相同.③ 設點M是線段AB的中點，則O=_________.⑵ 用向量方法證明直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行

① 設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2或l1和l2重合?__________.② 已知兩個非零向量v1，v2與平面α共面，一條直線l的一個方向向量為v，則l∥α或 l在α內?存在兩個實數x，y，使v=__________.⑶ 用向量運算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角

設直線l1和l2成的角為θ（銳角），方向向量分別為v1和v2，則有l1⊥l2?__________，cosθ=__________.2.平面的法向量與平面的向量表示

⑴ 已知平面α，如果向量n的基線與平面α垂直，則向量n叫做平面α的________或說向量n與平面α________.⑵設A是空間任一點，n為空間任一非零向量，適合條件AM?n?0----①的點M的集合構成的圖形是________.如果任取兩點M1、M2（M1、M2和A三點不共線），且AM1??0，AM2??0，則n⊥平面AM1M2.在平面AM1M2內的任一點M都滿足條件①式.滿足條件①的所有

點M都在平面AM1M2內.①式稱為一個平面的_____________.⑶ 共面向量定理的推論：如果A、B、C三點_____________，則點M在平面ABC內的充要條件是，存在一對實數x，y，使向量表達式=_________.⑷ 設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β或α，β重合?_____，α⊥β?_____?_________

⑸ 三垂線定理：如果在平面___的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，則它也和____________垂直.三垂線定理的逆定理：如果在平面___的一條直線與平面的一條斜線垂直，則它也和

____________垂直.【基礎知識檢測】

1.兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1=（1，0，-1），v2=（-2，0，2），則l1與l2的位置關系是（）

A.平行B.相交C.垂直D.不確定

2.在下列四個正方體中，能得出AB⊥CD的是（）

ABCD

3.已知l∥α，且l的方向向量為（2，m，1），平面α的法向量為（1，-1m，2），則m=______.24.已知平面α和β的法向量分別為u1=（-1，x，4）和u2=（y，1，-2），若α∥β，則x+y=______.5.已知正方體ABCD－A1B1C1D1，則直線AC1與直線BC所成的角為_______.【典型例題探究】

題型1.（異面直線所成的角）在棱長均為a的正四面體ABCD中，M、N分別為邊AB、CD的中點，求異面直線AN、CM所成的角的余弦值.D

變式訓練：已知直三棱柱ABD-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1和A1A的中點,（1）求異面直線BA1和CB1所成的角；（2）求證：A1B⊥C1M.題型2.（利用空間向量證明平行、垂直問題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M、N

分別是對角線A1B與面對角線A1C1的中點.求證：MN∥側面AD1.變式訓練：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a，M、N分別為A1B和AC上的點，A1M=AN=2a，則MN與平面BB1C1C的位置關系是（）

3A.相交B.平行C.垂直D.不能確定

題型3（空間中點共線、點共面問題）已知平行四邊形ABCD，從平面ABCD外一點O引射線OA，OB，OC，OD，在其上分別取E，F，G，H，并且使OEOFOGOH????k（k OAOBOCOD

為常數）.求證：E，F，G，H四點共面.變式訓練：求證：四點A（3，0，5），B（2，3，0），C（0，5，0），D（1，2，5）共面.【限時過關檢測】班級學號姓名分數

選擇、填空題每小題10分

1.對空間任意一點O，若?311??，則A、B、C、P四點（）488

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.無法判斷

2.設P是△ABC所在平面外一點，且PA⊥BC,PB⊥AC,則 P在該平面內的射影是△ABC的（）

A.內心B.外心C.垂心D.重心

3.設l1的方向向量為=（1，2，-2），l2的方向向量為=（-2，3，m），若l1⊥l2，則m= ____.4.已知=（2，2，1），=（4，5，3），則平面ABC的單位法向量是_________.5.（20分）已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1AB=1，2

M是PB的中點.（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC與PB所成的角.6.（20分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D為A1C1的中點，E為B1C的中點，⑴ 求直線BE與A1C所成的角；⑵ 在線段AA1上是否存在點F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF；若不存在，說明理由.【體驗高考】(每小題10分)

1．（2007全國Ⅰ）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為

（）

A．1234B．C．D． 5555

2.（2007四川）ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結論錯誤的是（）．．

A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．異面直線AD與CB1角為60°

第四篇：空間向量方法解立體幾何教案

空間向量方法解立體幾何

【空間向量基本定理】

例1.已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點，且M分

數x、y、z的值。成定比2，N分PD成定比1，求滿足的實

分析;結合圖形，從向量

用、、出發，利用向量運算法則不斷進行分解，直到全部向量都表示出來，即可求出x、y、z的值。

如圖所示，取PC的中點E，連接NE，則

點評：選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的一項基本功，要結合已知和所求，觀察圖形，聯想相關的運算法則和公式等，就近表示所需向量。再對照目標，將不符合目標要求的向量當作新的所需向量，如此繼續下去，直到所有向量都符合目標要求為止，這就是向量的分解。有分解才有組合，組合是分解的表現形式。空間向量基本定理恰好說明，用空間三個不共面的向量組可以表示出空間任意一個向量，而且a,b,c的系數是惟一的。

【利用空間向量證明平行、垂直問題】

例2.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F。

（1）證明：PA//平面EDB；

（2）證明：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

點評：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．

（2）證明線面平行的方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；

②證明能夠在平面內找到一個向量與已知直線的方向向量共線；

③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內的兩個不共線向量是共面向量．

（3）證明面面平行的方法：

①轉化為線線平行、線面平行處理；

②證明這兩個平面的法向量是共線向量．

（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．

（5）證明線面垂直的方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；

②證明直線與平面內的兩個不共線的向量互相垂直．（6）證明面面垂直的方法：

①轉化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個平面的法向量互相垂直． 【用空間向量求空間角】

例3.正方形ABCD—中，E、F分別是

（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。，的中點，求：

點評：（1）兩條異面直線所成的角可以借助這兩條直線的方向向量的夾角

求得，即。

（2）直線與平面所成的角主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即或

（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補角。

【用空間向量求距離】

例4.長方體ABCD—中，AB=4，AD=6，段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點，求：

（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。，M是A1C1的中點，P在線

本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標系，運用向量坐標法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現，但是利用向量的數量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個新的熱點。現列出幾類問題的解決方法。

（1）平面的法向量的求法：設，利用n與平面內的兩個向量a，b垂直，其數量積為零，列出兩個三元一次方程，聯立后取其一組解。

（2）線面角的求法：設n是平面

向量，則直線與平面的一個法向量，AB是平面的斜線l的一個方向

所成角為?則sin??

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角面直線，則二面角的大小為。的兩個面內與棱l垂直的異

②設分別是二面角的兩個平面的法向量，則

就是二面角的平面角或其補角。

（4）異面直線間距離的求法：向量，又C、D分別是

是兩條異面直線，n是。的公垂線段AB的方向

上的任意兩點，則

（5）點面距離的求法：設n是平面平面的距離為。的法向量，AB是平面的一條斜線，則點B到

（6）線面距、面面距均可轉化為點面距離再用（5）中方法求解。

練習：

?????1????2????

1.若等邊?ABC的邊長

為，平面內一點M滿足CM?CB?CA，則

????????MA?MB?_________

2．在空間直角坐標系中，已知點A（1，0，2），B(1，-3，1)，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標是________。3.（本小題滿分12分）

如圖，在五面體ABCDEF中，FA ?平面ABCD, AD//BC//FE，AB?AD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=

AD 2

(I)求異面直線BF與DE所成的角的大小；(II)證明平面AMD?平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

4．（本題滿分15分）如圖，平面PAC?平面ABC，?ABC

是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA，PB，AC的中點，AC?16，PA?PC?10．

（I）設G是OC的中點，證明：FG//平面BOE；

（II）證明：在?ABO內存在一點M，使FM?平面BOE，并求點M到OA，OB的距離．

5.如圖，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，點E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面AEC?平面PDB；

（Ⅱ）當PD?且E為PB的中點時，求AE與

平面PDB所成的角的大小.

第五篇：向量方法在立體幾何教學中的應用

轉自論文部落論文范文發表論文發表

向量方法在立體幾何教學中的應用

作者：王龍生

摘 要： 在江蘇省對口單招數學試卷中，立體幾何這一章的知識點每年都作為重點考查的內容.每年我校考生在立體幾何解答題上的得分情況都不太理想.向量是基本的數學概念之一，是溝通代數與幾何的工具之一，體現了數形結合的思想.根據向量的數形特性，可以將幾何圖形數量化，從而通過運算解決立體幾何中的平行、垂直等問題，能避免構圖和推理的復雜過程，有利于降低解題難度.關鍵詞： 向量 立體幾何教學 數形結合在江蘇省對口單招數學試卷中，立體幾何這一章的知識點每年都是重點考查的內容.每年我校考生在立體幾何解答題上的得分情況都不太理想.向量是基本的數學概念之一，是溝通代數與幾何的工具之一，體現了數形結合的思想.根據向量的數形特性，可以將幾何圖形數量化，從而通過運算解決立體幾何中的平行、垂直等問題，避免構圖和推理的復雜過程，有利于降低解題難度.一、將立體幾何中的平行問題轉化為向量平行來證明

二、將立體幾何中的垂直問題轉化為向量垂直來證明

由于立體幾何中的垂直問題圖形比較復雜，加上學生的空間感比較薄弱，因此學生很難解決.把立體幾何中的垂直問題轉化為向量垂直，其優越性非常明顯，具體體現在：兩個向量垂直的充要條件可以把“垂直”體現在一個等式中變為純粹的運算，所涉及的向量易于用坐標表示就足夠了.立體幾何中的線線、線面、面面垂直，都可以轉化為空間兩個向量的垂直問題解決.1.“線線垂直”化為“向量垂直”

華羅庚關于“數形結合”有一句名言：“數缺形時少直觀，形離數時難入微.”向量是基本的數學概念之一，是溝通代數與幾何的工具之一，體現了數形結合的思想.因此，充分掌握、運用好向量知識，可以提高學生的數形結合能力，培養學生發現問題的能力，幫助學生理清數形結合呈現的內在關系，把無形的解題思路形象化，有利于學生順利地、高效率地解決數學問題.利用向量方法研究立體幾何問題，能避免傳統幾何方法中繁瑣的推理及論證，有效提高學生解決立體幾何問題的能力.參考文獻：

[1]單招生—相約在高校，數學：基礎知識梳理.[2]單招零距離—數學：總復習方案.[3]呂林根，張紫霞，孫存金.立體幾何學習指導書.