第一篇：向量空間證明

向量空間證明

解題的基本方法：

1)在立體幾何圖形中，選擇適當的點和直線方向建立空間直角坐標系中

2)若問題中沒有給出坐標計算單位，可選擇合適的線段設置長度單位;

3)計算有關點的坐標值，求出相關向量的坐標;

4)求解給定問題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個向量，分別與已知直線向量求數積，只要分別為零，即可說明結論。

證明直線與平面平行的關鍵是在平面中尋找一個與直線向量平行的向量。這樣就轉化為證明二個向量平行的問題，只要說明一個向量是另一向量的m(實數)倍，即可

只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會從中悟出經驗和方法

解：

因為x+y+z=0

x=-y-z

y=y+0*z

z=0*y+z

(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z

y,z為任意實數

則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數為2(不用寫為什么是2)

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

設向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過A做AG‖DC交EF于p點

由三角形中位線定理有：

向量Ep=?向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質)

∴向量pF=?(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=?(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

先假設兩條中線AD,BE交與p點

連接Cp,取AB中點F連接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共線，pF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點p

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一問結論

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

第二篇：向量空間證明

向量空間證明解題的基本方法：

1)在立體幾何圖形中，選擇適當的點和直線方向建立空間直角坐標系 中 2)若問題中沒有給出坐標計算單位，可選擇合適的線段設置長度單位;3)計算有關點的坐標值，求出相關向量的坐標;4)求解給定問題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個向量，分別與已知直線向量求數積，只要分別為零，即可說明結論。

證明直線與平面平行的關鍵是在平面中尋找一個與直線向量平行的向量。這樣就轉化為證明二個向量平行的問題，只要說明一個向量是另一向量的m(實數)倍，即可 只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會從中悟出經驗和方法 2 解：

因為x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z為任意實數

則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數為2(不用寫為什么是2)步驟1 記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c ∴a+b+c=0 則i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 接著得到正弦定理 其他 步驟2.在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。

第三篇：空間向量復習

高中數學選修2—1空間向量 期末復習

（基本知識點與典型題舉例）

為右手直角坐標系（立體幾何中建立的均為右手系）。

2、空間直角坐標系中的坐標運算：

一、空間向量的線性運算：

1、空間向量的概念：

空間向量的概念包括空間向量、相等向量、零向量、向量的長度（模）、共線向量等．

2、空間向量的加法、減法和數乘運算：

平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則同樣適用于空間向量的加（減）法運算． 三個不共面的向量的和等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體的對角線所表示的向量．

3、加法和數乘運算滿足運算律：

①交換律，即a+b=b+a；②結合律，即(a(a+b)?c?a?(b+c)；

③分配律，即(???)a=?a+?a及?(a+b)??a??b（其中?，?均為實數）．

4、空間向量的基本定理：

（1）共線向量定理：對空間向量a，b(b?0)，a∥b的充要條件是存在實數?，使a=?b．（2）共面向量定理：如果空間向量a，b不共線，則向量c與向量a,b共面的充要條件是，存在惟一的一對實數x，y，使c=xa+yb。

推論：①空間一點?位于平面??C內的充要條件是存在有序實數對x，y，使???????x???????y????C?；

②空間一點?位于平面??C內的充要條件是存在有序實數對x，y或對空間任一定點?，有??????????????x???????y????C?；

③若四點?，?，?，C共面，則???????x???????y???????z????C?

? x?y?z?1?。

（3）空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組

x，y，z，使p=xa+yb+zc．其中{a，b，c}是空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量，該定理可簡述為：空間任一向量p都可以用一個基底{a，b，c}惟一線性表示（線性組合）。

5、兩個向量的數量積：

（1）兩個向量的數量積是a?

b=abcos?a，b?，數量積有如下性質：①a?e=acos?a，e?（e為單位向量）；②a⊥b?a?b=0；③a?a=a

2；④a?b≤ab。

（2）數量積運算滿足運算律：①交換律，即a?b=b?a；②與數乘的結合律，即(?a)?

b=?(a?b)；③分配律，即(a+b)?c=a?c+b?c．

二、空間向量的直角坐標運算：

1、空間直角坐標系：

若一個基底的三個基向量是互相垂直的單位向量，叫單位正交基底，用{i，jk}表示；在空間

選定一點O和一個單位正交基底{i，jk}，可建立一個空間直角坐標系O?xyz，作空間直角 坐標系O?xyz時，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°；在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，稱這個坐標系

（1）定義：給定空間直角坐標系O－xyz和向量a，存在惟一的有序實數組使a=a1i+a2j+a3k，則(a1，a2，a3)叫作向量a在空間的坐標，記作a=(a1，a2，a對空間任一點A，存在惟一的???3)。

OA?

?xi+yj+zk，點Ａ的坐標，記作A(x，y，z)，x，y，z 分別叫Ａ的橫坐標、縱坐標、豎坐標。

（2）若A(x????

1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB?(x2?x1，y2?y1，z2?z1)；

（3）空間兩點的距離公式：

d???????

???

3、空間向量的直角坐標運算律：已知a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則：a+b?(a1?b1，a2?b2，a3?b3)，a?b?(a1?b1，a2?b2，a3?b3)；

?a?(?a1，?a2，?a3)，a?b=(a1b1，a2b?

2，?a3b3)；

a∥b?a1??b1，a

2??bcos???a?b

ab2，a3a?,b???b3|a|?|b|?1?212a2b2?a3b3222?0；

空間兩個向量的夾角公式：

a1?a2?a3?b12?b2?b

3。

4、直線的方向向量與向量方程：

（1）位置向量：已知向量a，在空間固定一個基點O，作向量???OA?

?a，則點A在空間的位置被a

所

惟一確定，a稱為位置向量。

（2）方向向量與向量方程：給定一個定點???Ａ和一個向量a，再任給一個實數t，以A為起點作向量

AP?

?ta，則此方程為直線l上點P對應的向量方程，向量a稱為直線l的方向向量。

5、平面的法向量：

（1）如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面?，則稱這個向量垂直于平面?

（記作a⊥?），向量a叫做平面?的法向量。法向量有兩個相反的方向。

三、空間向量在立體幾何中的應用：

1、空間向量在位置關系證明中的具體應用：

1）空間的線線、線面、面面垂直關系，都可以轉化為空間兩個向量的垂直問題來解決：①設a、b分別為直線a，b的一個方向向量，那么a⊥b?a⊥b?a?b=0；②設a、b分別為平面?，?的一個法向量，那么?⊥??a⊥b?a?b=0；③設直線l的方向向量為a，平面的法向量為b，那么l⊥??a∥b。

2）空間直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行，都可以用向量方法來研究：①設a、b是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為a、b，那么a∥b?a∥b；②直線與平面平行可轉化為直線的方向向量與平面的法向量垂直，也可用共面向量定理來

證明線面平行問題；

③平面與平面平行可轉化為兩個平面的法向量平行。

2、空間向量在立體幾何的計算問題中的應用：

1）空間角的計算：

①線線角：異面直線所成角轉化為兩條直線所在向量的夾角；

②線面角：直線AB與平面?所成角為，其中n是平面?的法向量；

③面面角：二面角的大小為，其中m，n是兩個半平面的法向量。2）距離的計算：

①點面距：設n是平面?的法向量，A??，則B到?的距離為；

②線線距：設n是兩條異面直線l1，l2的公垂線的向量，若A，B分別是在l1，l2上的任意一點，則l1，l2的距離為；

③線面距、面面距，與前面求法相同。

四、例題分析：

例

1、如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD

為正方形，PD=DC，E、F分別是AB，PB的中點.（1）求證：EF⊥CD；（2）在平面PAD內求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結論.（3）求DB與平面DEF所成角的大小。

例

2、如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中

AB?4,BC?2,CC1?3,BE?1，（1）求BF的長；（2）求點C到平面AEC1F的距離。

例

3、已知四棱錐P?ABCD的底面為直角梯形，AB//DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA?AD?D

1，AB?1，M是PB的中點。

（1）證明：面PAD?面PCD；（2）求AC與PB所成的角；

（3）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

例

4、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD?底面ABCD，E是AB上

一點，PF?EC.已知PD?

2,CD?2,AE?

2, 求（Ⅰ）異面直線PD與EC的距離；（Ⅱ）二面角E?PC?D的大小。

例

2、如圖4，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，點E在棱AB上移動，問AE等于何值時，二面角D1?EC?D的大小為

π

4．19．（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD 為正方形，PD=DC，E、F分別 是AB，PB的中點.（1）求證：EF⊥CD；

（2）在平面PAD內求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結論.（3）求DB與平面DEF所成角的大小.19．以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖，設AD=a，則

D(0?,?0?,?0)?,?A(a?,?0?,?0)，B(a?,a?,?0)?,C?

(0?,?a?,?0)?,E?

(a?,a

?,?0)?,F?(a2

2?,a2?,a2)?,P?(0?,?0?,a)

（1）??????a

a?2?,?0?,2??

?,?(0?,?a?,?0)?0?,?

∴EF

?DC?.（2）設G(x?,?0?,?z)，則G∈平面PAD.FG??

?aaa??

x?2?,??2?,?z?2??，????a?x?2,???a2?,?z?a?2???(a?,?0?,?0)?a??a?a?

x?2???0，則x?2； ???

?a?

x?2?,??a2?,?z?a?2???(0?,??a?,?a)?a2a2?a(z?2)?0，則z=0.∴G是坐標為（a，0，0），即G為AD的中點.（3）（只理科做）設平面DEF的法向量為n?(x?,y?,z)?.??由??n??0?,?(x,?y,?z)???a,?a?,a?

??0?,?得??DE?0???222??n.???(x?,y,?z)?(a,?a,??0)?0?.?a

(x?y?z)?即??0?,?2取x=1，則y=-2，z=1, ???ax?a2

y?0?.∴ n=(1，-2，1).cos〈BD?,?n〉a3

?

2a?6

?

?, ∴DB與平面DEF所成角大小為

?2?arccos3

（即arcsin3

6）.19．如圖4，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，點E在棱AB上移動，問AE等于何值時，二面角D1?EC?D的大小為

π4

． 解：設AE?x，以D為原點，直線DA，DC，DD1所在直線

分別為

x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A1(1，01)，D1(0，01)，E(1，x，0)A(1，0，0)C(0，2，0)． ∴???CE??(1，x?2，0)????D?1)，????DD?1C?(0，2，?1?(0，0，1)．

設平面D1EC的法向量為n?(a，b，c)，??????·D1C?0，?2b?c?0，?n

??由???? ?

a?b(x?2)?0，·CE?0???n

?????

又CC1?(0，0，3)，設CC1與n1的夾角為?，?????

CC1·n則cos??． 1?

CC1n

令b?1，∴c?2，a?2?x．

∴n?(2?x，1，2)．

?????n·DD1π依題意cos?．

??

4nDD1．

∴

x?2x?2∴AE?2．

????? ∴C到平面AEC1F的距離d?CC1cos??

20．如圖5所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB?4，BC?2，CC1?3，BE?1．

????

（1）求BF；

（2）求點C到平面AEC1F的距離．

解：（1）以D為原點，DAF，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D?xyz，D(0，0，0)B(2，4，0)A(2，0，0)C(0，4，0)E(2，41)，C1(0，4，3)，設F(0，0，z)． ?????????

由AF?EC1，得(?2，0，z)?(?2，0，2)，∴z?2．

????∴F(0，0，2)BF?(?2，?4，2)．

????

∴BF?

?????·AE?0，?n1

（2）設n1為平面AEC1F的法向量，n1?(x，y，1)，由?????

·AF?0，??n1，?x?1

?4y?1?0，?得?∴?1

?2x?2?0．y??．???4

第四篇：向量空間總結

向量空間總結

一、知識結構圖

二、結構說明

⑴本章主要包括向量代數和空間解析幾何的基本內容.向量代數是研究空間解析幾何的基礎，解析幾何中，直線、平面方程的建立都是由向量的共線或垂直關系得到的.⑵理解和靈活運用向量的各種運算，是學好本章的基礎.⑶空間直角坐標系的引入是聯系本章兩部分的紐帶，有了坐標系，向量的表示和運算均化為向量坐標之間的代數運算，使向量的運算廣泛應用于解決幾何問題.⑷直線和平面方程是本章的重點.三、知識拓展

向量代數在初等幾何中的應用

研究幾何的代數方法除了常用的坐標方法外還有向量方法，有些幾何概念用向量表示比較簡單，下面舉例說明向量方法在解決初等幾何問題中的應用.1、三線共點問題

例1 證明三角形三條高線交于一點 證明：設的兩條高線，交于M點，連AM.則有由于因為

所以有所以有

即

即

所以有即

即

從而三角形ABC的三條高線交于一點M.所以

2、垂直關系的證明

例2 空間四邊形ABCD的對角線互相垂直的充分必要條件是對邊的平方和相等.證：在空間四邊形ABCD中設則有a+b+c+d=0.必要性：設則

即，則，即有

兩式相加得所以

充分性：設

由于所以

所以

用向量的方法還可以證明許多幾何定理，例如：三角形的余弦定理；平行四邊形成為菱形的充分必要條件是對角線互相垂直；三角形的三條角平分線交于一點等等.三點共線問題也可用向量方法來研究.四、綜合測試

1、填空題：

⑴設向量角為

時，m=________.當時，m=______，當時，m=______.當a與b夾

⑵設⑶點⑷與向量⑸過點

且與關于，則

______.面的對稱點坐標為________；關于z軸對稱點的坐標為_______.同時垂直的向量是_________.垂直的直線方程是_____________.⑹過一點

___________.且與直線

和直線都平行的平面方程為

⑺直線與平面的交點為__________,夾角為________.⑻曲線在平面上的投影方程為_____________.2、求通過直線且與

平行的平面方程.3、判斷兩直線與

和的位置關系？

是否可確定一個平面，若能，求出平面方程.4、設平面

與L垂直的直線方程.，直線試求在平面內過L和的交點且

5、直線間的最短距離..求與，與之

五、綜合測試答案

1、⑴ ⑵4.⑶ ⑷

；；

.；；

.⑸ ⑹

⑺；夾角

⑻2、3、、5、

第五篇：數學空間向量

一.空間向量的基本概念、運算、定理

1.空間向量的基本概念

由于我們所講的向量可以自由移動，是自由向量，因此對于一個向量、兩個向量都是共面的，他們的基本概念與平面向量完全一樣。包括：向量的定義、向量的表示方法、向量的模、零向量、單位向量、向量的平行與共線、相等向量與相反向量等等

2.空間向量的加法、減法與數乘運算

兩個空間向量的加法、減法與數乘運算法則及其運算律都與平面向量的知識相同。但空間不共面的三個向量的和應該滿足“平行六面體”法則。

即：平行六面體ABCD-A＇B＇C＇D

＇中，3.空間向量的數量積

空間兩個向量的數量積與平面兩個向量的數量積的概念及法則都是一致的。

定義

：

性質與運算律：

①

4.空間向量中的基本定理

共線向量定理：對于

作用：證明直線與直線平行。

推論：P、A、B

三點共線的充要條件：

實數。

作用：證明三點共線。

共面向量定理（平面向量的基本定理）：兩個向量的充要條件是存在實數對x、y

使

作用：證明直線與平面平行。

推論：P、A、B、C四點共面的充要條件：

x、y、z為實數，且x+y+z=1。

作用：證明四點共面。

空間向量的基本定理：如果三個向量

不共面，那么對于空間任意向量，存在一，其中O為任意一點。不共線，向量共面，其中O為任意一點，t為任意空間向

量;

②;

③;

④;

⑤的夾角（起點重合），規

定。

個唯一的有序實數組x、y、z

使做空間的一組基底。

作用：空間向量坐標表示的理論依據。

二.空間向量的坐標運算

1.空間直角坐標系。、、叫做基向量，叫

我們在平面直角坐標系的基礎上增加一個與平面垂直的方向，構成右手直角坐標系，即：伸出右手使拇指、食指、中指兩兩垂直，拇指、食指、中指分別指向x、y、z軸的正方向，空間任意一點可用一組有序實數確定，即：A（x，y，z）。

2.向量的直角坐標運算

．

二、空間向量的加減與數乘運算

（1）空間向量的加法、減法、數乘向量的定義與

平面向量的運算一樣：

（2）、空間向量的加、減與數乘運算律：

=（指向被減向量），加法交換律：

加法結合律：

數乘分配律：

注：空間向量加法的運算律要注意以下幾點：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向

量，即：

⑵首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：

⑶兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立．

因此，求始點相同的兩個向量之和時，可以考慮用平行四邊形法則．

三、共線向量與共面向量

1、共線向量定理：對空間任意兩個向量

（1）推論：

如圖所示，如果l為經過已知點A

且平行于已知向量 的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，滿足等式

量)．直線l上的點和實數t是一一對應關系.（2）空間直線的向量參數方程：

在l

上取 則（其中 是直線l的方向向,存在唯一實數 ；因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量；

特別地，當

點）

時，得線段AB中點坐標公式：（其中P是AB中

2、共面向量定理：如果兩個向

量, 使

.不共線，則向

量 與向

量 共

面

推論：空間一點P位于平面MAB內的充分必要條件是存在唯一的有序實數對x、y，使；

進而對空間任一定點O，有

實數對(x,y)是唯一的，①式叫做平面MAB的向量表達式.四、空間向量基本定理、若

其中

2、將上述唯一分解定理換成以任一點O為起點：O、A、B、C不共面，則對空間任意一點P，存在唯一的三個有序實數x,y,z∈R，使

五、兩個空間向量的數量積、向量

2、向量的數量積的性質：

(1)

(2)

(3)

性質(2)可證明線線垂直；

性質(3)可用來求線段長.3、向量的數量積滿足如下運算律：

（1）

（2）

（3）（交換律）（分配律）。為單位向量)的數量積：

不共面，則對任意向量 稱空間的一個基底，, 存在唯一x,y,z∈R，使①，在平面MAB內，點P對應的 都叫基向量。空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.性質(1)可用來求角；